Mô phỏng số các quá trình ngẫu nhiên, trường ngẫu nhiên và ứng dụng

Ý tưởng chính của phương pháp này là mô phỏng lại các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên khi biết hàm phổ hoặc hàm tương quan của nó, mà đặc trưng xác suất của các thể hiện này thoả mãn c

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC CÁC HÌNH v

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I CƠ SỞ TOÁN HỌC 3

1.1 Phép biến đổi Fourier 3

1.1.1 Định lý về đạo hàm 4

1.1.2 Định lý về chuyển dịch ngang 4

1.1.3 Định lý Parseval 4

1.1.4 Sự đối xứng, đối ngẫu và thay đổi thang đo 4

1.2 Tích chập và tương quan 5

1.2.1 Tích chập 5

1.2.2 Tích phân tương quan 5

1.3 Quá trình ngẫu nhiên 5

1.3.1 Mở đầu 5

1.3.2 Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên 6

1.3.2.1 Hàm mật độ xác suất 6

1.3.2.2 Hàm đặc trưng 8

1.3.2.3 Các hàm Moment 9

1.3.2.4 Hàm cumulant 9

1.3.2.5 Phiếm hàm đặc trưng 10

1.4 Đạo hàm và tích phân ngẫu nhiên 11

1.4.1 Đạo hàm 11

1.4.1.1 Hội tụ 11

1.4.1.2 Liên tục 12

1.4.1.3 Đạo hàm 12

1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên 14

1.5 Quá trình ngẫu nhiên dừng 15

1.5.1 Tính chất của hàm tự tương quan 16

1.5.1.1 Đối xứng 17

1.5.1.2 Bất đẳng thức 17

1.5.2 Trung bình theo thời gian 18

1.5.3 Tính chất (giả thiết) Ergodic 18

1.5.4 Biến đổi Fourier 20

1.5.5 Mật độ phổ năng lượng 21

1.5.6 Biểu diễn Fourier – Stieltjes đối với quá trình dừng 23

CHƯƠNG II MÔ PHỎNG SỐ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN 25

2.1 Mở đầu 25

2.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên 26

2.2.1 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dừng khi biết hàm tương quan 28

2.2.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dừng khi biết hàm phổ 30

2.2.3 Mô phỏng quá trình ồn trắng Gauss 32

2.3 Mô phỏng số trường ngẫu nhiên 34

CHƯƠNG III ỨNG DỤNG MÔ PHỎNG SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CHO CÁC BÀI TOÁN KỸ THUẬT 38

3.1 Hệ một tham số (hay hệ một bậc tự do) 38

3.2 Hệ nhiều tham số (hay hệ nhiều bậc tự do) 50

3.2.1 Dao động ngẫu nhiên của các công trình biển 54

3.2.1.1 Sóng biển và tác động của sóng biển 54

3.2.1.2 Tính toán dao động của dàn khoan cố định dưới dạng mô hình đơn giản 56

3.2.1.3 Dao động ngẫu nhiên của công trình biển dạng nhiều bậc tự do 61

3.2.2 Tác động của động đất lên kết cấu công trình 68

KẾT LUẬN 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 3 1: Thể hiện thứ 490 và 491 trong trường hợp dao động tuyến tính 40

Hình 3 2: Phương sai của các thể hiện trong trường hợp dao động tuyến tính 40

Hình 3 3: Kỳ vọng của các thể hiện trong trường hợp dao động tuyến tính 41

Hình 3 4: Thể hiện thứ 490 và 491 trong trường hợp dao động phi tuyến 42

Hình 3 5: Kỳ vọng của các thể hiện trong trường hợp dao động phi tuyến 42

Hình 3 6: Phương sai của các thể hiện trong trường hợp dao động phi tuyến 42

Hình 3 7: Các thể nghiệm của nghiệm chính xác X(t) và nghiệm Euler Y(t) với Delta=0.25 45

Hình 3 8: Luồng ngẫu nhiên phát sinh bởi máy tạo dao động Duffing Van der Pol 46

Hình 3 9: Luồng ngẫu nhiên phát sinh bởi máy tạo dao động Duffing Van der Pol (Taylor mạnh) 47

Hình 3 10: Luồng ngẫu nhiên phát sinh bởi lược đồ Milstein 48

Hình 3 11: Nội suy tuyến tính (log 2 ε, log 2 ∆) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor mạnh) 49

Hình 3 12: Nội suy tuyến tính (log 2 ε, log 2 ∆) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor mạnh) 49

Hình 3 13: Nội suy tuyến tính (log 2 ε, log 2 (time)) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor mạnh) 50

Hình 3 14: Nội suy tuyến tính (log 2 (time), log 2 ∆) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor mạnh) 50

