Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính

Mục lục BẢNG KÝ HIỆU 5 MỞ ĐẦU 6 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 8 1.1 Những khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . 9 1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường . . . . . . . 10 1.1.5 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.6 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Vài tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown . . . . . 19 1.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown . . . . . . . . . . . 20 1.4 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Quá trình đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.3 Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson . . . . . . . . . 21 1.5 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 MỤC LỤC 3 1.5.3 Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 23 Phần I. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1 Tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Định nghĩa tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . . . . . . 26 2.1.4 Các thí dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . . . . . . 30 Phần II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . 32 2.3 Định nghĩa phương trình và lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Định lý tồn tại và duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.1 Sự duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Tính Markov của lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 41 Phần I. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1 Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.1 Phương án đầu tư, Phương á n mua và bán . . . . . . . . . 42 3.1.2 Cân đối lại và phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio) 42 3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . . 44 3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.2 Nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu và Châu Mỹ . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy ) . . . . . . . . . 45 3.3.2 Phái sinh đạt được tron g thị trường M. . . . . . . . . . . 46 3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market). . . . . . . . . . . . 46 3.4 Định giá bằng phương p háp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) . 46 3.4.1 Đáp ứng duy nhất và quá trình sở hữu. . . . . . . . . . . . 46 MỤC LỤC 4 3.4.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale . . . . . . 49 3.5 Các tài sản phái s inh (Derivatives) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.1 Quyền chọn mua (Call) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5.2 Quyền chọn bán (Put) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Phần II. MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6 Mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.1 Định nghĩa mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.2 Giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . 53 3.6.3 Các giả thiết trong mô hình Black-Scholes. . . . . . . . . . 53 3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.7 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá qu yền chon kiểu châu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7.1 Cách xây dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7.2 Công thức Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.8 Những mô hình quyền chọn liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 57 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 BẢNG KÝ HIỆU N Tập các số tự nhiên Q Tập các số hữu tỷ R Tập các số thực R + Tập các s ố thực không âm R Tập các số thực và −∞, ∞ Z Tập các số nguyên C Tập các số phức R ⋉ Không gian n− chiều ∅ Tập rỗng (x n ) = {x n } Dãy số (hoặc d ãy các phần tử) |x| Giá trị tuyệt đối của x x Chuẩn của x f := g Định nghĩa f là g lim n→∞ = lim sup n→∞ Giới hạn trên lim n→∞ = lim inf n→∞ Giới hạn dưới  Ω f (ω) dµ Tích p hân Lebesgue t  0 f (s, ω) dW s Tích phân Wiener 5 MỞ ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu thế kỷ XX. Đầu tiên phải kể đến sự ra đời của khái niệm toán học về chuyển động Brown hay quá trình Wiener đưa ra bởi Louis Bachelier (1900) và Albert Einstein (1905). Đặc biệt là sự sáng tạo ra tích phân ngẫu nhiên Itô (1944) đã giúp giải quyết nhiều bài toán ngẫu nhiên trong kinh tế, vật lý,. . . mà Giải tích tất định cổ điển không sử lý được. Giải tích ngẫu nhiên b a o gồm ba bộ phận chính : 1. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên. 2. Lý thuyết các tích phân ngẫu nhiên. 3. Phương trình vi phân ngẫu nhiên. Trong hơn một thế kỷ qua , các nội dung này đã phát triển rất mạnh mẽ và là những côn g cụ không thể thiếu được trong nghiên cứu về tài chính. Lý do là bản thân giá chứng khoán và giá các tài sản tài chính biến động một cách ngẫu nhiên nên có thể xem chúng như cá c quá trình ngẫu nhiên . Giải tích ngẫu nhiên đã làm cơ sở cho việc mô hình hóa các biến động giá cả trên thị trường tài chính. Một s ố khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, trong đó có ma rtingale, chuyển động Brown, tích phân Itô, tích phân Stratonovich, Phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được ứng dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu thị trường tài chính. Các mô hình định giá , chẳng hạn như mô hình Black – Scholes, đều dựa trên kiến thức về G iải tích ngẫu nhiên . Luận văn này gồm 3 chương : Chương I. Quá trình ngẫu nhiên Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng 6 MỤC LỤC MỤC LỤC trong nghiên cứu về tài chính. Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trình Gauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều đ ược đề cập Chương II. Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên Tích p hân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố cơ bả n cấu thàn h môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫu nhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minh họa. Chương III. Vài ứng dụng trong thị trường tài chính Chương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài chính như là các quá trình ngẫu nhiên, cá c khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ và phương pháp định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, các hợp đồng tài chính và đặc biệt đề cập đến mô hình quyền chọn Black - Scholes 7 Chương 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng trong nghiên cứu về tài chính. Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trình Gauss, quá trình Markov, chuyể n động Brown và quá trình Poisson đều được đề cập. 1.1 Những khái niệm chung Cho (Ω, F, P) là k hông gian xác suất, tức là một bộ ba gồm • Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên. M ỗ i tập con của Ω gồm một số yếu tố n g ẫ u nhiên nào đó • F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ-trường các tập con của Ω. Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. • P là một độ đ o xác suất xác định trên không gian đo được (Ω, F) 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên (a) Một quá trình ngẫu nhiên X là một họ các biến ngẫu n hiên X = (X t (ω), t ∈ T ) trong đó T là một tập các chỉ số thực, T ⊆ R. T có thể hữu hạn, đếm được hoặc vô hạn không đếm được. Đôi khi ta cũng kí hiệu X t (ω) = X(t, ω). Vậy với 8 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN mỗi t, X t là một hàm đo đư ợc từ (Ω, F) và o (T, B T ) trong đó B T là σ-trường Borel trên T ⊆ R (b) Một quá trình ngẫu nhiên (X t , t ≥ 0) gọi là đo được là một hàm hai biến X(t, ω) xác định trên tích B R + ×Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo được đối với σ-trường tích B R + × F, trong đó B R + là σ-trường các tập Borel trên R + = [0, ∞). Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R thì tập hợp  (t, ω) ∈ R + × Ω : X (t, ω) ∈ B  là một phần tử của σ-trường tích B R + × F, σ-trường này là σ-trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng  [0, t] ×A : t ∈ R + , A ∈ F  (c) khi cố dịnh một ω ∈ Ω, thì ánh xạ riêng phần t → X (t, ω) từ R + vào R được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ≥ 0), ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω ấy. (d) Nếu X lấy giá trị trong không gian R n (n ≥ 1) thì ta có một quá trình ng ẫ u nhiên n-chiều. (e) Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán S t , giá trái phiếu P t , giá sản phẩm phái sinh C t đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc (a) Một họ các σ-trường con (F t, t ≥ 0) của F, F t ⊂ F, được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện th ông th ường nếu • Đó là một họ tăng theo t, tức là F s ⊂ F t nếu s < t, • Họ đó là liên tục phải, tức là F t =  ε>0 F t+ε • Nếu A ∈ F và P (A) = 0 thì A ∈ F 0 (và do đó A nằm trong mọi F t ). 9 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN (b) Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ≥ 0). Ta xét σ-trường F X t sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X s với s ≤ t : F X t = σ( X s , s ≤ t). σ−trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của X, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X. (c) Một khô ng gian xác suất (Ω, F, P) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (F t ), được gọi là một không gian xác suất có lọc và kí hiệu là (Ω, F, (F t ), P ). 1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng Cho một không gian xác suất có lọc (Ω, F, (F t ), P ). (a) Một biến ngẫu nhiên T được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0 {ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} ∈ F t (b) Một thời điểm Markov T được gọi là thời điểm dừng nếu T là hữu hạn hầu chắc chắn, tức là: P {ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} = 1 . 1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường 1.1.4.1 Định nghĩa (a) Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất, G là một σ-trường con của F, G ⊂ F và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (Ω, F) vào (R, B R ) trong đó B R là σ-trường các tập Borel tập đường thẳng R. Khi đó, một biến ngẫu nhiên X ∗ sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ-trường G, nếu: • X ∗ là biến ngẫu n hiên đo được đối với G. • Với mọi tạp A ∈ G thì ta có  A X ∗ dP =  A XdP Biến ngẫu nhiên X ∗ này s ẽ được ký hiệu là E(X|G). Ta chú ý rằng kỳ vọng có điều kiện E(X|G) là một biến ngẫu nhiên. 10 CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN (b) Nếu ta chọn σ-trường G là σ−trường σ(Y ) sinh ra bởi một b iến ngẫu nhiên Y nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được kí hiệu là E(X|Y ). 