3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH
3.6.1 Định nghĩa mô hình
Mô hình này được Fischer Black và Myron Scholes đưa ra đầu tiên năm 1973 nhằm để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu, trong đó giả thiết quyền chọn được xây dựng trên hai tài sản cơ sở là cổ phiếu S có giá tại thời điểm t là St và một trái phiếu B có giá là Bt thỏa mãn các phương trình vi phân sau:
dSt=µStdt+σStdWt (3.6.1)
dBt =rBtdt (3.6.2)
0≤t≤T, T là thời điểm đáo hạn trong đó µ, σ và r là các hằng số dương.
Vấn đề dặt ra là, dưới một số tính chất của quyền chọn và của thị trường, hãy tính giá trị Vt của quyền chọn, 0≤t≤T và đặ biệt là tính hiện giá V =V0 tại thời điểm ban đầu sao cho quyền chọn được đáp ứng.
Vậy mô hình Black-Scholes gồm có mấy yếu tố sau:
(i) Tài sản cơ sở là S vàB thỏa mãn các phương trình (3.6.1)-(3.6.2).
(ii) Các giả thiết về chứng khoán và thị trường (sẽ nói sau).
(iii) Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn. 3.6.2 Giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes
Ta nhân thấy quá trình ngẫu nhiên St thỏa mãn phương trình (3.6.1) chính là một chuyển động Brown hình học mà biểu thức hiển là:
St=S0exp µ−σ 2 2 t+σWt . (3.6.3)
(3.6.3) là một phiếm hàm của chuyển động Brown. Ta chú ý rằng
lnSt−lnS0 = µ−σ 2 2 t+σWt (3.6.4)
tức là lnSt−lnS0 có phân phối chuẩn N
µ− σ 2 2 , σ2t .
Vậy St có phân phối lôga-chuẩn. Phân phối này đóng vai trò quan trọng trong diễn biến của giá cổ phiếu theo mô hình Black-Scholes.
3.6.3 Các giả thiết trong mô hình Black-Scholes.Các giả thiết đó là Các giả thiết đó là
(1) Thị trường hoạt động liên tục.
(2) Lãi suất không đổi.
(3) Không chia cổ tức trong suốt thời kỳ hữu hiệu của hợp đồng quyền chọn mua.
(4) Không có chi phí giao dịch.
(5) Không có độ chênh thị giá.
(6) Hai tài sản cơ bản S và B có giá thay đổi theo các phương trình (3.6.1) và (3.6.2).
3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua.
Ta nhận xét trái phiếuBt=B0ert thực chất có thể xem là tất định, nên yếu tố ngẫu nhiên nằm trong giá cổ phiếu thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.6.1). Ta có thể quy đổi giá cổ phiếu tính theo giá trị của giá một trái phiếu (tức là coi giá 1 trái phiếu là một đơn vị tiền, vì thế đôi khi ta gọi trái phiếu trong bối cảnh này là một hiện kim), và ta vẫn ký hiệu giá cổ phiếu tính theo đơn vị mới là St, với mặc định rằng xétSt tức là đã xét cả hai chứng khoánS vàB trong đó rồi. Gọi V là giá của thu hoạch do quyền chọn tại thời điểm ban đầu t= 0, ST là giá chứng khoán tại thời điểm T và X là giá thực thi được ghi trước trong hợp đồng quyền chọn mua. Nếu ST ≥ X thì lợi nhuận sẽ là ST −X ≥0, nhà đầu tư sẽ thực thi để kiếm lời. Nếu ST < Xthì nhà đầu tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc phải mua, nếu thực thi sẽ bị lỗ. Cho nên lợi nhuận sẽ là
ST −X nếu ST −X ≥0
0 nếu ST −X <0 (3.6.5)
Để chô gọn đại lượng ấy sẽ được ký hiệu là (ST−X)+ và được gọi là phần dương của (ST −X). Đại lượng ấy là một biến ngẫu nhiên, nên ta tính giá trị trung bình của nó bởi kỳ vọng E
(ST −X)+
được gọi là giá của quyền chọn mua tại thời điểm đáo hạn
VT =E
(ST −X)+
.
Thực chất đó là giá trung bình của lợi nhuận do quyền chọn mang lại. Muốn tính hiện giá V0 tại thời điểmt= 0, ta phải nhân với hệ số tính lùie−rT ≈ 1
(1+r T)T
(cũng gọi là hệ số chiết khấu) với r là lãi suất của luồng tiền trái phiếu. V0 =e−rTVT =e−rTE
(ST −X)+
trong đó ST có biểu thức theo (3.6.3) là ST =S0exp µ− σ 2 2 T +σWT . (3.6.7)
3.7 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chonkiểu châu Âu kiểu châu Âu
3.7.1 Cách xây dựng
Việc xây dựng này có thể được tiến hành theo hai cách sau đây:
(a) Cách 1: Xuất phát từ các hệ thức (3.6.6) và (3.6.7) bằng cách tính toán ngẫu nhiên ta có công thức
V0 =S0N(d1)−e−rTN(d2), (3.7.1) trong đó d1 = 1 σ√ T h lnS0 X + r+ σ22 Ti , d2 =d1−σ√
T , σ là độ biến động giá chứng khoán (3.7.2)
và N(x) là ký hiệu hàm phân phối chuẩnN(0,1): N(x) = √1 2π x R −∞ e−u 2 2 du.
(b) Cách 2: Giải một phương trình đạo hàm riêng cấp hai gọi là phương trình Black-Scholes sau đây
∂V ∂t + 1 2σ 2S∂ 2V ∂S2 +rS∂V ∂S −rV = 0, (3.7.3)
trong đóV =V(S, t)là giá quyền chọn tại thời điểm tvà giá chứng khoánS=St, với điều kiện cuối là
V (S, T) = (S−T)+ = max (ST−X)≥0. Khi đó ta được công thức:
Vt =StN(d1)−Xe−r(T−t)N(d2), (3.7.4) trong đó d1 = 1 σ√ T−t h lnSt X + r+ σ22 (T −t)i , d2 =d1−σ√
T −t, và N(x) là hàm phân phối chuẩn N(0,1).
Đó là công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn mua tại thời điểm t,0 ≤
t≤T. Khi t= 0 thì công thức (3.7.4) trở thành (3.7.1).
Thí dụ: Xét một quyền chọn mua với thời gian đáo hạn là 3 tháng, giá chứng khoán ban đầu là 60 triệu đo la, giá thực thi là 65 triệu đo la, lãi suất không rủi ro là 8% một năm và độ biến động chứng khoán là 30% một năm.
Vậy S0= 60, X = 65, T = 3 tháng= 0.25 tính theo năm, r= 0.08, σ= 0.30. Do đó: d1= ln 60 65+ 0.08+0.302 2 0.25 0.30√ 0.25 =−0.3253 d2=d1−0.30√ 0.25 =−0.4753
Theo bảng gí trị của phân phối chuẩn N(0,1) ta có N(d1) =N(−0.3253) = 0.378383 N(d2) =N(−0.4753) = 0.356332
Do đó gí quyền chọn V0 tại thời điểm ban đầu (hiện giá của quyền chọn) sẽ là V0 =S0N(d1)−e−rTN(d2) = 2.1334
Vậy, với một dự án mua quyền chọn mua như trên thì sau 3 tháng kết thúc hợp đồng nhà đầu tư quyết định thực thi, thì sẽ có một khoản lợi nhuận mà tính lùi theo hệ giá sẽ là 2,133,400 USD (tức 2 triệu 133 nghìn 400 đô la Mỹ).
3.7.2 Công thức Black-Scholes
Đói với quyền chọn bán, lợi nhuận hoặc thu hoạch sẽ là
(
St−X nếu ST −X ≥0 0 nếu ST −X <0
Giá của quyền chọn bán tại thời điểm đáo hạn là VT =E
(X−ST)+
.
Giá quyền chọn bán tại thời điểm ban đầu t = 0 (hiện giá) là V0 =e−rtE
(X−ST)+
. và công thức cụ thể là
trong đó d1 và d2 cũng được xác định bởi (3.7.2).
Tổng quát hơn, giá quyền chọn bán tại thời điểm t≤T sẽ là
Vt =e−r(T−t)E
(X−ST)+
. hay là
Vt =e−r(T−t)XN(−d2)−StN(−d1) (3.7.7)
trong đó d1 và d2 tính theo (3.7.5).
3.8 Những mô hình quyền chọn liên quan
Từ mô hình Black-Scholes ban đầu để định giá quyền chọn mua và bán kiểu châu Âu đối với hai tài sản cơ sở là cổ phiếu và trái phiếu, người ta cũng xét tới các quyền chọn khác với các đói tượng tài chính khác chọn làm tài sản cơ sở như: các chỉ số chứng khoán, hợp đồng ký kết trước, hợp đồng tương lai, quyền chọn tiền tệ,... Ngoài ra, đối với các quyền chọn mua và bán theo mô hình Black-Scholes mà có thể thực thi tại một thời điểm bất kỳ trước khi đáo hạn, người ta gọi đó là quyền chọn kiểu châu Mỹ.
Quyền chọn xây dựng trên các chỉ số chứng khoán.
Năm 1973, Merton đã mở rộng mô hình Black-Scholes để định giá quyền chọn mua châu Âu đối với chỉ số chứng khoán có trả hoa lợi cổ tức q. Gọi C0 là hiện giá của quyền chọn mua đó thì ta có công thức
C0 =S0e−qTN(d1)−Xe−rTN(d2) (3.8.1) trong đó d1 = 1 σ√ T h lnS0 X + r−q+σ22 Ti , d2 =d1−σ√
T , S0 là chỉ số chứng khoán ban đầu
Quyền chọn xây dựng trên hợp đồng tương lai hoặc trên hợp đồng ký kết trước
Năm 1976,Black đã đưa ra công thức định giá quyền chọn (mua) châu Âu đối với một hợp đồng ký kết trước (Forwards) hoặc một hợp đồng tương lai (Futures) chọn làm tài sản cơ sở, với hiện giá ban đầu là F0:
trong đó d1 = 1 σ√ T h lnF0 X +σ22Ti , d2=d1−σ√ T .
Trong luận văn này tôi đã cố gắng hệ thống hóa một số yếu tố cơ bản của Giải tích ngẫu nhiên, gồm các quá trình ngẫu nhiên (đặc biệt là chuyển động Brown và quá trình Poisson, lý thuyết martingale), tích phân Itô, tích phân Stratonovich, và những nội dung tổng quát về Phương trình vi phân ngẫu nhiên cũng như các dạng cụ thể về Phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng trong Tài chính. Trong nhiều ứng dụng phong phú của Giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu Tài chính, tôi đã nêu một ví dụ điển hình là mô hình Black - Scholes về định giá quyền chọn kiểu châu Âu. Ngoài ra, những khái niệm quan trọng về định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá chủ yếu dựa trên Giải tích ngẫu nhiên đã được trình bày đầy đủ.
Do trình độ và thời gian của tác giả có hạn, luận văn này không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự chỉ bảo của các thầy để tác giả được tiến bộ hơn trong việc nghiên cứu lĩnh vực thú vị này.
[1] Nguyễn Thị Dung (2014), Một Số Tìm hiểu tiếp theo về Bổ túc Xác Suất, Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Văn Hữu và Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp Toán học trong Tài chính, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Trần Trọng Nguyên (2011), Cơ sở toán Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội.
[4] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài chính căn bản, Nhà Xuất Bản Văn Hóa Thông Tin, Hà Nội.
[5] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên & Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nhà Xuất Bản Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội.
[6] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn Toán học Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội.
[7] Hoàng Thị Phương Thảo (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value Jump Processes", East-West J. of Mathematics, 15(2), PP.101-106.
[8] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác Suất Nâng Cao, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[9] Martin Baxter and Andrew Renie (2000), Financial Calculus- An introduc- tion to derivative pricing, Cambridge University Press.
[10] Alison Etheridge (2002), A Course in Financial Calculus, Cambridge Uni- versity Press.
[11] Helmut Strasser (2006), Introduction to Probability Theory and Stochastic Processes (STATS), Vienna Graduate School Of Finance (VGSF).