3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH
3.1.2 Cân đối lại và phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio)
(a) Tại một thời điểm t, phương án đầu tư có thể được cân đối lại, tức là điều chỉnh lại việc mua và bán các chứng khoán Si(1≤i≤n). Điều đó cũng có nghĩa là thay đổi các trọng số của chúng từ α1(t), ..., αn(t) sang β1(t), ..., βn(t).
(b) Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tức là:
β1(t)S1(t) +...+βn(t)Sn(t) =α1(t)S1(t) +...+αn(t)Sn(t) (3.1.2)
thì ta gọi sự cân đối đó là sự cân đối tự tài trợ (self-financing).Vậy một sự điều chỉnh tự tại trợ tại một thời điểm t của phương án đầu tư không làm tăng hoặc
giảm vốn đầu tư:
(α, S)→(β, S)⇒Vβ(t) =Vα(t),xét tại thời điểm t nào đó.
Nhận xét.
(a) Hệ thức (3.1.2) có thể được viết lại thành n
X
i=1
[βi(t)−αi(t)]Si(t) = 0 (3.1.3)
Điều đó có nghĩa là, với phương án đầu tư tự tài trợ, muốn tăng đầu tư vào một số chứng khoán nào đó thì phải giảm đầu tư các chứng khoán khác.
(b) Đặt βi(t)−αi(t) = ∆αi(t) thì (3.1.3 trở thành n
X
i=1
Si(t) ∆αi(t) = 0 (3.1.4)
hay viết dưới dạng vi phân n
X
i=1
Si(t)dαi(t) = 0 (3.1.5)
nếu các αi(t) là các hàm khả vi. Mặt khác, do Vα(t) =
n
P
i=1
αi(t)Si(t) với αi(t) là các hàm số tất định, ta có vi phân của Vα(t) là dVα(t) = n X i=1 αi(t)dSi(t) + n X i=1 Si(t)dαi(t) (3.1.6) Kết hợp (3.1.5) và (3.1.6) ta có kết luận rằng:
Một phương án đầu tư (α, S) là một phương án tự tài trợ nếu và chỉ nếu dVα(t) = n X i=1 αi(t)dSi(t) (3.1.7) Chú ý:
Trong các hệ thức trên, ta giả định là có đủ các điều kiện để cho các vi phân dα, dS và dVα là tồn tại.
3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO
Nói một cách trực quan, thì độ chênh thị giá biểu thị một khả năng có thể kiếm chác được từ một sự đầu tư ban đầu bằng không.
3.2.1 Định nghĩa
Xét một mô hình thị trườngMgồm các chứng khoánS và một họ các phương án đầu tư tự tài trợΦ ={φ= (α, S)}. Ta kí hiệuM= (S,Φ). Các giá chứng khoán St trong S được xem là các quá trình ngẫu nhiên xét trong một không gian xác suất có lọc (Ω,F,(Ft), P), với Ft là một họ tăng các σ−trường con của F và thỏa mãn điều kiện thông thường (tức là một họ tăng theo t, liên tục phải và chứa mọi tập F−đo được và P−bỏ qua được, đồng thời F0 ={Ω,∅}) theo định nghĩa. Họ (Ft) chính là luồng thông tin về thị trường, nó ghi nhận mọi biến cố xẩy ra trên thị trường. Các quá trình giá tài sản tài chính dều được giả thiết là thích nghi với luồng thông tin này, có nghĩa là, với mỗi t, giá đó đo được đối với
Ft.
Định nghĩa:
Một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ được gọi là một cơ hội có độ chênh thị giá nếu quá trình giá Vt(φ) của phương án đầu tư thỏa mãn các điều kiện:
(i) P {V0(φ) = 0}= 1,
(ii) P {Vt(φ)≥0} = 1 và P {VT(φ)>0} > 0, T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng.
Điều kiện (i) nói lên rằng hầu chắc chắn tại thời điểm ban đầu, vốn đầu tư bằng không; điều kiên (ii) có nghĩa là hầu chắc chắn đén lúc kết thúc hợp đồng, phương án đầu tư có lợi nhuận ≥ 0 và rằng có khả năng kiếm lời thực sự tại thời điểm kết thúc hợp đồng. Cả hai điều kiện có nghĩa là phương án φ là một phương án tay không mà kiếm được lợi nhuận. Cơ hội có độ chênh thị giá đôi khi cũng nói gọn là cơ hội chênh thị giá.