Định nghĩa và kết quả liên quan

3 Ứng dụng

3.1.1 Định nghĩa và kết quả liên quan

1. Dãy mức độ (Sequence of levels) ([10], p.11): Có một câu hỏi trong nhiều ngành khoa học đó là làm thế nào để sắp xếp không gian, thời gian, các đại lượng trừu tượng khác theo số chiều. Để trả lời câu hỏi này, ta có thể sử dụng ánh xạ chiếu dãy đó vào đường thẳng thực, vd: {x1, x2, . . . , xN}. RMT không nghiên cứu về phân bố trung bình của dãy mức độ mà nghiên cứu dao động trung bình của từng cá nhân so với phân bố trung bình của chúng.

2. Mức độ thống kê

A. Phân bố khoảng trống lân cận gần nhất (Nearest neighbour spacing) (phân bố NNS) ([10], p.12): Thấy rằng mật độ trung bình của mỗi trường hợp trong hình 3.1 được xây dựng giống nhau. Nên để thấy sự khác biệt ta phải xét phân bố, khoảng cách giữa các mức liên tiếp. Xét dãy {x1 ≤ x2 ≤x3 ≤ . . .≤ xn}, dãy {s1, s2, . . . , sn−1} là dãy chuẩn hóa của hiệu giữa

Hình 3.1: Ánh xạ chiếu trên đường thẳng thực của một số trường hợp các mức liên tiếp:

si= xi+1−xi D

với D là khoảng trống trung bình của dãy.

Thực tế, khi làm việc với khoảng trống chuẩn hóa sẽ đơn giản hơn.

Định nghĩa 3.1. Hàm mật độ xác suất NNS ρ(x) cho bởi: ρ(s)ds đưa ra xác suất tìm si trong khoảng (s, s+ds) nghĩa là xác suất tìm mật độ tại xi và mức độ tiếp theo nằm trong khoảng giữa s và s+ds.

Đối với dãy phân bố đều (cột bên phải của hình 3.1) phân bố NNS được đưa ra:

ρ(s)ds=δ(s−1)ds (3.1)

với δ là hàm delta Dirac

Phân bố NNS của dãy ngẫu nhiên:

ρ(s)ds=e−sds (3.2)

Đây là phân bố Poisson.

Wigner phỏng đoán rằng với một dãy đơn giản (dãy đơn giản là dãy mức độ với tính quay tròn và chẵn lẻ giống nhau), xác suất tìm mức xi+1 từ mức xi đã biết với khoảng cách giữa s và s+ds, là tỉ lệ với khoảng cách từ sso với xi. Hàm phân phối NNS được cho như sau:

ρ(s)ds= πs 2 e

−πs2

Đối với GOE, GUE, GSE, phỏng đoán Wigner cung cấp một xấp xỉ rất tốt: GOE :pw1(s) = π 2sexp( −πs2 4 ) GU E :pw2(s) = 2 18 36π3s4exp(−4s2 π ) GSE:pw4(s) = 32 π2s2exp(−64s2 9π )

với s là khoảng cách giữa hai mức độ liên tiếp.

B. Hàm tương quan hai mức độ (Two level correlation function) ([10], p.14): X2(α, β) đưa ra xác suất tìm hai mức độ trong dãy {x1, . . . , xN} trong khoảng nhỏ (α, α+dα) và (β, β+dβ). Gọi r khoảng cách giữa α và β. Với dãy phân bố đều thì:

X2(r) = 1 C

X

i>0

δ(r−1) (3.4)

C. Phương sai ([10], p.15): Cho nL(x) là số mức trong khoảng độ dài L bắt đầu từ x. Phương sai cho bởi:

NV(L) =< nL(x)2 >x−< nL(x)>2x (3.5) với < . >x là trung bình trên mọi vị trí bắt đầu từx=xi. Nếu dãy mức độ được chuẩn hóa sao cho khoảng trống trung bình giữa mức độ liên tiếp là 1,< n(x)>x

là L. Thì trong khoảng độ dài L, ta kì vọng tìm L+−pNV(L)

