Như chúng ta đã biết sự tồn tại của tính chất egodic dẫn đến tồn tại giới hạn trung bình theo thời gian của các kỳ vọng. Ví dụ, nếu < f >n hội tụ thì n−1∑ni=−01Emf Ti cũng hội tụ. Trong phần này chúng ta liên kết các giới hạn với kỳ vọng đối với trung bình dừngm.
Bổ đề 3.2.1 đã chỉ ra rằng trung bình cộng của giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên chuyển hóa hội tụ. Bổ đề dưới đây chứng minh giới hạn được cho bởi giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ban đầu theo trung bình dừng.
Bổ đề 3.5.1. Cho hệ AMS (Ω,B,m,T) với trung bình dừng m. Nếu biến
ngẫu nhiên f bị chặn thì lim n→∞Em(< f>n) = lim n→∞n−1 n−1 ∑ i=0 Em(f Ti) = lim n→∞ Emnf =Em(f). (3.29) Chứng minh.
Từ định nghĩa của AMS ta thấy ngay kết quả trên đúng với các hàm chỉ tiêu. Tiếp theo, nó đúng với các hàm đơn giản (do tính tuyến tính của giới hạn). Tổng quát, gọiqk là dãy lượng tử như ở phần 2.3.1 và nhận thấy rằng với mỗik ta có
|Em(< f>n)−Em(f)| ≤ |Em(< f>n)−Em(<qk(f)>n)|+ +|Em(<qk>n)−Em(qk(f))|
+|Em(qk(f))−Em(f)|.
Chọnk lớn hơn cực đại của hàm bị chặn f. Số hạng ở giữa dần đến 0 (theo kết quả của hàm đơn giản). Số hạng thứ ba của vế phải bị chặn trên bởi 2−k vì chúng ta đang tích hợp một hàm nhỏ hơn 2−k ở khắp nơi. Tương tự, số hạng đầu tiên của vế phải bị chặn trên bởi
n−1
n−1
∑
i=0
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 65
ở đây chúng ta đã sử dụng đẳng thứcqm(f)(Tix) =qm(f(Tix)). Vìkcó thể lớn tuỳ ý nên2×2−k nhỏ tuỳ ý, do đó bổ đề được chứng minh.
Vậy trung bình dừng cho ta giới hạn trung bình kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên chuyển hóa.
Kết hợp bổ đề trên với Bổ đề 3.2.1 cho ta hệ quả sau đây:
Hệ quả 3.5.1.Cho hệ AMS(Ω,B,m,T)với trung bình dừngm. Nếu hệ có
tính chất egodic đối với biến ngẫu nhiên bị chặn f và giới hạn trung bình theo thời gian là< f >thì
Em < f >=Emf. (3.30)
Vì vậy, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên với trung bình dừng cung cấp cho ta kỳ vọng của giới hạn trung bình theo thời gian với độ đo ban đầu.
Nếu ta có khả tích đều thì ta có thể mở rộng tương tự Hệ quả 3.2.1.
Bổ đề 3.5.2. Cho hệ AMS (Ω,B,m,T) với trung bình dừngmmà có tính chất egodic đối với biến ngẫu nhiên f. Nếu < f >n là m - khả tích đều thì f
cũng làm- khả tích và có các đẳng thức (3.29), (3.30). Chứng minh. Từ Hệ quả 3.2.1 ta có lim n→∞ Em(< f>n) =Em< f > .
Đặc biệt, tích phân ở vế phải tồn tại và hữu hạn. Từ Hệ quả 3.1.1 ta có giới hạn < f >là bất biến. Nếu hệ động lực là AMS thì từ tính bất biến của< f >
và Bổ đề 3.3.1 chỉ ra rằng
Em < f >=Em < f > .
Vìm là dừng nên Bổ đề 2.7.2 chỉ ra rằng dãy< f >n khả tích đều đối với m. Do đó, từ sự hội tụ của< f >n vớim - xác suất 1 (Hệ quả 3.3.1) ta có tích phân ở vế phải bằng lim n→∞ Em(n−1 n−1 ∑ i=0 f Ti).
CHƯƠNG 3. HỆ ĐỘNG LỰC CÓ TÍNH CHẤT EGODIC 66
Từ tính tuyến tính của kỳ vọng, tính dừng củamvà Bổ đề 2.7.1 với mỗi giá trị củanthì kỳ vọng trên chỉ đơn giản là Emf.