CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN

CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN Kazakevits D I Biên dịch: Phạm Văn Huấn, Nguyễn Thanh Sơn, Phan Văn Tân NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2005 Từ khoá: Tần suất, mật độ, phân bố, xác suất, ngẫu nhiên, thống kê, thể hiện, phổ, cấu trúc, tương quan, kỳ vọng, phương sai, mô men, số đông, số giữa, độ nhọn, đồng nhất, phù hợp, tiêu, Tài liệu Thư viện điện tử Đại học Khoa học Tự nhiên sử dụng cho mục đích học tập nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm hình thức chép, in ấn phục vụ mục đích khác không chấp thuận nhà xuất tác giả ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đ I KAZAKEVITS CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN Người dịch: Phạm Văn Huấn Nguyễn Thanh Sơn Phan Văn Tân Hiệu đính: Nguyễn Văn Tuyên NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI LỜI GIỚI THIỆU Lý thuyết xác suất thống kê tốn học nói chung lý thuyết hàm ngẫu nhiên nói riêng cơng cụ tốn học quan trọng sử dụng rộng rãi hiệu ngành khoa học khí tượng, thủy văn hải dương học Trong chương trình đào tạo chun ngành khí tượng, thủy văn hải dương học, việc ứng dụng phương pháp thống kê lý thuyết trình ngẫu nhiên có mặt nhiều mơn học thể hình thức khác Tuy nhiên, nước ta chưa có tài liệu giảng dạy dùng chuyên cho ngành khí tượng thủy văn, sở lý thuyết xác suất thống kê tốn học trình bày đầy đủ, hệ thống dễ hiểu trình độ tốn tương ứng sinh viên nhóm ngành Cuốn “Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng khí tượng thủy văn” Đ I Kazakevits, người giảng dạy toán học cao cấp lý thuyết xác suất thống kê nhiều năm Trường đại học khí tượng thủy văn Lêningrat, tỏ đáp ứng tốt yêu cầu Ngoài ra, tác giả sách am hiểu có cơng tổng quan số cơng trình ứng dụng cơng cụ lý thuyết hàm ngẫu nhiên nghiên cứu khí tượng, thủy văn, hải dương học; vấn đề phương pháp áp dụng hợp lý hiệu quả, đặc thù thao tác với tập liệu khí tượng thủy văn tính tốn, Như sách vừa có tính chất giáo khoa vừa chun khảo bổ ích khơng cho sinh viên học tập mà tài liệu tham khảo cho nghiên cứu sinh người nghiên cứu Hội đồng khoa học Khoa Khí tượng thủy văn hải dương học định dịch nguyên sách làm giáo trình giảng dạy mơn học “Lý thuyết trình ngẫu nhiên” cho sinh viên bậc đại học ngành khí tượng, thủy văn hải dương học Trường đại học khoa học tự nhiên Nội dung sách liên quan nhiều đến kiến thức tốn trình độ cao, dịch chắn không tránh khỏi khiếm khuyết liên quan đến dịch thuật in ấn Chúng mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Những người dịch MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU PHẦN - CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN 11 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 11 1.1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN BỐ 11 1.2 CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 14 1.3 LUẬT PHÂN BỐ POATXÔNG 17 1.4 LUẬT PHÂN BỐ ĐỀU 18 1.5 LUẬT PHÂN BỐ CHUẨN 20 1.6 LUẬT PHÂN BỐ RƠLE VÀ MĂCXOEN 23 1.7 HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN BỐ CỦA CHÚNG 25 1.8 CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 30 1.9 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẶC TRƯNG SỐ 33 1.10 LUẬT PHÂN BỐ CHUẨN CỦA HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 35 1.11 LUẬT PHÂN BỐ CỦA HÀM CÁC ĐỐI SỐ NGẪU NHIÊN 38 1.12 HÀM ĐẶC TRƯNG 44 Chương HÀM NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 49 2.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM NGẪU NHIÊN 49 2.2 CÁC QUI LUẬT PHÂN BỐ QUÁ TRÌNH NHẪU NHIÊN 50 2.3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 51 2.4 HỆ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN HÀM TƯƠNG QUAN QUAN HỆ 55 2.5 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG 57 2.6 TÍNH EGODIC CỦA Q TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG 62 2.7 HÀM CẤU TRÚC 64 2.8 GIỚI HẠN CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 66 2.9 ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGẪU NHIÊN 66 2.10 TÍCH PHÂN CỦA HÀM NGẪU NHIÊN 70 2.11 CÁC HÀM NGẪU NHIÊN PHỨC 72 2.12 TRƯỜNG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NÓ 74 2.13 TRƯỜNG NGẪU NHIÊN ĐỒNG NHẤT VÀ ĐẲNG HƯỚNG 76 2.14 TRƯỜNG VÉCTƠ NGẪU NHIÊN 79 Chương3 PHÂN TÍCH ĐIỀU HỒ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG VÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN ĐỒNG NHẤT 81 3.1 CÁC QUÁ TRÌNH DỪNG CÓ PHỔ RỜI RẠC 82 3.2 CÁC QUÁ TRÌNH DỪNG CÓ PHỔ LIÊN TỤC 85 3.3 PHÂN TÍCH ĐIỀU HOÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN ĐỒNG NHẤT 93 Chương4 BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH Q TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG 98 4.1 BIẾN ĐỔI HÀM NGẪU NHIÊN BẰNG TỐN TỬ TUYẾN TÍNH 98 4.2 BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH DƯỚI DẠNG PHỔ 99 4.3 MẬT ĐỘ PHỔ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH Q TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG 102 4.4 NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CĨ HỆ SỐ HẰNG SỐ 104 Chương NỘI NGOẠI SUY VÀ LÀM TRƠN HÀM NGẪU NHIÊN 110 5.1 ĐẶT BÀI TOÁN 110 5.2 NỘI, NGOẠI SUY TUYẾN TÍNH TỐI ƯU VÀ LÀM TRƠN HÀM NGẪU NHIÊN CHO TRÊN MỘT SỐ ĐIỂM HỮU HẠN 112 5.3 NGOẠI SUY TUYẾN TÍNH TỐI ƯU VÀ LÀM TRƠN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CHO TRÊN KHOẢNG VÔ HẠN 116 5.4 LÀM TRƠN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CHO TRÊN KHOẢNG VÔ HẠN (−∞,+∞) 120 5.5 NGOẠI SUY VÀ LÀM TRƠN HÀM NGẪU NHIÊN CHO TRÊN KHOẢNG (−∞,T) NHỜ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CỦA