3 Ứng dụng
3.2.4 Mô hình chung DS-CDMA
Quay trở lại hệ thống DS-CDMA và xét mô hình tổng quát hơn với thông tin được truyền tải đồng thời đến nhiều ăngten. Giả sử cón người dùng với dãy lan truyền p chiều hi ấn định vào người dùng thứ i. Cho xi ∈ R biểu thị biểu tượng truyền người dùng thứ i, giả sử các biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập cùng
phân bố trên người dùng và Ti ∈ R+ người dùng thứ i của truyền tải. Cho L
là số ăng ten và γy(l) kênh thu được từ người dùng thứ i đến ăngten l. Với xl
và ul tương ứng biểu thị vector tín hiệu thu được và vector tiếng ồn thu được đến ăngten l thì mô hình ma trận trong cho việc truyền tải đến ăngten thứ l với
si =si(l) = xi√ Tiγi(l): xl = n X i=1 xipTiγi(l)hi+ul
Ma trận Hvẫn giữ nguyên cho mọi ăngten. Giả sử các phần tử của ul là độc lập cùng phân bố với trung bình không và moment cấp hai bằng σ2.
Cho x = [x01, x02, . . . , x0l]0. Ước lượng xi cho từng người dùng được thực hiện bằng cách lấy tích trong của x với vector ci ∈ Cpl thích hợp, được gọi là máy thu tuyến tính cho người dùng i, xác định:
ˆ hi =pTi[γi(1)h0y, γi(2)h0y, . . . , γi(l)h0y]0 đại lượng c |c∗1ˆh1|2 σ2||c1||2+ n P i=2 c∗1ˆh1|2
được gọi là tỷ lệ tín hiệu nhiễu liên quan đến người dùng 1 và thường được sử dụng như độ đo để đánh giá hiệu quả hoạt động của người nhận.
Định lý 3.1. ([3], p.453) Cho {hij :i, j = 1,2, . . .} là mảng hai chiều vô hạn các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố với exph11 = 0, exp|h11|2 = 1. Xác định với i= 1,2, . . . , n, hi =hi(n) = (h1i, h2i, . . . , hpi)0. Giả sử n =n(p) và n/p →y >0
khi p→ ∞. Với mỗi pcho γi(l) = γil(p)∈C,Ti=Tip∈R+, i= 1, . . . , n, l= 1, . . . , L
là các biến ngẫu nhiên, độc lập với h1, . . . , hn. Với mỗi p, i cho
αi =αip=pTi(γi(1), . . . , γi(L))0
Giả sử hầu chắc chắn rằng phân bố thực nghiệm của α1, . . . , αn hội tụ yếu đến phân bố xác suất H trong CL.
Cho βi=βi(p) =√ Ti(γi(1)h0i, . . . , γi(L)h0i)0 và C =C(p) = 1 p n X i=2 βiβi∗ Định nghĩa SIRA1 = 1 pβ ∗ 1(C+γ2I)−1β1
thì với xác suất 1,
lim
p→∞SIR1=T1Xγ1(l)γ1(l0)al,l0
với ma trận A= (al,l0) không ngẫu nhiên, Hermit xác định dương và là ma trận Hermit xác định dương duy nhất thỏa mãn:
A= yE αα ∗ 1 +α∗Aα +σ 2IL
KẾT LUẬN
Luận văn "Ma trận ngẫu nhiên và ứng dụng " đã đạt được một số kết quả sau:
- Nghiên cứu ba mô hình ma trận ngẫu nhiên đặc biệt, đưa ra phân bố của từng mô hình ma trận ngẫu nhiên.
- Đưa ra phân bố giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên: phân bố chính xác của giá trị riêng khi kích thước ma trận nhỏ và phân bố giới hạn các giá trị riêng của ma trận khi kích thước tiến tới vô cùng (phân bố luật bán nguyệt). Đưa ra phân bố của giá trị riêng lớn nhất theo luật Tracy - Widom.
