108 Phụ lục 3: Phương pháp bình phương nhỏ nhất trong phân tích hồi quy 1. Mô hình tuyến tính Mô hình hồi quy tuyến tính có dạng: baxxfy + == )( . Theo phương pháp bình phương nhỏ nhất, các hệ số hồi quy a và b trong phương trình trên được tìm sao cho tổng bình phương sai số bằng ∑ = −−= n k kk baxyE 1 2 )( cực tiểu. Lần lượt lấy đạo hàm biểu thức này theo a , b và cho bằng không, ta được hệ phương trình sau đây để xác định a và b : ∑∑∑ === =+ n k kk n k k n k k yxxbxa 111 2 , ∑∑ == =+ n k k n k k ynbxa 11 . Vậy các hệ số hồi quy được tính theo các công thức sau: ∑∑ ∑∑∑ == === − − = n k k n k k n k kk n k k n k k xnx yxnyx a 1 22 1 111 )( (20) ∑∑ ∑∑∑∑ == ==== − − = n k k n k k n k k n k k n k kk n k k xnx yxyxx b 1 22 1 11 2 11 )( , (21) hay hệ số b còn có thể tính theo công thức: n xay b n k k n k k ∑∑ == − = 11 . (22) 2. Mô hình đa thức Phương pháp bình phương nhỏ nhất cũng có thể áp dụng để tính các hệ số hồi quy đa thức dạng m n xaxaxaaxf ++++= )( 2 210 . thí dụ đối với mô hình bậc hai 2 210 )( xaxaaxf ++= . Lấy đạo hàm tổng sai số theo các hệ số và cho bằng không ta có hệ sau đây để xác định các hệ số hồi quy bậc hai: 109 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑ ==== ==== === n k kk n k n k kk n k k n k kk n k n k kk n k k n k k n k k n k k yxxaxaxa yxxaxaxa ynaxaxa 1 2 11 2 0 3 1 1 4 2 111 0 2 1 1 3 2 11 01 1 2 2 (23) Về nguyên tắc ta có thể sử dụng phương pháp này để tìm phương trình đa thức bậc bất kỳ. Tuy nhiên trong thực tế phương pháp trở thành không ổn định khi bậc đa thức lớn hơn vì các sai số làm tròn số trong máy tính. 3. Mô hình phi tuyến Phương pháp bình phương nhỏ nhất có thể áp dụng cho hàm bất kỳ, nhưng hệ các phương trình để tìm các hệ số có thể phi tuyến, và do đó không thể giải được bằng cách sử dụng các phương trình tuyến tính. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, một hàm phi tuyến có thể chuyển thành một hàm tuyến tính. Thí dụ về một hàm có thể tuyến tính hoá là a xbxf )( = (24) Nếu lấy loga hai vế của phương trình này, ta có bxaxf lnln)(ln + = . (25) Nếu ký hiệu )(ln)( xfxg = (26) bb ln ~ = (27) xx ln ~ = (28) yy ln ~ = (29) ta có bxaxg ~ ~ )( += (30) Với phương trình (30) các hệ số hồi quy a và b ~ tính theo các công thức ∑∑ ∑∑∑ == === − − = n k k n k k n k kk n k k n k k xnx yxnyx a 1 22 1 111 ~ ) ~ ( ~~ ~ ~ (31) ∑∑ ∑∑∑∑ == ==== − − = n k k n k k n k k n k k n k kk n k k xnx yxyxx b 1 22 1 11 2 11 ~ ) ~ ( ~ ~ ~~ ~ ~ (32) Vậy công việc tính toán gồm: chuyển đổi các giá trị số liệu k x và k y theo các công thức (28), (29), tính các tổng, kết quả thế vào các phương trình (31), (32) để tìm a và b ~ . Giải phương trình (27) đối với b và đặt vào phương trình (24). 