Kỳ vọng cũng được gọi là tích phânvà được ký hiệu bởi một trong các ký hiệu dưới đây:
Emf = Z f dm= Z f(x)dm(x) = Z f(x)m(dx)
Chỉ số m biểu thị độ đo đối với kỳ vọng được lấy sẽ được bỏ qua nếu ngữ cảnh rõ ràng.
Biến ngẫu nhiên f được gọi làkhả tíchhaym - khả tíchnếuEmf tồn tại và hữu hạn. Định nghĩaL1(m)là không gian các hàmm- khả tích. Cho f là hàm m- khả tích bất kỳ và một biến cốB, ta định nghĩa Z B f dm= Z f(x)1B(x)dm(x)
Hai biến ngẫu nhiên f và g được gọi là bằng nhaum - hầu khắp nơi hay bằng nhau vớim - xác suất 1 nếum(f =g) =m(x: f(x) =g(x)) =1. Ký hiệu "m -" sẽ được bỏ đi nếu ngữ cảnh rõ ràng.
Hệ quả dưới đây dùng để xác định kỳ vọng và các đặc trưng tuyến tính của nó. Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên khả tích bất kỳ được coi như là giới hạn của các kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên đơn giản được hình thành bằng cách lượng tử hóa các biến ngẫu nhiên. Đó là một ví dụ của định lý giới hạn khả tích, kết quả đưa ra điều kiện để giới hạn và tích phân có thể hoán đổi cho nhau.
Hệ quả 2.4.1. Gọi qn là dãy lượng tử xác định như trong phần 2.3.1. Nếu
f làm- khả tích thì
Emf = lim
n→∞
CHƯƠNG 2. TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 33 và lim n→∞ Em|f −qn(f)|=0. Chứng minh.
Nếu f không âm thì hai kết quả trên là tương đương và được suy ra từ định nghĩa của kỳ vọng và tính tuyến tính của Bổ đề 2.4.2(c). Trong trường hợp tổng quát thìqn(f) =qn(f+)−qn(f−)vàqn(f+)↑ f+vàqn(f−)↑ f−do cách xây dựng. Do đó, từ kết quả khi f không âm và tính tuyến tính của kỳ vọng ta có
E|f −qn|=E(f+−qn(f+)) +E(f−−qn(f−)) → n→∞ 0 và E|f −qn|=E(f+−qn(f+))−E(f−−qn(f−)) → n→∞ 0. Bổ đề có thể được sử dụng để chứng minh kỳ vọng có tính chất liên tục đối với độ đo xác suất cơ bản:
Hệ quả 2.4.2. Nếu f là m - khả tích thì lim m(F)→0 Z F f dm=0,
có nghĩa là, vớiε >0cho trước, tồn tạiδ >0 sao cho nếum(F)<δ thì
Z
F
f dm<ε.
Hệ quả 2.4.3.Nếu f không âm m - h.k.n, m - khả tích và Emf 6=0 thì hàm tập P định nghĩa bởi P(F) = R F f dm Emf là độ đo xác suất. Hệ quả 2.4.4.Nếu f là m - khả tích thì lim r→∞ Z f≥r f dm=0.
CHƯƠNG 2. TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 34
Hệ quả 2.4.5. Giả sử f ≥0, m - h.k.n. Khi đó R
f dm=0 khi và chỉ khi f = 0, m - h.k.n.
Hệ quả 2.4.5 chỉ ra rằng chúng ta có thể coiL1(m)là một không gian metric với metric là d(f,g) =R
|f −g|dm nếu ta coi các biến ngẫu nhiên đồng nhất nếum(f =g) =0.
Bổ đề 2.4.3. (Bất đẳng thức Markov) Cho một biến ngẫu nhiên f với
f ≥0, m - h.k.n, khi đó với a > 0 ta có
m(f ≥a)≤ Emf a .
Hơn nữa, với p > 0 thì
m(f ≥a)≤ Em(f
p) ap .
(b) (Bất đẳng thức Tchebychev) Cho biến ngẫu nhiên f với kỳ vọng Ef, khi đó nếu a > 0 thì m(|f−E f| ≥a)≤ Em(|f −E f| 2 ) a2 . (c)Nếu E(f2) =0 thì m(f =0) =1. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(d)(Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Với các biến ngẫu nhiên f và g cho trước, ta có
|E(f g)| ≤E(f2)1/2E(g2)1/2.