Hình 3 15: Dàn Khoan Bạch Hổ 65

Hình 3 16: Một thể hiện của mặt sóng ngẫu nhiên 66

Hình 3 17: Một thể hiện của chuyển động (khuyếch đại chuyển vị 1000 lần) 66

Hình 3 18: Chiều cao sóng – Thể hiện 1 67

Hình 3 19: Chiều cao sóng – Thể hiện 45 67

Hình 3 20: Chiều cao sóng – Thể hiện 63 67

Hình 3 21: Biểu đồ gia tốc và hàm bao thực sự của nó (đường cong liền nét) và hàm bao xấp xỉ (đường cong đứt khúc) 71

Hình 3 22: Phản ứng không dừng của hệ một bậc tự do với hệ số cản 0.05 và tần số tự nhiên 10.0 rad/s được kích động bởi gia tốc nền không dừng, xác định bằng cách nhân hàm mật phổ dừng băng hẹp, băng rộng và ồn trắng (white noise) với hai hàm bao xác định như trong hình 3.21 Các đường cong liên tục và đứt khúc ứng với các hàm bao liên tục và đứt khúc trong hình 3.21 72

Hình 3 23: Phản ứng không dừng của hệ một bậc tự do với hệ số cản 0.05 và tần số tự nhiên 20.0 rad/s được kích động bởi gia tốc nền không dừng, xác định bằng cách nhân hàm mật độ phổ dừng băng hẹp, băng rộng và ồn trắng (white noise) với hai hàm bao xác định như trong hình 3.21 Các đường cong liên tục và gạch ứng với các hàm bao liên tục và đứt khúc trong hình 3.21 73

Hình 3 24: Phản ứng không dừng của hệ một bậc tự do với hệ số cản 0.05 và tần số tự nhiên 40.0 rad/s được kích động bởi gia tốc nền không dừng, xác định bằng cách nhân hàm mật độ phổ dừng băng hẹp, băng rộng và ồn trắng (white naise) với hai hàm bao xác định như trong hình 3.21 Các đường cong liên tục và đứt khúc ứng với các hàm bao liên tục và đứt khúc trong hình 3.21 74

Hình 3 25: Hàm mật độ phổ năng lượng của gia tốc được ghi tại Điện Biên Phủ và các thể hiện 11, 51, 91 phát sinh từ hàm mật độ phổ năng lượng của gia tốc tại Hoà Bình 77

Hình 3 26: Ứng lực theo thời gian 78

Hình 3 27: Sự phân bổ hệ số an toàn 79

MỞ ĐẦU

Rất nhiều bài toán thực tế mang tính ngẫu nhiên, nói chung do ba nguyên nhân độc lập và khác nhau gây ra: nguyên nhân thứ nhất, thường do sự phân tán khá lớn của các số liệu quan sát ghi nhận từ các yếu tố bên ngoài hay dữ liệu đầu vào; nguyên nhân thứ hai, là do bản chất hiện tượng ngẫu nhiên cố hữu của hiện tượng; nguyên nhân thứ ba, là do sự bất định về các tính chất hay tham số vật lý đặc trưng của đối tượng nghiên cứu (ví dụ chuyển động của sóng biển, gió, động đất, thị trường chứng khoán, tài chính, hệ sinh thái…) Các bài

toán này, hầu hết không giải được dưới dạng giải tích mà chỉ có thể dùng các

phương pháp số Trong nước, các nghiên cứu lý thuyết về các hệ động lực

ngẫu nhiên chủ yếu tập trung ở Viện Toán học, và các nghiên cứu mô phỏng, ứng dụng ở Viện Cơ học, Viện Cơ học ứng dụng (Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam) tập trung vào các tính toán công trình biển (sóng ngẫu nhiên), động đất, tương tác khí động của vật thể bay, và độ tin cậy của công trình (Nguyen

D., Nguyen X Hung, Nguyen D Tien : [15],[16],[17],[18],[19]) Ngoài nước,

các nghiên cứu về lý thuyết phát triển rất mạnh với rất nhiều trường phái khác nhau: Luwig Arnold ([14]), Christian Soize([3]), Yu.A.Rozanov ([24]), N Bouleau ([20]) …, nhưng các mô phỏng số cũng chỉ phát triển trong khoảng 20 năm trở lại (đồng hành với sự phát triển của kỹ thuật máy tính): N Bouleau ([20]), F Hermann, Claus Lange([15]), M Shinozuka([21]), Gupta I.D ([7],[8],[9],[10]) …