110 Phụ lục 4: Sơ đồ ứng dụng phương pháp hồi quy nhiều biến Giả sử có n quan trắc đối với biến phụ thuộc y và các biến độc lập m xxx , , , 21 . Phương trình hồi quy được thiết lập như sau: mm xaxaxaay + +++ = 22110 . Các hệ số hồi quy ), ,1( mia i = được chọn sao cho thoả mãn () ∑ = =−−−−−= n i mm xaxaxaay 1 2 22110 min δ Lần lượt lấy đạo hàm biểu thức trên theo m aaaa , , , , 210 và cho các đạo hàm bằng không, ta có hệ 1+m phương trình để xác định các hệ số a [ ][] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ] [ ] mmmmmmm mm mm mm yxaxxaxxaxxax yxaxxaxxaxxax yxaxxaxxaxxax yaxaxaxna =++++ =++++ =++++ =++++ 2 21 10 2 22 221 210 2 1 12 121 110 1 2 21 10 (33) Hệ phương trình này gọi là hệ phương trình chính tắc để xác định các hệ số hồi quy. Dưới dạng ma trận ta viết hệ này như sau: [ ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ] [] [ ][ ] [ ] ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mmmmmmm m m m b b b b a a a a xxxxxxx xxxxxxx xxxxxxx xxxn . 2 1 0 2 1 0 21 222212 112111 21 (34) với dấu [] ký hiệu phép lấy tổng ∑ n 1 . Để tìm các hệ số hồi quy m aaaa , ,,, 210 ta phải giải hệ phương trình chính tắc theo phương pháp loại biến Gauss hoặc phương pháp căn bậc hai đã mô tả trong phụ lục 2 vì ma trận hệ số của các phương trình chính tắc là ma trận đối xứng. Dưới đây dẫn hai thủ tục hỗ trợ cho việc lập hệ phương trình đại số tuyến tính chuẩn tắc (34) − SUBROUTINE LHPTCT và giải hệ phương trình đó bằng phươ ng pháp loại biến Gauss − SUBROUTINE GAUSS. SUBROUTINE LHPTCT (Y, X, A, N, M) INTEGER N, M, I, J, K REAL Y (10000), X (10000, 50), A (0 : 50, 0 : 51) A (0, 0) = N DO J = 1, M A (0, J) = 0.0 DO K = 1, N A (0, J) = A (0, J) + X (K, J) END DO END DO A (0, M + 1) = 0.0 DO K = 1, N A (0, M + 1) = A (0, M + 1) + Y (K) END DO 111 DO I = 1, M A (I, M + 1) = 0.0 DO K = 1, N A (I, M + 1) = A (I, M + 1) + Y (K) * X(K, I) END DO END DO DO I = 1, M DO J = I, M A (I, J) = 0.0 DO K = 1, N A (I, J) = A (I, J) + X (K, I) * X (K, J) END DO ENDDO ENDDO DO I = 1, M DO J = 0, I - 1 A (I, J) = A (J, I) END DO END DO RETURN END SUBROUTINE GAUSS (M, A, X) INTEGER M REAL A (0 : 50, 0 : 51), X (0 : 50) DO I = 0, M - 1 K = I AMAX = ABS (A (K, K)) DO J = I + 1, M R = ABS (A (J, I)) IF (AMAX .LT. R) THEN AMAX = R K = J END IF END DO IF (K .NE. I) THEN DO J = I, M + 1 AMAX = A (I, J) A (I, J) =A (K, J) A (K, J) = AMAX END DO END IF DO J = I + 1, M + 1 A (I, J) = A (I, J) / A (I, I) END DO DO J = I + 1, M DO K = I + 1, M + 1 A (J, K) = A (J, K) - A (J, I) * A (I, K) END DO END DO END DO X (M) = A (M, M + 1) / A (M, M) DO I = M - 1, 0, -1 X (I) = A (I, M + 1) DO J = I + 1, M X (I) = X (I) - A (I, J) * X (J) END DO END DO RETURN END . liệu k x và k y theo các công thức (28), (29), tính các tổng, kết quả thế vào các phương trình (31), (32) để tìm a và b ~ . Giải phương trình (27) đối với b và đặt vào phương trình (24) 110 Phụ lục 4: Sơ đồ ứng dụng phương pháp hồi quy nhiều biến Giả sử có n quan trắc đối với biến phụ thuộc y và các biến độc lập m xxx , , , 21 . Phương trình hồi quy được thiết lập. có thể áp dụng cho hàm bất kỳ, nhưng hệ các phương trình để tìm các hệ số có thể phi tuyến, và do đó không thể giải được bằng cách sử dụng các phương trình tuyến tính. Tuy nhiên, trong một