Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng trong kinh tế, tài chính

Mục lục Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Các phân phối hữu ích trong tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Phân phối hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Phân phối chuẩn và phân phối loga chuẩn . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Phân phối χ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6 Phân phối mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.7 Phân phối đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Tài khoản tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Thị trường trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Trái phiếu chiết khấu và trái phiếu có phiếu lãi . . . . . . 14 1.3.2 Hoa lợi lúc đáo hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Lãi suất giao ngay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.4 Hoa lợi định trước và lãi suất định trước . . . . . . . . . . 16 1.4 Hợp đồng ký kết trước và hợp đồng tương lai . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Mô hình thị trường chứng khoán với thời gian rời rạc 20 2.1 Các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 2.1.1 Quá trình giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Giá trị phương án đầu tư và tích phân ngẫu nhiên rời rạc 23 2.1.3 Cơ hội có độ chênh thị giá và phương án đầu tư đáp ứng . 25 2.1.4 Martingale và định lý định giá tài sản . . . . . . . . . . . . 27 2.1.5 Thời điểm dừng và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.6 Biến đổi độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Mô hình nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Du động ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Mô hình nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Mô hình thị trường chứng khoán với thời gian liên tục 56 3.1 Các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.1 Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.2 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.3 Quá trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1.5 Tích phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.1.6 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.7 Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 Mô hình thị trường chứng khoán với thời gian liên tục . . . . . . . 75 3.2.1 Phương án đầu tư tự tài trợ và cơ hội có độ chênh thị giá 75 3.2.2 Mô hình quá trình giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.3 Mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.4 Phương pháp trung hòa rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.5 Phương pháp trung hòa định trước . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2.6 Cấu trúc kỳ hạn của lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2.7 Định giá phái sinh lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3 LỜI MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, lý thuyết quá trình ngẫu nhiên ngày càng trở nên quan trọng trong kinh tế, tài chính. Tính không chắc chắn, sự biến động ngẫu nhiên theo thời gian là các thuộc tính cơ bản trong nền kinh tế cũng như trong thị trường tài chính. Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là công cụ toán học để mô hình hóa thị trường tài chính. Ví dụ, một phương trình vi phân ngẫu nhiên thường dùng để mô hình hóa cho sự dao động giá các tài sản tài chính, một quá trình Poisson phù hợp với việc mô tả các biến cố vỡ nợ, du động ngẫu nhiên là cơ sở của mô hình nhị thức Mục đích của luận văn là tìm hiểu một số quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng của chúng trong kinh tế, tài chính. Luận văn trình bày các phân phối xác suất thường dùng trong lý thuyết tài chính, một số khái niệm cơ bản trong tài chính, mô hình thị trường chứng khoán với thời gian rời rạc và liên tục trên cơ sở các kết quả cơ bản của giải tích ngẫu nhiên. Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày các phân phối xác suất hữu ích trong tài chính và một số khái niệm cơ bản trong tài chính. Chương 2: Trình bày mô hình thị trường chứng khoán với thời gian rời rạc, giới thiệu các khái niệm và kết quả quan trọng trong lý thuyết tài chính. Lý thuyết về du động ngẫu nhiên và mô hình nhị thức sẽ được trình bày cuối chương này. Chương 3: Trình bày mô hình thị trường chứng khoán với thời gian liên tục, giới thiệu một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng và các kết quả trong giải tích ngẫu nhiên được ứng dụng trong tài chính. Mô hình Black-Scholes, phương pháp trung hòa rủi ro, phương pháp trung hòa định trước, cấu trúc kỳ hạn của lãi suất, định giá phái sinh lãi suất sẽ được trình bày trong chương này. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, 4 kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 08 năm 2014 Học viên Trịnh Thị Trang 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các phân phối hữu ích trong tài chính 1.1.1 Phân phối nhị thức Một biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Bernoulli với tham số p (ký hiệu là X ∼ Be(p)) nếu nó nhận các giá trị 0 hoặc 1 và xác suất cho bởi: P {X = 1} = 1 − P {X = 0} = p, 0 < p < 1. Giá trị 1 (tương ứng 0) thường thể hiện thành công (thất bại) trong một phép thử và do vậy p biểu thị xác suất thành công. Một biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số (n, p) (ký hiệu là X ∼ B(n, p)) nếu tập các giá trị là {0, 1, . . . , n} và P {X = k} = C k n p k (1 − p) n−k , k = 0, 1, . . . , n. Xét một dãy các phép thử độc lập, mỗi phép thử có phân phối Bernoulli. Khi đó, X ∼ B(n, p) là số lần thành công trong n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p. Ngoài ra, nếu X 1 , X 2 , . . . , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, X k là kết quả của phép thử Bernoulli thứ k với xác suất thành công p thì X = n  k=1 X k (1.1) 6 có phân phối nhị thức với tham số (n, p). Từ nay trở đi, chúng ta ký hiệu b k (n, p) = C k n p k (1 − p) n−k và B k (n, p) = k  i=0 b i (n, p), B k (n, p) = n  i=k b i (n, p), k = 0, 1, . . . , n. Vì b k (n, p) = b n−k (n, 1 − p) nên: B k (n, p) = B n−k (n, 1 − p), k = 0, 1, . . . , n. Hàm sinh các momen của X ∼ B(n, p) là m(t) = E[e tX ] =  pe t + (1 − p)  n , t ∈ R. Kỳ vọng và phương sai của X ∼ B(n, p) lần lượt là E [X] = np, V [X] = np (1 − p) . 1.1.2 Phân phối Poisson Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ (ký hiệu là X ∼ P oi(λ)) nếu tập giá trị là {0, 1, 2, . . .