Biến đổi Fourier rời rạc và ứng dụng trong bài toán lọc tuyến tính.

Trang phụ bìa Bản cam đoan Mục lục Tóm tắt luận văn Danh mục các ký hiệu, viết tắt, các bảng, hình vẽ MỞ ĐẦU 1 Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 1.1. Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu 3 1.1.1. Tín hiệu 3 1.1.2. Hệ thống xử lý tín hiệu 4 1.1.3. Chuyển đổi tín hiệu từ tín hiệu tương tự sang tín hiệu số và ngược lại 5 1.2. Tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian 8 1.2.1. Các tín hiệu rời rạc theo thời gian 8 1.2.2. Các hệ thống rời rạc theo thời gian 10 1.2.3. Phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian 13 1.3. Kết luận 14 Chương 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BÀI TOÁN LỌC TUYẾN TÍNH 2.1. Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 15 2.1.1. Sự hội tụ của biến đổi Fourier 16 2.1.2. Định lý lấy mẫu 17 2.1.3. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 24 2.2. Các phương pháp lọc tuyến tính dựa trên DFT 32 2.2.1. Sử dụng DFT trong lọc tuyến tính 32 2.2.2. Lọc các dãy có độ dài dữ liệu lớn 34 2.2.3. Phân tích tín hiệu trong miền tần số bằng DFT 40 2.2.4. Các thuật toán biến đổi nhanh Fourier 42 2.3. Kết luận 51 Chương 3 XÂY DỰNG CÁC ỨNG DỤNG THỬ NGHIỆM TRÊN BÀI TOÁN LỌC TUYẾN TÍNH 3.1. Phương pháp xếp chồng 52 3.1.1. Nội dung phương pháp 52 3.1.2. Thực hiện bằng MATLAB 53 3.2. Phương pháp đặt kề nhau 57 3.2.1. Nội dung phương pháp 57 3.2.2. Thực hiện trên MATLAB 58 3.3. Kết luận 60 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62  

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

Cán bộ hướng dẫn chính: TS Dương Tử Cường

Cán bộ chấm phản biện 1: ………

Cán bộ chấm phản biện 2: ………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại:

HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨHỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰNgày 06 tháng 07 năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Những kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn là hoàn toàntrung thực, của tôi, không vi phạm bất cứ điều gì trong luật sở hữu trí tuệ vàpháp luật Việt Nam Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật

TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Lê Thị Hồng Loan

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Họ và tên học viên: Lê Thị Hồng Loan

Chuyên ngành: Khoa học máy tính Khóa: 25ACán bộ hướng dẫn: TS Dương Tử Cường

Tên đề tài: Biến đổi Fourier rời rạc và ứng dụng trong bài toán lọc tuyến tính.

Tóm tắt: Nghiên cứu Tổng quan về xử lý tín hiệu số để nắm những vấn

đề cơ bản về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu, tín hiệu và hệ thống rời rạctheo thời gian và Phân tích tín hiệu rời rạc và hệ thống trong miền tần số;Nghiên cứu biến đổi Fourier rời rạc và sử dụng biến đổi Fourier trong lọctuyến tính Từ kết quả nghiên cứu trên luận văn tiến hành xây dựng một ứngdụng thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB và đưa ra kết quả đánh giá nhậnxét

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Bản cam đoan

Mục lục

Tóm tắt luận văn

Danh mục các ký hiệu, viết tắt, các bảng, hình vẽ

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 1.1 Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu 3

1.1.1 Tín hiệu 3

1.1.2 Hệ thống xử lý tín hiệu 4

1.1.3 Chuyển đổi tín hiệu từ tín hiệu tương tự sang tín hiệu số và ngược lại 5

1.2 Tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian 8

1.2.1 Các tín hiệu rời rạc theo thời gian 8

1.2.2 Các hệ thống rời rạc theo thời gian 10

1.2.3 Phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian 13

1.3 Kết luận 14

Chương 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BÀI TOÁN LỌC TUYẾN TÍNH 2.1 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 15

2.1.1 Sự hội tụ của biến đổi Fourier 16

2.1.2 Định lý lấy mẫu 17

2.1.3 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 24

2.2 Các phương pháp lọc tuyến tính dựa trên DFT 32

2.2.1 Sử dụng DFT trong lọc tuyến tính 32

2.2.2 Lọc các dãy có độ dài dữ liệu lớn 34

2.2.3 Phân tích tín hiệu trong miền tần số bằng DFT 40

2.2.4 Các thuật toán biến đổi nhanh Fourier 42

2.3 Kết luận 51

Chương 3 XÂY DỰNG CÁC ỨNG DỤNG THỬ NGHIỆM TRÊN BÀI TOÁN LỌC TUYẾN TÍNH 3.1 Phương pháp xếp chồng 52

3.1.1 Nội dung phương pháp 52

3.1.2 Thực hiện bằng MATLAB 53

3.2 Phương pháp đặt kề nhau 57

3.2.1 Nội dung phương pháp 57

3.2.2 Thực hiện trên MATLAB 58

3.3 Kết luận 60

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ

Bảng 2.1: Phân tích tần số của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 16

