3 Mô hình thị trường chứng khoán với thời gian liên tục
3.2.7 Định giá phái sinh lãi suất
Trong phần này, chúng ta xét một dạng phái sinh lãi suất phổ biến là các quyền chọn viết trên trái phiếu. Giả sử v(t, τ)là giá ở thời điểm t của trái phiếu chiết khấu không bị mất vì phá sản đáo hạn vào thời điểm τ và xét một quyền chọn kiểu châu Âu viết trênv(t, τ)với thời điểm đáo hạn T < τ. Gọih(x) là hàm thu hoạch của quyền chọn. Theo phương pháp trung hòa định trước (3.42), giá của quyền chọn ở thời điểm t là
C(t) = v(t, T)ET[h(v(T, τ))|Ft], t ≤T < τ.
Do đó, chúng ta chỉ cần xác định phân phối của v(T, τ) dưới độ đo xác suất trung hòa định trước PT.
Giả thiết rằng thị trường không có các cơ hội có độ chênh thị giá và giá của trái phiếu chiết khấu thỏa mãn phương trình
dv(t, τ)
v(t, τ) =r(t)dt+σ(t, τ)dz
∗, 0≤t ≤τ, (3.57)
dưới độ đo xác suất trung hòa rủi roP∗ cho trước, ở đó r(t)là lãi suất giao ngay và {z∗(t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn dướiP∗. Ký hiệu giá định trước của trái phiếu là
vT(t, τ) = v(t, τ)
v(t, T), t≤T < τ.
Vìv(t, T)cũng thỏa mãn(3.57) với độ biến độngσ(t, τ) được thay bởi σ(t, T)nên theo quy tắc chia Ito ta có:
dvT(t, τ)
vT(t, τ) =µT(t)dt+ [σ(t, τ)−σ(t, T)]dz∗, 0≤t ≤T,
ở đó µT(t)≡ −σ(t, T)(σ(t, τ)−σ(t, T)). Để quá trình {vT(t, τ)} là một martingale dưới PT thì
µT(t)dt+ [σ(t, τ)−σ(t, T)]dz∗ = [σ(t, τ)−σ(t, T)]dzT, ở đó {zT(t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn dưới PT. Khi đó:
dvT(t, τ)
Vì v(T, τ) = vT(T, τ) nên chúng ta có thể xác định được phân phối của v(T, τ) dưới PT từ phương trình (3.58).
Ví dụ 3.2.6. (Mô hình affine) Xét mô hình affine (3.50). Từ (3.54) ta có vT(t, τ) = v(t, τ) v(t, T) =e aτ(t)−aT(t)+(bτ(t)−bT(t))r(t). Ngoài ra, ta có: dvT(t, τ) vT(t, τ) = (bτ(t)−bT(t))σ(t, r(t)){−bT(t)σ(t, r(t))dt+dz∗}. Biến đổi độ đo sao cho
−bT(t)σ(t, r(t))dt+dz∗ =dzT, và do đó
dvT(t, τ)
vT(t, τ) = (bτ(t)−bT(t))σ(t, r(t))dzT, 0≤t ≤T.
Nói riêng, trong trường hợp hệ số khuếch tán σ(t)là hàm tất định của t, β1(t) = σ2(t) và β2(t) = 0. Khi đó, từ (3.55) ta có: bτ(t)−bT(t) =− Z τ T eRtsα2(u)duds. Do đó dvT(t, τ) vT(t, τ) =θ(t)dz T, 0≤t≤T, ở đó θ(t) = −σ(t) Z τ T e Rs t α2(u)du ds là hàm tất định của t. Đặt σ2F = Z T 0 θ2(t)dt. Theo mệnh đề 3.2.3 ta có: ET {vT(T, τ)−K}+|Ft =vT(t, τ)Φ(d)−KΦ(d−σF) với d= ln[vT(t, τ)/K] σF + σF 2 .
Vì vT(T, τ) =v(T, τ) và vT(t, τ) =v(t, τ)/v(t, T) nên phí quyền chọn mua là C(t) =v(t, τ)Φ(d)−Kv(t, T)Φ(d−σF), t≤T < τ.
KẾT LUẬN
Luận văn đã giải quyết được các công việc chính sau:
• Chỉ ra ứng dụng một số kết quả của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên trong mô hình thị trường chứng khoán với thời gian rời rạc và liên tục.
• Trình bày mô hình nhị thức dựa trên cơ sở lý thuyết du động ngẫu nhiên.
• Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn mua kiểu châu Âu.
• Trình bày phương pháp trung hòa rủi ro và phương pháp trung hòa định trước để tính giá của chứng khoán phái sinh.
• Định giá trái phiếu chiết khấu và phái sinh lãi suất.
Tuy nhiên, do thời gian thực hiện luận văn không nhiều và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học trong tài chính, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật.
[3] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài chính căn bản, Nhà xuất bản Văn hóa Thông tin.
[4] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[5] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[6] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất và ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[7] Elliott R.J., Kopp P.E. (2005), Mathematics of financial markets, 2nd edi- tion, Springer.
[8] Hull J.C. (2012),Options, Futures, and Other Derivatives, 8th edition, Pear- son Education.
[9] Kijima M. (2003), Stochastic processes with applications to finance, Chap- man & Hall/CRC.