D. Số liệu thống kê 43 ([10], p.15) được đưa ra bởi Dyson và mehta, có tên là phổ cứng. Mật độ xác suất của mật độ phổ được cho bởi tổng hàm delta Dyrac: ρ(x) = 1 N N X i=1 δ(x−xi) (3.6)

với xi là mức độ trong dãy mức độ {x1 ≤x2≤. . .≤xN}. Định nghĩa 3.2. Hàm bước nhảy (Step function):

n(x) =

Z x

−∞

ρ(x0)dx0 (3.7)

Nếu dãy mức độ được chuẩn hóa thì hàm bước nhảy giống như đường thẳng. Định nghĩa 3.3. Số liệu thống kê 43 được định nghĩa bởi:

Giả sử[x, x+L] nằm trên dãy phụk mức {x1, . . . , xk}. Kết hợp với xk+1=x+L, viết (3.8) bởi 6 số hạng: I1= Z x+L x n(x0)dx0= k X j=1 j(xj+1−xj) I2 = Z x+L x x0n(x0)dx0 = 1 2 k X j=1 j(x2j+1−x2j) I3 = Z x+L x n2(x0)dx0 = 1 2 k X j=1 j2(xj+1−xj) I4 = Z x+L x x0dx0 = 1 2L 2−xL I5= Z x+L x (x0)2dx0 = 1 3((x+L) 3−x3) Do đó 43(L, x) = 1

Lmin(I3−2aI2−2bI1+ 2abI4+a2I5+bL2)

với a = LI2−I1I4 LI5−I42 , b=

I1−aI4

L .

Vậy để tìm 43(L) thì ta tính 43(L, x) với mỗi điểm xuất phát x và trung bình trên đó.

Đối với GOE, GUE, GSE

43GOE = 1 π2(log(2πL) +γ− 5 4− π 2 8 ) (3.9) 43GOE = 1 2π2(log(2πL) +γ− 5 4) (3.10) 43GSE = 1 4π2(log(4πL) +γ−5 4 + π2 8 ) (3.11) 3.1.2 Vật lý hạt nhân

Lĩnh vực vật lý hạt nhân là nơi mà RMT ra đời. Dữ liệu thử nghiệm đầu tiên trở thành chi tiết để kiểm tra ý nghĩa thống kê trong những dự đoán của RMT, với đỉnh cao là tâp dữ liệu hạt nhân (Nuclear data ensemble) (NDE) các mức năng lượng của phổ hạt nhân rộng. Một số ví dụ về ứng dụng trong lĩnh vực này ([10], p.91):

Hình 3.2: Sự so sánh giữa NNS các mức năng lượng hạt nhân nặng với dự đoán NNS của tập GOE bởi RMT

Hình 3.2 là biểu đồ NNS các mức năng lượng hạt nhân nặng lấy từ tập dữ liệu hạt nhân (NDE) so sánh với dự đoán NNS của tập GOE bởi RMT

Hình 3.3, là so sánh giữa mức độ thống kê của NDE với dự đoán của RMT, nhưng với số liệu thống kê 43. Có thể thấy, số liệu thống kê 43 của NDE khớp với số liệu thống kê 43 của GOE. Để so sánh, số liệu thống kê 43 cho phân bố Poisson và GUE cũng được đưa ra.

Hình 3.3: Sự so sánh giữa số liệu thống kê 43 của NDE với số liệu thống kê 43 dự đoán của tập GOE, GUE, Poisson bởi RMT

Hình 3.4 là so sánh nhiều hơn giữa dữ liệu mức độ năng lượng hạt nhân đưa ra bởi Porter và Rosenzweig . Hình 3.4 (a), (b) và (c ) là biểu đồ NNS của một

theo kích thước của hạt nhân: (a) nhỏ nhất , (b) trung bình và (c) lớn nhất. Trong (a), biểu đồ NNS các mức năng lượng tiệm cận phân bố Poisson hơn so với phân bố NNS của GOE. Tuy nhiên khi kích thước các hạt nhân tăng lên, biểu đồ NNS tiệm cận phân bố NNS của GOE. Rõ ràng, ứng dụng của RMT phụ thuộc vào sự phức tạp của hệ thống.