Hình 1.1: Hệ thống xử lý tín hiệu tương tự 5

Hình 1.2: Hệ thống xử lý tín hiệu số 5

Hình 1.3: Các thành phần cơ bản của bộ chuyển đổi tương tự số 6

Hình 1.4: Biến đổi số - tương tự giữa bậc không 7

Hình 1.5: Biểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời gian 9

Hình 1.6: Biểu diễn đồ thị của tín hiệu mẫu đơn vị 9

Hình 1.7: Biểu diễn bằng đồ thị của tín hiệu dốc đơn vị 10

Hình 1.8: Biểu diễn bằng sơ đồ khối của hệ thống rời rạc theo thời gian 11

Hình 2.1: Mô tả sự lấy mẫu của tín hiệu có bề rộng phổ hữu hạn và sự trùm phổ 22

Hình 2.2: Khôi phục tín hiệu liên tục bằng phương pháp nội suy lý tưởng 24

Hình 2.3: Lấy mẫu miền tần số của biến đổi Fourier 26

Hình 2.4: Dãy không tuần hoàn x(n) với độ dài L và triển khai tuần hoàn của nó với N≥L (không trùm thời gian) và N < L (trùm thời gian) 27

Hình 2.5: Đồ thị của hàm [sin(ωNN /2]/[N sin (ωN/2] 29

Hình 2.6: Bộ lọc FIR tuyến tính theo phương pháp đặt kề nhau 37

Hình 2.7: Bộ lọc FIR tuyến tính theo phương pháp cộng xếp chồng 39

Hình 2.8: Mảng dữ liệu hai chiều để lưu trữ dãy x(n), 0≤n≤N −1 46

Hình 2.9: Hai kiểu phân bố của dữ liệu kiểu mảng 48

Hình 3.1: Lọc tuyến tính theo phương pháp xếp chồng 57

Hình 3.2: Lọc tuyến tính theo phương pháp đặt kề nhau 59

MỞ ĐẦU

Sự phát triển mạnh mẽ của các thế hệ máy tính điện tử đã tạo điều kiệncho kỹ thuật xử lý tín hiệu số bước sang một bước ngoặt mới và được sử dụngtrong rất nhiều lĩnh vực khác nhau Hiện nay rất nhiều hệ thống thông tin liênlạc, radar, xử lý ảnh, xử lý tiếng nói, trên thế giới đã được số hóa hoàn toàn

Tuy nhiên, để có thể áp dụng được các kỹ thuật xử lý tín hiệu số thì tínhiệu tương tự phải được chuyển sang tín hiệu số Sau đó, tín hiệu số này được

bộ xử lý hoặc phần mềm thao tác như loại nhiễu tín hiệu, loại bỏ nhiễu xuyênkênh, Cuối cùng, tín hiệu số lại được chuyển sang tín hiệu tương tự và xử lýcác bước tiếp theo tùy thuộc vào ứng dụng cụ thể

Để tín hiệu số có thể được thao tác thuận tiện trong bộ vi xử lý hoặcmáy tính thì phương pháp hay được sử dụng nhất là biến đổi Fourier rời rạc.Đây là công cụ toán học quan trọng trong xử lý tín hiệu số Hầu hết các ứngdụng xử lý tín hiệu đều được đưa về bài toán thiết kế bộ lọc số Tuy nhiên,việc xây dựng, thiết kế bộ lọc số đạt được các yêu cầu mong muốn thì khôngphải đơn giản

Qua nghiên cứu thực tế, có thể thấy quá trình thiết kế bộ lọc số là mộtquá trình phức tạp Việc thiết kế bộ lọc có thể được thực hiện bằng nhữngphương pháp khác nhau, trong đó biến đổi Fourier rời rạc là một phương phápđược thực hiện dựa trên phần mềm và có tốc độ xử lý nhanh

Từ những vấn đề trên, tôi đã chọn đề tài: “Biến đổi Fourier rời rạc và

ứng dụng trong bài toán lọc tuyến tính”.

Mục tiêu: Nghiên cứu tổng quan về xử lý tín hiệu số để nắm những vấn

đề cơ bản về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu, tín hiệu và hệ thống rời rạctheo thời gian và phân tích tín hiệu rời rạc và hệ thống trong miền tần số;Nghiên cứu biến đổi Fourier rời rạc và sử dụng biến đổi Fourier trong lọctuyến tính Để khẳng định kết quả nghiên cứu về mặt lý thuyết, phần cuối của

1

luận văn xây dựng một ứng dụng thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB, từ

đó đưa ra kết quả đánh giá và nhận xét

Cấu trúc của luận văn được chia thành ba chương cụ thể như sau:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết về xử lý tín hiệu số

Trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến tín hiệu và hệ thống xử

lý tín hiệu; và tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian, và phân tích hệthống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian

Chương 2: Biến đổi Fourier rời rạc và bài toán lọc tuyến tính

Trình bày khái quát về biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuầnhoàn, cùng với các phương pháp lọc tuyến tính dựa trên DFT và các thuậttoán biến đổi Fourier nhanh

