Biến đổi tích phân fourier và ứng dụng trong thống kê toán học

Trong quá trình tìm hiểu về chuỗi Fourier sẽ cho chúng ta thấy được khởi nguồn của biến đổi tích phân.. Chương 1Kiến thức chuẩn bị Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắ

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Chuỗi Fourier 5

1.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier 5

1.1.2 Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier 8

1.2 Tích phân Fourier 10

1.2.1 Khái niệm về biến đổi tích phân 10

1.2.2 Công thức tích phân Fourier 11

2 Biến đổi tích phân Fourier và các tính chất cơ bản 14 2.1 Định nghĩa và ví dụ 14

2.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng 20

2.3 Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier 32

2.4 Biến đổi Fourier - cosine và Fourier - sine 44

2.5 Tổng Poisson 50

3 Ứng dụng của biến đổi Fourier trong thống kê toán học 57 3.1 Đại lượng ngẫu nhiên và các hàm cơ bản 57

3.2 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 62

3.3 Một số định lý quan trọng và ví dụ 72

Kết luận 79Tài liệu tham khảo 80

LỜI NÓI ĐẦU

Toán giải tích là một trong những chuyên ngành nghiên cứu quan trọnghàng đầu của toán học hiện đại Nó bao gồm nhiều lĩnh vực được mọi ngườiquan tâm, nghiên cứu Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rấtnhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê,hải dương học, quang học, hình học và nhiều lĩnh vực khác Ngày nay cácnhà khoa học vẫn đang cố gắng khám phá ra những kết quả có tầm quantrọng nhằm nâng cao được ứng dụng của nó

Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về biến đổi tích phân Fourier vàứng dụng của nó trong thống kê toán học

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danhmục tài liệu tham khảo

Chương mở đầu là phần kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại về chuỗiFourier và tính chất cơ bản của nó Trong quá trình tìm hiểu về chuỗi Fourier

sẽ cho chúng ta thấy được khởi nguồn của biến đổi tích phân Qua đó ta đưa

ra khái niệm về biến đổi tích phân Fourier

Chương hai sẽ trình bày các khái niệm và các định lý quan trọng liên quantới biến đổi Fourier Phần đầu, ta nghiên cứu định nghĩa biến đổi Fourier vàcác ví dụ cơ bản Tiếp theo ta sẽ nói về biến đổi Fourier của các hàm suyrộng Phần trọng tâm trong chương này chính là đi nghiên cứu về các tínhchất cơ bản của biến đổi Fourier, tích chập, đẳng thức Parseval Cuối cùng

ta tìm hiểu về biến đổi Fourier cosine và Fourier sine, tổng Poisson

Trong chương cuối ta sẽ đề cập tới các khái niệm về hàm đặc trưng, hàmphân bố, hàm mật độ cùng các tính chất liên quan Đồng thời đưa ra cách

tính mômen, phương sai bằng phương pháp biến đổi Fourier.

Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướngdẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Các thầy cô trong khoa Toán

- Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia HàNội đã giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn vàkhóa học một cách tốt đẹp Bên cạnh đó còn có sự giúp đỡ nhiệt tình của cácthầy cô phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thànhcác thủ tục bảo vệ, các thầy cô và các bạn trong seminar Toán Giải Tích đã

có những góp ý hữu ích để tôi hoàn thiện luận văn tốt nhất

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những đóng góp quý báu ấy

Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn tới gia đình, người thân đã luôn động viên,ủng hộ tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành khóa luận

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô

và các bạn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014Nguyễn Thị Phương

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn kiến thức

về chuỗi Fourier và biến đổi tích phân

1.1 Chuỗi Fourier

1.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier

Trước hết luận văn sẽ nhắc lại về chuỗi Fourier và một số tính chất quantrọng của nó

Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đa được làmquen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội

kỳ 2π Ta xác định các hệ số a0, an, bn (n = 1, 2, ) theo công thức:

a0 = 1π

Z π

−π

an = 1π

Z π

−π

f (x) cos(nx)dx, (1.3)

bn = 1π

Nếu f (x) là hàm chẵn thì từ các công thức (1.2), (1.3), (1.4) ta có bn =0(n = 1, 2, ) còn

a0 = 2π

Z π 0

Z π 0

Định nghĩa 1.1.2 [7] Cho f (x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π và khảtích trên đoạn [−π, π] Khi đó các hệ số được xác định bởi

