Ma trận ngẫu nhiên và ứng dụng

Mục lục Lời nói đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Kiến thức cơ bản của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Tập trung độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Các khái niệm cơ bản về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Các dạng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Vết của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Ma trận ngẫu nhiên 16 2.1 Mô hình ma trận ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Tập hợp các ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE) . 16 2.1.2 Tập hợp các ma trận Unita có phân bố Gauss (GUE) . . . 18 2.1.3 Tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE) . 20 2.2 Phân bố giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Phân bố chính xác (với n hữu hạn) . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Định lí Wigner và luật bán nguyệt (với n lớn) . . . . . . . 24 2.2.3 Luật Tracy Widom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Ma trận hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Luật Marchenko-Pastur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2 Luật Marchenko-Pastur đối với trường hợp độc lập cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4 2.3.3 Luật Marchenko-Pastur đối với trường hợp không phải độc lập cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Tích của hai ma trận ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 Toán tử chuẩn ma trận ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.1 Phương pháp ε lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.2 Phương pháp đối số đối xứng (tùy chọn) . . . . . . . . . . 53 2.5.3 Phương pháp tập trung độ đo. . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.4 Phương pháp moment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 Ứng dụng 62 3.1 Trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.1 Định nghĩa và kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.2 Vật lý hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 Truyền thông không dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.1 Mô hình kênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.2 Kênh ma trận ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.3 Hệ thống tiền mã hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.4 Mô hình chung DS-CDMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Kết luận 77 Phụ lục 78 Tài liệu tham khảo 79 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên nghiên cứu về những ma trận có các phần tử là các biến ngẫu nhiên (hay nghiên cứu về các biến ngẫu nhiên lấy giá trị trong không gian các ma trận). Vì vậy, trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất và ma trận mà sẽ được dùng ở các chương sau của luận văn. 1.1 Kiến thức cơ bản của xác suất Xét không gian xác suất cơ sở (Ω, F, P), trong đó: Ω là không gian mẫu gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên. Mỗi kết quả w ∈ Ω gọi là một điểm mẫu hay là một biến cố sơ cấp. Ta còn có thể gọi Ω là không gian các biến cố sơ cấp. F là σ - đại số (σ - trường) các biến cố. Tức F là một họ các tập con của Ω thỏa mãn 3 điều kiện: • Ω ∈ F • Nếu E ∈ F thì Ω \ E = E c = E ∈ F • Nếu E 1 , E 2 , . . . ∈ F và E i ∩ E j = ∅(i = j) thì  ∞ n=1 E n ∈ F Mỗi tập E ∈ F gọi là biến cố. P là độ đo xác suất xác định trên F. Tức là ánh xạ P : F → R thỏa mãn 3 điều kiện sau: • P(E) ≥ 0 với mọi E ∈ F • P(Ω) = 1 6 • Nếu E 1 , E 2 , . . . ∈ F và E i ∩ E j = ∅(i = j) thì P(  ∞ n=1 E n ) =  ∞ n=1 P(E n ) 1.1.1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1. (Biến ngẫu nhiên) Cho (R, R) là không gian đo được (tập R được trang bị σ - đại số các tập con của R). Biến ngẫu nhiên lấy giá trị trong R (biến ngẫu nhiên R - giá trị) là một ánh xạ X đo được từ không gian mẫu đến R, tức là một hàm X : Ω → R sao cho X −1 (S) là một biến cố với mọi S ∈ R. Chúng ta xét một vài ví dụ về biến ngẫu nhiên: • Biến ngẫu nhiên rời rạc, trong đó R là tập đếm được và R = 2 R là σ-đại số rời rạc gồm tất cả các tập con của R. Ví dụ điển hình của R là tập con đếm được các số thực hoặc phức. Nếu R = {0, 1}, chúng ta nói các biến ngẫu nhiên là Boolean, nếu R = {c} chúng ta nói các biến ngẫu nhiên là tất định. • Các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, trong đó R là đường thẳng thực và R là σ-đại số Borel, được tạo ra bởi các tập mở của R. • Các biến ngẫu nhiên có giá trị phức, nhận giá trị trong mặt phẳng phức với σ - đại số Borel. Khi xét các biến ngẫu nhiên có giá trị phức, các biến cố {|X − z| < r} với số phức z và r > 0 (nhỏ) có vai trò quan trọng. • Biến ngẫu nhiên giá trị vector trong không gian vector hữu hạn chiều, có giá trị trong R n hoặc C n với σ-đại số Borel. Ta có thể xem biến ngẫu nhiên giá trị vector X = (X 1 , . . . , X n ) là biến ngẫu nhiên đồng thời của các biến ngẫu nhiên vô hướng thành phần X 1 , . . . , X n . • Biến ngẫu nhiên có giá trị ma trận hoặc ma trận ngẫu nhiên, nhận giá trị trong không gian M n×p (R) hoặc M n×p (C) các ma trận có giá trị thực hoặc phức cấp n ×p, với σ-đại số Borel, trong đó n, p ≥ 1 là các số nguyên (thường tập trung vào trường hợp n = p). Ta có thể xem biến ngẫu nhiên có giá trị ma trận X = (X ij ) 1≤i≤n;1≤j≤p là biến ngẫu nhiên đồng thời của các biến vô hướng thành phần X ij . Có thể áp dụng tất cả các phép toán ma trận thông thường (ví dụ như tổng, tích, định thức, vết, nghịch đảo, vv) trên ma trận ngẫu nhiên để có được biến ngẫu nhiên mới. 7 Định nghĩa 1.2. (Ký hiệu tiệm cận) Kí hiệu X = O(Y ), Y = Ω(X), X  Y , hoặc Y  X để biểu thị |X| ≤ CY với C không phụ thuộc n và n ≥ C. Kí hiệu X = o(Y ) nếu |X| ≤ c(n)Y với c → 0 khi n → ∞. Nếu X  Y  X thì kí hiệu X ∼ Y hay X = Θ(Y ) . Cho biến cố E = E n phụ thuộc vào tham số n, Ta có: • Biến cố E là chắc chắn (hay đúng) nếu nó bằng biến cố Ω, ∅. • Biến cố E là hầu chắc chắn (hoặc với xác suất đầy đủ) nếu nó xảy ra với xác suất 1, P(E) = 1. • Biến cố E có xác suất áp đảo (Overwhelming probabitily) nếu với mọi A > 0 cố định, nó xảy ra với xác suất 1 − O A (n −A ) (tức là P(E) ≥ 1 − C A n −A với C A độc lập với n). • Biến cố E có xác suất cao (Hight probabitily) nếu có xác suất 1 −O(n −c ) với c > 0 độc lập với n (tức là P(E) ≥ 1 − Cn −c với C độc lập với n). • Biến cố E là tiệm cận hầu chắc chắn nếu nó có xác suất 1 −o(1), do đó xác suất tiến đến 1 khi n → ∞. 