Chương 3: Xây dựng các ứng dụng thử nghiệm trên bài toán lọc tuyến tính

Trình bày bài toán lọc tuyến tính và sử dụng phần mềm MATLAB để xâydựng bộ lọc số sử dụng biến đổi Fourier Từ đó, đưa ra kết quả và nhận xét

Để hoàn thành luận văn, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các Thầy giáotrong Khoa Công nghệ thông tin – Học viện Kỹ thuật quân sự đã tận tìnhgiảng dạy, cung cấp nguồn kiến thức quý giá trong suốt quá trình học tập

Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Dương Tử Cường tậntình hướng dẫn, góp ý, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

2

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Nội dung của chương này nghiên cứu và trình bày những vấn đề cơ bản liên quan đến tín hiệu và hệ thống tín hiệu nói chung; tín hiệu và hệ thống rời rạc nói riêng, Đặc biệt, luận văn sẽ nghiên cứu và trình bày phương pháp phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian.

1.1 Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu

1.1.1 Tín hiệu

Tín hiệu được định nghĩa như một thực thể vật lý phụ thuộc vào thờigian, khoảng cách hoặc một biến số độc lập khác Về phương diện toán học,tín hiệu được mô tả như một hàm của một hoặc nhiều biến độc lập Ngoài cáctín hiệu chỉ phụ thuộc vào một biến như đã chỉ ra ở trên còn tồn tại tín hiệucủa nhiều biến khác nhau Nếu tín hiệu được biểu diễn qua hàm của một biếnđộc lập thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu một chiều Trong trường hợp

ngược lại nếu tín hiệu được biểu diễn qua hàm toán học với M biến độc lập, tín hiệu được gọi là tín hiệu M chiều.

Tín hiệu có thể được phân thành một số loại sau:

Các tín hiệu tuần hoàn có thể được mô tả một cách đầy đủ thông quamột chu kỳ và có thể được phân rã và biểu diễn bằng các thành phần hình sin

Các tín hiệu có độ dài hữu hạn được định nghĩa một khoảng thời gianhữu hạn và không được xác định bên ngoài khoảng thời gian này.

Tín hiệu quá độ là các tín hiệu có giá trị khác không trong một khoảngthời gian hữu hạn nào đó hoặc thay đổi trong một khoảng thời gian ngắn sau

đó sẽ tiến tới một giá trị không đổi

Nhóm tín hiệu gần như tuần hoàn bao gồm tổng các tín hiệu hình sin vàkhông phải là tín hiệu điều hòa Loại tín hiệu này thường ít gặp trong các ứngdụng trên thực tế

 Tín hiệu ngẫu nhiên

Là tín hiệu không thể được biểu diễn chính xác và rõ ràng qua các côngthức toán học Xác suất của các tín hiệu này là thường nhỏ hơn 1 và do đóthường chứa các thông tin chưa được biết trước Các tín hiệu ngẫu nhiên cóthể là các bản tin thu được từ các thiết bị vô tuyến như đài, tivi,…

Ngoài ra, tín hiệu còn có thể được phân loại thành tín hiệu tương tự, rờirạc, tín hiệu đa kênh, đa chiều,

1.1.2 Hệ thống xử lý tín hiệu

Hệ thống có thể được định nghĩa như một thiết bị vật lý (phần cứng),một chương trình (phần mềm), hoặc có thể là sự kết hợp giữa phần cứng vàphần mềm dùng để thực hiện các thao tác đối với tín hiệu

Dựa vào loại tín hiệu được xử lý người ta chia hệ thống xử lý tín hiệu

ra làm hai loại chính:

 Hệ thống xử lý tín hiệu tương tự

Hầu hết các tín hiệu được sử dụng trong việc nghiên cứu và ứng dụng

kỹ thuật đều là tín hiệu tương tự theo nguồn gốc phát sinh của chúng Các tínhiệu này được xử lý trực tiếp thông qua các hệ thống tương tự thích hợp nhằmthay đổi các đặc tính của tín hiệu (lọc tần số, nhân tần số, ) hoặc nhận cácthông tin cần thiết từ tín hiệu Trong các trường hợp như thế, tín hiệu sẽ được

Bộ xử lý tín hiệutương tự Tín hiệu ra

tương tự

Tín hiệu vào

tương tự

Chuyển đổi A/D

Bộ xử lý tín hiệu số

Chuyển đổi D/A Tín hiệu vào

tương tự

Tín hiệu ra dạng số Tín hiệu vào dạng số

xử lý trực tiếp từ dạng tương tự của nó Cả hai tín hiệu ra và vào trong trườnghợp này đều là tín hiệu tương tự Quá trình này được mô tả trên Hình 1.1

