CƠ sở lý THUYẾT hàm NGẪU NHIÊN và ỨNG DỤNG TRONG KHÍ tượ NG THỦY văn

Lời nói đầu Trong hai chục năm gần ngời ta thấy công cụ toán học lý thuyết hm ngẫu nhiên đợc sử dụng rộng rãi khí tợng học v thuỷ văn học Cơ sở điều ny l ý tởng xem xét giá trị tức thời ghi đợc trình v trờng không gian khí tợng thuỷ văn nh thể riêng biệt trình ngẫu nhiên hay trờng ngẫu nhiên no Cách tiếp cận nh cho phép không cần xét đặc điểm giá trị tức thời riêng rẽ trờng khí tợng thuỷ văn với mối phụ thuộc vo toạ độ không gian v biến trình thời gian phức tạp v không rõ nét v chuyển sang nghiên cứu số tính chất trung bình tập hợp thống kê thể ứng với tập điều kiện bên ngoi cụ thể no Quan điểm lý thuyết xác suất nghiên cứu tợng khí tợng v thuỷ văn học có sử dụng công cụ lý thuyết hm ngẫu nhiên tỏ hiệu lĩnh vực: lý thuyết rối, xây dựng phơng pháp dự báo thời tiết hạn di, phân tích khách quan trờng khí tợng, đánh giá tính đại diện số liệu quan trắc, độ xác dụng cụ đo, giải vấn đề hợp lý hoá phân bố mạng lới trạm khí tợng, xây dựng phơng pháp dự báo dòng chảy sông v đặc trng khí tợng thuỷ văn, nh nhiều vấn đề khác Đóng góp to lớn vo hớng ny l công trình đặt móng A.N Kolmogorov nh kết nghiên cứu A.M Obukhov, A.S Monin, A.M Iaglom, M.I Iuđin, L.S Ganđin, N.A Bagrov, O.A Đrozđov, E.P Borisenkov, N.A Kartvelishvili, I.M Alekhin v nh khoa học khí tợng thuỷ văn hng đầu nớc ta Từ dẫn đến phải mở rộng giáo trình lý thuyết xác suất trờng khí tợng thuỷ văn v đa khoá chuyên đề sở lý thuyết hm ngẫu nhiên v điều ny đợc thực lần vo năm 1961 Trờng khí tợng thuỷ văn Leningrat Cuốn sách ny đợc viết sở giáo trình lý thuyết hm ngẫu nhiên m tác giả giảng dạy nhiều năm cho sinh viên chuyên ngnh dự báo thời tiết phơng pháp số trị Trờng khí tợng thuỷ văn Leningrat, v l giáo trình học tập cho sinh viên v nghiên cứu sinh trờng đại học khí tợng thuỷ văn v khoa tơng ứng trờng đại học tổng hợp nh cho rộng rãi chuyên gia khí tợng thuỷ văn Cuốn sách đợc sử dụng nh l ti liệu học tập cho sinh viên v kỹ s chuyên ngnh khác quan tâm đến lý thuyết hm ngẫu nhiên v ứng dụng Lý biên soạn sách nh xuất phát từ chỗ cha có ti liệu giáo khoa lý thuyết hm ngẫu nhiên đáp ứng cách đầy đủ nhu cầu chuyên gia v sinh viên ngnh khí tợng thuỷ văn Hơn nữa, thâm nhập ngy cng tăng lý thuyết hm ngẫu nhiên vo khí tợng học v thuỷ văn học đòi hỏi chuyên gia khí tợng, thuỷ văn phải nhanh chóng v chủ động chiếm lĩnh Lý thuyết hm ngẫu nhiên, phận lý thuyết xác suất, phát triển nhanh chóng thập niên gần v đợc ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học v kỹ thuật Trớc hết phải kể đến ứng dụng lý thuyết hm ngẫu nhiên kỹ thuật vô tuyến, đặc biệt lý thuyết điều khiển tự động m nhu cầu chúng, đến lợt mình, lại thúc đẩy phát triển lý thuyết ny Sự ứng dụng rộng rãi lý thuyết hm ngẫu nhiên khí tợng thuỷ văn muộn chút Do có hai loại giáo trình lý thuyết hm ngẫu nhiên Ti liệu loại thứ trình by chặt chẽ lý thuyết trình xác suất dựa toán học trình độ cao (thí dụ nh J Dub "Các trình xác suất", I A Rozanov "Các trình ngẫu nhiên dừng") Những sách ny dùng cho chuyên gia toán nên khó sinh viên trờng khí tợng thuỷ văn nh kỹ s cha đợc trang bị toán học đầy đủ Loại thứ hai l chuyên khảo v sách giáo khoa trình by sở lý thuyết hm ngẫu nhiên tơng