Phép biển đổi wavelet rời rạc và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG BÁO CÁO Xử lý Dữ Liệu Đa Phương Tiện ĐỀ TÀI : Phép biến đổi Wavelet rời rạc ứng dụng GV Hướng Dẫn : PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan SV Thực Hiện : Trương Văn Tam 20122370 Nguyễn Trung Hiếu : : 20121690 Nguyễn Văn Phương : 20122252 Hà Nội, Tháng năm 2016 MỤC LỤC PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Nguyễn Trung Hiếu _ Tìm hiểu chung phép biến đổi Wavelet rời rạc Trương Văn Tam_ Tìm hiểu phép biến đổi Wavelet rời rạc DWT kỹ thuật phân tích đa phân giải Nguyễn Văn Phương _ Tìm hiểu thuật toán thực biến đổi Wavelet với sóng Daubechies : DWT DWT-1 dùng kỹ thuật phân tích đa phân giải băng lọc số Xây dựng cài đặt thử nghiệm thuật toán Chương : Tổng quan phép biến đổi Wavelet 1.1 Tổng quan Biến đổi Wavelet ( Wavelet Transform) cung cấp để đặc biệt dùng cho việc phân tích tín hiệu, tín hiệu không theo chu kỳ, nhiễu, gián đoạn, thời… Biến đổi Wavelet cho ta mối quan hệ tần số thời gian 1.2Khái niệm Biến đổi Wavelet phép biến đổi Fourier với hàm sóng mẹ sóng tạo thành hàm tỉ lệ tịnh tiến hàm sóng mẹ 1.3 Khái niệm hàm tỉ lệ tịnh tiến - Hàm gốc f(t) liên tục theo thời gian : - Hàm f(t/a) hàm tỉ lệ với tham số a chi phối mức độ tỉ lệ - Hàm f(t-b) f(t+b) hàm tịnh tiến - Hàm sóng mẹ Wavelet – hàm đơn ψ(t),các hàm sóng tạo thành phép biến đổi tỉ lệ tịnh tiến,có dạng sau : - Trong a thông số thang tỉ lệ co giãn wavelet, b thông số dịch chuyển vị trí thời gian wavelet - Biến đổi Fourier hàm sóng : Ψ(ω) = ϝ[ ѱ(t) ] Ψa,b (ω) = ϝ[ ѱa,b(t) ] 1.4 Phép biến đổi Wavelet liên tục (CWT) - Biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT) hàm f(t) hàm Wavelet mẹ (mother Wavelet) ѱ(t) Phân tích tín hiệu f(t),tích f(t) với hàm wavelet : - Khôi phục hàm f(t) từ hệ số wa,b quan hệ : Trong : Ψ(ω) = ϝ[ ѱ(t) ] Với điều kiện : ѱ(0) = ,nghĩa hàm ѱ(t) có zero – mean để C ѱ hữu hạn Nếu a b biến liên tục gọi biến đổi wavelet liên tục hay viết tắt CWT Chương : Biến đổi Wavelet thời gian rời rạc (DTWT) 2.1 Tổng quan Để giảm việc tính toán, mà hiệu cho việc phân tích tổng hợp tín hiệu ban đầu, người ta sử dụng phép biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) DWT biết từ năm 1976, Croiser, Esteban Galand chế tạo kỹ thuật khôi phục tín hiệu rời rạc Phân giải tín hiệu phép đo lượng thông tin chi tiết tín hiệu, thay đổi lượng tin cách lọc tín hiệu Lấy mẫu tín hiệu tăng giảm thông qua tốc độ lấy mẫu tăng hay giảm n lần 2.2 Khái niệm - Biến đổi DTWT rời rạc hóa biến đổi wavelet liên tục CWT, việc rời rạc hóa thực với lựa chọn hệ số a b - DTWT : a b biến rời rạc biến đổi tỷ lệ tịnh tiến rời rạc theo tham số a b theo dạng sau : a = ao-m , b = nboao-m Trong : - m n số nguyên ,ao chọn 2, bo chọn - Từ tập sóng (wavelets) : ѱm,n(t) = aom/2ѱ(aom t – nbo) m,n ϵ Z ѱm,n(t) = 2m/2ѱ(2m t – n) - Các hệ số wavelet xác định : ‹f(t),ѱa,b(t)›= aom/2 ʃ f(t) ѱ(aom t – nbo )dt - Hàm f(t) khôi phục từ hệ số wavelet : f(t) = ΣmΣn wm,nѱm,n(t) - Sóng wavelet có nhiều loại : haar,daubechies - Bất kỳ Chức Wavelet thể tổng chuyển đổi , chức hoạt động rộng gấp đôi độ phân giải, viết : - Ở hφ(n) gọi hệ số chức Wavelet hφ vector Wavelet - Nếu chức mở rộng chuỗi số, mẫu hàm liên tục f (x), hệ số kết gọi wavelet rời rạc.