1.1.3 Chuyển đổi tín hiệu từ tín hiệu tương tự sang tín hiệu số và ngược lại

Hầu hết các tín hiệu quan trọng trong thực tế như tín hiệu tiếng nói, tínhiệu sinh học, đều là các tín hiệu tương tự Để có thể xử lý các tín hiệu nàybằng số thì việc cần thiết đầu tiên là phải chuyển đổi chúng thành dãy các sốvới độ chính xác hữu hạn Quá trình này được gọi là chuyển đổi tương tự - số

(Analog to Digital – A/D) và thiết bị tương ứng thực hiện công việc này được

là bộ chuyển đổi A/D (ADC)

Về khái niệm có thể chia quá trình chuyển đổi A/D thành ba giai đoạn.Các giai đoạn này được mô tả trên Hình 1.3

Hình 1.3: Các thành phần cơ bản của bộ chuyển đổi tương tự số

1 Quá trình lấy mẫu: Đây là quá trình chuyển đổi tín hiệu liên tục theo

thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian Điều này được thực hiện bẳngcách “lấy mẫu” tín hiệu liên tục ở những thời điểm khác nhau của thời gian.Như vậy nếu x a(t ) là tín hiệu cần lấy mẫu (đầu vào) thì tín hiệu sau khi lấy

mẫu (đầu ra) là x a(nT )≡x(n) Ở đây T được gọi là khoảng cách lấy mẫu.

2 Quá trình lượng tử hóa: Đây là quá trình chuyển đổi tín hiệu đã được

rời rạc hóa theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian và biên độ.Thực chất đây là quá trình làm tròn giá trị các biên độ ở các thời điểm lấymẫu bằng các giá trị đã được chọn trong tập hợp hữu hạn các giá trị cho phép

Giá trị sai lệch giữa mẫu chưa được lượng tử hóa x(n) và đầu ra đã được lượng tử hóa x q (n) được gọi là sai số lượng tử hóa.

3 Mã hóa: Trong quá trình mã hóa, mỗi giá trị rời rạc x q (n) được biểu diễn bằng một dãy nhị phân gồm n bit.

Cần lưu ý là mặc dầu chúng ta mô phỏng quá trình chuyển đổi AD như

ba quá trình liên tiếp nhau: lấy mẫu, lượng tử hóa và mã hóa nhưng trên thực

tế cả ba quá trình này đều được thực hiện bởi một thiết bị duy nhất với đầu

vào là x a (t) và đầu ra là số nhị phân đã được mã hóa Quá trình lấy mẫu và

lượng tử hóa có thể được thực hiện theo một thứ tự bất kỳ nhưng trên thực tếquá trình lấy mẫu thường được tiến hành trước quá trình lượng tử hóa

Tín hiệu đã được số hóa trong rất nhiều trường hợp lại cần được chuyểnđổi thành tín hiệu tương tự Quá trình chuyển đổi tín hiệu dạng số sang dạngtương tự được gọi là chuyển đổi D/A (Digital to Analog) Tất cả các bộchuyển đổi D/A đều sử dụng các phương pháp nội suy để “chắp nối” các điểmtrong tín hiệu số thành tín hiệu tương tự Hình 1.4 mô tả một dạng đơn giảncủa quá trình chuyển đổi D/A Dạng này được gọi là dạng xấp xỉ bậc thang.Ngoài phương pháp này còn có một số phương pháp xấp xỉ khác có thể được

sử dụng như phương pháp tuyến tính hóa đường nối các cặp mẫu liên tiếp (nộisuy tuyến tính) hoặc nội suy bậc hai (biểu diễn qua ba mẫu liên tiếp nhaubằng phương trình bậc hai)

Hình 1.4: Biến đổi số - tương tự giữa bậc khôngNếu dải tần số là hữu hạn thì quá trình lấy mẫu không làm lệch lạcthông tin Về nguyên tắc, tín hiệu tương tự có thể được khôi phục lại từ cácmẫu nếu tốc độ lấy mẫu là đủ lớn Nếu tốc độ này không đủ lớn thì có thểnhận được tín hiệu khác – tín hiệu nhầm lẫn Mặt khác quá trình lượng tử hóa

là quá trình thực hiện có sai số do đó đây là quá trình không thuận nghịch(nghịch đảo) Có thể nhận thấy rằng nếu ADC làm việc lý tưởng thì bao giờcũng tồn tại sai số và đây là sai số lượng tử hóa Sai số này còn được gọi là sai

số lý tưởng hoặc sai số hệ thống của ADC Như vậy một ADC làm việc trongđiều kiện thực sẽ có sai số thực gồm sai số lượng tử hóa và các sai số còn lại.Trong các tham số đặc trưng cho các sai số còn lại thì tham số quan trọngnhất là độ phân biệt của bộ chuyển đổi Bởi vì đầu ra của một ADC là các giátrị số được sắp xếp theo quy luật của mỗi loại mã nào đó do vậy số các sốhạng của mã ở đầu ra (số bit trong mã nhị phân) tương ứng với dải biến đổicủa điện áp vào cho biết mức chính xác của phép chuyển đổi Trên thực tếchất lượng của ADC sẽ được đánh giá qua độ chính xác và tốc độ chuyển đổi.Hai đặc tính này tuy vậy thường đối ngược nhau do đó tùy thuộc vào lĩnh vựcứng dụng hoặc yêu cầu cụ thể mà cần đưa ra giải pháp dung hòa giữa hai yếu

tố này

1.2 Tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian

1.2.1 Các tín hiệu rời rạc theo thời gian

Tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) thực chất là hàm của biến độc lập có

kiểu số nguyên Hình 1.5 mô tả tín hiệu bằng phương pháp đồ thị Một điềurất quan trọng cần phải lưu ý là tín hiệu rời rạc theo thời gian không đượcđịnh nghĩa ở các thời điểm nằm giữa hai mẫu liên tiếp nhau Cũng sẽ không