Hình 3.4: Sự so sánh NNS các mức năng lượng trong 3 trường hợp kích thước hạt nhân : nhỏ, vừa và lớn với NNS của GOE bởi RMT

3.2 Truyền thông không dây

Trong những năm gần đây, RMT đã được ứng dụng phổ biến trong vô tuyến truyền thông. Ma trận ngẫu nhiên được dùng để mô tả đường truyền sóng của hai hệ thống thông tin vô tuyến quan trọng là hệ thống ăngten đa đầu vào đa đầu ra (Multiple - input Multiple - output antenna system) (MIMO) và hệ thống truy cập trực tiếp đa dãy mã phân (Direct - sequence code - division system) (DS-CDMA):

• Trong hệ thống ăngten MIMO, nhiều ăngten được sử dụng để máy phát đồng thời truyền dữ liệu và máy thu đồng thời nhận dữ liệu. Trong môi trường nhiều đường dẫn những kênh trả lời giữa ăngten phát và ăngten thu có thể chỉ đơn giản là mô hình biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố. Vì vậy kênh vô tuyến được coi là đường truyền mô tả bởi ma trận ngẫu nhiên.

• DS-CDMA là hệ thống đa truy cập (Multiple - access system) hỗ trợ nhiều người dùng với trạm phát duy nhất dùng cùng thời điểm và tần số nhưng mã đường truyền khác nhau. Trong một dải tần số phẳng, DS-CDMA đồng bộ đưa lên hệ thống những mã đường truyền khác nhau, có thể mô tả bởi ma trận ngẫu nhiên.

Mục tiêu chính trong phần này là đưa ra đa kênh không dây, các vấn đề mô hình hóa bởi ma trận ngẫu nhiên và xét một số ứng dụng điển hình của RMT trong vô tuyến truyền thông. Hy vọng phần này có thể giúp người đọc hiểu biết cơ bản cả về toán học và kỹ thuật, thấy được sự liên kết giữa hai ngành khác nhau, các vấn đề mới để làm việc và thúc đẩy hợp tác liên ngành.

3.2.1 Mô hình kênh

1. Khái niệm cơ bản của hệ thống vô tuyến truyền thông ([3], p.435)

Nguyên tắc làm việc được minh họa trong hình 3.5. Sơ đồ khối có ba phần cơ bản: máy phát, các trạm và người nhận. Mục tiêu của việc thiết kế máy phát là chuyển đổi các bit thông tin thành định dạng tín hiệu để truyền phù hợp với các kênh không dây. Khi tín hiệu đi qua các trạm, cường độ tín hiệu sẽ bị suy yếu do hao tổn, bị giảm đi do biến đổi cường độ và dạng sóng tín hiệu thu sẽ

khác nhau do nhiều lý do. Cuối cùng ở phía người nhận các bit thông tin truyền được phục hồi thông qua sự cân bằng, tách sóng và giải mã.

Hình 3.5: Sơ đồ khối của hệ thống vô tuyến truyền thông.

2. Sự trình bày chính xác toán học của các trạm bằng ma trận ([3], p.435)

Chúng tôi xây dựng mô hình đầu vào-đầu ra phát sinh từ hệ thống vô tuyến truyền thông như sau:

x=

n

X

i=1

hisi+u=Hs+u (3.12) với s = [s1, s2, . . . , sn]0 biểu thị vector tín hiệu truyền n ×1 chiều; hi biểu thị vector kênh p×1 chiều tương ứng với si;

x= [x1, x2, . . . , xn]0 u= [u1, u2, . . . , un]0

biểu thị vector tín hiệu và vector tiếng ồn thu được có cùng p×1 chiều; và

H= [h1, h2, . . . , hn]0

là ma trận kênh cấp p×n. Trong (3.12),n và p tương ứng là số chiều tín hiệu và số chiều quan sát. Mô hình ma trận trong (3.12) có thể là sự mô tả thời gian, tần số, không gian, hoặc tên miền. . . .

Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra hai mô hình phổ biến trong vô tuyến truyền thông: kênh ma trận ngẫu nhiên và kênh tuyến tính tiền mã hóa.

3.2.2 Kênh ma trận ngẫu nhiên

Kênh ma trận ngẫu nhiên bao gồm đường lên DS-CDMA, hệ thống ăngten MIMO và phân chia không gian đa truy cập (Spatial division multiple access) (SDMA).