LÝ THUYẾT HÀM BIẾN PHỨC 122 5.6 NGOẠI SUY VÀ LÀM TRƠN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN KHI BIỂU DIỄN HÀM TƯƠNG QUAN DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC HÀM MŨ 132 Chương XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM NGẪU NHIÊN THEO SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM 138 6.1 CÁC ĐẶC TRƯNG THỐNG KÊ CỦA HÀM NGẪU NHIÊN 138 6.2 CÁC ĐẶC TRƯNG THỐNG KÊ CỦA CÁC HÀM NGẪU NHIÊN CĨ TÍNH EGODIC 140 6.3 ĐỘ CHÍNH XÁC XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG THỐNG KÊ CỦA HÀM NGẪU NHIÊN 142 PHẦN - MỘT SỐ BÀI TỐN KHÍ TƯỢNG VÀ THỦY VĂN GIẢI BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN 153 Chương7 NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC THỐNG KÊ CÁC TRƯỜNG KHÍ TƯỢNG 153 7.1 NHẬN XÉT CHUNG VỀ CẤU TRÚC CÁC TRƯỜNG KHÍ TƯỢNG 153 7.2 CẤU TRÚC THỐNG KÊ CỦA TRƯỜNG ĐỊA THẾ VỊ 155 7.3 CẤU TRÚC THỐNG KÊ CỦA TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ KHƠNG KHÍ 157 7.4 CẤU TRÚC THỐNG KÊ TRƯỜNG GIÓ 159 7.5 CẤU TRÚC THỐNG KÊ CỦA TRƯỜNG ĐỘ CAO THẢM TUYẾT VÀ SỰ TỐI ƯU HĨA CƠNG TÁC QUAN TRẮC THẢM TUYẾT 161 Chương KHAI TRIỂN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN THÀNH CÁC THÀNH PHẦN TRỰC GIAO TỰ NHIÊN 164 8.1 THIẾT LẬP BÀI TOÁN 164 8.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 167 8.3 TÌM CÁC THÀNH PHẦN TRỰC GIAO TỰ NHIÊN 169 8.4 BIỂU DIỄN CÁC TRƯỜNG KHÍ TƯỢNG DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC THÀNH PHẦN TRỰC GIAO TỰ NHIÊN 177 Chương NHỮNG VÍ DỤ NGOẠI SUY TUYẾN TÍNH TỐI ƯU CÁC Q TRÌNH KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN 180 9.1 NGOẠI SUY TỐI ƯU DỊNG CHẢY SƠNG THEO PHƯƠNG PHÁP I M ALEKHIN 180 9.2 PHÂN TÍCH PHỔ VÀ NGOẠI SUY CHỈ SỐ HOÀN LƯU VĨ HƯỚNG 183 Chương 10 MỘT SỐ VẤN ĐỀ MÔ TẢ TRƯỜNG TỐC ĐỘ GIÓ 189 10.1 HÀM TƯƠNG QUAN CỦA TỐC ĐỘ GIÓ 189 10.2 KHIUẾCH TÁN RỐI 193 Chương 11TÍNH MẬT ĐỘ PHỔ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG PHỔ SĨNG BIỂN 197 11.1 XÁC ĐỊNH MẬT ĐỘ PHỔ THEO SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM 197 11.2 PHÂN TÍCH PHỔ SĨNG BIỂN 201 LỜI NÓI ĐẦU Trong hai chục năm gần người ta thấy công cụ toán học lý thuyết hàm ngẫu nhiên sử dụng rộng rãi khí tượng học thuỷ văn học Cơ sở điều ý tưởng xem xét giá trị tức thời ghi q trình trường khơng gian khí tượng thuỷ văn thể riêng biệt trình ngẫu nhiên hay trường ngẫu nhiên Cách tiếp cận cho phép không cần xét đặc điểm giá trị tức thời riêng rẽ trường khí tượng thuỷ văn với mối phụ thuộc vào toạ độ khơng gian biến trình thời gian phức tạp không rõ nét chuyển sang nghiên cứu số tính chất trung bình tập hợp thống kê thể ứng với tập điều kiện bên ngồi cụ thể Quan điểm lý thuyết xác suất nghiên cứu tượng khí tượng thuỷ văn học có sử dụng công cụ lý thuyết hàm ngẫu nhiên tỏ hiệu lĩnh vực: lý thuyết rối, xây dựng phương pháp dự báo thời tiết hạn dài, phân tích khách quan trường khí tượng, đánh giá tính đại diện số liệu quan trắc, độ xác dụng cụ đo, giải vấn đề hợp lý hoá phân bố mạng lưới trạm khí tượng, xây dựng phương pháp dự báo dịng chảy sơng đặc trưng khí tượng thuỷ văn, nhiều vấn đề khác Đóng góp to lớn vào hướng cơng trình đặt móng A.N Kolmogorov kết nghiên cứu A.M Obukhov, A.S Monin, A.M Iaglom, M.I Iuđin, L.S Ganđin, N.A Bagrov, O.A Đrozđov, E.P Borisenkov, N.A Kartvelishvili, I.M Alekhin nhà khoa học khí tượng thuỷ văn hàng đầu nước ta (Liên Xô cũ − ND) Từ dẫn đến phải mở rộng giáo trình lý thuyết xác suất trường khí tượng thuỷ văn đưa khoá chuyên đề sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên, điều thực lần vào năm 1961 Trường khí tượng thuỷ văn Leningrat Cuốn sách viết sở giáo trình lý thuyết hàm ngẫu nhiên mà tác giả giảng dạy nhiều năm cho sinh viên chuyên ngành dự báo thời tiết phương pháp số trị Trường khí tượng thuỷ văn Leningrat, giáo trình học tập cho sinh viên nghiên cứu sinh trường đại học khí tượng thuỷ văn khoa tương ứng trường đại học tổng hợp cho rộng rãi chuyên gia khí tượng thuỷ văn Cuốn sách sử dụng tài liệu học tập cho sinh viên kỹ sư chuyên ngành khác quan tâm đến lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng Lý biên soạn sách xuất phát từ chỗ chưa có tài liệu giáo khoa lý thuyết hàm ngẫu nhiên đáp ứng cách đầy đủ nhu cầu chuyên gia sinh viên ngành khí tượng thuỷ văn Hơn nữa, thâm nhập ngày tăng lý thuyết hàm ngẫu nhiên vào khí tượng học thuỷ văn học đòi hỏi chuyên gia khí tượng, thuỷ văn phải nhanh chóng chủ động chiếm lĩnh Lý thuyết hàm ngẫu nhiên, phận lý thuyết xác suất, phát triển nhanh chóng thập niên gần ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Trước hết phải kể đến ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên kỹ thuật vô tuyến, đặc biệt lý thuyết điều khiển tự động mà nhu cầu chúng, đến lượt mình, lại thúc đẩy phát triển lý thuyết Sự ứng dụng rộng rãi lý thuyết hàm ngẫu nhiên khí tượng thuỷ văn muộn chút Do có hai loại giáo trình lý thuyết hàm ngẫu nhiên Tài liệu loại thứ trình bày chặt chẽ lý thuyết trình xác suất dựa tốn học trình độ cao (thí dụ J Dub "Các q trình xác suất", I A Rozanov "Các trình ngẫu nhiên dừng") Những sách dùng cho chuyên gia tốn nên khó sinh viên trường khí tượng thuỷ văn kỹ sư chưa trang bị toán học đầy đủ Loại thứ hai chuyên khảo sách giáo khoa trình bày sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên tương ứng với nhu cầu lý thuyết điều khiển tự động kỹ thuật vô tuyến Việc sử dụng sách loại chuyên gia khí tượng thuỷ văn bị khó khăn lý thuyết hàm ngẫu nhiên phương pháp lý thuyết điều khiển tự động hay kỹ thuật vơ tuyến