đúng nếu cho rằng x(n) sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của n không phải là số nguyên Rất đơn giản, tín hiệu x(n) chỉ được định nghĩa đối với các giá trị nguyên của n.

Trong khi nghiên cứu, chúng ta sẽ giả sử tín hiệu rời rạc theo thời gian

được định nghĩa đối với giá trị nguyên của n thuộc khoảng −∞ <n<∞

Theo qui ước x(n) sẽ được xem như là “mẫu thứ n” của tín hiệu, thậm chí nếu

tín hiệu này vốn đã là tín hiệu rời rạc (không phải là kết quả của quá trình lấy

mẫu tín hiệu rời rạc) Nếu cho rằng x(n) là tín hiệu nhận được do quá trình lấy

mẫu của tín hiệu tương tự x a(t ) thì x(n)≡x(nT ) , trong đó T là chu kỳ lấy

mẫu (thời gian giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp nhau) (để ngắn gọn trong báo

cáo luận văn sẽ sử dụng x(n) như là cách viết đơn giản của x(nT) hoặc hiểu là T=1).

Hình 1.5: Biểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời gian

Ngoài phương pháp sử dụng đồ thị như mô tả Hình 1.5 còn có một sốphương pháp khác tương đối thuận tiện được sử dụng để biểu diễn tín hiệu(hoặc dãy) rời rạc theo thời gian Các phương pháp này bao gồm: Biểu diễnbằng hàm, biểu diễn bằng bảng và biểu diễn qua dãy số

Dưới đây là một số tín hiệu cơ bản rất hay xuất hiện và sử dụng trong

lý thuyết về tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian vì vậy các tín hiệu nàyđóng một vai trò hết sức quan trọng

 Dãy mẫu đơn vị

Tín hiệu này còn được gọi là dãy xung đơn vị và được định nghĩa nhưsau:

δ(n)≡ ¿ { 1, if n=0 ¿¿¿¿

Hình 1.6: Biểu diễn đồ thị của tín hiệu mẫu đơn vị

Dãy này còn được gọi là tín hiệu nhảy bậc đơn vị hay hàm bậc thang vàđược định nghĩa qua hàm sau:

Tín hiệu này được mô tả trên Hình 1.12

Hình 1.7: Biểu diễn bằng đồ thị của tín hiệu dốc đơn vị

1.2.2 Các hệ thống rời rạc theo thời gian

Các hệ thống rời rạc theo thời gian bao gồm các thiết bị hoặc thuật toán

mà qua đó một tín hiệu rời rạc x(n) gọi là tín hiệu đầu vào được chuyển đổi thành một tín hiệu rời rạc khác y(n) gọi là tín hiệu đầu ra hoặc đáp ứng của hệ

thống Quan hệ vào ra này có thể được biểu diễn bằng biểu thức toán học:

y(n)≡T[x(n)]

trong đó T là ký hiệu của phép biến đổi hoặc toán tử.

Hình 1.8: Biểu diễn bằng sơ đồ khối của hệ thống rời rạc theo thời gian

Mô tả vào/ra của hệ thống rời rạc theo thời gian bao gồm các công thứctoán học hoặc các quy tắc mà qua đó có thể định nghĩa một cách chính xác quan

hệ giữa tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu ra Trong trường hợp này hệ thống đượcxem như một hộp đen mà không cần quan tâm đến cấu trúc bên trong Như vậychỉ còn có một phương pháp duy nhất để làm việc và nghiên cứu hệ thống là sửdụng các thiết bị đầu cuối và đầu vào của hệ thống Để phản ánh điều này ta cóthể sử dụng cách biểu diễn bằng đồ thị như trên Hình 1.8 và qua quan hệ vào racủa hệ thống trong biểu thức trên hoặc qua cách biểu diễn:

là có nhớ

 Hệ thống tuyến tính và không tuyến tính

Hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.Nguyên lý này đòi hỏi rằng đáp ứng của hệ thống với tác động là tổng của cáctín hiệu sẽ bằng tổng các đáp ứng của hệ thống khi tác động đầu vào là từngtín hiệu riêng lẻ

 Hệ thống bất biến theo thời gian

Một hệ được gọi là bất biến theo thời gian nếu như đặc trưng vào ra của

nó không thay đổi theo thời gian Đối với các hệ này nếu như đáp ứng của hệ

đối với tác động x(n) là y(n) thì với tín hiệu đầu vào bị dịch trễ k đơn vị thời gian x(n-k), tín hiệu đầu ra cũng bị trễ k đơn vị y(n-k) Tức là nếu:

x (n)⃗T y (n)

thì suy ra:

x(n−k)⃗ y(n−k )

đối với mọi tín hiệu đầu vào x(n) và mọi thời gian dịch chuyển k.

