3 Mô hình thị trường chứng khoán với thời gian liên tục
3.2.5 Phương pháp trung hòa định trước
Trong phần này, chúng ta lấy trái phiếu chiết khấu không bị mất vì phá sản là đương kim. Ký hiệu giá của trái phiếu chiết khấu ở thời điểm t với thời điểm đáo hạn T là v(t, T) và giả sử giá của trái phiếu chiết khấu thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên
dv(t, T)
v(t, T) =r(t)dt+σv(t)dz
∗, 0≤t ≤T,
dưới độ đo xác suất trung hòa rủi ro P∗, ở đó σv(t) là độ biến động của trái phiếu chiết khấu và r(t) là lãi suất không rủi ro.
Giả sử {S(t)} là quá trình giá của một cổ phiếu không trả cổ tức thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên
dS
S =r(t)dt+σ(t)dz
∗, 0≤t≤T,
dưới P∗, ở đó σ(t) là độ biến động của giá cổ phiếu. Khi cổ phiếu không trả cổ tức, giá trị
ST(t)≡ S(t)
là giá định trước. Từ quy tắc chia Ito suy ra: dST
ST =−σv(t) (σ(t)−σv(t))dt+ (σ(t)−σv(t))dz∗. Quá trình {zT(t)} được định nghĩa sao cho
(σ(t)−σv(t))dzT =−σv(t) (σ(t)−σv(t))dt+ (σ(t)−σv(t))dz∗.
Từ định lý Girsanov suy ra tồn tại độ đo xác suất PT sao cho dưới độ đo này thì quá trình {zT(t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Ta có:
dST
ST =σT(t)dzT, σT(t)≡σ(t)−σv(t).
Độ đo xác suất mớiPT được gọi là độ đo xác suất trung hòa định trước (forward- neutral probability measure) vì quá trình giá định trước {ST(t)} là một martin- gale dưới PT.
Bây giờ chúng ta xét một tài sản phái sinh kiểu châu Âu viết trên cổ phiếu với hàm thu hoạchh(x)và thời điểm đáo hạn T. Giá của tài sản phái sinh ở thời điểm t được ký hiệu là C(t). Giả sử phái sinh được đáp ứng bởi một chiến lược đầu tư tự tài trợ gồm việc mua bánθ(t) đơn vị cổ phiếu cơ sở và b(t)đơn vị trái phiếu chiết khấu. Tức là:
C(t)≡b(t)v(t, T) +θ(t)S(t) =C(0) + Z t 0 b(u)dv(u, T) + Z t 0 θ(u)dS(u), và C(T) = h(S(T)) vào lúc đáo hạn. Theo công thức Ito ta có:
CT(t) = CT(0) +
Z t 0
θ(u)σT(u)ST(u)dzT(u), 0≤t ≤T,
ở đó CT(t) = C(t)/v(t, T). Từ đó, quá trình {CT(t)} là một martingale dưới độ đo xác suất trung hòa định trước PT. Hơn nữa, tại thời điểm đáo hạn T thì C(T) = h(S(T)). Do đó:
ở đó ET là ký hiệu kỳ vọng lấy theo PT.
Tóm lại, để tính giá C(t) của tài sản phái sinh ở thời điểm t thực hiện các bước sau:
1. Tìm một độ đo xác suất PT sao cho dưới độ đo xác suất này thì {ST(t)}
là một martingale.
2. Tìm giá trị kỳ vọng (3.42).
Phương pháp này được gọi là phương pháp trung hòa định trước (forward- neutral method).
Lợi thế của phương pháp trung hòa định trước so với phương pháp trung hòa rủi ro được thể hiện rõ trong nền kinh tế lãi suất ngẫu nhiên. Từ (3.39) và (3.42) ta có: C(t) = B(t)E∗ X B(T) Ft =v(t, T)ET[X|Ft],
ở đó X là biến ngẫu nhiên Ft-đo được, biểu thị thu hoạch của phái sinh. Đối với phương pháp trung hòa rủi ro, chúng ta phải biết phân phối hai chiều của (X, B(T)). Trong khi đó, đối với phương pháp trung hòa định trước thì ta chỉ cần biết phân phối biên duyên của X.
Ví dụ 3.2.4. Trong ví dụ này, chúng ta giả sử tồn tại một độ đo xác suất rủi ro trung tính P∗ và giả sử quá trình giá cổ phiếu {S(t)} thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên
dS
S =r(t)dt+σ1dz1+σ2dz2, 0≤t≤T,
dưới P∗, ở đó σi, i = 1,2 là các hằng số và r(t) là lãi suất không rủi ro. Các chuyển động Brown tiêu chuẩn {z1(t)} và {z2(t)} độc lập. Giả sử giá {v(t, T)}
của trái phiếu chiết khấu không bị mất vì phá sản thỏa mãn phương trình dv(t, T)
độ biến động σv(t)là hàm tất định của t. Covarian tức thời giữa chúng được cho bởi dS(t) S(t) dv(t, T) v(t, T) =σ1σv(t)dt,
và hệ số tương quan làσ1/pσ21+σ22. Theo như trên, tồn tại độ đo xác suất trung hòa định trước PT sao cho dưới độ đo này ta có
dST
ST = (σ1−σv(t))dz1T +σ2dzT2, 0≤t≤T.
Ở đây, {ziT(t)}, i = 1,2 là các chuyển động Brown tiêu chuẩn, độc lập dưới PT. Bây giờ, ta xác định {zT(t)} là một chuyển động Brown tiêu chuẩn khác dưới PT thỏa mãn
σ(t)dzT d= (σ1−σv(t))dzT1 +σ2dzT2, 0≤t≤T, ở đó ký hiệu X =d Y thể hiện X, Y có cùng phân phối và
σ2(t) = σ21+σ22−2σ1σv(t) +σ2v(t). Xét quá trình {SbT(t)} được xác định bởi
dSbT b
ST =σ(t)dzT, 0≤t≤T.
Khi đó, hai quá trình {SbT(t)} và {ST(t)} có cùng phân phối. Giả sử chúng ta cần định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu với thời điểm đáo hạn T và giá thực hiện K viết trên cổ phiếu. Trong mệnh đề 3.2.3, thay t bởi T và thay S bởi ST(0) =S/v(0, T). Khi đó: ET hST(T)−K + i = S v(0, T)Φ(d)−KΦ(d−ψ), với S(0) =S và d= ln[S/Kv(0, T)] ψ + ψ 2. Suy ra phí quyền chọn mua là