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x)

Thông thường ta ký hiệu hệ số Fourier của ˆf (n) là cn và chuỗi Fouriercủa hàm f (x) được viết dưới dạng

1.1.2 Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier

Đầu tiên ta sẽ nói về tính duy nhất của chuỗi Fourier

Giả sử f và g là hai hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π

và có hệ số Fourier lần lượt là ˆf và ˆg được xác định theo công thức (1.6)

Định lý 1.1.1 [7] Giả sử f là hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu

kỳ 2π và ˆf (n) = 0 với mọi n ∈ Z Khi đó, nếu f liên tục tại x0 thì f (x0) =0

Hệ quả 1.1.1 [7] Nếu f liên tục trên [−π, π] và ˆf (n) = 0 với mọi n ∈ Z thì

2π

Z π

−π

g(x)e−inxdx, n ∈ Z

Khi đó, ta có

f = g

khi và chỉ khi ˆf (n) = ˆg(n)

Tiếp theo ta nhắc lại một số kết quả về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier

Định lý 1.1.3 [7] Giả sử f là hàm liên tục trên [−π, π], tuần hoàn với chu

kỳ 2π và f (x) ∼ P∞

n=−∞f (n)eˆ inx có các hệ số thỏa mãn P∞

−∞| ˆf (n)| < ∞thì chuỗi Fourier hội tụ đều đến hàm f , tức là

Z π

−π

f (x)einxdx

≤ 12π

Z π

−π

|f (x)||einx|dx = | ˆf (n)|

Theo giả thiếtP∞

n=−∞| ˆf (n)| < ∞ nên theo dấu hiệu Weierstrass thì SN(f )(x)hội tụ đều đến hàm liên tục g(x) và suy ra

ˆ

f (n) = O(1/|n|k) khi |n| → ∞,

nói cách khác tồn tại một hằng số C > 0 sao cho ˆf (n) ≤ |n|Ck Và khi k ≥ 2thì ta có chuỗi Fourier hội tụ đều trên [−π, π].

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ đi tìm hiểu về tích phân Fourier và mốiliên hệ của nó với chuỗi Fourier

1.2 Tích phân Fourier

1.2.1 Khái niệm về biến đổi tích phân

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm f (x) xác định trên [a, b] Khi đó

F{f(x)} = F (k) xác định bởi

F{f(x)} = F (k) =Z

b a

F{f(x)} = F (k) = Z

S

K(x, k)f (x)dx, (1.11)

trong đó x = (x1, x2, , xn), k = (k1, k2, , kn) và S ⊂ Rn

Ý tưởng của toán tử biến đổi tích phân là cái gì đó tương tự như toán tử

vi phân tuyến tính thường gặp, D ≡ d

dx, tác động đến một hàm số f (x) đểđem lại một hàm số f0(x) khác

Thông thường, f0(x) được gọi là đạo hàm hay ảnh của f (x) đối với phép biếnđổi tuyến tính D

Có rất nhiều biến đổi tích phân quan trọng như biến đổi Fourier, Laplace,Hankel và Melin Chúng được xác định bởi các nhân K(x, k) khác nhau vàcác giá trị a, b khác nhau trong (3.7).

Dễ thấy F là toán tử tuyến tính vì với các hằng số α, β bất kỳ, f(x) và g(x)xác định trên [a, b] ta có

F{αf(x) + βg(x)} =Z b

a

[αf (x) + βg(x)]K(x, k)dx

= αF{f(x)} + βF{g(x)}

1.2.2 Công thức tích phân Fourier

Một hàm f (x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng

−a < x < a, nếu

(i) f (x) chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn hữu hạn trong khoảng −a < x < a

và không có điểm gián đoạn vô hạn

(ii) f (x) chỉ có một số hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong khoảng

−a < x < a

Từ lý thuyết của chuỗi Fourier ta biết rằng nếu f (x) thỏa mãn điều kiệnDirichlet trong khoảng −a < x < a thì nó có thể biểu diễn như là chuỗiFourier phức tạp