 Hệ nhân quả và không nhân quả

Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu tín hiệu đầu ra y(n) của nó tại một thời điểm bất kỳ n chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong quá khứ và

tại thời điểm đang xét và không phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào trongtương lai [x(n+1), x(n+2),…] Trong trường hợp ngược lại hệ thống sẽ

được gọi là hệ không nhân quả

| x(n)|≤Mx<∞ , |y(n)|≤My<∞

đối với mọi n Nếu dãy đầu vào x(n) là hữu hạn và dãy đầu ra là vô hạn thì hệ

thống được gọi là hệ không ổn định

1.2.3 Phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian

Hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian gọi tắt là hệ thốngLTI (Linear Time-Invariant Systems) là hệ thống rời rạc vừa tuyến tính, vừabất biến

Có hai phương pháp cơ bản thường được sử dụng trong việc phân tíchcác đáp ứng của hệ thống tuyến tính đối với một tín hiệu đầu vào cho trước

 Phương pháp thứ nhất dựa trên cách giải quyết trực tiếp đối với biểuthức biểu diễn quan hệ vào/ra của hệ thống Biểu thức này thông thường códạng sau:

y(n )=F[y(n−1), y(n−2 ), …, y(n−N ), x(n), x(n−1),…, x(n−M )]

trong đó F[.] là hàm với các biến là các thành phần được chỉ ra trong dấungoặc vuông Cụ thể hơn, đối với các hệ thống LTI thì sau này ta có thể thấyrằng quan hệ vào/ra có thể được biểu diễn bằng công thức:

Quan hệ vào ra trong (1.1) được gọi là biểu thức sai phân và được dùng

để mô tả đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc theo thời gian

 Phương pháp thứ hai được sử dụng để phân tích đáp ứng của hệthống tuyến tính đối với một tín hiệu đầu vào cho trước được tiến hành thôngqua hai bước cơ bản:

(1.1)

- Phân tích tín hiệu đầu vào thành tổng các tín hiệu đơn giản cơ bản.Việc phân tích này sẽ đưa đến việc xác định đáp ứng của tín hiệu đầu vàothông qua các đáp ứng của hệ đối với các tín hiệu cơ bản mà thông thường sẽđơn giản và dễ dàng hơn rất nhiều.

- Sử dụng tính chất tuyến tính của hệ thống để xác định đáp ứng tổngcủa hệ thống thông qua các đáp ứng riêng lẻ đối với từng tín hiệu cơ bản.Phương pháp thứ hai sẽ được trình bày trong phần này

Từ việc phân tích từng tín hiệu rời rạc cơ bản thành các xung, đáp ứngcủa hệ thống LTI có thể được xác định theo công thức:

y(n)= ∑

k=−∞

∞

x(k)h(n−k )

Công thức (1.2) được gọi là tổng chập hoặc tích chập và nó cho phép

xác định đáp ứng y(n) của hệ thống LTI như là hàm của tác động đầu vào x(n)

và đáp ứng xung đơn vị h(n).

Đối với hệ thống LTI, ta có thể xác định tính nhân quả và tính ổn địnhcủa hệ thống thông qua các tiêu chuẩn trên đáp ứng xung của hệ thống

Một hệ thống LTI được gọi là nhân quả nếu đáp ứng xung của nó bằng

0 với mọi giá trị âm của n, tức là h(n) = 0 với ∀n<0. Khi đó:

Với cấu trúc trình bày như trên, chương này đã nghiên cứu và trình bàynhững kiến thức rất cơ bản để có thể tiếp cận nghiên cứu xử lý tín hiệu số

(1.2)

Trong chương sau, luận văn sẽ tập trung nghiên cứu và trình bày vềbiến đổi Fourier rời rạc và bài toán lọc tuyến tính.

Chương 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BÀI TOÁN LỌC TUYẾN TÍNH

Như đã trình bày trong Chương 1, chương này luận văn sẽ tập trung nghiên cứu và trình bày những vấn đề liên quan đến biến đổi Fourier và ứng dụng biến đổi Fourier trong các bài toán lọc tuyến tính.