(DWT) hàm f(x) - Bằng cách áp dụng nguyên tắc mở rộng, hệ số DWT f(x) định nghĩa : - Vì j ≥ j0 tham số M nằm khoảng từ đến J-1.Hàm f(x) biểu diễn sau : Trong : đóng vai trò hệ số 2.3 Biến đổi Wavelet thời gian rời rạc (DTWT) - Phép biến đổi DTWT tín hiệu số gọi phép biến đổi Wavelet rời rạc (DWT),khi có miền thời gian miền tần số hàm rời rạc - Kỹ thuật tạo hàm sóng từ hàm sóng mẹ phép biến đổi tỷ lệ tịnh tiến : - Phân tích hàm f(t) với hàm tỷ lệ Φ(t) theo quan hệ : f(t) = ∑ ak Φ(t-k) Φk(t) = Φ(t-k) - Xét hàm tỷ lệ tịnh tiến có dạng : Φj,k(t) = 2j/2 Φ(2j t – k) - Trong số j thể độ phân giải,hệ số k thể độ tịnh tiến áp dụng Φ(t) cho hàm Haar 2.4 Phân tích đa phân giải (MRA) Ý tưởng phân tích đa phân giải sử dụng kỹ thuật lọc số trình phân tích Trong đó, tín hiệu phân tích thành hai thành phần: thành phần xấp xỉ A (Approximation) ‘tương ứng với thành phần tần số thấp’ thành phần chi tiết D (Detail) ‘tương ứng với thành phần tần số cao’, thông qua hai lọc thông thấp thông cao mô tả hình Trong đó, lọc thông cao sử dụng hàm wavelet ψ(x) lọc thông thấp sử dụng hàm tỉ lệ (scaling function) Φ(x) Phân tích đa phân giải phân tích tín hiệu thời gian x(t) dải tần số khác lọc thông thấp thông cao liên tiếp MRA dùng hai hàm bổ túc hàm tỉ lệ ( Scaling funcion) hàm wavelet liên kết với lọc thông thấp thông cao - Trong không gian rời rạc,gọi xk mẫu tín hiệu f(t),ta có quan hệ sau : Cj,k = Σk hk-2m x(k) - Theo định nghĩa phép nhân chập lọc số : ym = Σk hk xm-k = Σk hm-k xk - Thay m = 2m ta có : y2m = Σk h2m-k xk = Σk hk x2m-k - Suy hệ số cj,k = y2m,kết phép biến đổi đầu lọc số có đáp ứng xung {hk} với tín hiệu giảm tần số lấy mẫu xuống lần Đó hệ số thỏa mãn phân tích đa phân giải Hình : Phân tích đa phân giải sử dụng biến đổi wavelet rời rạc - Trong : A1,D1 phép lấy mẫu xuống lần sau thực phép biến đổi wavelet rời rạc tầng 1,biến đổi wavelet rời rạc tầng - Tại tầng lọc, biểu thức phép lọc cho công thức : - Trong đó, S(n) tín hiệu, h(n) đáp ứng xung lọc thông thấp tương ứng với hàm tỉ lệ Φ(n) g(n) đáp ứng xung lọc thông cao tương ứng với hàm wavelet ψ(n) - Việc ta giảm nửa số lượng mẫu tín hiệu, tương ứng ta chia nhỏ miền tần số Ở mức, việc lọc subsample làm giảm số lượng mẫu tín hiệu (tức làm cho việc phân giải miền thời gian không tốt), song làm phân giải miền tần số tốt - Hai lọc liên hệ theo hệ thức: h(N−1−n)=(−1)ng(n) - Trong : N số mẫu tín hiệu - Tín hiệu S(n) khôi phục theo bước ngược lại gọi phép biến đổi wavelet rời rạc nghịch (IDWT, inverse discrete wavelet transform) cho bởi: S(n) = Σk(y high (k).g (2k − n))+ (y low (k).h(2k − n) - Trong đó, yhigh (k) ylow (k) tín hiệu sau qua lọc thông cao lọc thông thấp Để đảm bảo cho việc phục hồi tín hiệu xác ban đầu, qua tầng lọc tái tạo, tín hiệu tiến hành lấy mẫu lên - Giả sử tín hiệu ban đầu có 512 mẫu, với tần số từ đến π rad Tại mức đầu tiên, tín hiệu qua lọc thông cao, đó, số điểm lấy