Luận văn chỉ tập trung ở phần mô phỏng số quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng giải số các phương trình vi phân ngẫu nhiên ở hầu hết các dạng thường

gặp nhất trong các bài toán thực tế Đó chính là việc xử lý số, làm đầu vào (input) cho các hệ thống có đặc trưng ngẫu nhiên (Tuy nhiên, luận văn cũng

có trình bày các vấn đề toán học và kỹ thuật liên quan nhằm làm sáng tỏ - từ lúc nào các quá trình ngẫu nhiên phải được mô phỏng số) Từ đó ứng dụng

trong một số bài toán thực tế: tính toán và phân tích dữ liệu động đất, các tương tác biển-công trình biển Phương pháp mô phỏng số quá trình ngẫu nhiên và

trường ngẫu nhiên đã được một số tác giả ([15] - [17]) sử dụng khi tính toán độ tin cậy của các cơ cấu máy và hệ cơ học Ý tưởng chính của phương pháp này

là mô phỏng lại các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên khi biết hàm phổ (hoặc hàm tương quan) của nó, mà đặc trưng xác suất của các thể hiện này thoả mãn

các đặc trưng của quá trình Phương pháp này sử dụng khai triển chuỗi Fourier,

với hệ số là các số ngẫu nhiên, thuận tiện cho các tính toán số trên máy tính Tuy số phép tính lớn, song có thể chọn số thể hiện là lũy thừa của 2 để áp dụng

phép biến đổi Fourier nhanh (FFT), nhằm làm giảm rất lớn số phép tính

Phương pháp tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các vấn đề về mặt tính toán số của một số bài toán dao động ngẫu nhiên của hệ cơ học, tuyến tính và phi tuyến trên máy Ở đây, chúng tôi sử dụng phương pháp mô phỏng số quá trình ngẫu nhiên thông qua hàm phổ (hoặc hàm tương quan) Tuy nhiên, đây cũng chỉ là

một cách mô phỏng Một số tác giả khác như Yu.A.Rozanov[24], Paul Kreé và Christian Soize [3] … cũng có cách mô phỏng khác, nặng về lý thuyết, không

tiện cho việc áp dụng cho các tính toán trên máy tính

CHƯƠNG I

CƠ SỞ TOÁN HỌC

Chương này nhắc lại các cơ sở toán học cho việc nghiên cứu một quá trình ngẫu nhiên và trường ngẫu nhiên, làm cơ sở cho các tính toán giải tích và các mô phỏng số (có thể xem chi tiết trong Yu.A.Rozanov[24], L Arnold [14])

1.1 Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của hàm h(t) được định nghĩa:

=

Tại điểm mất liên tục, tích phân trên tiến tới giá trị trung bình:

( ) ( )2

h t- +h t+

(1.4) Tuy vậy, điều kiện (1.2) là rất hạn chế đối với nhiều hàm được quan tâm trong thực tế Sử dụng lý thuyết phân bố (hoặc xét tích phân theo nghĩa giá trị

chính) thì có thể mở rộng sự tồn tại của phép biến đổi Fourier trên cho các hàm

n

n n

Định lý Parseval phát biểu sự đồng nhất trong phân bố năng lượng giữa

miền tần số và miền thời gian:

p được gọi là phổ năng lượng, nó mô tả mật độ năng lượng trong lân cận của tần số w

1.1.4 Sự đối xứng, đối ngẫu và thay đổi thang đo

Nếu h(t) và H( )w là một cặp biến đổi Fourier, thì:

-Nếu X( )w và H( )w là các biến đổi Fourier của x t( ) và h t( ) thì biến đổi

Fourier của y(t) là:

Y w =X w H w

nghĩa là: “Tích chập trong miền thời gian tương ứng với tích trong miền tần

số”, ngược lại cũng chứng minh được rằng: “Tích chập trong miền tần số cũng

tương ứng với tích trong miền thời gian”

X w t hay là hàm của các tham số khác, khi đó ta có một quá trình ngẫu

nhiên Nói cách khác, một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên

được tham số hóa Khi có nhiều tham số (chẳng hạn các tọa độ không gian), ta nói đó là một trường ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên X( , )w t có thể biểu diễn theo 4 dạng khác nhau:

+ Một họ các hàm theo thời gian (t và w là biến)

+ Một hàm của thời gian (t biến đổi, w cố định)

+ Một biến ngẫu nhiên (t cố định, w biến đổi)

+ Một con số (t và w đều cố định)

v Nếu tham số là không liên tục, một quá trình ngẫu nhiên còn được gọi là

một dãy ngẫu nhiên (random sequence)

v Một quá trình ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận các giá trị rời rạc

v Quá trình liên tục nếu t và X là liên tục

v Quá trình rời rạc nếu t liên tục và X rời rạc

v Dãy liên tục nếu X là liên tục, t là rời rạc

v Dãy rời rạc của t và X đều là rời rạc

1.3.2 Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên

1.3.2.1 Hàm mật độ xác suất

Để đặc trưng cho một quá trình ngẫu nhiên ta dùng các hàm mật độ xác suất với các cấp tăng dần