gắn chặt với nhau, khó tách biệt Ngoài ra, chưa phản ánh khía cạnh quan trọng ứng dụng lý thuyết vào khí tượng thuỷ văn học Cuốn sách nhằm hướng tới độc giả có kiến thức tốn trang bị mức giáo trình tốn cao cấp dành trường đại học chuyên ngành khí tượng thuỷ văn Trong trình bày, buộc phải dùng đến phương pháp khái niệm quen thuộc, chúng diễn giải cách ngắn gọn (ví dụ, số dẫn liệu từ lý thuyết phương trình tích phân, vài khái niệm đại số tuyến tính, hàm delta v.v ) Vì số chun gia khí tượng thuỷ văn chưa có đủ kiến thức lý thuyết xác suất, chương khái quát kiến thức lý thuyết xác suất mà sau dùng đến trình bày lý thuyết hàm ngẫu nhiên Việc trình bày chi tiết vấn đề có sách giáo khoa lý thuyết xác suất, chẳng hạn giáo trình tiếng E.S Ventxel [4] Độc giả quen với lý thuyết xác suất bỏ qua chương Nội dung trình bày sách không nhằm bao quát đầy đủ lý thuyết hàm ngẫu nhiên, mà chủ yếu xét khía cạnh lý thuyết có ứng dụng rộng rãi khí tượng thuỷ văn học Ngoài ra, tác giả chủ yếu tập trung trình bày cho đơn giản dễ hiểu, khơng bị gị bó u cầu chặt chẽ tồn diện mặt tốn học Cuốn sách gồm hai phần Phần thứ trình bày sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên, bên cạnh việc xét trình ngẫu nhiên chiều, ý nhiều đến trường ngẫu nhiên không gian Phần thứ hai xét số tốn khí tượng, thuỷ văn giải phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên Tuy nhiên hồn tồn khơng đặt mục tiêu tổng quan hệ thống tất công trình nghiên cứu giải tốn khí tượng thuỷ văn phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên Những tổng quan ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên khí tượng thuỷ văn tìm thấy nhiều cơng trình tác giả nước [5, 18, 20, 14, 45, 9, 57 ] Trong sách lựa chọn số tốn khí tượng thuỷ văn tiêu biểu cho phép minh hoạ ứng dụng phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên trình bày phần đầu sách Và tập trung chủ yếu vào vấn đề phương pháp luận Tác giả hy vọng sách giúp đơng đảo nhà khí tượng thuỷ văn lĩnh hội ý tưởng phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tiễn khí tượng thủy văn học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới N.A Bagrov, O.A Đrozđov M.I Iuđin, người có góp ý quý giá nội dung cấu trúc sách Tác giả đặc biệt cám ơn L.S Ganđin đọc toàn văn thảo nêu nhiều nhận xét giúp tác giả lưu ý chuẩn bị xuất 10 PHẦN - CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN BỐ Đại lượng ngẫu nhiên đại lượng mà tiến hành loạt phép thử điều kiện lần nhận giá trị giá trị khác hoàn tồn khơng biết trước Người ta chia đại lượng ngẫu nhiên thành hai dạng đại lượng ngẫu nhiên rời rạc đại lượng ngẫu nhiên liên tục Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc đại lượng ngẫu nhiên mà giá trị liệt kê được, tức đánh số thứ tự tập số tự nhiên Ngược lại, đại lượng ngẫu nhiên liên tục đại lượng ngẫu nhiên mà giá trị phủ đầy đoạn trục số, khơng thể đánh số Ví dụ đại lượng ngẫu nhiên rời rạc số điểm gieo xúc xắc Đại lượng ngẫu nhiên với lần thí nghiệm nhận sáu giá trị: 1, 2, 3, 4, Đại lượng ngẫu nhiên xem rời rạc nhận giá trị nguyên, giá trị hữu tỷ Khi tập giá trị đại lượng ngẫu nhiên vô hạn Đại lượng ngẫu nhiên liên tục đại lượng ngẫu nhiên mà kết thí nghiệm nhận giá trị số thực khoảng vài khoảng Ví dụ nhiệt độ khơng khí, áp suất khơng khí độ lệch chúng so với trung bình chuẩn nhiều năm, thành phần vectơ vận tốc gió coi đại lượng ngẫu nhiên liên tục Sai số dụng cụ đo xem đại lượng ngẫu nhiên Thông thường, sai số đại lượng ngẫu nhiên dạng liên tục Ta qui ước ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên chữ hoa: A, B, C, X, Y cịn giá trị chúng chữ in thường tương ứng: a, b, c, x, y Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1, x2, , xn với xác suất p1, p2, , pn Khi liệt kê giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên có cho trước xác suất mà giá trị nhận, ta hồn tồn xác định đại lượng ngẫu nhiên Hệ thức xác lập mối liên hệ giá trị đại lượng ngẫu nhiên xác suất tương ứng chúng gọi luật phân bố đại lượng ngẫu nhiên Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, luật phân bố cho dạng bảng mà hàng giá trị có đại lượng ngẫu nhiên xi, hàng khác xác suất tương ứng pi x1 x2 x3 … xn p1 p2 p3 … pn 11 Khi số lượng giá trị đại lượng ngẫu nhiên hữu hạn vơ hạn, cịn tổng xác suất hàng thứ hai bảng, giống tổng xác suất nhóm đầy đủ kiện xung khắc, ∑ pi = Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục khơng thể lập bảng tương tự vậy, khơng thể liệt kê giá trị Ngồi ra, thấy sau này, xác suất đại lượng ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị cụ thể không, xác suất mà nhận giá trị khoảng vô bé xung quanh giá trị khác khơng Để đặc trưng đầy đủ cho đại lượng ngẫu nhiên, loại rời rạc lẫn loại liên tục, người ta sử dụng luật phân bố tích phân, gọi hàm phân bố Luật phân bố tích phân F(x) đại lượng ngẫu nhiên X định nghĩa xác suất đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ số x đó: F ( x ) = P( X < x ) , (1.1.1) P(X < x ) ký hiệu xác suất kiện X x1 F(x2) ≥ F(x1); 2) F(−∞) = xác suất kiện bất khả; 3) F(+∞) = xác suất kiện tất yếu Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, giá trị hàm phân bố F(x) tổng xác suất pi giá trị xi nhỏ x, tức là: F( x ) = ∑ P( X = xi ) (1.1.2) xi < x Từ thấy rằng, đồ thị hàm phân bố đại lượng ngẫu nhiên rời rạc đường bậc thang có điểm gián đoạn xi, giá trị đột biến điểm pi = P(X=xi) Trên hình 1.1 biểu diễn đồ thị hàm phân bố đại lượng ngẫu nhiên số điểm xuất gieo xúc xắc Trong trường hợp giá trị số giá trị từ đến tương ứng với xác suất p=1/6 Đồ thị hàm phân bố đại