Quá trình Poisson

3 Mô hình thị trường chứng khoán với thời gian liên tục

3.1.2 Quá trình Poisson

Một quá trình ngẫu nhiên {N(t), t ≥ 0} được gọi là một quá trình đếm nếu N(t) biểu thị số lần một biến cố nào đó xảy ra cho đến thời điểm t. Một quá trình đếm là một quá trình với thời gian liên tục, lấy giá trị nguyên không âm và không giảm theo thời gian t. Số gia N(t)−N(s), s < t đếm số lần biến cố xảy ra trong khỏng thời gian (s, t]. Thường giả thiết rằng N(0) = 0.

Định nghĩa 3.1.3. Một quá trình đếm {N(t), t ≥ 0} được gọi là quá trình Poisson nếu:

1. N(0) = 0.

2. {N(t)} có gia số độc lập.

3. Với 0 ≤ s < t thì biến ngẫu nhiên N(t)−N(s) có phân phối Poisson với tham số λ(t−s).

Số λ >0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson.

Ví dụ 3.1.1. Cho ξn, n = 1,2, . . . là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố, và gọi {N(t), t ≥ 0} là quá trình Poisson với cường độ λ, độc lập với ξ_n, n= 1,2, . . . Ta định nghĩa η(t) = N(t) X i=1 ξ_i, t ≥0,

và η(t) = 0 nếu N(t) = 0. Quá trình {η(t), t ≥ 0} được gọi là quá trình Poisson phức hợp.

Một quá trình Poisson đếm số lần biến cố ngẫu nhiên xảy ra trong thời gian nào đó. Vì vậy, quá trình Poisson có thể được dùng để mô tả số lần bồi thường trên một công ty bảo hiểm vì tai nạn không dự kiến trước, chẳng hạn như các tai nạn giao thông. Với lần bồi thường thứ n, công ty phải trả một lượng tiền ξ_n theo một hợp đồng. Để thay thế, công ty thu cđơn vị tiền từ các khách hàng (gọi là mức phí bảo hiểm rủi ro) trên mỗi đơn vị thời gian. Lượng tiền mà công ty nắm giữ ở thời điểm t được cho bởi

Y(t) = u+ct−

N(t)

X

i=1

ξ_i, t≥0,

ở đó Y(0) =u là vốn ban đầu. Quá trình {Y(t), t≥0} được gọi là quá trình rủi ro và bài toán đưa ra là tìm xác suất mà công ty phá sản, tức là P{Y(t) ≤ 0}

với t nào đó. Vì {N(t)} và ξn là độc lập nên

E[η(t)|N(t) = n] =E[ξ₁+· · ·+ξ_n |N(t) =n] =nE[ξ₁]. Do vậy, ta có:

E[η(t)] = E[E[η(t)|N(t)]] =E[ξ₁]E[N(t)].

Phương trình này được gọi là mật độ Wald. Nếu cường độ của quá trình Poisson là λ, tức là E[N(t)] =λt, phụ phí an toàn ρ là

ρ= ^c