ứng với nhu cầu lý thuyết điều khiển tự động v kỹ thuật vô tuyến Việc sử dụng sách loại ny chuyên gia khí tợng thuỷ văn bị khó khăn lý thuyết hm ngẫu nhiên v phơng pháp lý thuyết điều khiển tự động hay kỹ thuật vô tuyến gắn chặt với nhau, khó tách biệt đợc Ngoi ra, cha phản ánh đợc khía cạnh quan trọng ứng dụng lý thuyết ny vo khí tợng thuỷ văn học Cuốn sách ny nhằm độc giả với kiến thức toán đợc trang bị mức giáo trình toán cao cấp dnh trờng đại học chuyên ngnh khí tợng thuỷ văn Trong trình by, buộc phải dùng đến phơng pháp v khái niệm quen thuộc, chúng đợc diễn giải cách ngắn gọn (ví dụ, số dẫn liệu từ lý thuyết phơng trình tích phân, vi khái niệm đại số tuyến tính, hm đelta v.v ) Vì số chuyên gia khí tợng thuỷ văn cha có đủ kiến thức lý thuyết xác suất, chơng khái quát số kiến thức từ lý thuyết xác suất m sau ny dùng đến trình by lý thuyết hm ngẫu nhiên Việc trình by chi tiết vấn đề ny có sách giáo khoa lý thuyết xác suất, chẳng hạn giáo trình tiếng E.S Ventxel [4] Độc giả no quen với lý thuyết xác suất bỏ qua chơng ny Nội dung trình by sách không nhằm bao quát đầy đủ lý thuyết hm ngẫu nhiên, m chủ yếu xét khía cạnh no lý thuyết có ứng dụng rộng rãi khí tợng thuỷ văn học Ngoi ra, tác giả chủ yếu tập trung trình by cho đơn giản v dễ hiểu, không bị gò bó yêu cầu chặt chẽ ton diện mặt toán học Cuốn sách gồm hai phần Phần thứ trình by sở lý thuyết hm ngẫu nhiên, bên cạnh việc xét trình ngẫu nhiên chiều, ý nhiều đến trờng ngẫu nhiên không gian Phần thứ hai xét số bi toán khí tợng, thuỷ văn đợc giải phơng pháp lý thuyết hm ngẫu nhiên Tuy nhiên hon ton không đặt mục tiêu tổng quan hệ thống tất công trình nghiên cứu giải bi toán khí tợng thuỷ văn phơng pháp lý thuyết hm ngẫu nhiên Những tổng quan nh ứng dụng lý thuyết hm ngẫu nhiên khí tợng thuỷ văn tìm thấy nhiều công trình tác giả v ngoi nớc [5,18,20, 14,45,9,57 ] Trong sách ny lựa chọn số bi toán khí tợng v thuỷ văn tiêu biểu cho phép minh hoạ ứng dụng phơng pháp lý thuyết hm ngẫu nhiên trình by phần đầu sách V tập trung chủ yếu vo vấn đề phơng pháp luận Tác giả hy vọng sách giúp đông đảo nh khí tợng thuỷ văn lĩnh hội ý tởng v phơng pháp lý thuyết hm ngẫu nhiên v ứng dụng chúng vo thực tiễn khí tợng thủy văn học Tác giả xin by tỏ lòng biết ơn tới N.A Bagrov, O.A Đrozđov v M.I Iuđin có góp ý quý giá nội dung v cấu trúc sách Tác giả đặc biệt cảm ơn L.S Ganđin đọc ton văn thảo v nêu nhiều nhận xét giúp tác giả lu ý chuẩn bị xuất Phần - Cơ sở lý thuyết hm ngẫu nhiên Chơng 1: Một số khái niệm lý thuyết xác suất 1.1 Đại lợng ngẫu nhiên v luật phân bố Đại lợng ngẫu nhiên l đại lợng m tiến hnh loạt phép thử điều kiện nh lần nhận đợc giá trị ny giá trị khác hon ton trớc đợc Ngời ta chia đại lợng ngẫu nhiên thnh hai dạng l đại lợng ngẫu nhiên rời rạc v đại lợng ngẫu nhiên liên tục Đại lợng ngẫu nhiên rời rạc l đại lợng ngẫu nhiên m giá trị liệt kê đợc, tức l đánh số thứ tự tập số tự nhiên Còn đại lợng ngẫu nhiên liên tục l đại lợng ngẫu nhiên m giá trị phủ đầy đoạn trục số, v đánh số đợc Ví dụ đại lợng ngẫu nhiên rời rạc l số điểm gieo xúc xắc Đại lợng ngẫu nhiên ny với lần thí nghiệm nhận sáu giá trị: 1, 2, 3, 4, Đại lợng ngẫu nhiên đợc xem l rời rạc nhận số nguyên, số hữu tỷ Khi tập giá trị đại lợng