2.1 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn

Cũng giống như trường hợp của tín hiệu năng lượng không tuần hoàn

và rời rạc theo thời gian, việc phân tích trong miền tần số của tín hiệu khôngtuần hoàn rời rạc theo thời gian với năng lượng hữu hạn sẽ bao gồm phép biếnđổi Fourier của tín hiệu trong miền tần số

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc x(n) với năng lượng hữu hạn được

ωN Về mặt vật lý, X (ωN) biểu diễn nội dung tần số của tín hiệu x(n) Nói

một cách khác, X (ωN) là phân tích của x(n) thành các thành phần tần số của

nó

Có thể nhận thấy hai điểm khác nhau cơ bản giữa biến đổi Fourier củatín hiệu năng lượng hữu hạn và rời rạc theo thời gian với tín hiệu có nănglượng hữu hạn và liên tục theo thời gian:

- Đối với tín hiệu liên tục, biến đổi Fourier và phổ của nó có miền giớihạn tần số từ −∞ đến ∞ , trong khi đối với tín hiệu rời rạc thì miền giớihạn này nằm trong khoảng từ −π đến π hoặc từ 0 đến 2π

- Bởi vì tín hiệu là rời rạc theo thời gian do vậy phép biến đổi Fourier

sẽ bao gồm tổng các phần tử thay cho phép lấy tích phân như trong trườnghợp tín hiệu liên tục

Cặp biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc được tổng hợp lại trongBảng 2.1

Bảng 2.1: Phân tích tần số của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn

n=−∞

∞

x(n)e−jωnωNn

(2.2)

2.1.1 Sự hội tụ của biến đổi Fourier

Khi đưa ra biểu thức biến đổi ngược (2.1) ta đã giả sử rằng:

khi N →∞ với mọi giá trị của ωN.

Sự hội tụ này sẽ được đảm bảo nếu x(n) là khả tổng tuyệt đối Thật vậy, nếu x(n) khả tổng tuyệt đối, nghĩa là:

Như vậy (2.3) chính là điều kiện đủ để tồn tại biến đổi Fourier rời rạctheo thời gian Đây là điều kiện thứ ba trong các điều kiện Dirichlet đối vớibiến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc Hai điều kiện đầu luôn được đảm bảo dotính chất tự nhiên của {x(n)} .

Một vài dãy có thể không có tính khả tổng tuyệt đối nhưng có tính khảtổng bình phương, nghĩa là các dãy này có năng lượng hữu hạn:

Như vậy năng lượng của sai số X (ωN)− X N(ωN) sẽ tiến tới 0 trong khi

bản thân sai số này không nhất thiết phải tiến tới 0 Biểu thức (2.4) có thể xem

là điều kiện mở rộng của (2.3) để tồn tại biến đổi Fourier rời rạc theo thờigian Bằng cách này ta có thể đưa các tín hiệu có năng lượng hữu hạn vào tậphợp các tín hiệu có biến đổi Fourier

2.1.2 Định lý lấy mẫu

Để có thể áp dụng các kỹ thuật xử lý tín hiệu số trong việc xử lý các tínhiệu tương tự thì điều cơ bản đầu tiên là cần phải chuyển đổi các tín hiệutương tự thành các dãy số Quá trình này được thực hiện bằng cách lấy mẫutín hiệu tương tự theo chu kỳ Nếu gọi tín hiệu tương tự là x a(t ), x(n) là tín

hiệu rời rạc theo thời gian thu được sau quá trình lấy mẫu, T là chu kỳ lấy

hiện tượng trùng phổ) thì tần số lấy mẫu F S=1/T phải có giá trị đủ lớn.Khi điều này được đảm bảo thì tín hiệu tương tự có thể được khôi phục mộtcách chính xác từ tín hiệu rời rạc theo thời gian hay nói cách khác là x a(t )

có thể được khôi phục từ x(n).

Nếu x a(t ) là tín hiệu không tuần hoàn với năng lượng hữu hạn thì

phổ của nó có thể được xác định bởi quan hệ của biến đổi Fourier:

Xa( F)= ∫

−∞

∞

xa( t)e−jωn 2π Ftdωt

Ngược lại, tín hiệu x a(t ) có thể được khôi phục từ phổ của nó qua

biến đổi Fourier ngược:

x a(t ) nếu tín hiệu này có dải tần vô hạn.

Phổ của tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) nhận được bằng cách lấy

mẫu x a(t ) được biểu diễn thông qua biến đổi Fourier:

Ngược lại, dãy x(n) có thể được khôi phục lại từ X (ωN) hoặc từ X(f)

qua biến đổi ngược:

(2.6)

Từ quan hệ này trong miền thời gian có thể suy ra quan hệ tương ứng

trong miền tần số các biến tần số F và f giữa X a(t ) và X(f) và ngược lại.

Thật vậy, thay thế (2.8) vào (2.6) ta nhận được:

trong khoảng vô hạn có thể được biểu diễn thông qua tổng của các tích phân.Nghĩa là:

Biểu thức (2.15) và (2.16) đưa ra quan hệ giữa phổ X(F /F S) hoặc

X(f) của tín hiệu rời rạc theo thời gian và phổ X a(F ) của tín hiệu tương tự.

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Thực chất, vế phải của hai biểu thức này là sự lặp lại có chu kỳ của phổ đãđược lấy tỷ lệ X a(F ) với chu kỳ F S .