1.1.2 Các bất đẳng thức cơ bản Với X là biến ngẫu nhiên, chúng ta có một số khái niệm: • X bị chặn chắc chắn nếu tồn tại M > 0 sao cho |X| ≤ M chắc chắn. • X bị chặn hầu chắc chắn nếu tồn tại M > 0 sao cho |X| ≤ M hầu chắc chắn. • X dưới Gauss (Subgaussian) nếu tồn tại C, c > 0 sao cho P(|X| ≥ λ) ≤ C exp(−cλ 2 ) với mọi λ > 0. • X có đuôi dưới mũ (Sub-exponential tail) nếu tồn tại C, c, a > 0 sao cho P(|X| ≥ λ) ≤ C exp(−cλ a ) với mọi λ > 0. • X có moment cấp k hữu hạn với k ≥ 0 nếu tồn tại C sao cho E|X| k ≤ C. • X khả tích tuyệt đối nếu E|X| < ∞. • X hữu hạn hầu chắc chắn nếu |X| < ∞ hầu chắc chắn. 8 Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Markov [8]) Với X là biến ngẫu nhiên không âm, ta có: P(X ≥ λ) ≤ 1 λ EX (1.1) Với X là biến ngẫu nhiên bất kỳ, ta có P(|X| ≥ λ) ≤ 1 λ E|X| (1.2) Hệ quả 1.1. (Bất đẳng thức Chebyshev [8]) P(|X − E(X)| ≥ λ) ≤ Var(X) λ 2 (1.3) Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Jensen [8]) Cho F : R → R là hàm lồi (tức là F ((1 − t)x + ty) ≥ (1 − t)F(x) + tF(y) với mọi x, y ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1 ) và X là biến ngẫu nhiên bị chặn giá trị thực. Thì EF (X) ≥ F(EX). Định lý 1.3. (Bất đẳng thức Bernstein trong trường hợp đơn giản nhất [8]) Nếu X 1 , . . . , X n là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập nhận giá trị +1 và −1 với xác suất 1/2, thì với mọi số thực dương ε ta có P       1 n n  i=1 X i      > ε  ≤ 2 exp  − nε 2 2(1 + ε/3)  . 1.1.3 Sự hội tụ Giả sử X 1 , X 2 , . . . là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất. Để cho gọn ta dùng kí hiệu (X n ) để chỉ dãy biến ngẫu nhiên. Hội tụ hầu chắc chắn: Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho X n (w) → X(w), w /∈ A hoặc tương đương: P(lim sup |X n − X| > ε) = 0 Sự hội tụ hầu chắc chắn được kí hiệu là: X n a.s → X. Hội tụ theo xác suất: Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với ε > 0 bất kì lim n→∞ P(|X n − X| > ε) → 0 9 Sự hội tụ theo xác suất được kí hiệu là: X n P → X. Trong lí thuyết hàm biến thực, thuật ngữ hội tụ theo xác suất chính là hội tụ theo độ đo. Hội tụ theo phân bố: Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) được gọi là hội tụ phân bố đến X nếu, với mỗi hàm liên tục bị chặn F : R → R, có lim n→∞ EF (X n ) = EF (X) 1.1.4 Tính độc lập Định nghĩa 1.3. Một họ (X α ) α∈A các biến ngẫu nhiên (có thể là hữu hạn, vô hạn đếm được, hoặc vô hạn không đếm được) được gọi là cùng độc lập nếu phân bố của (X α ) α∈A là độ đo tích của các phân bố thành phần X α . Một họ (X α ) α∈A là độc lập từng cặp nếu (X α , X β ) là cùng độc lập với mọi α.β ∈ A phân biệt. Tổng quát, (X α ) α∈A là độc lập k-cặp nếu (X α 1 , . . . , X α k  ) là cùng độc lập với mọi 1 ≤ k  ≤ k và mọi α 1 , . . . , α k  phân biệt. 1.1.5 Tập trung độ đo Giả sử ta có số lượng lớn biến ngẫu nhiên độc lập vô hướng X 1 , , X n . Nếu mỗi X i thay đổi trong khoảng O(1), thì dĩ nhiên tổng của chúng S n = X 1 +. . .+X n thay đổi trong khoảng O(n). Tuy nhiên hiện tượng tập trung độ đo, khẳng định rằng nếu có đủ số lượng các biến độc lập thành phần X 1 , , X n , thì tổng này tập trung mạnh trong một phạm vi hẹp hơn nhiều, thường là trong khoảng O( √ n). A. Tổ hợp tuyến tính và phương pháp moment Đối với trường hợp biến ngẫu nhiên bị chặn: Phương pháp moment cấp 0 đưa ra giới hạn trên thô khi S khác không, P(S n = 0) ≤ n  i=1 P(X i = 0). (1.4) Phương pháp moment cấp một đưa ra giới hạn E|S n | ≤ n  i=1 E|X i |. Kết hợp