Đường lên DS-CDMA ([3], p.436)

Trong hệ thống DS-CDMA, tất cả người dùng trong cùng một ô truyền thông, một trạm gốc đồng bộ sử dụng tài nguyên tần số truyền đến các trạm cơ sở được gọi là đường lên, ngược lại từ trạm cơ sở truyền về người dùng được gọi là đường xuống . Sơ đồ khối của đường lên DS-CDMA được minh họa trong hình 3.6. Do có nhiều người dùng khác nhau nên mỗi người dùng được gán một đường truyền. Mô hình ma trận trong (3.12) biểu thị đồng bộ trực tiếp đường lên DS-CDMA tần số phẳng, si và hi tương ứng là biểu tượng truyền và dãy phân bố của người dùng i.

Hình 3.6: Sơ đồ khối của đường lên DS-CDMA.

Hệ thống ăngten MIMO ([3], p.437):

Hình 3.7 là sơ đồ khối của hệ thống ăngten MIMO. Các máy phát có n ăngten và máy thu có p ăngten . Mô hình ma trận trong (3.12) được sử dụng để biểu thị hệ thống với si và hi tương ứng là biểu tượng truyền từ ăngten truyền thứ i và phản hồi của kênh truyền đến tất cả các ăngten thu. Do mô hình kênh MIMO liên quan đến cấu hình ăngten ở cả máy phát và máy thu nên có thể mô hình

hóa bởi vector độc lập cùng phân bố và lúc đó kênh (3.12) trở thành kênh ma trận ngẫu nhiên.

Hình 3.7: Sơ đồ khối của hệ thống anten MIMO.

Đường lên SDMA ([3], p.437):

Trong hệ thống SDMA, các kênh cơ sở hỗ trợ nhiều người dùng việc truyền tải đồng thời, sử dụng đồng bộ tài nguyên tần số bằng cách trang bị nhiều ăngten. Làm như vậy thì các kênh không gian cho người dùng khác nhau là khác nhau, các tín hiệu là khác nhau từ những người dùng khác nhau. Hình 3.8 là sơ đồ khối của đường lên SDMA, trong đó n là người dùng giao tiếp với các trạm cơ sở được trang bị p ăngten. Kênh ma trận trong (3.12) được sử dụng để biểu thị cho trường hợp đường lên, với si và hi tương ứng là biểu tượng truyền từ người dùng thứ i và những phản hồi từ người dùng kênh này đển tất cả các ăngten thu của trạm cơ sở. Khi các ăngten của trạm cơ sở và người dùng được bao quanh trong một vùng gọi là được phủ sóng, ma trận kênh có thể mô hình hóa bởi ma trận độc lập cùng phân bố.

3.2.3 Hệ thống tiền mã hóa tuyến tính

Trong truyền thông băng thông rộng, các kênh không dây thường có bộ nhớ do đó tần số có chọn lọc. Các tần số riêng chọn lọc của kênh biểu thị nhiễu qua lại (ISI) ở bên thu. Bộ cân bằng tuyến tính hoặc phi tuyến được thiết kế để ngăn chặn ISI. Để đơn giản sự phức tạp của bộ cân bằng, hệ thống tiền mã hóa

Hình 3.8: Sơ đồ khối của đường lên SDMA.

tuyến tính (Linearly precoded system) ở máy phát được sử dụng. Kênh ma trận trong (3.12) biểu thị cho các kênh không dây của vòng-tiền tố (CP), trong đó bao gồm: ghép kênh phân chia tần số trực giao (Orthogonal frequency division multiplexing) (OFDM), hệ thống đơn sóng (Single - carrier system) CP (SCCP ), đa sóng CDMA (Multicarrier CDMA) (MC-CDMA), và CP-CDMA.

