Phép biến đổi tích phân hankel và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— NGUYỄN THỊ HỒNG TRANG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HANKEL VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HỒNG TRANG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HANKEL VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng - Năm 2019 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành đề tài luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn có bảo nhiệt tình q thầy cơ, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập, nghiên cứu thực luận văn Trước hết, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS.Phan Đức Tuấn hết lịng quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn tơi hoàn thành tốt luận văn thời gian qua Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, Cô giáo Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu thực đề tài luận văn Cảm ơn anh, chị bạn lớp Cao Học Tốn Giải Tích Khóa 34 hỗ trợ tơi nhiều trình học tập nghiên cứu Do điều kiện thời gian kinh nghiệm hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy để tơi bổ sung hoàn thiện luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Thị Hồng Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1.1.1 Tích phân suy rộng loại 1.1.2 Tích phân suy rộng loại 1.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số 1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số 1.3 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 1.4 HÀM BESSEL 11 1.4.1 Định nghĩa 12 1.4.2 Tích phân Bessel 13 CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HANKEL TRÊN NỬA TRỤC .15 2.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL TRÊN NỬA TRỤC VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ 15 2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TỐN TỬ 2.3 ỨNG DỤNG 17 21 CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HANKEL TRÊN ĐOẠN HỮU HẠN 27 3.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL TRÊN ĐOẠN HỮU HẠN VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ 27 3.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ 3.3 ỨNG DỤNG 28 29 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Các phép biến đổi tích phân cơng cụ tốn học đem lại thành công đáng kể việc giải nhiều tốn phương trình vi phân, phương trình sai phân phương trình tích phân lĩnh vực: tốn học ứng dụng, vật lí tốn nhiều lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác Một số phép biến đổi tích phân quan trọng biến đổi Fourier, Laplace, Hankel, Trong bật phép biến đổi Hankel mang tên nhà Toán học người Đức Hermann Hankel (1839 - 1873) giải số toán xuất từ lĩnh vực vật lý Trong lý thuyết phép biến đổi tích phân tổng quát, người ta định nghĩa phép biến đổi tích phân T sau: t2 T {f (t)} = F (s) = K(t, s)f (t)dt t1 Trong phép biến đổi tích phân f (t) hàm gốc, hàm F (s) hàm ảnh hàm K(t, s) gọi nhân phép biến đổi Nhiều toán thực tế khó giải quyết, hay việc biểu diễn góc nhìn đại số ban đầu Mỗi phép biến đổi tích phân ánh xạ hàm từ “miền gốc” sang “miền đích” Việc giải tốn miền đích thuận lợi so với giải miền gốc Sau đó, kết ánh xạ trở lại miền gốc ban đầu Cũng phép biến đổi tích phân khác, mục tiêu phép biến đổi tích phân Hankel chuyển phép tính vi - tích phân hàm sang phép tính đại số ảnh Hankel hàm Nhờ đó, phép biến đổi tích phân Hankel biến phương trình vi - tích phân thành phương trình đại số Sử dụng phương pháp giải phương trình đại số, kết hợp với phép biến đổi Hankel ngược ta tìm nghiệm phương trình vi - tích phân ban đầu Nhiều vấn đề khoa học công nghệ thường đưa đến việc giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Chẳng hạn, tốn tính độ lệch đứng dầm vơ hạn dẫn đến giải phương trình vi phân thường Khi nghiên cứu dao động dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường dẫn đến giải phương trình đạo hàm riêng Trong học lượng tử, xung lượng hạt biểu diễn qua phương trình tích phân Fredholm Điều chứng tỏ, việc tìm lời giải cho phương trình vi – tích phân xuất song hành với phát triển khoa học công nghệ Do vậy, tơi nhận thấy việc tìm hiểu phép biến đổi tích phân Hankel áp dụng vào giải phương trình vi - tích phân cần thiết có ý nghĩa thực tiễn nên tơi định chọn đề tài “Phép biến đổi tích phân Hankel ứng dụng ” làm đề tài nghiên cứu Mục tiêu đề tài Luận văn nghiên cứu định nghĩa tính chất số ứng dụng phép biến đổi tích phân Hankel Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phép biến đổi tích phân Hankel, phép biến đổi Hankel ngược nửa trục đoạn hữu hạn - Phạm vi nghiên cứu: Luận văn tìm hiểu khái niệm, định nghĩa, đính lý liên quan, từ đưa ứng dụng vào giải số phương trình tốn vật lí Phương pháp nghiên cứu Luận văn nghiên cứu dựa phương pháp: - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu 28 a H1 {f (r)} = f1 (ki ) = H1−1 {f1 (ki )} rf (r)J1 (rki )dr, (3.5) = f (r) = a ∞ f1 (ki ) i=1 J1 (rki ) , J22 (aki ) (3.6) với ki nghiệm J1 (ak) = Ví dụ 3.1.2 Nếu fr = rn a n Hn {r } = Khi n = 0, r n+1 an+1 (aki ) Jn (rki )dr = ki a J1 (aki ) ki Ví dụ 3.1.3 Nếu f (r) = (a2 − r2 ) H0 {1} = (3.7) (3.8) a Hn {rn } = r(a2 − r2 )J0 (aki )dr 2a2 4a = J1 (aki ) − J0 (aki ), ki ki rút gọn ki J0 (aki ) = 0, ta H0 (a2 − r2 ) = 4a J1 (aki ) ki3 (3.9) 3.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TỐN TỬ Phép biến đổi Hankel hữu hạn có tính chất sau: ki Hn {f ′ (r)} = [(n − 1)]Hn+1 {f (r)} − (n + 1)Hn−1 {f (r)}], 2n đó, f (r) hàm hữu hạn r = 0, n ≥ (3.10) Khi n = 1, ta có phép biến đổi Hankel đạo hàm Hn H1 {f ′ (r)} = −ki , (3.11) H0 {f (r)} = −ki f0 (ki ), (3.12) n2 d ′ {rf (r)} − f (r) = −ki2 fn (ki ) − aki f (a)Jn′ (aki ) r dr r (3.13) 29 Khi n = H0 f ′′ (r) + f ′ (r) = −ki2 f0 (ki ) + aki f (a)J1 (aki ) r Nếu n = 1, (3.13) trở thành 1 H1 f ′′ (r) + f ′ (r) − f (r) = −ki2 f1 (ki ) − aki f (a)J1′ (aki ) r r (3.14) (3.15) Kết (3.14) (3.15) sử dụng nhiều việc tìm phương pháp giải phương trình vi phân 3.3 ỨNG DỤNG Ví dụ 3.3.1 (Sự rung động màng tròn) Dao động đối xứng tự màng trịn mỏng bán kính a bị chi phối phương trình sóng utt = c2 ur r + ur , < r < a, t>0 r với điều kiện ban đầu giá trị biên ∂u u(r, t) = f (r), = g(r) t = < r < a ∂t u(a, t) = t > (3.16) (3.17) (3.18) Áp dụng phép biến đổi Hankel bậc u(r, t) định nghĩa (3.32), lấy (3.16) - (3.18) ta d2 u (3.19) + c2 ki2 u = dt du u = f (ki ); = g(ki ) (3.20) dt t=0 (3.19) phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số theo biến t, tương tự (2.3.1) ta tìm nghiệm tổng quát g(ki ) sin(ctki ) u(ki , t) = f (ki ) cos(ctki ) + cki (3.21) 30 Phép biến đổi ngược cho nghiệm tầm thường ∞ J0 (rki ) u(r, t) = f (ki ) cos(ctki ) a i=1 J1 (aki ) + ca ∞ g(ki ) sin(ctki ) i=1 J0 (rki ) , ki J12 (aki ) (3.22) tổng tất nghiệm dương J0 (aki ) = Xét cách tổng quát phép biến đổi Hankel với điều kiện biên f ′ (r) + hf (r) = tai r = a, h = const (3.23) Ta định nghĩa phép biến đổi Hankel hàm f (r) a Hn {f (r)} = fn (ki ) = rJn (rki )f (r)dr, (3.24) ki nghiệm phương trình ′ ki Jn (aki ) + hJn (aki ) = (3.25) Phép biến đổi ngược ta f (r) = Hn−1 fn (ki ) ∞ =2 i=1 ki2 fn (ki )Jn (rki ) {(ki2 + h2 )a2 − n2 } Jn2 (aki ) (3.26) Theo tính chất phép biến đổi Hankel ta d n2 ′ Hn {rf (r)} − f (r) = −ki2 fn (ki ) + a[f ′ (a) + hf (a)]Jn (aki ) r dr r (3.27) Kết hợp công thức (3.3.1) aki ′ ′ [f (a) + hf (a)]Jn (aki ), h ′ đó, kết (3.28) suy f (a) + hf (a) từ điều kiện biên = −ki2 fn (ki ) − (3.28) Ví dụ 3.3.2 (Phân phối nhiệt độ hình trụ trịn dài) Tìm nghiệm phương trình dẫn nhiệt đối xứng ∂ u ∂u ∂u =κ + , ≤ r ≤ a, t > ∂t ∂r2 r ∂r (3.29) 31 với điều kiện biên điều kiện ban đầu u(r, t) = f (t), r = a, t > 0, (3.30) ≤ r ≤ a (3.31) u(r, 0) = 0, Ứng dụng phép biến đổi Hankel hữu hạn định nghĩa u(ki , t) = H0 {u(r, t)} a rJ0 (rki )u(r, t)dr, = (3.32) cho ta hệ thống với điều kiện biên ut + κki2 = κaki J1 (aki )f (t), (3.33) u(ki , 0) = Nghiệm bậc hệ thống t u(ki , t) = κaki J1 (aki ) f (τ )exp −κki2 (t − τ ) dτ (3.34) Phép biến đổi Hankel ngược cho ta nghiệm u(r, t) = 2κ a ∞ i=1 ki J0 (rki ) J1 (aki ) t f (τ ) exp −κki2 (t − τ ) dτ Đặc biệt, f (t) = T0 số ∞ 2T0 J0 (rki ) u(r, t) = [1 − exp](−κki2 t)] a k J (aki ) i=1 i Sử dụng công thức nghịch đảo (3.2) cho ta nghiệm cuối ∞ J0 (rki ) 2T0 exp(−κki2 t) u(r, t) = T0 − a k J (aki ) i=1 i (3.35) (3.36) (3.37) Nghiệm đại diện cho phân phối nhiệt độ ổn định nhiệt độ không ổn định phân rã t → ∞ Do đó, nhiệt độ ổn định đạt giới hạn t → ∞ Ví dụ 3.3.3 (Phân phối nhiệt độ làm mát hình trụ trịn) Giải 32 tốn dẫn nhiệt đối xứng cho hình trụ trịn dài vơ hạn bán kính r = a với nhiệt độ khơng đổi ban đầu T0 xi lanh làm mát xạ nhiệt từ bề mặt giới hạn r = a đến mơi trường bên ngồi nhiệt độ theo quy luật làm mát Newton thỏa mãn điều kiện biên ∂u + hu = r = a, t > (3.38) ∂r h số Bài tốn điều chỉnh phương trình dẫn nhiệt đối xứng ut = κ(urr + ur ), ≤ r ≤ a, t > r Với điều kiện biên (3.38) điều kiện ban đầu u(r, 0) = T0 t = với < r < a, Áp dụng phép biến đổi Hankel bậc ta có du k u = 0, dt κ i a rJ0 (rki )dr = u(ki , 0) = T0 t>0 aT0 J1 (aki ) ki Nghiệm phương trình u(ki , t) = aT0 ki J1 (aki ) exp(−κtki2 ) Phép biến đổi Hankel nghịch đảo với n = ki J0′ (aki ) + hJ0 (aki ) = 0, ki J1 (aki ) = hJ0 (aki ), ta thu nghiệm thức 2hT0 u(r, t) = a ∞ i=1 J0 (rki ) exp(−κtki2 ) (ki2 + h2 )J0 (aki ) 33 KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày số nội dung phép biến đổi tích phân Hankel nửa trục đoạn hữu hạn Đồng thời đưa ứng dụng phép biến đổi vào số toán lĩnh vực Vật lí Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực nhiều hạn chế sai sót Rất mong góp ý xây dựng quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê (1997), Toán cao cấp, Nhà xuất Giáo dục [2] Chu Thị Lan (2016), Phép biến đổi Hankel áp dụng, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng Giải tích, Tập 1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Đình Trí (2011), Tốn học cao cấp , Tập 3, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [5] A Dernek and O Yurekli (2009), “Identities for the Hankel transform and their applications”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, No 354, pp 165-176 [6] Alan Jeffrey (2000), Handbook of Mathematical Formulas and Intergrals, United States of America [7] L Debnath and D Bhatta (2007), Integral Transforms and their Applications, Taylor and Francis Group ... Cũng phép biến đổi tích phân khác, mục tiêu phép biến đổi tích phân Hankel chuyển phép tính vi - tích phân hàm sang phép tính đại số ảnh Hankel hàm Nhờ đó, phép biến đổi tích phân Hankel biến. .. cứu định nghĩa tính chất số ứng dụng phép biến đổi tích phân Hankel Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phép biến đổi tích phân Hankel, phép biến đổi Hankel ngược nửa trục đoạn... lý Trong lý thuyết phép biến đổi tích phân tổng quát, người ta định nghĩa phép biến đổi tích phân T sau: t2 T {f (t)} = F (s) = K(t, s)f (t)dt t1 Trong phép biến đổi tích phân f (t) hàm gốc,