mẫu lại 256 điểm ứng với băng tần giảm nửa từ π/2 đến π rad 256 điểm mẫu lại đưa tới tiếp lọc thông cao thông thấp, số điểm mẫu tín hiệu lại 128, ứng với băng tần từ π/4 đến π/2 rad Quá trình tiếp tục đến lại mẫu tín hiệu - Như ta giảm lượng tính toán đáng kể Tuy nhiên, điều quan trọng cần lưu ý DWT mối quan hệ đáp ứng xung lọc thông thấp thông cao Chúng có mối quan hệ sau: - Trong đó, L chiều dài lọc (số điểm tín hiệu) - Các lọc thỏa mãn điều kiện dùng phổ biến xử lý tín hiệu, gọi lọc đối xứng vuông góc (Quadrature Mirror Filters) Hoạt động lọc subsample mô tả toán học lại sau: - Việc tổng hợp lại tín hiệu ban đầu đơn giản lọc nửa băng tần có tính trực giao, trình tổng hợp tương tự theo thứ tự ngược lại Khi đó, công thức tổng hợp tín hiệu mức mô tả sau: - Wavelet đạt hiệu cao nén liệu, ví dụ JPEG 2000 Chương : Thuật toán biến đổi Wavelet với sóng Daubechies : DWT VÀ DWT-1 dùng kĩ thuật phân tích đa phân giải băng lọc số Nhắc lại lý thuyết : Thực chất đầu lọc có đáp ứng xung {hk} tín hiệu đầu vào lấy mẫu xuống lần Sóng chọn sóng Daubechies Theo lý thuyết : - Đáp ứng xung lọc khôi phục thông thấp = đáp ứng xung lọc Wavelet Nếu lọc pt/th thông thấp có đáp ứng xung {hk} lọc pt/th thông cao có đáp ứng xung {(-1)nhN-1-n} Mỗi quan hệ lọc pt th : hpt(n) = hth(N-1-n) gpt(n) = gth(N-1-n) Mà lọc D2 có {hn}=(h0= , h1= )  Đáp ứng xung lọc khôi phục thông cao: {g n}=(g0= , g1= )  Đáp ứng xung lọc phân tích thông thấp : {h n}=(h0= , h1= )  Đáp ứng xung lọc phân tích thông cao : {g n}=(g0= , g1= ) 3.1 Thuật toán DWT Ta thực phép tính nhân tích chập liệu đầu vào với đáp ứng xung lọc Quá trình nhân tích chập thực qua bước sau : Đầu vào ảnh đa mức xám biểu diễn ma trận A[mxn] Chọn m=n=512 Đầu ma trận C[mxn] sau phép nhân chập 10 Low pass *( , ) Low pass *( , ) Columns Rows high pass *( , ) 2 *( , ) *( , ) high pass Rows *( , ) Columns Bước 1: 11 Duyệt theo hàng giảm tần sô lấy mẫu xuống lần nên ta ma trận có số cột giảm nửa Ghép 2ma trận ta ma trận B[mxn] Các phần tử ma trận B tính : Bi,j+1=ai,2j+1 ha1 + ai,2j+2 ha0 với j =[0,1, ,k-1] Bi,k+j+1=ai,2j+1 ga1 + ai,2j+2 ga0 Bước 2: Ta cho ma trận qua lọc thông thấp thông cao Duyệt theo cột giảm tần số lấy mẫu xuống lần ta thu ma trận có số hàng giảm nửa Ghép ma trận ta ma trận C[mxn] Các phần tử ma trận C tính sau : Ci+1,j = b2i+1,j ha1 + b2i+2,j ha0 với i =[0,1, ,t-1] Ct+i+1+k,j= b2i+1,j ga1 + b2i+2,j ga0 Bước : Nếu có mức đa phân giải cao ta thực bước bước với thành phần LL 12 3.2 Thuật toán DWT-1 Ta thực phép tính nhân tích chập liệu đầu vào với đáp ứng xung lọc Quá trình nhân tích chập thực qua bước sau : Đầu vào ma trận C[mxn] kết phép biến đổi bên Đầu ma trận A[mxn] biểu diễn ảnh ba đầu Low pass *( , ) Low pass Columns *( , ) Rows *( , ) *( , ) high pass high pass *( , ) Rows *( , ) Columns Bước : Kiểm tra xem ảnh đa phân giải mức Nếu level =1 ta thực bước Nếu level > ta thực xử lý tầng cao trước xuống tầng thấp level =1 ;ở tưng tầng ta thực bước 13 Bước : Chia ma trận C làm ma trận Duyệt theo cột tăng tần số lấy mẫu lần cho qua lọc hình vẽ Ta thu ma trận có số hàng tăng