CP- cơ sở khối truyền tải ([3], p.438):

Sơ đồ khối của hệ thống CP-cơ sở khối truyền tải được minh họa trong hình 3.9. Xét trường hợp phân chia CP của M được đưa vào trước khi truyền tải của mỗi khối dữ liệu p biểu tượng. Giả sử các kênh tần số chọn lọc có thể biểu thị

h0, h1, . . . , HL, L được gọi là bộ nhớ kênh. Việc chèn CP làm giảm bớt sự can thiệp liên khối nếu CP độ dài M lớn hơn so với bộ nhớ kênh và phép biến đổi chập tuyến tính thành chập vòng. Cho y là khối tín hiệu trước khi chèn CP ở máy phát và z là khối tín hiệu thu được sau khi loại bỏ CP ở máy thu với chập vòng. Mối quan hệ giữa y và z được cho bởi

z =Wp∗ApWpy+ ˜u (3.13) với Wp ∈Cp×p là ma trận biến đổi Fourier rời rạc cấp p×p,

W= √1 p      1 1 . . . 1 1 e −j2π p . . . e −j2π×(p−1) p . . . . . . . . . . . . 1 e −j2π×(p−1) p . . . e −j2π×(p−1)(p−1) p      ;

Ap =diag{[f0, . . . , fp−1]} là ma trận đường chéo cấp p×p với fk =PL

l=0hle−j2πklp

và u˜ là vector tiếng ồn thu được.

Khối dữ liệu y là biến đổi tuyến tính của khối điều chỉnh s cỡ n×1 cho bởi

y=Wp∗Qps, với Qp ∈Cp×n là ma trận tiền mã hóa đầu tiên. Thực hiện biến đổi Fourier rời rạc trên khối CP-loại bỏ z thì ta có:

x=ApQps+u (3.14)

với x=Wpz, u=Wpu˜

Trong (3.14), nếu chọn Q∗pQp = In, hệ thống được gọi là hệ thống đẳng cự tiền mã hóa. Nếu Qp được chọn là ma trận độc lập cùng phân bố, thì hệ thống được gọi là hệ thống tiền mã hóa ngẫu nhiên. Tổng kết nếu Ap = Ip và Qp là ma trận độc lập cùng phân bố, hệ thống này tương đương với hệ thống MIMO ngẫu nhiên

Hình 3.9: Khối sơ đồ của CP dựa trên hệ thống truyền tải khối.

Hệ thống ghép kênh phân chia tần số trực giao (OFDM) ([3], p.439):

Trong hệ thống OFDM, chọn n=p và Qp=Ip. thì có

y =Wp∗s (3.15)

x=Aps+u (3.16)

Trong (3.16), khi Ap là ma trận đường chéo, các tín hiệu thu được tách rời hoàn toàn, nghĩa là,

với i = 0, . . . , p−1, thì xi và ui tương ứng là yếu tố thứ i của x và u. Vấn đề tách thông tin tín hiệu để phục hồi tín hiệu phát trở nên dễ thực hiện. Do đó, OFDM trở thành cách sử lí phổ biến nhất đối với vấn đề ISI.

x=ApWps+u

MC-CDMA ([3], p.440):

Để hỗ trợ đa người dùng cùng một lúc, sử dụng mô hình đường xuống MC- CDMA. Kí hiệụ G là xử lý đạt được chung cho mọi người dùng; T là số lượng người dùng hoạt động; D(q) là các mã dài xáo trộn sử dụng ở khối thứ q:

D(q) = diag{[d(q; 0), . . . , d(q;p−1)]},

với |d(q;k)|= 1; và ci là các mã ngắn của người dùng i, với

ci = [ci(0), . . . , ci(G−1)]0

c0icj = 1 nếu j =i và c0icj = 0 nếu j 6= i. Từ đó, chúng ta thấy mô hình kênh từ trạm cơ sở đến từng người dùng điện thoại.

Ở phía thu, khối nhận thứ q sau khi loại bỏ CP được biểu diễn bởi:

x(q) =ApD(q)Cs(q) +u(q) (3.17)

với

x(q) = [x(q; 0), . . . , x(q;p−1)]0, s(q) =s¯01(q), . . . ,s¯0Q(q)0, u(q) = [u(q; 0), . . . , u(q;p−1)]0,

C =diag{C, . . . ,¯ C¯} với s¯i(q) = [s0(q;i), . . . , sT−1(q;i)]0 và C¯ = [c0, . . . , cT−1]

3.2.4 Mô hình chung DS-CDMA

Quay trở lại hệ thống DS-CDMA và xét mô hình tổng quát hơn với thông tin được truyền tải đồng thời đến nhiều ăngten. Giả sử cón người dùng với dãy lan truyền p chiều hi ấn định vào người dùng thứ i. Cho xi ∈ R biểu thị biểu