Cho một quá trình ngẫu nhiên Xn, chúng ta sẽ thường áp dụng biến ngẫu nhiên lặp đi lặp lại tại các thời điểm liên tiếp, tức là tạo ra chuỗi đầu ra của biến ngẫu nhiên. Ví dụ, nếu quá trình ngẫu nhiên có không gian giá trị thực tương ứng với thang đo điện áp, chúng ta muốn ghi lại các kết quả liên tiếp của
CHƯƠNG 2. TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 41
đồng hồ và đó là quá trình ngẫu nhiên liên tục giá trị Xn. Tương tự, chúng ta muốn ghi lại các giá trị liên tiếp của năng lượng trong một điện trở đơn vị:Xn2. Chúng ta có thể xấp xỉ tự tương quan của độ trễ k qua các giá trị liên tiếp của XnXn+k. Mặc dù các dãy này là ngẫu nhiên và do đó chính chúng là quá trình ngẫu nhiên, nhưng chúng ta sẽ thấy rằng trong một số trường hợp, trung bình số học (trung bình cộng) hoặc trung bình Cesaro của dãy các biến ngẫu nhiên như vậy sẽ hội tụ. Các trung bình như vậy gọi là trung bình theo thời gian và phần này dành cho định nghĩa của chúng và tóm tắt một số kiểu hội tụ có thể.
Một mô hình hữu ích cho dãy các biến ngẫu nhiên được cung cấp bởi hệ động lực (AI,BAI,m,T), tức là một không gian xác suất (AI,BAI,m) và phép biến đổi T :AI →AI (chẳng hạn như phép dịch chuyển), cùng với một biến ngẫu nhiên giá trị thực f :AI →R. Ta định nghĩa dãy biến ngẫu nhiên tương ứng f Ti,i=0,1,2, ...bởi f Ti(x) = f(Tix), tức là f Ti tương ứng được tạo bởi biến ngẫu nhiên f tại thời điểm i. Ví dụ, giả sử một hệ động lực tương ứng với quá trình ngẫu nhiên có không gian giá trị thực với phân phối m và T là phép dịch chuyển trên AZ. Nếu chúng ta có dãy x = (x
0,x1, ...) trong AZ, ở đây Z ={0,1,2, ...}, nếu f(x) =Π0(x) = x0 là hàm toạ độ tại thời điểm 0 (time-zero) thì f(Tix) =xi, các kết quả của quá trình được cho trực tiếp với phân phối m. Tổng quát hơn, f có thể là một bộ lọc hay một phiên bản mã hóa của quá trình cơ bản. Ý tưởng chính là biến ngẫu nhiên f được thực hiện trên dãy mẫu tại thời điểm i tương ứng lấy f trên phép dịch chuyển thứ i của dãy mẫu.
Định nghĩa 2.6.1. Cho biến ngẫu nhiên f trên hệ động lực(Ω,B,m,T),
trung bình theo thời gian cấp n, < f >n được định nghĩa như là trung bình số học hoặc trung bình Cesaro của các biến ngẫu nhiên tại các thời điểm 0,1,2, ...,n−1; tức là < f>n(x) =n−1 n−1 ∑ i=0 f(Tix), (2.16) hoặc ngắn gọn hơn là < f>n=n−1 n−1 ∑ i=0 f Ti.
CHƯƠNG 2. TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 42
Ví dụ, với trường hợp f là hàm toạ độ time-zero,
< f>n(x) =n−1
n−1
∑
i=0
xi
là trung bình theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên. Nếu f(x) =x0xk thì
< f>n(x) =n−1
n−1
∑
i=0
xixi+k
là tự tương quan mẫu của độ trễ k của quá trình. Nếu k = 0 thì đó là trung bình theo thời gian của quá trình nếu xk đại diện cho điện áp, x2k là năng lượng qua điện trở tại thời điểm k. Trung bình theo thời gian cấp hữu hạn là các biến ngẫu nhiên, nhưng bổ đề dưới đây chỉ ra rằng chúng tham gia vào một số tính chất cơ bản của kỳ vọng.
Bổ đề 2.6.1.Trung bình theo thời gian có các tính chất sau với mọi n:
(a) Nếu f Ti ≥0với xác suất 1,i=0,1, ...,n−1thì
< f >n≥0.
(b) <1>n=1.
(c) Với các số thực bất kỳα,β và các biến ngẫu nhiên bất kỳ f vàgta có
<αf +βg>n=α < f>n+β <g>n.
(d) |< f>n| ≤<|f|>n.
(e) Cho hai biến ngẫu nhiên f vàgmà f ≥gvới xác suất 1, khi đó
< f>n≥<g>n.
Chứng minh.
Tất cả các tính chất được suy ra từ tính chất của phép lấy tổng. Chú ý rằng, đối với (a) ta phải yêu cầu thêm điều kiện f không âm hầu khắp nơi để f Ti không âm hầu khắp nơi. Ngoài ra, đây là trường hợp đặc biệt của Bổ đề 2.4.2 cho một x cụ thể ta định nghĩa một độ đo xác suất trên các biến ngẫu nhiên lấy các giá trị f(Tkx) với xác suất 1/n với k=0,1, ...,n−1.
CHƯƠNG 2. TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 43
Cho một biến ngẫu nhiên f trên hệ động lực (Ω,B,m,T), ký hiệu Ff là tập tất cả giá trị x∈Ω để giới hạn lim n→∞ 1 n n−1 ∑ k=0 f(Tkx)
tồn tại. Với các giá trị x như vậy ta định nghĩa trung bình theo thời gian hoặc
giới hạn trung bình theo thời gian < f > bởi giới hạn trên, tức là
< f >= lim
n→∞
< f>n.
Dãy các trung bình theo theo thời gian< f >n được gọi là hội tụ đến giới hạn < f > hầu khắp nơi hoặc với xác suất 1 nếu m(Ff) =1.
Bổ đề sau đây chỉ ra rằng giới hạn trung bình theo thời gian có các tính chất tương tự như kỳ vọng trong Bổ đề 2.4.2.
Bổ đề 2.6.2. Trung bình theo thời gian có các tính chất sau khi chúng được định nghĩa tốt; tức là khi giới hạn tồn tại:
(a) Nếu f Ti ≥0với xác suất 1,i=0,1, ...thì< f >≥0. (b) <1>=1.
(c) Vớiα,β là các số thực bất kỳ, f vàglà các biến ngẫu nhiên bất kỳ ta có
<αf +βg>=α < f >+β <g> .
(d) |< f >| ≤<|f|> .
(e) Cho hai biến ngẫu nhiên f vàgmà f ≥gvới xác suất 1, khi đó ta có
< f >≥<g> .
Chứng minh.
Chứng minh được suy ra từ Bổ đề 2.6.1 và tính chất của giới hạn. Cụ thể, (a) được chứng minh như sau:
Nếu f Ti ≥0, h.k.n với mỗi i thì biến cố f Ti ≥0,∀i có xác suất 1 và do đó biến cố < f >n≥0,∀i. (Giao đếm được của một họ các tập với xác suất 1 cũng có xác suất 1). Chú ý rằng, không giống như Bổ đề 2.6.1, Bổ đề 2.6.2 không thể xem như một trường hợp đặc biệt của Bổ đề 2.4.2.
CHƯƠNG 2. TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 44