3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH
3.4 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing )
Pricing)
Trong mục này ta giả thiết rằng X là một phái sinh thực thi tại thời điểm đáo hạn T.
3.4.1 Đáp ứng duy nhất và quá trình sở hữu.
Ta nói rằng phái sinh X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường
M nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X , tức là nếu ta có hệ thức
Vt(φ) =Vt(ψ)∀t≤T (3.4.1)
với hai phương án đầu tư bất kỳ φ vàψ thuộc vềΦX. Trong trường hợp này quá trình Vt(φ) được gọi là quá trình sở hữu của X trong M.
Sau đây là một khẳng định nói lên sự tương quan giữa nguyên lý không có độ chênh thị giá (AAO) và nguyên lý đáp ứng.
Định lý 3.4.1.1. Giả sử M là một thị trường không có độ chênh thị giá. Khi đó mọi tài sản phái sinh đạt được X đều được đáp ứng duy nhất trong M.
Vậy nguyên lý AAO kéo theo tính đáp ứng duy nhất đối với mọi phái sinh đạt được.
3.4.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá Gọi là định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá nhưng thực chất là dựa vào nguyên lý AAO (không có độ chênh thị giá) và nguyên lý đáp ứng để tính ra giá của một tài sản phái sinh tại một thời điểm t trước lúc đáo hạn T, đặc biệt là tính ra được giá ban đầu V0 (tức hiện giá) của phương án cần đầu tư để dạt được giá trị đáo hạn X đặt ra trước của hợp đồng. Công cụ để thực hiện phương án này là một độ đo xác suất mới mà ta sẽ gọi là xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale mà ta sẽ giải thích kỹ ở mục 3.5. Vì thế phương pháp này cũng gọi là phương pháp trung hòa rủi ro.
Giả sử Vt là giá của một phương án đầu tư tại một thời điểm t nhằm thực hiện một hợp đồng phái sinh có giá đáo hạn là X. Đó là một quá trình ngẫu nhiên xét trên một không gian có lọc(Ω,F,(Ft), P), trong đó(Ft)là luồng thông tin của thị trường với F0={Ω,∅} và P là xác suất ban đầu’
Nói chung, dưới độ đo ban đầu P thì (Vt) không phải là một martingale đối với Ft. Người ta đi tìm một độ đo xác suất mới Q và một hệ số tất định k(t)sao cho
(a) Q tương đương với độ đo xác suất cũ P.
(b) Dưới độ đo Q thì quá trình Vte = k(t)Vt là một martingale đối với luồng thông tin thị trường Ft, tức là
EQ e
Vt|Fs
=Vse với mọi s≤t (3.4.2)
trong đó EQ là ký hiệu kỳ vọng lấy theo độ đo xác suất mới Q. Đặc biệt, nếu ta lấy s= 0 (thời điểm ban đầu) và t=T (thời điểm đáo hạn), thì hệ thức trên
cho ta: EQ f VT|F0 =Ve0 (3.4.3)
nhưng vì F0 ={Ω,∅} nên E(.|F0) =EQ(.), tức là kỳ vọng có điều kiện F0 cũng như không điều kiện. Vậy ta có
EQ f VT =Ve0 (3.4.4) hay EQ(k(T)VT) = k(0)V0. (3.4.5) Vì k(t) là một hàm tất định nên ta rút ra V0 = k(T) k(0)EQ(VT) (3.4.6)
Vì ta giả thiết có nguyên lý đáp ứng AAO nên theo định lý 3.4.1.1, tồn tại một phương án đáp ứng φ với giá Vt =Vt(φ) sao cho VT =XT (XT là giá trị đáo hạn định trước của hợp đồng). Cuối cùng ta có
V0 = k(T)
k(0)EQ(XT) (3.4.7)
Hệ thức này cho ta biết cần đầu tư vốn ban đầu bằng V0 như trên để đạt được giá trị của hợp đồng bằng XT như mong muốn, V0 chính là hiện giá của hợp đồng. Ngoài ra, ta cũng biết được giá của hợp đồng phái sinh tại một thời điểm t bất kỳ, 0≤t ≤T:
Vt = k(T)
k(t)EQ(XT) (3.4.8)
theo một cách suy diễn tương tự như trên.
Hệ số k(t) ở đây được gọi là hệ số chiết khấu hay hệ số tính lùi (discounted coefficient) bởi vì nhờ nó ta có thể tính lùi giá của tài sản từ thời điểm đáo hạn T về giá tại các thời điểm trước đó. Trong trường hợp tổng quát,k(t) còn có thể là một quá trình ngẫu nhiên nữa. Khi đó thì giá tính lùi Vt cho bởi công thức
Vt=EQ k(T, ω) k(t, ω)XT|Ft (3.4.9)
Trên đây là ý tưởng chính của phương pháp độ chênh thị giá để định giá một tài sản (tức một hợp đồng) phái sinh kiểu châu Âu. Phương pháp này cũng được gọi là phương pháp trung hòa rủi ro.
Chi tiết hơn về phương pháp này sẽ được trình bày trong mục 3.4.3 tiếp theo đây.