ngẫu nhiên l vô hạn Đại lợng ngẫu nhiên liên tục l đại lợng ngẫu nhiên m kết thí nghiệm nhận giá trị số thực no khoảng vi khoảng no Ví dụ nhiệt độ không khí, áp suất không khí độ lệch chúng so với trung bình chuẩn nhiều năm, thnh phần vectơ vận tốc gió coi l đại lợng ngẫu nhiên liên tục Sai số dụng cụ đo xem l đại lợng ngẫu nhiên Thông thờng, sai số ny l đại lợng ngẫu nhiên dạng liên tục Ta qui ớc ký hiệu đại lợng ngẫu nhiên chữ hoa: A, B, C, X, Y giá trị chúng l chữ in thờng tơng ứng: a, b, c, x, y Giả sử đại lợng ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1, x2, , xn với xác suất p1, p2, , pn Khi liệt kê đợc giá trị m đại lợng ngẫu nhiên có v cho trớc xác suất m giá trị nhận, ta hon ton xác định đợc đại lợng ngẫu nhiên Hệ thức xác lập mối liên hệ giá trị đại lợng ngẫu nhiên v xác suất tơng ứng chúng gọi l luật phân bố đại lợng ngẫu nhiên Đối với đại lợng ngẫu nhiên rời rạc, luật phân bố cho dới dạng bảng m hng l giá trị có đại lợng ngẫu nhiên xi, v hng khác l xác suất tơng ứng pi x1x2x3 xn p1p2p3 pn Khi số lợng giá trị đại lợng ngẫu nhiên l hữu hạn vô hạn, tổng xác suất hng thứ hai bảng, giống nh tổng xác suất nhóm đầy đủ kiện xung khắc, pi = Đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục lập bảng tơng tự nh vậy, liệt kê đợc giá trị Ngoi ra, nh thấy sau ny, xác suất đại lợng ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị cụ thể không, xác suất m nhận giá trị khoảng vô bé xung quanh giá trị khác không Để đặc trng đầy đủ cho đại lợng ngẫu nhiên, loại rời rạc lẫn loại liên tục, ngời ta sử dụng luật phân bố tích phân, gọi l hm phân bố Luật phân bố tích phân F(x) đại lợng ngẫu nhiên X đợc định nghĩa l xác suất đại lợng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ số x no đó: F(x) = P(X[...]... đại l ng ng u nhiên nh l toạ độ của điểm ng u nhiên trong kh ng gian ba chiều Một cách t ng tự, hệ n đại l ng ng u nhiên sẽ đợc xem nh toạ độ của điểm ng u nhiên trong kh ng gian n chiều C ng có thể xét hệ đại l ng ng u nhiên nh các thnh phần của vectơ ng u nhiên trên mặt ph ng, trong kh ng gian ba chiều hoặc n chiều T ng ng với điều ny, các giá trị ng u nhiên xi, yi của hệ các đại l ng ng u nhiên. .. các nhân tố ng u nhiên Khi đó đại l ng ng u nhiên đặc trng b ng số của quá trình đang xét l t ng của một chuỗi các đại l ng ng u nhiên m mỗi một trong ch ng tuân theo một luật phân bố no đó Nếu đại l ng ng u nhiên l t ng của một số lớn các đại l ng ng u nhiên độc lập hoặc phụ thuộc yếu, v mỗi một trong các đại l ng ng u nhiên thnh phần có tỷ tr ng đ ng góp kh ng lớn lắm so với t ng chung, thì luật... độ kh ng khí, áp suất, độ ẩm Trong các tr ng hợp ny ta sẽ nói r ng có một hệ các đại l ng ng u nhiên Các tính chất của hệ đại l ng ng u nhiên kh ng đợc mô tả hết bởi nh ng tính chất của các đại l ng ng u nhiên ri ng rẽ, ch ng còn bao hm cả nh ng mối quan hệ t ng hỗ giữa các đại l ng ng u nhiên của hệ Ch ng ta sẽ xem hệ hai đại l ng ng u nhiên nh l các toạ độ của điểm ng u nhiên trên mặt ph ng, còn... đến kh ng của tỷ số giữa t ng các mômen trung tâm tuyệt đối bậc ba 3[Xi] của các đại l ng ng u nhiên Xi v lập ph ng độ lệch bình ph ng trung bình của đại l ng ng u nhiên t ng c ng X khi t ng dần số các số h ng, v đặc trng cho sự