} và P {X = n} = λ n n! e −λ , n = 0, 1, 2, . . . ở đó λ > 0. Hàm sinh momen của X ∼ P oi(λ) là m(t) = exp{λ  e t − 1  }, t ∈ R. Kỳ vọng và phương sai của X là E [X] = V [X] = λ. Phân phối Poisson có thể được coi là giới hạn của các phân phối nhị thức. Thật vậy, xét biến ngẫu nhiên nhị thức X n ∼ B(n, λ/n) với λ > 0 và n đủ lớn. Hàm sinh momen của X n là m n (t) =  1 +  e t − 1  λ n  n , t ∈ R. 7 Cho n → ∞, ta được: lim n→∞ m n (t) = exp{λ  e t − 1  }, t ∈ R chính là hàm sinh momen của biến ngẫu nhiên Poisson X ∼ P oi(λ). Do đó, X n hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên X ∼ P oi(λ). Giả sử X 1 ∼ P oi(λ 1 ), X 2 ∼ P oi(λ 2 ), X 1 , X 2 độc lập. Khi đó, X 1 + X 2 ∼ P oisson(λ 1 + λ 2 ). Ta có P {X 1 = k|X 1 + X 2 = n} = P {X 1 = k}P {X 2 = n − k} P {X 1 + X 2 = n} , k = 0, 1, . . . , n = C k n  λ 1 λ 1 + λ 2  k  λ 2 λ 1 + λ 2  n−k . Như vậy, phân phối có điều kiện của X 1 với điều kiện {X 1 + X 2 = n} xảy ra là phân phối nhị thức B(n, λ 1 /(λ 1 + λ 2 )). 1.1.3 Phân phối hình học Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối hình học với tham số p (ký hiệu là X ∼ Geo(p)) nếu tập giá trị của nó là {0, 1, 2, . . .} và P {X = n} = p (1 − p) n , n = 0, 1, 2, . . . Phân phối hình học biểu thị số lần thất bại cho tới lần thành công đầu tiên trong dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công p. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X ∼ Geo(p) lần lượt được cho bởi E [X] = 1 − p p , V [X] = 1 − p p 2 . Các phân phối hình học thỏa mãn tính chất nhớ. Tức là, nếu X ∼ Geo(p) thì: P {X − n ≥ m|X ≥ n} = P {X ≥ m}, m, n = 0, 1, 2, . . . Thật vậy, ta có: P {X ≥ n + m|X ≥ n} = P {X ≥ n + m} P {X ≥ n} = (1 − p) n+m (1 − p) n = (1 − p) m = P {X ≥ m}. Phân phối hình học là phân phối rời rạc duy nhất có tính chất nhớ. 8 1.1.4 Phân phối chuẩn và phân phối loga chuẩn Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ và phương sai σ 2 (ký hiệu là X ∼ N(µ, σ 2 )) nếu hàm mật độ của X là f(x) = 1 √ 2πσ exp  − (x − µ) 2 2σ 2  , x ∈ R. N(0, 1) được gọi là phân phối chuẩn tắc và hàm mật độ của nó là φ(x) = 1 √ 2π e −x 2 /2 , x ∈ R. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc là Φ(x) =  x −∞ 1 √ 2π e −t 2 /2 dt, x ∈ R. Nếu X ∼ N(µ, σ 2 )thì biến ngẫu nhiên Y xác định bởi : Y = X − µ σ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc. Ngược lại, nếu Y ∼ N(0, 1) thì X = µ + σY ∼ N(µ, σ 2 ). Mệnh đề 1.1.1. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc là hàm chẵn và thỏa mãn φ  (x) = −xφ(x), x ∈ R. Do đó, chúng ta có Φ(x) = 1 − Φ(−x), x ∈ R. Hàm sinh momen của X ∼ N(µ, σ 2 ) là m(t) = E  e tX  =  ∞ −∞ 1 √ 2πσ exp  − (x − µ) 2 2σ 2  exp{tx}dx = exp{µt + σ 2 t 2 2 }  ∞ −∞ 1 √ 2πσ exp{− (x − (µ + σ 2 t) 2 ) 2σ 2 }dx = exp  µt + σ 2 t 2 2  , t ∈ R. (1.2) 9 Giả sử X ∼ N(µ, σ 2 ). Khi đó phân phối của biến ngẫu nhiên Y = e X được gọi là phân phối loga chuẩn. Để thu được hàm mật độ của Y , trước hết ta xét hàm phân phối F (y) = P {Y ≤ y} = P {X ≤ ln y}, y > 0. Vì X ∼ N(µ, σ 2 ) nên F (y) = Φ  ln y − µ σ  , y > 0. Do đó hàm mật độ của Y là f(y) = 1 √ 2πσy exp  − (ln y − µ) 2 2σ 2  , y > 0. Từ (1.2) suy ra momen thứ n của Y : E [Y n ] = E  e nX  = exp  nµ + n 2 σ 2 2  , n = 1, 2, . . . Mặc dù Y có momen mọi cấp nhưng hàm sinh momen của Y không tồn tại. Thật vậy, với h > 0 bất kỳ ta có: E  e hY  = E  ∞  n=0 h n Y n n!  = ∞  n=0 h n E[Y n ] n! = ∞. 1.1.5 Phân phối χ 2 Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối χ 2 với n bậc tự do (ký hiệu là X ∼ χ 2 n ) nếu nó có hàm mật độ như sau ψ(x) =        1 2 n/2 Γ(n/2) x n 2 −1 e −x/2 nếu x > 0 0 nếu x ≤ 0 ở đó Γ(x) là hàm gamma xác định bởi Γ(x) =  ∞ 0 u x−1 e −u du, x > 0. Ta có: Γ(1) = 1, Γ(1/2) = √ π, Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1). Vì vậy, Γ(n) = (n − 1)! với mọi số nguyên dương n. Thực chất của phân phối χ 2 n chính là phân phối của 10 biến ngẫu nhiên n  i=1 X 2 i trong đó X 1 , X 2 , . . . , X n độc lập cùng phân phối N(0, 1). Vì vậy, nếu X ∼ χ 2 n thì kỳ vọng và phương sai lần lượt là: E[X] = n  i=1 E[X 2 i ] = n V [X] = n  i=1 V [X 2 i ] = n  E[X 4 1 ] − E 2 [X 2 1 ]  = 2n Ngoài ra, nếu X ∼ χ 2 n , Y ∼ χ 2 m và X, Y độc lập thì X + Y ∼ χ 2 n+m . 1.1.6 Phân phối mũ Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối mũ với tham số λ > 0 (ký hiệu là X ∼ Exp(λ)) nếu nó có hàm mật độ như sau f(x) =      λe −λx nếu x ≥ 0, 0 nếu x < 0. Kỳ vọng và phương sai của X ∼ Exp(λ) lần lượt là E[X] = 1/λ, V [X] = 1/λ 2 . Hàm sinh momen của X: E  e tX  = λ λ − t , t < λ. Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Erlang bậc k với tham số λ > 0 (ký hiệu X ∼ E k (λ)) nếu hàm mật độ có dạng: f(x) =        λ k (k − 1)! x k−1 e −λx nếu x ≥ 0, 0 nếu x < 0. Hàm phân phối của E k (λ) là: F (x) =          1 − e −λx k−1  n=0 (λx) n n! nếu x ≥ 0, 0 nếu x < 0. 11 [...]... hạn T và giá thực hiện K được cho bởi X = {K − S(T )}+ 19 Chương 2 Mô hình thị trường chứng khoán với thời gian rời rạc 2.1 2.1.1 Các kết quả cơ bản Quá trình giá Một họ các biến ngẫu nhiên {X(t), t ∈ T } được tham số hóa bởi thời gian t ∈ T được gọi là một quá trình ngẫu nhên (với mỗi t ∈ T , X(t) là một biến ngẫu nhiên) Quá trình ngẫu nhiên là công cụ toán học để mô hình hệ thống thay đổi ngẫu nhiên. .. lọc {Ft }, còn quá trình phương án đầu tư {θ(t)} khả đoán đối với {Ft } Gọi di (t) (t = 1, 2, , T ) là cổ tức mà chứng khoán i trả vào thời điểm t Cổ tức tích lũy được trả bởi chứng khoán i cho tới thời điểm t là Di (t) = t s=1 di (s) Dĩ nhiên, các cổ tức tương lai là các biến ngẫu nhiên và các quá trình cổ tức {di (t)} là các quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc {Ft } 21 Quá trình giá trị... chứng khoán i từ thời điểm t − 1 tới thời điểm t, và đặt θ(t) = (θ0 (t), θ1 (t), , θn (t)) Véc tơ θ(t) được gọi là phương án đầu tư ở thời điểm t và quá trình {θ(t), t = 1, 2, , T } được gọi là quá trình phương án đầu tư Quá trình θ(t) có thể thay đổi theo quá trình giá Vì hiện tại chúng ta không biết quá trình giá tương lai nên các phương án đầu tư θ(t) (t = 2, 3, , T ) là các biến ngẫu nhiên. .. , T } là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi n θi (t) {Si (t) + di (t)} , V (t) = t = 1, 2, , T, (2.1) i=0 với V (0) = n i=0 θi (1)Si (0) là giá trị phương án đầu tư ban đầu và V (t) (t ≥ 1) là giá trị phương án đầu tư ở thời điểm t Quá trình giá trị {V (t)} thích nghi với bộ lọc {Ft } vì các quá trình giá và cổ tức