Fourier, và bài toán trên trục thực −∞ < x < ∞ dẫn tới công thức tích phânFourier Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm một biểu diễn tích phân của một hàmkhông tuần hoàn f (x) trong khoảng (−∞, ∞) khi cho a → ∞ Đặt kn = nπa

và δk = (kn+1 − kn) = πa, sau đó thế hệ số an vào trong (1.13) ta thu được

Khi cho a → ∞, kn trở thành biến số k liên tục và δk thành dk Như vậy,tổng trên có thể thay thế bởi tích phân trong giới hạn này và (1.15) được quy

Một hàm f (x) được gọi là khả tích tuyệt đối trên (−∞, ∞) nếu

1

2[f (x + 0) + f (x − 0)] =

12π

Nếu hàm f (x) liên tục tại x thì f (x + 0) = f (x − 0) = f (x) Khi đó côngthức (1.18) trở thành công thức (1.16).

Ta biểu diễn nhân tố mũ exp [ik(x − ξ)] trong (1.16) về hàm lượng giác

và sử dụng tính chẵn lẻ của hàm cosine và hàm sine tương ứng như hàm củabiến k, vì thế (1.16) có thể viết như là

f (x) = 1

π

Z ∞ 0

Bây giờ ta giả sử rằng f (x) là hàm chẵn và khai triển hàm cosine trong(1.19) ta thu được

f (x) = f (−x) = 2

π

Z ∞ 0

cos(kx)dk

Z ∞ 0

f (ξ) cos(kξ)dξ (1.20)

Nó được gọi là công thức tích phân Fourier cosine

Tương tự, với f (x) là hàm lẻ, ta thu được công thức tích phân Fouriersine

f (x) = −f (−x) = 2

π

Z ∞ 0

sin(kx)dk

Z ∞ 0

f (ξ) sin(kξ)dξ (1.21)

Từ chuỗi Fourier và tích phân Fourier đã nghiên cứu ở trên, sau đây ta sẽ đitìm hiểu về biến đổi tích phân Fourier và các tính chất của nó trong chươngtiếp theo

Chương 2

Biến đổi tích phân Fourier

và các tính chất cơ bản

2.1 Định nghĩa và ví dụ

Chúng ta sử dụng công thức tích phân Fourier (1.16) để đưa ra định nghĩa

cơ bản nhất của biến đổi Fourier

Định nghĩa 2.1.1 [6] Biến đổi Fourier của f (x) được ký hiệu bởi

F {f (x)} = F (k), k ∈ R, được xác định bởi tích phân

Vì vậy, đối với các hàm khả tích tuyệt đối thì ta mới có định nghĩa về biếnđổi Fourier Hạn chế này là rất mạnh đối với nhiều ứng dụng vật lý Nhiềuhàm đơn giản và phổ biến như là hàm hằng, hàm lượng giác sin ax, cos ax,hàm mũ và xnH(x) không có biến đổi Fourier mặc dù chúng thường xuyênxuất hiện trong các ứng dụng Tích phân (2.1) không hội tụ khi f (x) là mộttrong những dạng trên Đây chính là hạn chế của lý thuyết biến đổi Fourier.

Định nghĩa 2.1.2 Biến đổi Fourier ngược ký hiệu bởi F−1{F (k)} = f (x)được xác định là

trong đó F−1 được gọi là toán tử biến đổi Fourier ngược

Ta thấy cả F và F−1 là toán tử tích phân tuyến tính Trong toán ứngdụng, x thường được biểu diễn là một biến không gian và k = (2πλ ) là mộtbiến bước sóng, trong đó λ là bước sóng Tuy nhiên, trong kỹ thuật điện, xđược thay thế bằng biến thời gian t và k được thay thế bởi tần số w = 2πν,trong đó ν là tần số trong chu kỳ mỗi giây Hàm F (w) = F {f (t)} được gọi làphổ của hàm tín hiệu theo thời gian f (t) Trong lý luận kỹ thuật điện, biếnđổi Fourier được định nghĩa theo cách sau

trong đó w = 2πν được gọi là tần số góc

Sau đây chúng ta sẽ đi xét một số ví dụ về biến đổi Fourier

Ví dụ 2.1.1 Tìm biến đổi Fourier của exp(−ax2)

Ta chứng minh

F (k) = F {exp(−ax2)} = √1

2aexp(−

k24a), a > 0. (2.5)

= √12π exp(−

k24a)