nhỏ t ng đối của t ng số h ng ng u nhiên trong t ng chung Đ ng cong phân bố của luật phân bố chuẩn dẫn ra trên hình 1.7 có tên l lát cắt Ơle, hay đ ng cong Gauxơ Đ ng cong phân... c, m đại l ng ng u nhiên nhận nó với xác suất b ng 1 Từ đó: M[c] = c.1 = c (1.9.1) 2 Ph ng sai của đại l ng kh ng ng u nhiên b ng kh ng D[c] = M[(cmc)2] = M[(cc) (1.9.2) 3 Nếu c l đại l ng kh ng ng u nhiên, thì: M[cX] = cM[X], (1.9.3) D[cX] = c2D[X], (1.9.4) tức l có thể đa đại l ng kh ng ng u nhiên ra ngoi dấu kỳ v ng toán học v có thể đa đại l ng kh ng ng u nhiên ra ngoi dấu ph ng sai nhng sau đó... (1.9.13) Đối với các đại l ng ng u nhiên kh ng t ng quan Rxy = 0, từ (1.9.13) ta nhận đợc định lý tích kỳ v ng toán học M[XY] = M[X].M[Y] (1.9.15) T ng quát hoá định lý ny cho n đại l ng ng u nhiên chỉ đ ng khi ch ng l các đại l ng ng u nhiên độc lập 1.10 Luật phân bố chuẩn của hệ các đại l ng ng u nhiên Xét hệ hai đại l ng ng u nhiên vectơ ng u nhiên hai chiều (X,Y) Ng i ta nói r ng hệ ny có luật phân... v ch ng lập thnh ma trận t ng quan chuẩn hoá m các phần tử trên đ ng chéo chính của nó b ng đơn vị, rx x = 1 i j 1 r12 1 rij = r1n r2 n 1 (1.8.22) 1.9 Các định lý về đặc trng số Đối với các đặc trng số của đại l ng ng u nhiên nh ng định lý sau đây l đ ng: 1 Kỳ v ng toán học của đại l ng kh ng ng u nhiên b ng chính nó Đại l ng kh ng ng u nhiên c có thể đợc coi nh một đại l ng ng u nhiên. .. thấy r ng, nếu Rx,y 0, thì X v Y l nh ng đại l ng phụ thuộc Đại l ng: rxy = R xy (1.8.14) x y đợc gọi l hệ số t ng quan của các đại l ng ng u nhiên X v Y Đối với các đại l ng ng u nhiên độc lập thì rxy = 0 Điều ng c lại sẽ kh ng đ ng, tức rxy = 0 l điều kiện cần để X v Y độc lập, nhng cha phải l điều kiện đủ Các đại l ng ng u nhiên X v Y có rxy = 0 đợc gọi l các đại l ng ng u nhiên kh ng t ng quan... l ph ng sai của t ng các đại l ng ng u nhiên kh ng t ng quan b ng t ng các ph ng sai của ch ng Định lý ny đợc gọi l định lý c ng ph ng sai 6 Đối với kỳ v ng toán học của tích các đại l ng ng u nhiên c ng thức sau l đ ng: M[XY] = M[X].M[Y] + Rxy (1.9.13) Mômen t ng quan có thể đợc biểu diễn dới d ng: Rxy = M[(Xmx)(Ymy)] = M[XY] mxM[Y] myM[X] + mxmy = M[XY] M[X].M[Y], (1.9.14) từ đó suy ra c ng thức... của đại l ng ng u nhiên suy ra tính kh ng t ng quan của ch ng Với t cách l các đặc trng số của hệ, từ n đại l ng ng u nhiên X1, X2, , Xn ta nhận đợc n kỳ v ng toán học m x , i = 1,2, ,n của các đại l ng ng u nhiên ban đầu, n i ph ng sai D xi của ch ng v n(n1) mômen t ng quan R xi x j : R xi x j = M[(Xi- m xi )(Xj- m x j )] Ph ng sai D xi (1.8.15) có thể xem nh mômen t ng quan của đại l ng ng u nhiên Xi ... cứu giải bi toán khí t ng thuỷ văn ph ng pháp lý thuyết hm ng u nhiên Nh ng t ng quan nh ng d ng lý thuyết hm ng u nhiên khí t ng thuỷ văn tìm thấy nhiều c ng trình tác giả v ngoi nớc [5,18,20,... 1.9 Các định lý đặc trng số Đối với đặc trng số đại l ng ng u nhiên định lý sau l đ ng: Kỳ v ng toán học đại l ng kh ng ng u nhiên Đại l ng kh ng ng u nhiên c đợc coi nh đại l ng ng u nhiên có giá... mối quan hệ t ng hỗ đại l ng ng u nhiên hệ Ch ng ta xem hệ hai đại l ng ng u nhiên nh l toạ độ điểm ng u nhiên mặt ph ng, hệ ba đại l ng ng u nhiên nh l toạ độ điểm ng u nhiên kh ng gian ba chiều