1.1.4.2 Các tính chất Ta có các hệ thức phát biểu dưới đây đều được hiểu theo nghĩa hầu chắc chắn: (1) Nếu G là σ-trường tầm thường {φ, Ω} thì E (X|G) = EX (2) Nếu X và Y là ha i biến ngẫu nhiên thì E (X + Y |G) = E (X|G) + E (Y |G) (3) Nếu X là đo được đ ố i với G thì E (XY |G) = XE (Y |G) Nói riêng, nếu c là một hằng số thì E (cY |G) = cE (Y |G) (4) Nếu G 1 ⊂ G 2 thì E (E (X|G 2 ) |G 1 ) = E (X|G 1 ) Nói riêng E (E (X|G)) = E (X) (5) Nếu X độc lập đối với G thì E (X|G) = E (X) (6) Nếu G và H là hai σ−trường con của F và độc lập đối với nhau, và X là biến ngẫu nhiên độc lập đối với G thì E (X|σ (G, H)) = E (X|H) . trong đó σ (G, H) là σ-trường nhỏ nhất chứa cả G lẫn H. 11 [...]... và Xt = eWt (với Wt là chuyển động Brown thường) không phải là các quá trình Gauss nhưng là Markov; trong khi đó thì quá trình Xt = quá trình Gauss t Ws ds tuy không phải là Markov nhưng lại là một 0 22 Chương 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố cơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên Chương này nói về tích. .. At là một quá trình tăng và thích nghi với (Ft ) 14 CHƯƠNG 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN (∗) Ứng dụng của lý thuyết martingale trong toán học tài chính Ý tưởng chính là như sau: Trong toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu St , giá trái phiếu Bt ) cũng như giá của các tài sản phái sinh (như giá Quyền chọn Vt ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên Nói chung chúng không... ngẫu nhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minh họa Phần I TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 2.1 2.1.1 Tích phân Ito Mục đích Ta biết rằng một hàm thực F (t) được gọi là có biến phân giới nội (hay còn gọi là biến phân hữu hạn) trên đoạn [a, b] nếu tồn tại một hằng số C sao cho với 23 CHƯƠNG 2 TÍCH... Công thức Itô Công thức Itô thực chất là công thức đổi biến trong Giải tích ngẫu nhiên: Từ một quá trình ngẫu nhiên Itô (Xt ) nếu ta biến đổi thành (Yt ) với Yt = g(t, Xt ) thì vi phân dY sẽ tính ra sao Công thức này rất cần thiết để tính tích phân ngẫu nhiên, để thực hiên các phép biến đổi ngẫu nhiên và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên Định lý Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt + f dW... nghĩa Tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên f (t, ω) là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại: b I= f (t, ω) dWt = a l.i.m max|ti+1 −ti |→0 f (ti , ω) [Wti+1 − Wti ] Chú ý: (a) Itô t Nếu trong tích phân trên, ta đặt a = 0 và b = t > 0 thì ta có tích phân f (s, ω) dWs phụ thuộc vào cận trên là t và từ nay, ta chỉ xét tích phân này 0 25 CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG... dQtt tồn tại, và quá trình L = (Lt , t ≥ 0) là một dP martingale đối với Ft (4) 1.1.6.3.Phân tích Doob-Meyer và ứng dụng trong toán tài chính Định lý 1.1.6.1 Nếu X = (Xt , t ≥ 0) là một martingale dưới đối với (Ft ), khả tích (tức E|Xt | < ∞, ∀t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân tích như sau: Xt = Mt + At trong đó Mt là một martingale đối với (Ft ) liên tục phải và At là một... 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Những quá trình ngẫu nhiên f (t, ω) nào thì có tích phân Itô? Người ta đã chứng minh được rằng đó là các quá trình f (t, ω) thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i) Đo được đối với σ -trường tích B[0,t] × F và thích nghi đối với Ft = FtW , trong đó B[0,t] là σ -trường Borel trên [0, t] và FtW là σ -trường sinh bởi chuyển động Brown Wt đã cho (b)... min(t, s) Định nghĩa 2 Một quá trình ngẫu nhiên X là một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (a) X0 = 0 hầu chắc chắn (b) Hiệu Xt − Xs là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai là t − s, (s < t) (c) Các số gia Xt4 − Xt3 và Xt2 − Xt1 (với mọi t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4 ) là các biến ngẫu nhiên độc lập 18 CHƯƠNG 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (b), phương sai của... f (s) dWs = f (t) Wt − 0 Ws df (s) 0 Đó là công thức tích phân từng phần của tích phân ngẫu nhiên Itô trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân là tất định Chú ý rằng, theo giả thiết f là khả vi nên nó có biến phân giới nội trên đoạn [0, t] và do đó tích phân t Ws df (s) là có nghĩa 0 Trong trường hợp tổng quát, nếu f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên với quỹ đạo có biến phân giới nội, thì ta có công... tục với nguyên hàm là U(x) thì người ta có thể chứng minh được công thức t h (Ws ) ◦ dWs = U (Wt ) − U (Wt0 ) t0 (Thực ra, cả hai vế đều bằng t h (Ws ) dWs + t0 31 1 2 t t0 h (Ws ) ds) ′ CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Do công thức trên, có thể áp dụng được các quy ước của tích phân xác định trong Giải tích cổ điển cho tích phân Stratonovich, chẳng hạn t 0 t 0 2 Ws ◦ . ngẫu nhiên Tích p hân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố cơ bả n cấu thàn h môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫu nhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên. 35 2.5 Tính Markov của lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 41 Phần I. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH . . . . . . . vi phân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minh họa. Chương III. Vài ứng dụng trong thị trường tài chính Chương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài