3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH
3.4.3Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale
Xét một tài sản phái sinh kiểu châu Âu (X) có giá đáo hạn là XT được viết trên tài sản cơ sở S
S = (St,0≤t≤T), có thời gian đáo hạn là T.
Để đơn giản, giả thiết S là 1-chiều (tức một tài sản cơ sở, chẳng hạn một cổ phiếu).
Giả thiết rằng các giá của S đều là một quá trình ngẫu nhiên trên một không gian xác suất được lọc (Ω,F,(Ft), P),, trong đó (Ft) là bộ lọc mang thông tin về thị trường.
Giả sử hệ số chiết khấu là k(t) = 1
β(t), trong đó β(t) nói chung cũng có thể là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất được lọc nói trên. Thông thường người ta hay chọn β(t) = er(T−t), do đó hệ số chiết khấu là e−r(T−t); nếu lãi suất không có rủi ro thìr là tất định và hệ số chiết khấu là tất định.
Định nghĩa
Một độ đo xác suất Q trên (Ω,|F) sẽ được gọi là xác suất trung hòa rủi ro nếu
(a) Q tương đương với P, có nghĩa là Q(A) = 0 nếu và chỉ nếu P(A) = 0, với A∈ F. (b) Hầu chắc chắn là ta có EQ St β(t)|Fs = Ss β(s) với mọi 0≤s ≤t≤T, (3.4.10)
trong đó EQ là kí hiệu kỳ vọng lấy theo xác suất Q, còn EQ(.|Fs) là kỳ vọng có điều kiện đối với Fs và theo xác suất Q.
Chú ý
(i) Tính chất (b) là một tính chất martingale của quá trình giá chiết khấu. Do đó xác suất Q cũng còn được gọi là độ đo martingale.
(ii) Giả thử Q là một độ đo martingale. Gọi Vt là quá trình giá của một chiến lược đầu tư tự tài trợ xây dựng trên tài sản cơ sở S. Người ta đã chứng minh được rằng khi đó quá trình giá đã chiết khấu
e
Vt= Vt
β(t) (3.4.11)
cũng là một martingale đối vơi Q,Ft. Nói riêng, khi đó ta có
V0 β(0) =EQ VT β(T)|F0 . (3.4.12)
Nếu thị trường là đầy đủ thì giá của hợp đồng phái sinh (X) được đáp ứng bởi một chiến lược tự tài trợ sao cho VT =XT và do đó
V0=β(0)EQ VT β(T)|F0 . (3.4.13)
Vìσ−trường F0 chỉ gồm có hai tập∅ vàΦ cho nên kỳ vọng có điều kiện lấy đối với F0 cũng là kỳ vọng thường không điều kiện
V0 =β(0)EQ VT β(T) . (3.4.14)
Vậy nhờ có xác suất Q mà bây giờ hiện giá V0 được biểu diễn qua một lượng tất định (không còn ngẫu nhiên hay rủi ro nữa) cho nên xác suất Q được gọi là xác suất trung hòa rủi ro là vì vậy. Cũng nhờ độ đo Q mà giá tài sản Vt biến thành
e
Vt là một martingale cho nên Q cũng được gọi là độ đo martingale.