bất đẳng thức Markov (1.2) ta có bất đẳng thức độ lệch lớn P(|S n | ≥ λ) ≤ 1 λ n  i=1 E|X i | (1.5) 10 Bây giờ xét phương pháp moment cấp hai. Ta có: E|S n | 2 = n  i=1 n  j=1 EX i X j . Do đó: VarS n = n  i=1 Var(X i ). Kết hợp với bất đẳng thức Chebyshev (1.3) đưa ra bất đẳng thức độ lệch lớn P(|S n − ES n | ≥ λ) ≤ 1 λ 2 n  i=1 Var(X i ). (1.6) Bây giờ chúng ta chuyển sang những moment cấp cao hơn. Giả sử chuẩn hóa X i có trung bình 0, phương sai không quá 1 và độ lớn bị chặn hầu chắc chắn bởi K, |X i | ≤ K (a.s). Để đơn giản, ta giả sử X i có giá trị thực, trường hợp giá trị phức là tương tự. Giả sử rằng X 1 , , X n là độc lập k-cặp với k là số nguyên dương chẵn. Chúng ta tính moment cấp k: E|S n | k =  1≤i 1 ≤i k ≤n EX i 1 . . . X i k Nếu các X i j chỉ xuất hiện một lần, thì kỳ vọng là 0 (do X i j có trung bình 0). Vì vậy có thể giả sử mỗi X i j xuất hiện ít nhất hai lần. Do đó sẽ có nhiều nhất k/2 X i j xuất hiện riêng biệt. • Nếu có chính xác k/2 xuất hiện, thì từ giả thiết phương sai đơn vị chúng ta thấy rằng kỳ vọng có độ lớn tối đa là 1. • Nếu có k/2 − r xuất hiện, thì từ giả thiết phương sai đơn vị và giới hạn trên bởi K chúng ta thấy kỳ vọng có độ lớn tối đa là K 2r . Điều này dẫn đến giới hạn trên E|S n | k ≤ k/2  0 K 2r N r . Với N r là số cách gán số nguyên i 1 , . . . , i k trong {1, . . . , n}, sao cho mỗi i j xuất hiện ít nhất hai lần và có chính xác k/2 −r số nguyên xuất hiện. Sử dụng giới hạn thô: Có  n k 2 − r  ≤ n k/2−r (k/2 −r)! cách lựa chọn (k/2 − r) số nguyên từ {1, . . . , n}. Mỗi số nguyên i j lấy từ một trong (k/2 −r) số nguyên, dẫn đến giới hạn thô: N r ≤ n k/2−r (k/2 −r)! (k/2 −r) k Theo công thức Stirling n! ≥ n n e −n (xem [5]) đưa ra N r ≤ n k 2 −r ( k 2 − r) k 2 −r e −( k 2 −r) ( k 2 − r) k = (en) k 2 −r ( k 2 − r) k 2 +r ≤ (en) k 2 −r ( k 2 ) k 2 +r 11 Do đó: E|S n | k ≤ (en k 2 ) k/2 k/2  0 ( K 2 k en ) r . Nếu chúng ta giả sử: K 2 ≤ n/k. Thì: E|S n | k ≤ (enk/2) k/2 k/2  0 1 e r . Do k/2  0 1 e r ≤ 2 nên: E|S n | k ≤ 2(enk/2) k/2 . Điều này dẫn đến bất đẳng thức độ lệch lớn: P(|S n | ≥ λ √ n) ≤ E|S n | k (λ √ n) k = 2(  ek/2 λ ) k . (1.7) Khá phức tạp khi chúng ta kiểm soát những moment lớn E|S n | k . Tuy nhiên có phương pháp Chernof thực hiện dễ dàng hơn thông qua moment lũy thừa: Lấy φ(x) = e tx . Thì: P(X ≥ a) = P(e tX ≥ e ta ) ≤ Ee tX e ta Bổ đề 1.1. (Bổ đề Hoefding [8]) Cho X là biến vô hướng lấy giá trị trong [a, b], với t > 0 bất kỳ Ee tX ≤ e tEX (1 + O(t 2 Var (X) exp(O(t(b −a))))). (1.8) Đặc biệt Ee tX ≤ e tEX exp(O(t 2 (b −a) 2 )). (1.9) Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Chernof [8]) Cho X 1 , . . . , X n là các biến ngẫu nhiên vô hướng độc lập, |X i | ≤ K hầu chắc chắn với trung bình µ i và phương sai σ 2 i . Thì với mọi λ ≤ 0, có: P(|S n − µ| ≥ λσ) ≤ C max(exp(−cλ 2 ), exp(−cλσ/K)). (1.10) trong đó C, c > 0, µ := n  i=1 µ i và σ 2 := n  i=1 σ 2 i . Với các biến ngẫu nhiên X 1 , . . . , X n , độc lập cùng phân bố với kỳ vọng µ phương sai σ 2 , bất đẳng thức Chernof khẳng định rằng S n tập trung mạnh trong phạm vi nµ + O(σ √ n). ✸ B. Phương pháp chặt cụt Đối với trường hợp biến ngẫu nhiên không bị chặn ta sử dụng phương pháp chặt cụt. Kí hiệu: X i,≤N := X i I(|X i | ≤ N) 12 X i,>N := X i I(|X i | > N) khi đó ta chia biến ngẫu