lượng ngẫu nhiên liên tục mà giá trị lấp đầy khoảng [a,b] thường đường cong liên tục tăng từ đến (hình 1.2) Hình 1.1 Hình 1.2 Tuy nhiên, đưa ví dụ đại lượng ngẫu nhiên mà giá trị lấp đầy hồn tồn khoảng đó, đồ thị hàm phân bố lại có điểm gián đoạn Đại lượng ngẫu nhiên gọi đại lượng ngẫu nhiên dạng hỗn hợp Đại lượng ngẫu nhiên dạng hỗn hợp thực tế gặp 12 Chương 10 MỘT SỐ VẤN ĐỀ MÔ TẢ TRƯỜNG TỐC ĐỘ GIÓ 10.1 HÀM TƯƠNG QUAN CỦA TỐC ĐỘ GIÓ Trong chương để xác định kỳ vọng toán học hàm tương quan biến đổi tuyến tính hàm ngẫu nhiên dừng cần biết kỳ vọng tốn học hàm tương quan hàm ngẫu nhiên biến đổi Nhưng thực tế, thường xảy trường hợp mối liên hệ hàm ngẫu nhiên thực không tuyến tính Khi đó, để nhận đặc trưng hàm ngẫu nhiên kết phép biến đổi phi tuyến, biết kỳ vọng tốn học hàm tương quan hàm ngẫu nhiên biến đổi chưa đủ, mà cần biết mômen bậc cao hàm phân bố nhiều chiều Tuy nhiên nhiều trường hợp, cách sử dụng thủ thuật nhân tạo biểu diễn gần kỳ vọng toán học hàm tương quan kết biến đổi phi tuyến qua đặc trưng tương ứng hàm ngẫu nhiên biến đổi Để làm ví dụ cho biến đổi phi tuyến q trình ngẫu nhiên dừng, ta xét phương pháp gần xác định hàm tương quan modul vận tốc gió biết trước kỳ vọng toán học hàm tương quan thành phần vectơ Thơng thường, vectơ gió xem vectơ ngẫu nhiên hai chiều mà thành phần U x ( t ) U y ( t ) hàm ngẫu nhiên không độc lập với nhau, giá trị t chúng tuân theo qui luật phân bố chuẩn có phương sai Có thể xác định hàm tương quan modul vectơ gió, biết quy luật phân bố hai chiều f ( u1 ,u2 ) , tức mật độ phân bố đồng thời tốc độ gió U1 U lấy thời điểm khác hay điểm khác không gian Phương pháp A S Martrenko xem xét r cơng trình [60], đó, sở xác định lý thuyết mật độ phân bố đồng thời modul U ( t1 ) r r r U ( t2 ) , xác lập mối liên hệ hàm tương quan trường vectơ U ( t ) trường vô hướng U ( t ) Với số giả thiết đó, nhận công thức tương đối đơn giản, thực tế ứng dụng để tính hệ số tương quan cho trường hợp tốc độ gió trung bình gần không Nhưng thực ra, nêu cơng trình [60], nhiều trường hợp tốc độ gió trung bình M [U ] = m khác khơng, giá trị chúng vượt phương sai σ cách đáng kể Ví dụ, điều kiện điển hình m2 = ,4 ÷ 12 Biểu thức mật độ phân bố đồng thời tốc độ, nhận σ2 điều kiện đó, cồng kềnh thực tế không cho phép nhận công thức để tính hệ số tương quan Chúng ta xây dựng công thức để xác định hàm tương quan tốc độ gió cho trường hợp giá trị trung bình tốc độ gió lớn đáng kể so với độ lệch bình phương trung bình chúng Phương pháp dựa sở sử dụng hàm đặc trưng hệ đại lượng ngẫu nhiên có dạng đơn giản trường hợp đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn Bài toán phát biểu sau Xét vectơ ngẫu nhiên hai chiều U ( t ) = U x ( t )i + U y ( t ) j (10.1.1) dịng chảy xiết mà thành phần U x ( t ) U y ( t ) hàm ngẫu nhiên dừng, phân bố chuẩn, có kỳ vọng tốn học mx m y , phương sai Dx = D y = σ hàm tương quan Rx ( τ ) R y ( τ ) Các thành phần vectơ coi không phụ thuộc lẫn nhau, tức hàm tương quan quan hệ chúng không Yêu cầu xác định hàm tương quan Ru ( τ ) modul vectơ ngẫu nhiên 189 U ( t ) = U x2 ( t ) + U y2 ( t ) (10.1.2) Muốn vậy, ta xác định hàm tương quan bình phương modul Z ( t ) = U x2 ( t ) + U y2 ( t ) (10.1.3) Hiển nhiên, hàm ngẫu nhiên Z (t ) không phân bố chuẩn, tính dừng giữ nguyên Ta xác định hàm tương quan Rz ( τ ) [ Rz ( τ ) = M { [Z ( t ) − mz ][Z ( t + τ ) − mz ] } = M [Z ( t )Z ( t + τ )] − mz2 = ] [ ] = M U x2 ( t )U x2 ( t + τ ) + M U x2 ( t )U y2 ( t + τ ) + [ ] [ ] + M U y2 ( t )U x2 ( t + τ ) + M U y2 ( t )U y2 ( t + τ ) − m z2 , [ ] [ ] mz = M U x2 + M U y2 = ( σ + m x2 ) + ( σ + m 2y ) = 2σ + mx2 + m 2y (10.1.4) (10.1.5) Ta xét hệ bốn đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn U1 = U x ( t ), U = U x ( t + τ ), U = U y ( t ), U = U y ( t + τ ) Hàm đặc trưng hệ này, biết (xem mục 1.12), có dạng ⎧⎪ ⎪⎫ E( u1 ,u2 ,u3 ,u4 ) = exp ⎨− ∑ Rk , j uk u j + i ∑ mk uk ⎬, (10.1.6) ⎪⎩ k , j =1 ⎪⎭ k =1 mk kỳ vọng tốn học đại lượng ngẫu nhiên U k , Rk , j mômen quan hệ đại Rk , j lượng ngẫu nhiên U k U j , phần tử ma trận tương quan [ ] Rk , j = M ( U k − mk )( U j − m j ) Đối với hệ đại lượng ngẫu nhiên xét, ta có: R11 = R22 = R33 = R44 = σ ; R12 = Rx ( τ ), R34 = R y ( τ ) ; m1 = m2 = mx , m3 = m4 = m y (10.1.7) Vì hàm ngẫu nhiên U x ( t ) U y ( t ) không phụ thuộc lẫn nhau, nên R13 = R23 = R14 = R24 = Như ma trận tương quan có dạng Rk , j ⎛ σ2 ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎝ Rx ( τ ) σ2 0 σ2 ⎞⎟ ⎟ ⎟ Ry ( τ )⎟ σ ⎟⎠ (10.1.8) Các kỳ vọng toán học vế phải công thức (10.1.4) thực chất mômen gốc bậc bốn hệ đại lượng ngẫu nhiên xét Những mơmen tìm cách lấy vi phân hàm đặc trưng hệ [ ] [ ] M U x2 ( t )U x2 ( t + τ ) = M U12U 22 = = 190 ∂ E( u1 ,u2 ,u3 ,u4 ) ∂u12∂u22 i4 u1 = u = u3 = u = = = R12 + R11R12 + m12 R22 + m22 R11 + 4m1m2 R12 + m12 m22 = = Rx2 ( τ ) + σ + 2mx2 σ + 4m x2 Rx ( τ ) + mx4 (10.1.9) Sau tính cách tương tự giá trị lại kỳ vọng tốn học chúng vào cơng thức (10.1.4), ta [ ] [ ] Rz ( τ ) = Rx2 ( τ ) + R y2 ( τ ) + m x2 Rx ( τ ) + m 2y R y ( τ ) (10.1.10) Để xác định hàm tương quan hàm ngẫu nhiên U ( t ) , biết hàm tương quan bình phương Z ( t ) , cần có quy luật phân bố U ( t ) giá trị t Như biết (xem mục 1.11), luật phân bố modul vectơ hai chiều U = U x2 + U y2 , mà thành phần đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân bố chuẩn, có phương sai σ khác kỳ vọng toán học M [U x ] = mx , M U y = m y , hàm Releich tổng quát [ ] u +m2 ⎧ − ⎛ mu ⎞ ⎪u f ( u ) = ⎨ e 2σ I ⎜ ⎟ ⎝σ ⎠ ⎪σ ⎩ u > 0, (10.1.11) u < ⎛ mu ⎞ Trong công thức này, m = mx2 + m 2y giá trị trung bình modul vectơ U ; I ⎜ ⎟ − hàm ⎝σ ⎠ m >> , thay hàm Bessel biểu thức tiệm cận Bessel bậc khơng Khi σ I0( ω ) ≈ eω ⎛ ⎞ + ⎟ ⎜1 + 2πω ⎝ 8ω ⎠ (10.1.12) Khi viết − u f (u )= e σ Giới hạn hai số hạng chuỗi, ta nhận f (u )≈ u +m2 2σ − e 2πσ − σ e 2πum ( u − m )2 2σ um σ2 ⎞ ⎛ + ⎟ ⎜1 + um ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ ⎜1 + σ ⎟ u ⎜ 8um ⎟ m ⎝ ⎠ (10.1.13) (10.1.14) ⎛ σ u ⎞⎟ m >> , với độ xác đến nhân tử ⎜1 + , hàm Rơle ⎜ 8um m ⎟ σ ⎝ ⎠ tổng quát thay luật phân bố chuẩn Từ công thức thấy f (u )= − e πσ ( u − m )2 2σ u > Hàm Releich tổng qt (10.1.11) có tính bất đối xứng thể rõ với trị số nhỏ (10.1.15) m , σ m m m , tính bất đối xứng giảm Khi = , hệ số bất đối xứng 0.24, = , hệ số bất đối xứng σ σ σ 0.07 Để nâng độ xác, ta xấp xỉ hàm Rơle tổng quát (10.1.11) luật phân bố chuẩn, theo công thức (10.1.15) mà dạng tăng 191 ( u − m′ ) − 2σ′ (10.1.16) f (u )= e u > πσ′ sau chấp nhận giá trị tương ứng kỳ vọng toán học phương sai phân bố (10.1.11) làm kỳ vọng tốn học m′ phương sai σ′2 Như biết (xem mục 1.11), phân bố (10.1.11), kỳ vọng tốn học phương sai có dạng M [u ] = m′ = π ⎡⎛⎜ m2 =σ ⎢⎜1 + ⎢⎣⎝ 2σ ⎞ ⎛ m2 ⎟I0 ⎜ ⎟ ⎜ 4σ ⎠ ⎝ ⎞ m2 ⎛ m2 ⎟+ ⎜ I ⎟ 2σ ⎜ σ ⎠ ⎝ ⎞⎤ − ⎟⎥ e ⎟ ⎠⎥⎦ D[u ] = σ′2 = 2σ + m − m′2 m2 4σ (10.1.17) (10.1.18) Trên hình 10.1 biểu diễn đường cong phân bố tính theo công thức (10.1.11) (đường cong 1), m (10.1.15) (đường cong 2) (10.1.16) (đường cong 3) với giá trị = 0, 1, 2, 3, Trên trục hoành σ đặt giá trị u, đơn vị σ , trục tung đặt f ( u ) m ≥ , sai số phép xấp xỉ phân bố (10.1.11) phân bố chuẩn σ (10.1.16) nhỏ Phép xấp xỉ phân bố (10.1.15) cho kết Bây ta coi hàm ngẫu nhiên U ( t ) giá trị t tuân theo qui luật phân bố chuẩn (10.1.16) với kỳ vọng tốn học m′ độ lệch bình phương trung bình σ′ xác định theo cơng thức (10.1.17), (10.1.18) Phân tích hình vẽ thấy Hình 10.1 Trước đây, nhận hàm tương quan cho hàm ngẫu nhiên Z ( t ) = U ( t ) Bây thiết lập mối liên hệ hàm tương quan Rz ( τ ) Ru ( τ ) Hàm tương quan Rz ( τ ) xác định theo công thức {[ [ ] ] [U ( t + τ ) − M [U (t + τ)] ] } + m′ )]× [U ( t + τ ) − ( σ′ + m′ )] }= = M [U ( t )U ( t + τ )]− ( σ′ + m′ ) Rz ( τ ) = M U ( t ) − M U ( t ) {[ = M U ( t ) − ( σ′2 2 2 2 2 2 (10.1.19) Ký hiệu U ( t ) = U1 , U ( t + τ ) = U Vì U1 U đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn, nên hàm đặc trưng hệ hai đại lượng ngẫu nhiên có dạng 192 ⎧ ⎫ E( u1 ,u2 ) = exp⎨− ( R11u12 + R12u1u2 + R22u22 ) + i( m1u1 + m2u2 )⎬ (10.1.20) ⎩ ⎭ m1 = m2 = m′, R11 = R22 = σ′2 , R12 = M [( U1 − m1 )( U − m2 )] = Ru ( τ ) (10.1.21) Ru ( τ ) hàm tương quan cần tìm hàm ngẫu nhiên U ( t ) [ ] Ta tính đại lượng M U ( t )U ( t + τ ) công thức (10.1.19) [ ] [ ] M U ( t )U ( t + τ ) = M U12U 22 = ∂ E( u1 ,u2 ) ∂u12∂u22 i4 u1 = u = = = Ru2 ( τ ) − 4m′2 Ru ( t ) − ( m′2 + σ′2 ) Thế (10.1.22) vào (10.1.19), nhận [ Rz ( τ ) = Ru2 ( τ ) + 4m′2 Ru ( τ ) = Ru ( τ ) + m′2 ] (10.1.22) − 2m′4 (10.1.23) Từ Ru ( τ ) = Rz ( τ ) − 2m′4 − m′2 (10.1.24) Thay Rz ( τ ) ta biểu thức theo (10.1.10), cuối ta có [ ] Ru ( τ ) = Rx2 ( τ ) + R y2 ( τ ) − m x2 Rx ( τ ) − m 2y R y ( τ ) − m′2 (10.1.25) Hàm có khả xác định hàm tương quan tốc độ gió theo giá trị hàm tương quan m ≥2 thành phần vectơ gió, thuận tiện cho việc tính tốn với trị số σ 10.2 KHIUẾCH TÁN RỐI Giả thiết điểm dịng rối chất lỏng hay chất khí có tạp chất xâm nhập, chẳng hạn số lớn hạt rắn nhỏ thuốc nhuộm Nhờ vận chuyển luồng xáo trộn hỗn loạn dòng rối, chất lan truyền nhanh nhuộm màu thể tích lớn Hiện tượng gọi khuếch tán rối Sự khuếch tán rối phổ biến tự nhiên Nó định lan truyền khí vi khuẩn siêu vi trùng, phấn hoa, làm nhiễm khơng khí khói chất khí cơng nghiệp giao thơng phát ra, vận chuyển ẩm từ mặt đất, phân tán vật thể mặt thủy vực Tài liệu nghiên cứu vấn đề khuếch tán rối phong phú Trình bày chi tiết lý thuyết khuếch tán rối có chuyên khảo A S Monin A M Iaglom [18] Ở đây, xét tóm tắt phương pháp mơ tả khuếch tán rối trường rối đồng dừng Để mô tả rối cách thuận tiện sử dụng phương pháp Lagrăng Phương pháp theo dõi chuyển động phần tử xác định chất lỏng hay khí dịng thời điểm ban đầu Giả sử thời điểm ban đầu t0 = , phần tử nằm gốc hệ toạ độ cố định, cịn thời điểm t r nằm điểm X có toạ độ ( x1 , x2 , x3 ) r Hàm vectơ X ( t ), xem hàm ngẫu nhiên thời gian, dùng để đặc trưng cho rối Mối phụ thuộc vào thời gian bán kính vectơ quỹ đạo phần tử chuyển động dòng nhận nhờ thí nghiệm thể hàm ngẫu nhiên Ký hiệu 193 r r dX ( t ) V( t ) = (10.2.1) dt vận tốc Lagrăng phần tử, ta xem vận tốc hàm vectơ ngẫu nhiên đồng dừng Khi viết t r r X ( t ) = ∫ V ( s )ds (10.2.2) [ ] r Xem vận tốc trung bình (lấy trung bình theo tập hợp tất phần tử) không, M V ( t ) = r r Khi đó, kỳ vọng tốn học hàm ngẫu nhiên X ( t ) không, M X ( t ) = [ ] Trong trường hợp này, phương sai phân tán phần tử σ 2xi ( t ) dọc theo trục toạ độ i xác định theo cơng thức σ 2xi Đưa vào hàm ri ( τ ) = ⎧⎡ t ⎤ ⎫⎪ i t ⎪ = M ⎨⎢ ∫ Vi ( s )ds ⎥ ⎬ = ∫ ∫ M [Vi ( s1 )Vi ( s2 )]ds1ds2 ⎥⎦ ⎪ 0 ⎪⎩⎢⎣ ⎭ M [Vi ( t )Vi ( t + τ )] (10.2.3) (10.2.4) σ v2i gọi hệ số rối Lagrăng Đó hàm tương quan chuẩn hoá thành phần Vi vectơ vận tốc Lagrăng dọc trục toạ độ i Khi đó, viết (10.2.3) dạng t t σ 2xi = σv2i ∫ ∫ ri ( s2 − s1 )ds1ds2 (10.2.5) 00 Do tính chẵn hàm ri ( τ ), biểu thức (10.2.5) đưa dạng t σ 2xi ( t ) = 2σv2i ∫ ( t − τ )ri ( τ )dτ (10.2.6) Sau số biến đổi, ta nhận σ 2xi ( t )= 2σ v2i t′ t ∫ dt ′∫ ri ( τ )dτ (10.2.7) Công thức (10.2.7), biểu thị tản mạn phần tử qua hệ số rối Lagrăng, nhận lần Taylor [33] Để đặc trưng cho khuếch tán rối, bên cạnh phương sai σ 2xi ( t ) , người ta dùng đại lượng khác gọi hệ số khuếch tán rối Di ( t ) Di ( t ) = dσ x i ( t ) dt (10.2.8) Hệ số đặc trưng cho tốc độ biến đổi phương sai phân tán phần tử dòng rối Tương ứng với (10.2.7), ta biểu diễn hệ số khuếch tán rối qua hệ số rối Lagrăng t Di ( t ) = σv2i ∫ ri ( τ )dτ (10.2.9) Như vậy, để xác định phương sai phân tán phần tử dòng rối đồng dừng hay hệ số khuếch tán rối, cần biết hàm tương quan chuẩn vận tốc Lagrăng Taylor hai trường hợp tiệm cận, phụ thuộc vào dạng hàm tương quan ri ( τ ) 194 độ tản mạn hệ số khuếch tán rối không đáng kể Giả sử hệ số rối Lagrăng ri ( τ ) tiến tới không τ → ∞ , tích phân khơng kỳ dị, gọi quy mô rối Lagrăng hay thời gian tương quan ∞ Ti = ∫ ri ( τ )dτ (10.2.10) ∞ hội tụ nhanh Giả thiết tích phân ∫ τri ( τ )dτ hữu hạn Khi với giá trị t đủ lớn ( t ≥ Ti ) , (10.2.6) thay hệ thức xấp xỉ ∞ σ 2xi ( t ) ≈ 2σv2i tTi − 2σv2i ∫ τri ( τ )dτ (10.2.11) Với giá trị lớn thời gian t số hạng thứ đóng vai trị vế phải, vậy, ta viết gần σ 2xi ( t ) ≈ 2σv2i Ti t (10.2.12) Điều cho thấy rằng, phương sai phân tán phần tử sau thời gian dài t tỷ lệ với thời gian khuếch tán Kết trùng hợp với định luật quen thuộc Anhstanh chuyển động Braonơ Với thời gian khuếch tán nhỏ t → , giả thiết tồn đạo hàm hữu hạn hệ số rối Lagrăng hệ số rối Lagrăng khai triển thành chuỗi lân cận điểm τ = , tính chẵn hàm tương quan, chuỗi chứa luỹ thừa chẵn Giới hạn số hạng không cao bậc hai, ta nhận công thức xấp xỉ ri ( τ ) ≈ + ri′′( )τ (10.2.13) Thế (10.2.13) vào (10.2.6), ta ⎡ ⎤ σ 2xi ( t ) ≈ σv2i t ⎢1 + ri′′( )t ⎥ 12 ⎣ ⎦ (10.2.14) σ 2xi ( t ) ≈ σv2i t (10.2.15) Khi t → ta có biểu thức gần Như vậy, với thời gian khuếch tán nhỏ, phương sai phân tán phần tử tỷ lệ với bình phương thời gian Với trị số thời gian khuếch tán nằm trường hợp biên phương sai phân tán phần tử phụ thuộc nhiều vào dạng hàm ri ( τ ) Xác định thực nghiệm hàm tương quan vận tốc Lagrăng khó, người ta thường xấp xỉ ri ( τ ) hàm giải tích đơn giản vào lập luận vật lý Trong khí tượng học, người ta hay sử dụng phương pháp xác định hàm tương quan vận tốc Lagrăng thông qua số liệu nhận cách thả chuỗi cầu ám tiêu treo cách hay bóng thám khơng tự có trọng lượng chọn cho chúng trơi khơng khí dọc theo mặt đẳng áp Khi nên nhớ đặc trưng thực nghiệm rối khí nhận phương pháp khơng xác Chúng ta xét phương pháp chương 6, ví dụ tính hàm tương quan Ru ( τ ) thành phần vĩ hướng vận tốc Lagrăng theo số liệu quan trắc bóng thám khơng (xem hình 6.5) Để nhận hệ số rối Lagrăng ru ( τ ) , tức hàm tương quan chuẩn hoá tương ứng, phải chia giá trị hình 6.5 cho phương sai σu2 195 Hình 10.2 Theo cơng thức (10.2.9), biểu diễn dạng t Du ( t ) = ∫ Ru ( τ )dτ (10.2.16) Các giá trị hệ số khuếch tán rối thành phần vĩ hướng tính biểu diễn hình 10.2 Phân tích hình cho thấy rằng, theo thời gian hệ số khuếch tán rối tăng lên, đạt đến cực đại sau 30 giờ, sau dần tiến đến giá trị giới hạn ∞ D( ∞ ) = ∫ Ru ( τ )dτ Trên thực tế đạt khoảng τ = 54 ÷ 60 196 Chương 11 TÍNH MẬT ĐỘ PHỔ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG PHỔ SĨNG BIỂN 11.1 XÁC ĐỊNH MẬT ĐỘ PHỔ THEO SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM Trong chương thấy mật độ phổ S ( ω ) trình ngẫu nhiên dừng biến đổi Fourier hàm tương quan R( τ ) xác định theo cơng thức (3.2.12) Khi đó, cần biết biến đổi hàm tương quan thực tồn khoảng vơ hạn đối số Khi xác định đặc trưng thống kê trình ngẫu nhiên X ( t ) theo số liệu thực nghiệm, sử dụng thể trình ngẫu nhiên ghi khoảng hữu hạn T theo ~ biến thiên đối số t Khi đó, ta xác định giá trị thống kê hàm tương quan R ( τ ) khoảng τε ∈ [− T ,T ] Đặc biệt, xác định hàm tương quan q trình ngẫu nhiên dừng có tính egodic theo thể x( t ) có độ dài T , giá trị thống kê xác định theo công thức (2.6.2) Như thấy chương 6, nhiều nguyên nhân, giá trị thống kê hàm tương quan hàm ~ ngẫu nhiên đó, giá trị tính nó, R ( τ ) , khác nhiều so với giá trị thực hàm tương quan R( τ ) phương sai sai số tăng đáng kể đối số τ tăng Vì vậy, việc sử dụng trực tiếp công thức (3.2.12) thay hàm tương quan thực giá trị thống kê nó, thay khoảng tích phân vơ hạn khoảng hữu hạn, tức công thức T ~ ~ S(ω) = e − iωτ R ( τ )dτ , ∫ π −T khơng hợp lý, khơng tính đến trị số hàm tương quan τ > T khác biệt đáng kể ~ hàm R ( τ ) so với giá trị thực hàm tương quan, đặc biệt giá trị τ gần cận khoảng ~ tích phân, dẫn đến giá trị S ( ω ) tìm khác với giá trị thực mật độ phổ Một vấn đề nảy sinh là, làm để xác định giá trị phù hợp mật độ phổ trình ngẫu nhiên xét khơng có hàm tương quan thực, mà sử dụng giá trị thống kê ~ Ta xét hàm R ( τ ) , giá trị thực hàm tương quan R( τ ) τ ≤ τ m τ > τ m Hàm xem tích hàm R( τ ) với hàm λ( τ ) ~ R ( τ ) = λ( τ )R( τ ) , (11.1.1) ⎧1 τ ≤ τ m , λ( τ ) = ⎨ ⎩0 τ > τ m (11.1.2) ~ Hàm R ( τ ) cho khắp trục số thực Ta tìm biến đổi Fourier xem giá trị ~ ~ gần S ( ω ) mật độ phổ S ( ω ) , tức tính S ( ω ) theo công thức ∞ ∞ 1 ~ ~ S(ω) = e − iωτ R ( τ )dτ = e − iωτλ( τ )R( τ )dτ ∫ 2π − ∞ 2π −∫∞ (11.1.3) Ta ký hiệu S ( ω ) mật độ phổ thực trình ngẫu nhiên, tức biến đổi Fourier hàm tương quan thực R( τ ) , ký hiệu Q( ω ) biến đổi Fourier, tức phổ, hàm λ( τ ) 197 Q( ω ) = ∞ e − iωτλ( τ )dτ 2π −∫∞ (11.1.4) ~ Theo (11.1.3), tích λ( τ )R( τ ) biến đổi Fourier hàm S ( ω ) λ( τ )R( τ ) = ∞ ∫e iωτ ~ S ( ω )dω (11.1.5) −∞ Mặt khác, ta có λ( τ )R( τ ) = ∞ ∫e −∞ = iω1 τ ∞ S ( ω1 )dω1 ∫ e iω τQ( ω2 )dω2 = −∞ ∞ ⎡ ∞ i( ω + ω )τ ⎤ 2 Q( ω )dω dω ω S ( ) e ⎢ ⎥ 1 2 ∫ ∫ −∞ ⎣⎢− ∞ ⎦⎥ Khi thay ω1 + ω2 = ω tích phân bên đổi thứ tự lấy tích phân, ta λ( τ )R( τ ) = ∞ ⎡∞ ⎤ iωτ e ⎢ ∫ S ( ω1 )Q( ω − ω1 )dω1 ⎥ dω ∫ −∞ ⎣⎢− ∞ ⎦⎥ (11.1.6) So sánh (11.1.5) (11.1.6) ta nhận mối liên hệ mật độ phổ thực S ( ω ) giá trị gần (11.1.3) ~ S(ω) = ∞ ∫ S ( ω1 )Q( ω − ω1 )dω1 (11.1.7) −∞ ~ Từ thấy rằng, S ( ω ) giá trị mật độ phổ thực S ( ω ) lấy trung bình theo tồn khoảng tần với hàm trọng lượng Q( ω − ω1 ) Đối với hàm λ( τ ) dạng (11.1.2), phổ Q( ω ) xác định dạng τ sin ωτm m − iωτ Q( ω ) = e dτ = ∫ 2π − τ πω (11.1.8) m Như vậy, cách sử dụng tích (11.1.1) làm giá trị thống kê hàm tương quan xác định mật độ phổ, nhận mật độ phổ thực S ( ω ) , mà giá trị làm trơn nhờ hàm trọng lượng phổ hàm λ( τ ) Khi phương pháp làm trơn xác định cách chọn hàm λ( τ ) Từ nảy sinh ý tưởng lựa chọn hàm λ( τ ) cho phép làm trơn (11.1.7) tốt nhất, tức cho ~ giá trị S ( ω ) gần với giá trị thực S ( ω ) Như toán xác định mật độ phổ phát biểu dạng sau: Giả sử có giá trị thống kê ~ ~ hàm tương quan R ( τ ) τ ≤ T , ta tìm giá trị thống kê mật độ phổ S ( ω ) theo công thức τ m − iωτ ~ ~ S(ω) = e λ( τ )R ( τ )dτ 2π − τ∫ (11.1.9) m với điều kiện phải chọn hàm λ( τ ) giá trị τ m cho thoả mãn tiêu tối ưu Hàm λ( τ ) gọi hàm trọng lượng làm trơn, giá trị τ m gọi điểm cắt hàm tương quan Ý nghĩa hàm λ( τ ) nhờ nó, người ta làm trơn giá trị thống kê hàm tương quan để từ xác định mật độ phổ Như ta thấy, việc chọn hàm làm trơn λ( τ ) tương ứng với làm trơn phổ thực 198 trình ngẫu nhiên dạng (11.1.7) với hàm trọng lượng phổ hàm λ( τ ) ~ Để làm tiêu chuẩn đánh giá đại lượng S ( ω ) chọn hàm làm trơn tối ưu λ( τ ) lấy sai số bình ~ phương trung bình η S ( ω ) , xác định theo công thức [ [ ] {[ ] ] }= σ2 [S~( ω )]+ b2 [S~( ω )] ~ ~ η2 S ( ω ) = M S ( ω ) − S ( ω ) (11.1.10) Trong công thức đại lượng ~ ~ ~ ~ ~ σ2 S ( ω ) = M S ( ω ) − M S ( ω ) = σ2 S ( ω ) − b2 S ( ω ) (11.1.11) ~ phương sai giá trị S ( ω ) , đặc trưng cho tản mạn giá trị thống kê mật độ phổ xung [ ] {[ [ ]] } [ ] [ ] quanh kỳ vọng toán học Đại lượng [ ] [ ] ~ ~ b2 S ( ω ) = M S ( ω ) − S( ω ) (11.1.12) ~ gọi độ chệch đặc trưng cho lệch kỳ vọng toán học trị số thống kê S ( ω ) khỏi giá ~ trị thực S ( ω ) Độ chệch đặc trưng cho diện sai số hệ thống, mà giá trị S ( ω ) tập ~ trung gần giá trị thực S ( ω ) , mà gần giá trị M S ( ω ) ~ Tiêu chuẩn khác, nhờ đánh giá độ xác việc xác định đại lượng S ( ω ) chọn hàm làm trơn tối ưu λ( τ ) , sai số bình phương trung bình tích phân [ ] ∞ ⎫⎪ ~ S ( ω ) − S ( ω ) dω⎬ ⎪⎭ ⎪⎩− ∞ ⎧⎪ ~ J [S ( ω )] = M ⎨ ∫ (11.1.13) Bài toán chọn hàm làm trơn tối ưu với giá trị độ dài khoảng T cho, phải chọn hàm λ( τ ) làm cho độ lớn tiêu chuẩn đánh giá chọn trở thành cực tiểu Nghiệm toán phụ thuộc nhiều vào dạng hàm tương quan thực R( τ ) Trong công trình E Parzen [70] nhận nghiệm toán ứng với tiêu chuẩn (11.1.13) cho hai dạng hàm tương quan R( τ ) Dạng thứ gồm lớp hàm tương quan giảm theo quy luật hàm mũ với hệ số ρ > 0, tức hàm thoả mãn bất đẳng thức R( τ ) ≤ R0e −ρ τ , R0 số Người ta chứng minh hàm tương quan vậy, hàm làm trơn sau tối ưu: λ( τ ) = ⎧1 − u , λ( τ ) = ⎨ 1+ u ⎩ u ≤ u > , λ( τ ) = sin u , u ⎛ τ ⎞ ⎜⎜ u = ⎟, τ m ⎟⎠ ⎝ số hàm khác Dạng thứ hai hàm tương quan mà Parzen xét lớp hàm giảm theo kiểu đại số, tức hàm có dạng τ − r r < với giá trị τ lớn Đối với hàm dạng này, hàm trọng lượng tối ưu làm cho sai số bình phương trung bình tích phân cực tiểu hàm dạng , + Bu r số B biểu diễn qua hàm tương quan thực R( τ ) λ( τ ) = Lomnhisky Zaremba [96] chứng minh hàm trọng lượng tối ưu λ( τ ) làm cho sai số bình phương trung bình tích phân (11.1.13) cực tiểu, có dạng 199 λ( τ ) = R2( τ ) ~ R ( τ ) + D R( τ ) [ ] (11.1.14) Điều cho thấy rằng, hàm làm trơn tối ưu λ( τ ) phụ thuộc vào hàm tương quan thực trình ngẫu nhiên khảo sát đó, khơng tồn hàm làm trơn áp dụng cho tất q trình ngẫu nhiên Ngồi ra, xác định thực nghiệm đặc trưng thống kê trình ngẫu nhiên, ta chưa biết hàm tương quan thực, cịn giá trị thống kê ước lượng gần đúng, nên ta sử dụng trực tiếp công thức dẫn để xác định hàm λ( τ ) Những công thức sử dụng cơng thức định hướng chọn dạng cụ thể hàm làm trơn công thức (11.1.9) Hiện tác giả khác đề xướng nhiều dạng hàm làm trơn riêng biệt có tính chất khác nhau, mơ tả chi tiết hàm trình bày cơng trình [2, 25, 70, 91−97] Phổ dụng số hàm sau: Hàm Bartlette ⎧1 τ ≤ τ m , λ( τ ) = ⎨ ⎩0 τ > τ m (11.1.15) Hàm Bartlette biến dạng ⎧ τ ⎪1 − λ( τ ) = ⎨ τ m ⎪ ⎩ τ ≤ τ m , (11.1.16) τ > τ m Hàm Tiukey πτ ⎧ ⎪1 − 2a + 2a cos λ( τ ) = ⎨ τm ⎪ ⎩ τ ≤ τ m , (11.1.17) τ > τ m Tiukey đề nghị lấy hệ số a = ,23 mà không rõ lý chọn trị số Parzen cho biết trị số a = ,25 tối ưu góc độ tiêu chuẩn (11.1.13) Hàm Hanning ⎧ ⎛ πτ ⎞ ⎟ τ ≤ τ m , ⎪0 ,5⎜⎜1 − cos λ( τ ) = ⎨ ⎝ τ m ⎟⎠ ⎪ τ > τ m ⎩ (11.1.18) Hàm Parzen ⎧ ⎛ τ ⎞q ⎪1 − ⎜ ⎟ λ( τ ) = ⎨ ⎜ τ m ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ với q > 1, đặc biệt Parzen xét hàm với q = Parzen nghiên cứu hàm dạng 200 τ ≤ τ m , τ > τ m (11.1.19) ⎧ ⎪ q ⎪ ⎛ τ ⎞ λ( τ ) = ⎨1 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ τm ⎠ ⎪ ⎩ τ ≤ τ m , (11.1.20) τ > τ m , trị số q = q = Hàm Hemming πτ ⎧ τ ≤ τ m , ⎪0 ,54 + 0,46 cos λ( τ ) = ⎨ (11.1.21) τm ⎪ τ > τ m ⎩ Tất hàm trình bày tốt theo quan điểm tối ưu hoá tính chất số tính chất giá trị thống kê mật độ phổ Khi xác định giá trị thống kê mật độ phổ theo công thức (11.1.9) với hàm làm trơn λ( τ ) chọn, giá trị nhận phụ thuộc nhiều vào việc chọn đại lượng τ m Khi chọn điểm cắt τ m hàm tương quan, cần tính đến hai loại sai số: độ chệch ước lượng mật độ phổ, xuất giá trị đại lượng τ m nhỏ, tính biến động đáng kể tập mẫu giá ~ trị S ( ω ) τ m lớn Thực vậy, công thức (11.1.9), trị số nhỏ τ m , ta sử dụng giá trị