I2 =

Z 2π 0

Z ∞ 0

e−a(r2cos2θ+r2sin2θ)rdr

dθ

=

Z 2π 0

Z ∞ 0

e−ar2rdr

dθ

=

Z 2π 0



− 12ae

−r 2

∞ 0

dθ

=

Z 2π 0

12adθ

= 12aθ

2π 0

= π

a.Suy ra I = pπ

Nếu a = 12

F {e−x2/2} = e−k2/2 (2.6)Điều này chỉ ra rằng F {f (x)} = f (k) Đồ thị của hàm f (x) = exp(−ax2) vàbiến đổi Fourier của nó ứng với a = 1 được minh họa bằng Hình 2.1

π · a(a2+ k2), a > 0. (2.7)Theo định nghĩa

Z ∞ 0

1

a(a2+ k2).

Ta chú ý rằng f (x) = exp(−a|x|) giảm nhanh về 0 và không khả vi tại x = 0

Đồ thị của f (x) = exp(−a|x|) và biểu diễn Fourier của nó ứng với a = 1 đượcminh họa bằng Hình 2.2

Ví dụ 2.1.3 Tìm biến đổi Fourier của



1 − |x|

a

, a 6= 0 (2.8)

= √22π

Z a 0



1 − xa

cos(kx)dx

= √2a2π

Z 1 0

(1 − x) cos(akx)dx

= √2a2π

Z 1 0

(1 − x) d

dx

 sin akxak



dx, (k 6= 0, a 6= 0)

= √2a2π

Z 1 0

sin(akx)

ak dx

= √a2π

Z 1 0

ddx

sin2(akx2 )(ak2 )2 dx

= √a2π

sin2 ak2

ak 2

Z a

−a

e−ikxdx =

r2π

 sin(ak)k



Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a](x) và biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1

Hình 2.3: Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a](x) và F (k) với a = 1

2.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng

Một cách tự nhiên để xác định biến đổi Fourier của một hàm suy rộng làxét f (x) trong (2.1) như một hàm suy rộng Ưu điểm của nó là mọi hàm suyrộng đều có biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược, và các hàm thôngthường thì biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của nó tạo nên một tậpcon của các hàm suy rộng

Sau đây ta sẽ định nghĩa thế nào là một hàm tốt

Định nghĩa 2.2.1 [6] Giả sử một hàm giá trị thực hoặc phức g(x) được xácđịnh với mọi x ∈ R và khả vi vô hạn lần mọi nơi Và ta giả sử rằng mỗi đạohàm của nó dần tới 0 khi |x| → ∞ nhanh hơn bất cứ lũy thừa dương nào của(x−1), nói cách khác, với mỗi N và n nguyên dương

lim

|x|→∞xNg(n)(x) = 0,thì hàm g(x) được gọi là một hàm tốt

Thông thường, lớp các hàm tốt được ký hiệu bởi S Các hàm tốt đóng vaitrò quan trọng trong giải tích Fourier vì các định lý nghịch đảo, tích chập vàphép lấy vi phân rút ra được các dạng đơn giản mà không có vấn đề về

sự hội tụ Tính chất giảm nhanh về 0 và khả vi vô hạn của hàm tốt dẫn đếnbiến đổi Fourier của một hàm tốt cũng là một hàm tốt

Một hàm tốt cũng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết hàm suy rộng.Một hàm tốt có giá bị chặn là một dạng đặc biệt của hàm tốt mà có vai trò

to lớn với lý thyết hàm suy rộng Một hàm tốt cũng có các tính chất quantrọng sau

• Tổng của hai hàm tốt là một hàm tốt

• Tích và tích chập của hai hàm tốt cũng là một hàm tốt

• Đạo hàm của một hàm tốt là một hàm tốt

Một hàm tốt thì thuộc lớp các hàm khả tích Lebesgue Lp với mọi 1 ≤ p ≤ ∞.Tích phân của một hàm tốt không nhất thiết phải là tốt Tuy nhiên, nếu φ(x)

là một hàm tốt, khi đó với mọi x hàm g xác định bởi

g(x) =

Z x

−∞

φ(t)dt

là hàm tốt khi và chỉ khi R−∞∞ φ(t)dt tồn tại

Những hàm tốt không chỉ liên tục mà còn liên tục đều và liên tục tuyệtđối trong R Tuy nhiên, một hàm tốt không nhất thiết phải có khai triểnTaylor trong mọi khoảng Ví dụ, xét một hàm tốt có giá bị chặn