thích nghi với {Ft } và quá trình phương án đầu tư là quá trình khả đoán Định... các lợi suất của các chứng khoán được xét Đây là một trong các lý do tại sao chúng ta thường xét các quá trình lợi suất hơn các quá trình giá 2.1.2 Giá trị phương án đầu tư và tích phân ngẫu nhiên rời rạc Giả sử quá trình phương án đầu tư {θ(t)} tự tài trợ và ta đặt Gi (t) ≡ Si (t) + Di (t), t = 0, 1, , T, và i = 0, 1, , n Đại lượng Gi (t) biểu thị lợi nhuận thu được từ chứng khoán i tới thời điểm... -đo được và quá trình {X(t)} là martingale Mệnh đề 2.1.4 Giả sử quá trình {X(t)} là một martingale và quá trình {θ(t)} khả đoán Nếu {I(t)} định nghĩa bởi (2.13) khả tích thì tích phân ngẫu nhiên {I(t)} là một martingale Giá trị ban đầu V (0) trong (2.10) có thể được tính toán như sau Giả sử S0 (0) = 1 và xét các quá trình {G∗ (t), t = 0, 1, , T } với S0 (t) là đương kim Khi i đó, từ (2.9) và (2.10),... n) độc lập với Wm Vì vậy, quá trình {Wn , n = 0, 1, } có gia số độc lập Định nghĩa 2.2.1 (Du động ngẫu nhiên) Quá trình {Wn } với các biến ngẫu nhiên Xn độc lập cùng phân phối xác định bởi P {Xn = x} = 1 − P {Xn = y} = p, 0 < p < 1, y ≤ 0 < x được gọi là du động ngẫu nhiên Nói riêng, du động ngẫu nhiên được gọi là đối xứng nếu x = 1, y = −1, p = 1/2 Cho du động ngẫu nhiên {Wn }, ta thấy mỗi Wn có... Si (t) Quá trình {Ri (t), t = 0, 1, , T − 1} được gọi là quá trình lợi suất của chứng khoán i Khi cho lợi suất Ri (t) ta thu được: Si (t + 1) = (1 + Ri (t))Si (t) − di (t + 1) Vì vậy, nếu chúng ta biết giá ban đầu Si (0), quá trình lợi tức {di (t)} và quá trình lợi suất {Ri (t)} thì chúng ta có thể thu được quá trình giá {Si (t)} Đặt ∆V (t) ≡ V (t + 1) − V (t) Nếu phương án đầu tư là tự tài trợ... xét một quá trình ngẫu nhiên {X(t)} xác định trên đó Với mỗi ω ∈ Ω cố định, hàm Xω : t → Xω (t) được gọi là một quỹ đạo của {X(t)} Bây giờ, chúng ta xét tập các thời điểm T = {0, 1, , T } với T < ∞ và t = 0 là thời điểm hiện tại Xét một thị trường tài chính gồm có n + 1 chứng khoán ký hiệu lần lượt là 0, 1, 2, , n Trong đó, 0 là chứng khoán không rủi ro, còn n chứng khoán còn lại là các chứng khoán... , v(t, T ) t ≤ T Martingale và định lý định giá tài sản Giả sử Ft là các thông tin được biết ở thời điểm t Một biến ngẫu nhiên X được gọi là khả tích nếu E|X| < ∞ Một quá trình ngẫu nhiên {X(t)} được gọi là khả tích nếu E|X(t)| < ∞ với mọi t 27 Định nghĩa 2.1.6 (Kỳ vọng có điều kiện) Cho X là biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng có điều kiện của X khi biết Ft là một biến ngẫu nhiên Ft -đo được Z thỏa mãn: . vỡ nợ, du động ngẫu nhiên là cơ sở của mô hình nhị thức Mục đích của luận văn là tìm hiểu một số quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng của chúng trong kinh tế, tài chính. Luận văn trình bày các phân. kinh tế, tài chính. Tính không chắc chắn, sự biến động ngẫu nhiên theo thời gian là các thuộc tính cơ bản trong nền kinh tế cũng như trong thị trường tài chính. Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là. khoán với thời gian liên tục, giới thiệu một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng và các kết quả trong giải tích ngẫu nhiên được ứng dụng trong tài chính. Mô hình Black-Scholes, phương pháp trung