thống kê hàm tương quan, khơng khác nhiều so với giá trị thực, nhiên ta giả thiết với giá trị τ > τ m , mà hàm tương quan khác khơng Chính mắc sai số hệ thống gây nên độ chệch ước lượng Tăng τ m dẫn tới làm giảm sai số hệ thống này, cơng ~ thức (11.1.9), với τ lớn, giá trị thống kê R ( τ ) sử dụng khác xa so với giá trị thực ~ R( τ ) Vì lý đó, phương sai ước lượng S ( ω ) tăng lên, đặc biệt khoảng ghi thể T trình ngẫu nhiên không lớn Như vậy, chọn đại lượng τ m làm cực tiểu độ chệch lẫn phương sai ước lượng mật độ phổ cần phải thoả mãn hai đòi hỏi mâu thuẫn Ảnh hưởng đại lượng τ m đến dạng giá trị thống kê mật độ phổ biểu lộ sau: Tại ~ giá trị τ m nhỏ đồ thị S ( ω ) , đỉnh mật độ phổ bị làm trơn Khi tăng dần giá trị τ m , đỉnh dần lộ rõ ra, tiếp tục tăng τ m , khác giá trị thống kê giá trị thực ~ ~ hàm tương quan, đồ thị S ( ω ) không phản ánh đặc điểm hàm S ( ω ) mà tiến dần tới thể ~ q trình ngẫu nhiên mà từ R ( τ ) xác định 11.2 PHÂN TÍCH PHỔ SĨNG BIỂN Lý thuyết phổ trình ngẫu nhiên dừng sử dụng rộng rãi phân tích sóng biển Ở đây, người ta xem dao động mực biển điểm xác định hàm ngẫu nhiên thời gian Những khảo sát thực nghiệm sóng biển cho thấy: hàm ngẫu nhiên Z ( t ) mô tả dao động thẳng đứng mặt nước theo thời gian điểm cố định so với mực trung bình, mức độ gần đó, xem q trình ngẫu nhiên tựa dừng, có tính egođic Giả định thể chia thành đoạn dừng, phạm vi đặc trưng xác suất giữ ngun khơng đổi, chuyển từ đoạn dừng sang đoạn dừng khác đặc trưng xác suất biến đổi nhảy vọt Tính tựa dừng sóng thực khó khăn kỹ thuật thực đợt đo sóng dài hạn dẫn tới chỗ để xác định đặc trưng thống kê buộc phải sử dụng 201 số không nhiều thể với độ dài hạn chế ~ Tương ứng với giả thiết tính egođic, giá trị thống kê hàm tương quan R ( τ ) theo thể độ dài T xác định theo công thức (6.2.2) Sự phân tích băng ghi sóng gió ổn định đại dương, biển hồ nước cho thấy hàm tương quan sóng gió xấp xỉ biểu thức dạng Rz ( τ ) = De −α τ cos βτ (11.2.1) cos βτ cos Bτ , (11.2.2) hay Rz ( τ ) = De −γ τ D − phương sai trình, β − tần số dao động thăng giáng, B − tần số nhóm, α − hệ số suy giảm nội nhóm đường bao hàm tương quan, γ − hệ số suy giảm liên nhóm đường bao hàm tương quan Ta xét phương pháp xác định mật độ phổ ví dụ nghiên cứu phổ sóng biển Ở đây, dựa vào cơng trình [72] Với kiểu hàm tương quan chọn, mật độ phổ xác định theo công thức (11.1.9) Để phân tích ảnh hưởng đại lượng τ m , trước tiên ta chọn hàm làm trơn λ( τ ) hàm Bartlette (11.1.15) Khi đó, cơng thức (11.1.9) trình ngẫu nhiên thực Z (t ) viết lại dạng ~ Sz( ω ) = π τm ∫ Rz ( τ ) cos ωτdτ (11.2.3) Thế hàm tương quan (11.2.1) vào (11.2.3) lấy tích phân, ta nhận ⎤ 1 ~ Dα ⎡ Sz( ω ) = + ⎥+ ⎢ 2 2π ⎣ α + ( β + ω ) α +(β − ω) ⎦ + De − ατ ⎧ − α cos( β + ω )τ m + ( β + ω ) sin( β + ω )τ m + ⎨ 2π ⎩ α + ( β + ω )2 + − α cos( β − ω )τ m + ( β − ω ) sin( β − ω )τ m ⎫ ⎬ α + ( β − ω )2 ⎭ (11.2.4) Như chương 3, số hạng thứ (11.2.4) mật độ phổ thực, ứng với hàm tương ~ quan (11.2.1) Do đó, số hạng thứ hai biểu thị độ chệch hệ thống đại lượng S ( ω ) Độ chệch này, thấy từ (11.2.4), giảm dần τ m tăng Như vậy, hàm tương quan xác định khơng có sai số τ m phải có giá trị cho biểu thức ~ dấu ngoặc nhọn công thức (11.2.4) không ảnh hưởng đáng kể đến đại lượng S ( ω ) Ảnh hưởng đại lượng τ m phản ánh hình 11.1, biểu diễn đồ thị mật độ phổ tính theo cơng thức (11.2.4) với D = ; α = ,1 ; β = ,644 giá trị τm = ,3 giây (đường liền nét) τ m = 1000 giây (đường gạch nối) Để làm rõ tính biến động tập mẫu giá trị thống kê mật độ phổ thay hàm tương ~ quan thực R( τ ) công thức (11.2.3) giá trị thống kê R ( τ ) , hình 11.2 biểu diễn ~ ~ giá trị S ( ω ) nhận theo chuỗi trị số R ( τ ) tính theo đoạn thể dài 20 phút sóng biển ổn định Đại lượng τ m chấp nhận lấy 112 giây 202 Hình 11.1 Hình 11.2 Hình 11.3 ~ Trên hình 11.2 thấy rõ đồ thị hàm S ( ω ) khác Sự tản mạn chọn giá trị ~ τ m lớn mà với giá trị đó, tản mạn giá trị thống kê hàm tương quan R ( τ ) biểu lộ mạnh Các hình 11.1 11.2 cho thấy chọn giá trị τ m cần phải: mặt lấy đủ lớn để không xảy chệch, mặt khác phải nằm miền giá trị đối số τ , chưa biểu lộ rõ tản mạn giá trị thống kê hàm tương quan Điều kiện thứ hai đòi hỏi mâu thuẫn phải thực cách thay đổi tham số T τ m khoảng dừng trình ngẫu nhiên đủ lớn Cịn khoảng dừng q trình không cho phép tăng đáng kể độ dài thể hiện, xác định đặc trưng thống kê, lúc việc chọn hàm làm trơn λ( τ ) có vai trị quan trọng Trên hình 11.3 biểu diễn giá ~ trị mật độ phổ sóng gió S ( ω ) tính theo cơng thức (11.1.9) với hàm trọng lượng Hemming (11.1.21) (đường cong 1), với hàm trọng lượng Bartlette (11.1.15) (đường cong 2) Độ dài thể băng ghi sóng T 30 phút Đường cong tính với giá trị τ m lớn ~ ( τm = ,1 T ), tương ứng với tản mạn đáng kể đại lượng R ( τ ) , đường cong − với τ m nhỏ, thuộc ~ miền tin cậy đại lượng R ( τ ) Như ta thấy từ hình 11.3, đường cong cho giá trị làm trơn mật độ phổ 203 ... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đ I KAZAKEVITS CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN Người dịch: Phạm Văn Huấn Nguyễn Thanh Sơn Phan Văn Tân Hiệu đính: Nguyễn Văn Tuyên NHÀ... ngành khí tượng thủy văn, sở lý thuyết xác suất thống kê toán học trình bày đầy đủ, hệ thống dễ hiểu trình độ tốn tương ứng sinh viên nhóm ngành Cuốn ? ?Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng khí tượng. .. thuyết hàm ngẫu nhiên tương ứng với nhu cầu lý thuyết điều khiển tự động kỹ thuật vô tuyến Việc sử dụng sách loại chuyên gia khí tượng thuỷ văn bị khó khăn lý thuyết hàm ngẫu nhiên phương pháp lý thuyết