nhiên X i thành X i = X i,≤N + X i,>N với N là tham số chặt cụt được tối ưu hóa sau (phụ thuộc n). Tương tự chia S n = S n,≤N + S n,>N , với S n,≤N = X 1,≤N + . . . + X n,≤N S n,>N = X 1,>N + . . . + X n,>N Chúng ta ước tính phần đuôi của S n,≤N và S n,>N bằng hai phương pháp khác nhau. Với S n,≤N , biến X i,≤N bị chặn, do đó sử dụng bất đẳng thức độ lệch lớn. Với S n,>N , biến X i>N không bị chặn, nhưng chúng tiến đến moment cấp 0 và cấp một nhỏ, do đó sử dụng phương pháp moment. Chúng ta sẽ bắt đầu với một ứng dụng của phương pháp này. Định lý 1.5. (Luật yếu số lớn [8]). Cho X 1 , X 2 , . . . là các biến ngẫu nhiên vô hướng độc lập cùng phân bố với X, trong đó X khả tích tuyệt đối. Thì S n /n hội tụ theo xác suất đến EX. Chứng minh. Bằng cách trừ EX từ X, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng X có trung bình 0. Chúng ta cần chứng minh: P (|S n | ≥ nε) = o(1) với mọi ε > 0 cố định. Nếu X có phương sai hữu hạn, thì từ (1.6) có điều cần khẳng định. Nếu X có phương sai vô hạn, chúng ta thực hiện phương pháp chặt cụt như sau. Chia X i = X i,≤N + X i,>N , S n = S n,≤N + S n,>N (và X = X ≤N + X >N ) như ở trên và N lựa chọn sau. Biến X ≤N là bị chặn và do đó phương sai bị chặn, từ các định lý hội tụ trội chúng ta thấy rằng |EX ≤N | ≤ ε/4 nếu N là đủ lớn. Từ (1.6), chúng ta kết luận P(|S n≤N | ≥ εn/2) = o(1) Trong khi đó, để giải quyết X >N chúng ta dùng (1.5): P(|S n>N | ≥ εn/2) ≤ 2 ε E|X >N | Theo định lý hội tụ đơn điệu, chúng ta có thể làm cho E|X >N | nhỏ tùy ý (có thể nhỏ hơn so với δ > 0) bằng cách lấy N đủ lớn. Vậy chúng ta có: P(|S n | ≥ nε) = 2 ε δ + o(1), với mọi δ . 13 [...]... (1.12) và với hằng số C, c > 0, MF (X) là trung vị của F (X) 1.2 1.2.1 Các khái niệm cơ bản về ma trận Các dạng ma trận Cho ma trận:  a11 a12  a21 a22 A=  am1 am2  a1n a2n   = (aij )m×n  amn ta xét một số loại ma trận sau đây: Ma trận vuông: là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n) Ma trận tam giác trên: là ma trận vuông mà các phần tử dưới đường chéo chính của ma trận bằng 0 Ma trận. .. dưới: là ma trận vuông mà các phần tử phía trên đường chéo chính của ma trận bằng 0 14 Ma trận đường chéo: là ma trận vuông có tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 Ma trận đối xứng: là ma trận vuông có các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau aij = aji , với mọi i, j Ma trận chuyển vị: là ma trận nhận được bằng cách đổi hàng thành cột và ngược lại Thường kí hiệu ma trận chuyển... kí hiệu ma trận chuyển vị của A là AT Ma trận trực giao: là ma trận vuông có các phần tử là số thực sao cho ma trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó, AT A = AAT = I Ma trận phức liên hợp: là ma trận nhận được từ ma trận ban đầu bằng cách thay phần tử a + ib bởi a − ib Ký hiệu A∗ là ma trận phức liên hợp của A Ma trận Hermit (ma trận phức đối xứng): là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo... hợp các ma trận unita có phân bố Gauss (GUE) với β = 2 và tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE) với β = 4 21 2.2 Phân bố giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên Trong phần trước chúng ta đã biết phân bố của các ma trận ngẫu nhiên thuộc Gβ − Gauss có dạng (2.9) nên các phân bố này chỉ phụ thuộc vào các giá n trị riêng của ma