lần so với ma trận Ma trận B tính : B2i+1,j = ci+1,j hs1 + ct+i+1,j gs0 với i=[0,1,…,t-1] B2i+2,j = ci+1,j hs0 + ct+i+1,j gs1 Bước : Duyệt ma trận theo hàng tăng tần số lấy mẫu lên cho qua lọc ta ma trận A có số cột tăng lần Ma trận A tính : Ai,2j+1 = bi,j+1 hs1 + bi,k+j+1 gs0 với j=[0,1,…,k-1] Ai,2j+2 = bi,j+1 hs0 + bi,k+j+1 gs1 14 Chương : Xây dựng cài đặt thử nghiệm thuật toán Hàm main.m thực biến đổi DWT thuận Hàm in_main.m thực biến đổi DWT-1 sau ta chạy hàm main.m Biến level số mức đa phân giải Ảnh đầu vào xử lý : - Dùng hàm rgb2gray() chuyển ảnh ảnh đa mức xám Chuyển kích thước size 512x512 Ví dụ phép DWT với level =1 Hình : Phép DWT với level=1 15 Sau ta Ta thực DWT-1 thu ảnh ban đầu Hình : Phép DWT-1 với level=1 Ví dụ DWT với level =2 : 16 Hình 4: Phép DWT với level=2 17 Tài liệu tham khảo Slide Xử lý liệu đa phương tiện – IT4621 PGS TS Nguyễn Thị Hoàng Lan • An Introduction to Wavelet Transform - Graduate Institute of Communication EngineeringNational Taiwan University, Taipei, Taiwan, ROC • 18 [...]... ga1 + b2i+2,j ga0 Bước 3 : Nếu có mức đa phân giải cao hơn ta thực hiện bước 1 và bước 2 với thành phần LL 12 3.2 Thuật toán DWT-1 Ta thực hiện phép tính nhân tích chập dữ liệu đầu vào với đáp ứng xung của bộ lọc Quá trình nhân tích chập được thực hiện qua các bước sau : Đầu vào là ma trận C[mxn] là kết quả phép biến đổi bên trên Đầu ra là ma trận A[mxn] biểu diễn ảnh ba đầu Low pass 2 *( , ) Low... : Xây dựng và cài đặt thử nghiệm thuật toán trên Hàm main.m thực hiện biến đổi DWT thuận Hàm in_main.m thực hiện biến đổi DWT-1 sau khi ta chạy hàm main.m Biến level là số mức đa phân giải Ảnh đầu vào được xử lý : - Dùng hàm rgb2gray() chuyển ảnh về ảnh đa mức xám Chuyển kích thước size về 512x512 Ví dụ phép DWT với level =1 Hình 2 : Phép DWT với level=1 15 Sau đó ta Ta thực hiện DWT-1 và thu được... 1: 11 2 Duyệt theo hàng và giảm tần sô lấy mẫu xuống 2 lần nên ta được 2 ma trận con có số cột giảm đi một nửa Ghép 2ma trận con ta được 1 ma trận B[mxn] Các phần tử ma trận B được tính là : Bi,j+1=ai,2j+1 ha1 + ai,2j+2 ha0 với j =[0,1, ,k-1] Bi,k+j+1=ai,2j+1 ga1 + ai,2j+2 ga0 Bước 2: Ta lần lượt cho 2 ma trận con đi qua các bộ lọc thông thấp và thông cao Duyệt theo cột và giảm tần số lấy mẫu xuống... level =1 Hình 2 : Phép DWT với level=1 15 Sau đó ta Ta thực hiện DWT-1 và thu được ảnh ban đầu Hình 3 : Phép DWT-1 với level=1 Ví dụ DWT với level =2 : 16 Hình 4: Phép DWT với level=2 17 Tài liệu tham khảo Slide Xử lý dữ liệu đa phương tiện – IT4621 của PGS TS Nguyễn Thị Hoàng Lan • An Introduction to Wavelet Transform - Graduate Institute of Communication EngineeringNational Taiwan University, Taipei,... ta thực hiện xử lý ở tầng cao nhất trước rồi xuống các tầng thấp hơn cho đến khi về level =1 ;ở tưng tầng ta cũng thực hiện 2 bước dưới đây 13 Bước 2 : Chia ma trận C làm 4 ma trận con Duyệt theo cột và tăng tần số lấy mẫu 2 lần rồi cho đi qua các bộ lọc như hình vẽ Ta thu được 2 ma trận có số hàng tăng 2 lần so với 4 ma trận con Ma trận B được tính : B2i+1,j = ci+1,j hs1 + ct+i+1,j gs0 với i=[0,1,…,t-1]