- Nghiên cứu về ma trận hiệp phương sai, đưa ra định lí hội tụ của phân bố thực nghiệm các giá trị riêng của ma trận hiệp phương sai đến luật Marchenko - Pastur.
- Đưa ra định lý về tích hai ma trận ngẫu nhiên: phân bố thực nghiệm của tích giữa ma trận hiệp phương sai và một dãy ma trận Hermit tiến đến giới hạn không ngẫu nhiên.
- Đánh giá giới hạn xác suất đuôi toán tử chuẩn của ma trận ngẫu nhiên bởi các phương pháp: ε lưới, tập trung độ đo và phương pháp moment.
- Về ứng dụng: trong vật lí, đưa ra sự so sánh của các dữ liệu thử nghiệm với dự đoán của lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, hệ thống càng phức tạp thì thử nghiệm càng gần với dự đoán. Trong truyền thông không dây, đưa ra một số kết quả ứng dụng quan trọng của lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, các vấn đề mô hình hóa bởi ma trận ngẫu nhiên. Thấy được sự liên kết giữa hai ngành toán học và kĩ thuật.
PHỤ LỤC Concentration of measure: tập trung độ đo.
Empirical distribution: phân bố thực nghiệm (ESD). Exact distribution: phân bố chính xác.
Direct - sequence code - division system: hệ thống truy cập trực tiếp đa dãy mã phân (DS - CDMA).
Gauss orthogonal ensemble: tập hợp các ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE).
Gauss symplectic ensemble: tập hợp các ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GUE).
Gauss unitary ensemble: tập hợp các ma trận unita có phân bố Gauss (GSE). Hight probabitily: xác suất cao.
Independent and identically distributed: độc lập cùng phân bố. Limiting spectral distribution: giới hạn phân bố phổ (LSD). Linearly precoded system: hệ thống tiền mã hóa tuyến tính. Moment convergency theorem: định lý hội tụ moment (MCT). Multicarrier CDMA: đa sóng CDMA (MC - CDMA).
Multiple - access system: hệ thống đa truy cập (MA).
Multiple - input Multiple - output antenna system: hệ thống angten đa đầu vào - đa đầu ra (MIMO).
Nearest neighbour spacing: khoảng trống lân cận gần nhất (NNS). Nuclear data ensemble: tập hợp dữ liệu hạt nhân (NDE).
Orthogonal frequency division multiplexing: ghép kênh phân chia tần số trực giao (OFDM).
Overwhelming probabitily: xác suất áp đảo.
Random matrix theory: lý thuyết ma trận ngẫu nhiên (RMT). Semicircular distribution: phân bố bán nguyệt.
Sequence of levels: dãy mức độ.
Single - carrier system: hệ thống đơn sóng (SC).
Spatial division multiple access: phân chia không gian đa truy cập (SDMA). Step function: hàm bước nhảy.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2009),Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục. [2] Anderson.G, Guionnet.A, Zeitouni.O,An introduction to Random Matrices,
Cambridge University Press.
[3] Bai.Z, Silverstein.J (2010), Spectral analysis of large dimensional random matrices, Springer.
[4] Deift.P (1999),Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A Riemann- Hilbert Approach. Courant Lecture Notes in Mathematics 3. New York Uni- versity, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, American Mathematical Society, Providence, RI.
[5] Edelman.A, Rao.N.R (2005),Random matrix theory, Cambridge University Press.
[6] Mehta. M (2004),Random matrices, third edition. Elsevier/Academic Press, Amsterdam.
[7] Talagrand.M (1995), Concentration of measure and isoperimetric inequali- ties in product spaces, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.
[8] Tao. T (2010), Topics in random matrix theory, lectures, Los Angeles. [9] Izenman.A.J (2008), Introduction to Random Matrix Theory, article. [10] Zyl.A.J (2005),Basic Concepts of Random Matrix Theory, Thesis presented
in partial fulfilment of the requirements for the degree of Master of Physics at the University of Stellenbosch.