Hàm mật độ cấp một p X( , )x t cho ta cấu trúc xác suất của biến ngẫu

nhiên X(t) với mỗi giá trị cố định t

Lưu ý: Nó không phản ánh sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các giá trị của

hàm ngẫu nhiên tại các giá trị t khác

Để đặc trưng được điều này, ta cần mật độ xác suất các cấp cao hơn:

( , ; , )

X

Chúng đều là các hàm không âm, đối xứng với các biến của chúng và

thỏa điều kiện chuẩn hóa:

Lưu ý rằng: Các mật độ xác suất cấp thấp hơn bao giờ cũng tính được từ

cấp cao hơn bằng cách tích phân riêng phần:

Để đơn giản cách viết đôi khi người ta thường ký hiệu một quá trình ngẫu

nhiên là X(t) thay cho X( , )w t (giản ước w)

Khi có hai quá trình ngẫu nhiên X(t) và Y(t), sự phụ thuộc lẫn nhau giữa

chúng được đặc trưng bởi các hàm mật độ đồng thời theo các cấp tăng dần:

( , ; , )

XY

p x t y s dx dy

biểu diễn xác suất để X(t) thuộc( ,x x+dx] tại thời điểm t và Y(t) thuộc

( ,y y+d y] tại thời điểm s Các cấp cao hơn được định nghĩa tương tự Như

vậy: Nói chung, các hàm mật độ xác suất mọi cấp là cần thiết để đặc trưng

trọn vẹn cho một quá trình ngẫu nhiên

Có hai trường hợp riêng quan trọng:

* Một quá trình ngẫu nhiên thuần túy: Là quá trình mà các giá trị của nó

ứng với các thời điểm khác nhau là độc lập về mặt thống kê Quá trình như vậy

được đặc trưng hoàn toàn bởi hàm mật độ bậc nhất Các mật độ bậc cao hơn

đều tính được qua bậc nhất:

( , ; , ) ( , ) ( , )

* Một quá trình Markov: Được xác định hoàn toàn bởi hàm mật độ xác

suất bậc hai Nó còn được gọi là quá trình với bộ nhớ một bước (process with

one step memory), quá trình Markov có các tính chất rất đẹp và ứng dụng nhiều

trong thực tế

1.3.2.2 Hàm đặc trưng

Hàm đặc trưng là biến đổi Fourier của hàm mật độ xác suất, nó chứa các

thông tin tương tự như hàm mật độ và có thể đặc trưng cho một quá trình ngẫu

nhiên

1 ( ) 1

1 1 ( , ) [ j X t ]

X

1 ( ) 1 ( )

1 1 ( , ; ; , ) [ j X t j n X t n ]

Tương tự hàm mật độ xác suất, hàm đặc trưng cấp n lặp lại tất cả các

thông tin chứa đựng trong các hàm đặc trưng ở cấp thấp hơn, thực vậy, từ định

1.3.2.3 Các hàm Moment

Các hàm moment có thể dùng để đặc trưng cho một quá trình ngẫu nhiên

(cũng lưu ý rằng: các hàm đặc trưng cũng có thể khai triển theo các moment)

Các hàm moment cấp một và hai đặc biệt quan trọng, lần lượt được gọi là

hàm trung bình (mean function) và hàm tự tương quan (autocorrelation

function), được ký hiệu riêng:

F = là giá trị bình phương trung bình tại t

Nói chung, ta cần tương quan mọi cấp để đặc trưng cho 1 quá trình ngẫu

nhiên Riêng quá trình ngẫu nhiên Gauss, các hàm trung bình và tự tương quan

Khai triển chuỗi logarit của hàm đặc trưng đưa đến các hàm cumulant,

chúng cũng đóng vai trò đặc trưng được cho một quá trình ngẫu nhiên

Lưu ý: Hàm cumulant cấp n có thể khai triển theo các moment đến cấp n

(và ngược lại), nhưng khác với các moment, các hàm cumulant cấp n không

chứa đựng các thông tin đã có trong các cumulant cấp thấp hơn

Cumulant cấp hai được gọi là hàm tự hiệp phương sai (autocovariance

Với hai quá trình ngẫu nhiên, ta định nghĩa hàm hiệp phương sai chéo

(cross – covariance function):

( ) ( )( , )( , )

( ) ( )

XX XX

XY XY

kr

Phiếm hàm đặc trưng có thể đặc trưng hoàn toàn cho quá trình ngẫu nhiên

Bất đẳng thức Chebyshev có thể áp dụng cho mọi phân bố xác suất

nên X(t) liên tục theo nghĩa trung bình bình phương nếu FXX( , )t t1 2 liên tục theo

cả hai biến t1 và t2 tại t

® + = Ta có thể thay vị trí toán tử lim và toán tử kỳ

vọng E nếu quá trình ngẫu nhiên là liên tục

X t

e

ee

®

+

- Nếu định nghĩa này tồn tại với mọi thể hiện (mẫu) của quá trình: ta có ý

nghĩa quen dùng của đạo hàm (của các hàm tất định)

- Nếu tồn tại theo nghĩa trung bình bình phương, ta nói quá trình ngẫu

nhiên có đạo hàm theo nghĩa này:

Một quá trình ngẫu nhiên có đạo hàm theo nghĩa trung bình bình phương

nếu ta tìm được một quá trình, ký hiệu là

.

( )

X t sao cho:

2 0

( ) ( )lim E([X t X t X t( ) ] ) 0

e

ee

Một quá trình dừng là khả vi theo nghĩa trung bình bình phương nếu hàm

tự tương quan R XX( )t có đạo hàm cấp 2 tại t=0

Dưới điều kiện tồn tại đạo hàm, ta có:

Như vậy: Ta có thể thay đổi vị trí toán tử đạo hàm và toán tử kỳ vọng nếu hàm

khả vi theo nghĩa trung bình bình phương Ngoài ra, dễ dàng nhận được kết quả

Đối với quá trình dừng (sẽ được giới thiệu ở phần tiếp theo) các hệ thức

trên trở thành:

.

( ) ' ( )( ) '' ( )

R t không tồn tại tại điểm này

1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên

Xét tích phân ngẫu nhiên:

( )

b a

- Nếu tích phân này tồn tại theo mọi thể hiện mẫu X( , )w t thì nó xác định

một biến ngẫu nhiên biểu diễn diện tích ngẫu nhiên giới hạn bởi đường cong

( , )

X w t trong khoảng [a, b]

- Tích phân trên tồn tại theo nghĩa trung bình bình phương nếu:

2 1

Một điều cần và đủ để X(t) là khả tích theo nghĩa trung bình bình phương

là hàm tự tương quan FXX( , )t t1 2 hai lần khả tích trên [a,b]

Khi đó, ta có thể thay đổi vị trí toán tử tích phân ò và toán tử kỳ vọng E,

và giá trị trung bình bình phương của tích phân:

- Với tích chập: h t( , )n =h(n -t) còn mang ý nghĩa là phản ứng của hệ

- Ở đây Y( )n bây giờ là một quá trình ngẫu nhiên với tham số n Hàm

trung bình và tự tương quan của Y( )n là:

Tích phân tồn tại theo nghĩa trung bình bình phương nếu và chỉ nếu tích

phân (1.51) bị chặn với mọi n n 1, 2

1.5 Quá trình ngẫu nhiên dừng

Một quá trình ngẫu nhiên là dừng theo nghĩa hạn chế nếu cấu trúc xác

suất của nó là độc lập với việc dịch chuyển gốc thời gian:

Như vậy, ta thấy quá trình như vậy có trung bình là hằng số và hàm tự

tương quan chỉ phụ thuộc vào sự sai biệt thời gian:

được gọi là hàm tự tương quan hay hàm hiệp phương sai

Tương tự cho hàm tương quan chéo của hai quá trình ngẫu nhiên khác

nhau x(t) và y(t) được định nghĩa:

Cho đến nay, ta chỉ xét quá trình ngẫu nhiên thực, với quá trình phức,

hàm tự tương quan được định nghĩa:

Như vậy, hàm tự tương quan của một quá trình ngẫu nhiên thực dừng

theo nghĩa rộng là một số chẵn của t (độ sai biệt thời gian)

1.5.2 Trung bình theo thời gian

Xét một quá trình ngẫu nhiên dừng X(t) Trung bình theo thời gian của nó

được định nghĩa bởi tích phân:

1

( ) 2

T T

Lưu ý: Từ (1.65) ta thấy nếu tích phân bị chặn thì sS ®0 khi T®¥

Điều này liên quan đến khái niệm ergodic

1.5.3 Tính chất (giả thiết) Ergodic

Xét một quá trình ngẫu nhiên dừng thực X(t) Tính chất Ergodic liên quan

đến việc xác định các đặc trưng thống kê của X(t) từ một thể hiện riêng lẻ của

quá trình Tính chất (hay giả thiết) ergodic cho phép ta thay trung bình của cả

một tập hợp bằng trung bình theo thời gian trên một thể hiện mẫu

Dạng tổng quát của giả thiết ergodic liên quan đến tất cả cấu trúc thống kê

của quá trình, tuy nhiên ở đây chỉ hạn chế các liên quan đến hàm trung bình và hàm

tương quan

Xét x t% ( ) là một thể hiện mẫu của quá trình dừng X(t) (như vậy x t% ( ) là một

hàm xác định của t) Xét giới hạn:

ˆ lim ( )

T

T T

Giả thiết ergodic sẽ cho ta:

ˆ X E X t[ ( )]

m m= = và

ˆ ( )R t =R XX =E X t[ ( +t) ( )]X t (1.66)

Dĩ nhiên mˆ và Rˆ ( )t là các thể hiện của biến ngẫu nhiên m , R( )t

Theo bất đẳng thức Chebyshev, nếu một biến ngẫu nhiên có phương sai

bằng 0, nó sẽ bằng với giá trị trung bình theo xác suất 1 Vì vậy quan hệ trên sẽ

Như vậy, một quá trình ngẫu nhiên dừng là ergodic đối với trung bình

nếu phương sai của trung bình theo thời gian triệt tiêu khi T ®¥

Liên hệ với phương trình (1.65) ta thấy tính chất ergodic theo trung bình

được bảo đảm nếu tích phân đó bị chặn

Ta cũng có thể phát triển tương tự như giá trị trung bình liên quan đến các

moment cấp cao hơn của X(t)

Chấp nhận giả thiết ergodic luôn luôn cần thiết cho các đánh giá thực

nghiệm của hàm mật độ phổ năng lượng

1.5.4 Biến đổi Fourier

Xét tích phân ngẫu nhiên dạng biến đổi Fourier:

nó xác định một quá trình ngẫu nhiên với tham số w

Tích phân này tồn tại theo nghĩa trung bình bình phương nếu và chỉ nếu tích

tồn tại với mọi w w Vì đó là biến đổi Fourier 2 lớp của hàm tự tương quan, 1, 2

nên một điều kiện đủ là FXX( , )t t1 2 là tuyệt đối khả tích trên toàn miền Dưới

điều kiện như vậy, X(t) và c w( ) có thể được xem là một cặp biến đổi Fourier

Đối với quá trình ngẫu nhiên dừng:

Theo (1.57), phép biến đổi Fourier này tồn tại, nếu và chỉ nếu tích phân

Tuy nhiên, chia 2 vế của phương trình cho T và cho giới hạn T®¥, ta

T

i XX

Như vậy, cũng như các hàm xác định không triệt tiêu ở vô cực, một

quá trình ngẫu nhiên dừng không có biến đổi Fourier

1.5.5 Mật độ phổ năng lượng

Xét một quá trình ngẫu nhiên dừng, tích phân trên đoạn hữu hạn:

/ 2 / 2

trong đó FXX( )w được gọi là hàm mật độ phổ năng lượng (power spectral

density function (PSDF)) và được xác định như biến đổi Fourier của hàm tự

(Điều kiện (1.70) được thỏa đối với hầu hết các quá trình được quan tâm

trong thực tế và (1.71) là cơ sở để đánh giá hàm mật độ phổ năng lượng đo

được trong khoảng hữu hạn)

Các phương trình (1.72) và (1.73) được gọi là các công thức Wiener

-Khintchine

Lý do tại sao các hàm mật độ phổ năng lượng thường được dùng trong

thực tế là do quan hệ đáp ứng vào – ra của các hệ tuyến tính là một tích chập

trong miền thời gian (và sẽ trở thành tích thường trong miền tần số), và vì vậy

không có sự trùng lấp phản ứng của hệ đối với tần số khác nhau

Tại t=0, phương trình (1.73) cho ta:

Điều này cho thấy FXX( )w là một sự phân tích tần số (frequency

decomposition) của trung bình bình phương của quá trình

Vì hàm tự tương quan là một hàm chẵn của t, nên hàm mật độ phổ là

một hàm chẵn của w và như vậy phương trình (1.72), (1.73) có thể viết lại:

Hàm mật độ phổ được xác định cho các tần số vòng w dương cũng

không âm Dựa vào phương trình (1.74) thì FXX( )w có thứ nguyên (đơn vị)

(đơn vị của X)2 ´ s

rad Trong các tài liệu lý thuyết ta thường gặp hàm mật độ phổ năng lượng

một phía G X( )f theo nghĩa:

2 0

Các kết quả về PSDF ở trên có thể mở rộng tương tự cho trường hợp 2

quá trình ngẫu nhiên tương quan lẫn nhau x(t) và y(t)

1.5.6 Biểu diễn Fourier – Stieltjes đối với quá trình dừng

Biểu diễn tích phân Fourier cho một quá trình ngẫu nhiên x(t) được viết:

1( ) ( )2

i t

X t c w e dw w

p

¥ -¥

Như trên, ta đã thấy rằng các quá trình ngẫu nhiên dừng không tồn tại

biến đổi Fourier Do đó trong phần này, ta giới thiệu một cách biểu diễn qua

một tích phân tổng quát hơn, tích phân Riemann – Stieltjes (Papoulis, 1962)

1

2

i t X

X t e dSw w

p

¥ -¥

(1.78) tồn tại ngay cả cho các hàm không thỏa điều kiện tồn tại tích phân

Fourier Nếu S X( )w khả vi, phương trình (1.78) quy về (1.77) với

( ) ( ) dS X

Sử dụng biểu thức Fourier – Stieltjes của (1.78), hàm tự tương quan của

quá trình dừng x(t) được viết như sau:

[ X( ) X( )] (2 ) XX( ) ( )

E dS w dS w = p F w d w w w w- d d (1.81)

Ở đây, d w w( 2- 1) là hàm Delta – Dirac Như vậy một quá trình ngẫu

nhiên dừng X(t) thừa nhận biểu diễn tích phân Stieltjes (1.78), vì thế (1.81) thỏa

mãn Nghĩa là, S X( )w là gia tăng trực giao, theo nghĩa là các số gia dS X(w và 1)

CHƯƠNG II

MÔ PHỎNG SỐ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

VÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN

2.1 Mở đầu

Phản ứng, hay đáp ứng (response hoặc output) của một hệ thống bất kỳ

(thông tin, vật lý, sinh thái, kinh tế, ), nói chung là các quá trình ngẫu nhiên

không dừng Ngay cả khi đầu vào (input) hoặc điều kiện đầu là các quá trình

dừng, phản ứng của hệ biến đổi từ trạng thái tĩnh ban đầu đến trạng thái yên

định cuối cùng sau một vài nhiễu động, và như vậy là quá trình không dừng

Trong miền thời gian, tính không dừng của một quá trình z (t) thường được mô

hình bởi tích của một quá trình dừng z~ và một hàm bao A (w, t), còn trong

miền tần số, được mô hình bằng hàm mật độ phổ theo thời gian, xác định bằng

tích của mật độ phổ của quá trình dừng và bình phương giá trị trị tuyệt

đối của hàm bao (Gupta I D [7]-[10] ) :

Tương tự, tính không dừng của phản ứng x(t) của một hệ một tham số

hoặc một hệ nhiều tham số dạng chuẩn cũng được xác định bởi một hàm mật

độ phổ theo thời gian có cùng dạng ( qua nhiều nghiên cứu của Hammond ,

Goto và Toki, Lin, Shinozuka, Vanmarcke, Spanos và Lutes, xem Gupta I D

2004 [7]-[10]) ) :

Hàm M(w, t) trong biểu thức này, tương tự như hàm bao (2.1), được xác

định theo hàm phản ứng xung đơn vị h(t) của hệ một tham số và hàm bao A(w,

t) của riêng từng hệ thống:

( ) 0

t

i t

M w t =òh t-t Aw t e-w -t dt (2.3)

Tích phân của hàm mật độ phổ trên toàn miền tần số (tức moment cấp 0

của hàm mật độ phổ), cho ta giá trị trung bình bình phương theo thời gian của

quá trình ngẫu nhiên không dừng Với một quá trình Gauss dừng, trung bình

không, phân bố xác suất của các mức độ và của các đỉnh có thể mô tả thông

qua một số moment cấp đầu tiên của hàm mật độ phổ (xem tổng kết của Gupta

ID, đã dẫn) Các phân tích không dừng được dựa trên việc tính toán các

moment của hàm mật độ phổ theo thời gian và các thống kê tương ứng của các

đỉnh biên độ tại các thời gian khác nhau (với giả định rằng quá trình là dừng tại

từng thời điểm) (xem tổng kết của Gupta ID, đã dẫn) Vì vậy các tính toán của

chúng ta luôn xoay quanh với các quá trình dừng

2.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên

Các bài toán cơ học với các tham số ngẫu nhiên gặp trong thực tế thường

không thể đưa về dạng mô hình tuyến tính đơn giản, hầu hết chỉ có thể giải

quyết được bằng các phương pháp số Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên và

trường ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng trong việc áp dụng lý thuyết các quá

trình ngẫu nhiên vào các bài toán thực tế

Phương pháp mô phỏng số quá trình ngẫu nhiên và trường ngẫu nhiên đã

được một số tác giả (H Friedrich, C Lange, Nguyen D [11],[15]) sử dụng khi

tính toán độ tin cậy của các hệ thống phân tích kinh tế và kỹ thuật trong cơ học

Ý tưởng chính của phương pháp này là mô phỏng lại các thể hiện của một quá

trình ngẫu nhiên khi biết hàm phổ (hoặc hàm tương quan) của nó, mà đặc trưng

xác suất của các thể hiện này phải thỏa mãn các đặc trưng của quá trình

Phương pháp này sử dụng chuỗi khai triển Fourier, với hệ số là các số ngẫu

nhiên, thuận tiện cho việc tính toán số trên máy tính Tuy số phép tính lớn,

song có thể chọn số thể hiện là một lũy thừa của 2 để áp dụng phép biến đổi

Fourier nhanh, làm giảm rất lớn số phép tính Phương pháp này tỏ ra rất hiệu

quả khi giải quyết về mặt số của một số bài toán dao động ngẫu nhiên của hệ cơ

học, tuyến tính và phi tuyến Trong phần này, ta mô phỏng quá trình ngẫu

nhiên và trường ngẫu nhiên thông qua hàm phổ (hoặc hàm tương quan)

Ta xét các quá trình ngẫu nhiên dừng Người ta định nghĩa kỳ vọng toán

+¥

-¥

(2.4)

Mỗi thể hiện z t k( ) của quá trình ngẫu nhiên z(t), trong khoảng thời gian

[0,T] được đo tại n thời điểm rời rạc cách đều t i Để mô phỏng quá trình ngẫu

nhiên, cần tạo ra các số ngẫu nhiên phân bố đều và độc lập trong khoảng

2.2.1 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dừng khi biết hàm tương quan

Chia khoảng thời gian 0 £ £ =t T 2p

w bởi n điểm cách đều, n= 2 : m

Quá trình z(t) được đặc trưng qua hàm kỳ vọng, không làm giảm tính tổng

quát ta có thể giả sử E z t[ ]( ) = 0,và hàm tương quan R zz( )t =E z t z t[ ( ) ( +t)]

Hàm tương quan R zz( )t là một hàm chẵn, thỏa các điều kiện:

2 1

Biết R zz( )t , ta xác định được R t zz( ) , ,1 R t zz( )n , từ đó áp dụng phép biến

đổi nhanh Fourier (FFT) ta tính được B1 , ,B n với:

-Phân tích thể hiện z(t) của quá trình ngẫu nhiên trong khoảng [0,T], tại

các thời điểm t i thành chuỗi với các hệ số A i là các số ngẫu nhiên:

; ,

2 ,

Từ các thể hiện của A i này, thay vào hệ thức (2.8) và áp dụng phép biến

đổi Fourier nhanh (FFT), ta tính được các thể hiện của z t( ) tại các thời điểm:

z t( ) , , ( )1 z t n

2.2.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dừng khi biết hàm phổ

Chia khoảng thời gian 0

Ta giả thiết, không làm mất tổng quát, E z t[ ]( ) = 0, ta phân tích thể hiện

z t ( ) của quá trình ngẫu nhiên trong khoảng [ 0,T ], tại các thời điểm t i, thành

chuỗi với các hệ số A i là các số ngẫu nhiên:

1 2 1

2 1

(2.15)

Các hệ số B i trên được xác định từ hàm mật độ phổ, với w khá bé hay chu

kỳ T khá lớn, ta có:

p w

p w

Từ đó, ta áp dụng phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) cho (2.14), ta tính

được một thể hiện ( ) tại các thời điểm: z t( ) , , ( )1 z t n

Sơ đồ thuật toán tính một thể hiện của quá trình ngẫu nhiên z t( ) tại các thời điểm: z t( ) , , ( )1 z t n

2.2.3 Mô phỏng quá trình ồn trắng Gauss

Gỉa sử u1 , ,u n là các số ngẫu nhiên phân bố đều trong trong [0,1]:

Sử dụng FFT tính được một thể hiện của z t( ) : z t( ) , , ( )1 z t n

Tạo các số ngẫu nhiên u1 , ,u n phân bố đều trong 1 1,

n

pwpw

= -

=

=

Qua phép biến đổi sau :

( ) ( )

2 1

Nếu coi: Dt2 » thì 0 S zz( )w »const., i.e, z t( ) là một quá trình ngẫu nhiên ồn trắng

1 D

t t

ừ÷

-ë

ûú

2.3 Mơ phỏng số trường ngẫu nhiên

Ta xét, chẳng hạn, một trường ngẫu nhiên 2 chiều X z t( , ) trong khoảng

,

v 1