Ví dụ, exp(−x2), x exp(−x2), (1+x2)−1exp(−x2), và sech2x là những hàmtốt, trong khi exp(−|x|) không khả vi tại x = 0, và hàm (1 + x2)−1 không làhàm tốt vì nó giảm quá chậm khi |x| → ∞

Một dãy các hàm tốt {fn(x)} được gọi là đều nếu với bất kỳ hàm tốt g(x)nào có

chỉ xác định bằng những tác động trên tích phân của những hàm tốt nếu

với mọi hàm tốt g(x) Từ hàm tốt ta xác định được hàm chuẩn {exp(−x4n2)}

Do đó hàm chuẩn là hàm suy rộng và tương đương với hàm thông thường

vì hàm suy rộng được xác định thông qua tác động trên tích phân của nhữnghàm tốt, giá trị của hàm H(x) tại x = 0 không có nghĩa.

Hàm dấu sgn(x) cho bởi

Hàm delta Dirac δ(x) xác định với mọi hàm tốt φ(x)

∞

Z

−∞

δ(x)φ(x)dx = φ(0)

Không có hàm thông thường nào tương đương với hàm delta

Tính chất (2.22) không có trong các hàm toán học thông thường nào Do

đó hàm delta không có trong lớp các hàm thông thường này Tuy nhiên nóđóng vai trò quan trọng trong thực tế và hàm δ(x) là hàm suy rộng Kháiniệm của hàm delta Dirac là rõ ràng và đơn giản trong toán học hiện đại Nórất hữu ích trong vật lý và kỹ thuật Một cách tự nhiên, hàm delta Dirac đạidiện cho một điểm khối, đó là hạt của đơn vị khối lượng đặt tại gốc Trongtrường hợp này nó có thể xem như là hàm mật độ khối lượng Điều này dẫnđến mỗi hạt riêng có thể xem như là giới hạn của dãy các hàm phân bố liêntục ngày càng trở nên tập trung lại Ví dụ, ta xét dãy sau

δn(x) = r n

π exp(−nx

2), n = 1, 2, 3, (2.23)

Ta thấy δn(x) → 0 khi n → ∞ với mọi x 6= 0 và δn(0) → ∞ khi n → ∞ chỉ

ra trong Hình 2.4 với mọi n = 1, 2, 3,

= 12π

Đạo hàm của hàm suy rộng được xác định nhờ đạo hàm của một dãy tùy

ý tương đương những hàm tốt Chúng ta có thể tích phân thông qua việc lấyphần tử bất kỳ của dãy và giả sử g(x) triệt tiêu tại vô cùng Ta đưa ra địnhnghĩa sau đây

Đạo hàm của hàm suy rộng f là một hàm suy rộng f0 xác định bởi

hf0, gi = −hf, g0i (2.36)

với mọi hàm tốt g

Tính nguyên hàm của một hàm suy rộng có thể làm dễ dàng hơn vớinhững hàm khả tích địa phương Với mỗi hàm khả tích địa phương f cótương ứng một hàm suy rộng cho bởi

Đạo hàm của hàm suy rộng f là hàm suy rộng f0 xác định bởi

Định lý 2.2.1 [6] Biến đổi Fourier của một hàm tốt cũng là một hàm tốt.

Chứng minh Biến đổi Fourier của hàm tốt f (x) là tồn tại, cho bởi

Đạo hàm F (k) n lần, rồi lấy tích phân ta có

|F(n)(k)| ≤

... khơng có biến đổi Fourier chúng thường xunxuất ứng dụng Tích phân (2.1) khơng hội tụ f (x) mộttrong dạng Đây hạn chế lý thuyết biến đổi Fourier.

Định nghĩa 2.1.2 Biến đổi Fourier ngược ký... data-page="20">

2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng

Một cách tự nhiên để xác định biến đổi Fourier hàm suy rộng làxét f (x) (2.1) hàm suy rộng Ưu điểm hàm suyrộng có biến đổi Fourier biến đổi Fourier. .. |n|Ck Và k ≥ 2thì ta có chuỗi Fourier hội tụ [−π, π].

Trong phần tìm hiểu tích phân Fourier mốiliên hệ với chuỗi Fourier

1.2 Tích phân Fourier< /h3>

1.2.1 Khái niệm biến