trận Do đó mối quan tâm đặc biệt của RMT là dáng điệu ngẫu nhiên của... là ma trận ngẫu nhiên Có khá nhiều cách phân loại ma trận ngẫu nhiên tuy nhiên cách phân loại dựa theo phân bố của các ma trận được nhiều người quan tâm Chính vì vậy chúng tôi lựa chọn cách phân loại đó trong luận văn này Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra ba lớp ma trận cơ bản được đề xuất bởi Wigner: tập hợp các ma trận trực giao có phân bố Gauss (Gaussian orthogonal ensemble) (GOE), tập hợp các ma trận. .. kì, P là ma trận vuông cấp n × n và khả nghịch Liên hợp của A theo P là P AP −1 , khi đó ta có: tr(A) = tr(P AP −1 ) Một số tính chất khác: tr(A) = tr(AT ) tr(AB) = tr(BA) tr(A + B) = tr(A) + tr(B) tr(cA) = c.tr(A) 15 Chương 2 Ma trận ngẫu nhiên 2.1 Mô hình ma trận ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (Ω, F, P) Xét ma trận vuông M = (Mij )1≤i,j≤n , với n là số nguyên dương và Mij là các biến ngẫu nhiên. .. GOE là tập hợp các ma trận ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất là: ρ(M ) = 1 2n/2 π 1 e− 2 tr(M n(n+1)/4 2 ) và phân bố của nó bất biến dưới phép biến đổi trực giao 2.1.2 Tập hợp các ma trận Unita có phân bố Gauss (GUE) Xét ma trận ngẫu nhiên Hermit M = (Mij )n×n với các phần tử là các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị phức có dạng Mij = xij + iyij 1 2 với xij , yij là các biến ngẫu nhiên độc lập Trong... = + ajk 1 + bjk i1 + cjk i2 + djk i3 xác định bởi qjk = qkj Ma trận Q là tự đối ngẫu nếu như Q = Q+ Nhóm đối xứng Sp (n) là tập các ma trận Quaternion cấp n × n sao cho: SS + = S + S = I Định nghĩa 2.2 Tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE) là tập các ma trận Quaternion tự đối ngẫu Q = (qjk )n×n có các phần tử là biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập có hàm mật độ xác suất ρ(qjk ) =   2 2... π2 j < k Tương tự như của GOE và GUE, ta có: ρ(Q) = 2n(4n−3)/2 exp(−2trQ2 ) π n(2n−1)/2 Nếu kí hiệu β=  1  2 4 với các ma trận thuộc GOE với các ma trận thuộc GUE với các ma trận thuộc GSE 20 thì hàm mật độ xác suất của ma trận ngẫu nhiên thuộc 3 tập hợp kể trên có dạng β ρ(M ) = Cβ exp(− tr(M 2 )) 2 (2.9) Để cho ngắn gọn, chúng tôi kí hiệu Gβ − Gauss là tập hợp các ma trận trực n giao có phân bố... đối xứng qua đường chéo chính là những số phức liên hợp 1.2.2 Vết của ma trận Vết của ma trận vuông A cấp n × n được xác định bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính n tr(A) = a11 + a12 + + ann = aii i=1 n Tương đương với vết của ma trận là tổng các giá trị riêng của nó: tr(A) = λi i=1 với λi là giá trị riêng của A Và vết bất biến khi thay đổi cơ sở Vết của ma trận liên hợp: Cho A là ma trận . số loại ma trận sau đây: Ma trận vuông: là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n). Ma trận tam giác trên: là ma trận vuông mà các phần tử dưới đường chéo chính của ma trận bằng 0. Ma trận tam. liên hợp: là ma trận nhận được từ ma trận ban đầu bằng cách thay phần tử a + ib bởi a −ib. Ký hiệu A ∗ là ma trận phức liên hợp của A. Ma trận Hermit (ma trận phức đối xứng): là ma trận vuông với. c.tr(A) 15 Chương 2 Ma trận ngẫu nhiên 2.1 Mô hình ma trận ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Xét ma trận vuông M = (M ij ) 1≤i,j≤n , với n là số nguyên dương và M ij là các biến ngẫu nhiên xác