Như một điều kiện tiên quyết để nghiên cứu về trung bình, chúng ta sẽ dừng lại để xem xét một số tính chất của biến ngẫu nhiên giá trị thực. Ta sẽ cần quan tâm đến tính chất của giới hạn của dãy fncác hàm khả tích. Đặc biệt quan trọng là tính đo được của giới hạn của các biến ngẫu nhiên và các điều kiện để chúng ta có thể hóan đổi giới hạn với kỳ vọng. Để phát biểu kết quả hội tụ chính, trước tiên ta cần có một số điều kiện.
Định nghĩa 2.3.1.Cho dãy số thựcan,n=1,2, ..., khi đó lim n→∞supan =in f n sup k≥n ak
CHƯƠNG 2. TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 30
gọi làgiới hạn trênvà
lim n→∞infan=sup n in f k≥n ak gọi làgiới hạn dưới.
Nói cách khác,lim supn→∞an=anếualà số lớn nhất màancó một dãy con ank,k =1,2, ...hội tụ đếna. Tương tự, lim infn→∞an=a là số nhỏ nhất có thể đạt được của một dãy con. Khi nội dung rõ ràng, ta sẽ thường bỏ quan→∞và viết đơn giản là lim supan hoặc lim infan. Giới hạn của dãyan:limn→∞an =a sẽ tồn tại nếu và chỉ nếu lim supan=lim infan=a, có nghĩa là tất cả các dãy con hội tụ đến cùng một giới hạn, đó chính là giới hạn của dãy.
Bổ đề 2.3.2. Cho dãy các biến ngẫu nhiên fn,n = 1,2, ..., khi đó f = lim supn→∞fnvà f =lim infn→∞fncũng là các biến ngẫu nhiên, tức là các hàm đo được. Nếu limn→∞fn tồn tại thì nó cũng là một biến ngẫu nhiên. Nếu f và
g là các biến ngẫu nhiên thì các hàm f+g, f−g,|f−g|,min(f,g),max(f,g)
cũng là các biến ngẫu nhiên, tức là tất cả các hàm này đo được.