Hãy xét quan hệ được đưa ra bởi hai biểu thức (2.15) và (2.16) với cáctần số lấy mẫu khác nhau Để thực hiện điều này ta hãy xét tín hiệu tương tựvới bề rộng phổ hữu hạn Tín hiệu này được mô tả trên Hình 2.1(a) Phổ củatín hiệu sẽ bằng 0 khi | F|≥B. Còn nếu tần số lấy mẫu được chọn lớn hơn

2B thì phổ X ( F /F S) của tín hiệu rời rạc theo thời gian sẽ có dạng như trên

Hình 2.1(b) Như vậy, nếu tần số lấy mẫu F S được chọn sao cho F S≥2B ,

X ( F FS) do có sự lặp lại có chu kỳ của X a(F ) nên

vậy sẽ phát sinh hiện tượng trùng phổ như mô trả trên Hình 2.1(c) và (d) Khi

đó phổ

X ( F FS) của tín hiệu rời rạc theo thời gian sẽ có chứa các thành phần

với các tần số nhầm lẫn của phổ tín hiệu tương tự X a(F ) và vì vậy việc

khôi phục tín hiệu gốc x a(t ) từ các mẫu sẽ không thể thực hiện được.

Hình 2.1: Mô tả sự lấy mẫu của tín hiệu có bề rộng phổ hữu hạn

và sự trùm phổ

Hình 2.1(b) mô tả tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) và phổ

X ( F FS)

khi không có sự trùng phổ Trong trường hợp này tín hiệu gốc x a(t ) có thể

khôi phục lại từ các mẫu x(n) Do không có sự trùng phổ nên ta có:

xa( t )= 1

FS∫−F S/2

F S/2[ ∑

Trong đó x(n)=x a(nT ) và T =1/ F S là khoảng thời gian lấy mẫu.

Đây cũng chính là công thức khôi phục lại tín hiệu gốc từ các mẫu đã đượcđưa ra trong định lý lấy mẫu

được dịch bởi lượng thích hợp nT, n=0,±1,±2,… và đã được nhận với các

mẫu tương ứng x a(nT ) của tín hiệu Công thức (2.19) được gọi là công thức nội suy và được dùng để khôi phục x a(t ) từ các mẫu trong khi g(t)

được đưa ra bởi (2.20) được gọi là hàm nội suy Cần lưu ý rằng, tại t=kT thì hàm nội suy g(t-nT) sẽ có giá trị bằng 0 ngoại trừ khi k=n Từ đây suy ra rằng

giá trị của x a(t ) tại các thời điểm t=kT sẽ chính là mẫu x a(kT ). Ở tất cả

các thời điểm còn lại, giá trị của x a(t ) sẽ bằng giá trị của các hàm nội suy

sau khi đã được lấy tỷ lệ với x a(nT ). Kết quả này được mô tả như trên Hình

2.2

(2.19)

(2.20)

Hình 2.2: Khôi phục tín hiệu liên tục bằng phương pháp nội suy lý tưởngCông thức (2.19) để khôi phục tín hiệu tương tự x a(t ) từ các mẫu

được gọi là công thức nội suy lý tưởng và là cơ sở của định lý lấy mẫu.

Định lý lấy mẫu: Tín hiệu liên tục theo thời gian có bề rộng phổ hữu hạn

với tần số cao nhất B Hz có thể được khôi phục một cách duy nhất từ các mẫunếu quá trình lấy mẫu được thực hiện với tốc độ F S≥2B mẫu trên một giây

2.1.3 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

Việc phân tích tín hiệu rời rạc theo thời gian trong miền tần số thôngthường được thực hiện rất hiệu quả và tiện lợi bằng bộ vi xử lý tín hiệu số Bộ

vi xử lý này có thể là máy tính được sử dụng cho các mục đích chung hoặc làthiết bị số chuyên dụng Để thực hiện việc phân tích rời rạc theo thời gian, tínhiệu {x(n)} cần được chuyển từ miền thời gian sang miền tần số tương ứng

thông qua biến đổi Fourier của dãy Tuy vậy, do X (ωN) là hàm liên tục củabiến tần số nên có thể thấy việc xử lý bằng máy tính của cách biểu diễn này làkhông thuận tiện

Để tránh nhược điểm nêu trên có thể đưa ra một cách biểu diễn kháccủa {x(n)} - biểu diễn thông qua việc lấy mẫu phổ X (ωN) của tín hiệu.Như vậy từ biểu diễn của tín hiệu trong miền tần số liên tục chúng ta đã đưađến biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Biến đổi này là một công cụ rất hiệu quảtrong việc phân tích các tín hiệu rời rạc theo thời gian

2.1.3.1 Lấy mẫu trong miền tần số - Biến đổi Fourier rời rạc

Trước khi nghiên cứu DFT, chúng ta hãy xét việc lấy mẫu của biến đổiFourier đối với dãy tín hiệu rời rạc theo thời gian không tuần hoàn và qua đây

có thể thiết lập được quan hệ giữa biến đổi Fourier đã được lấy mẫu và DFT

a Lấy mẫu trong miền tần số và khôi phục lại tín hiệu rời rạc theo thời gian

Chúng ta đã biết rằng mọi tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữuhạn đều có phổ liên tục Hãy xét một tín hiệu không tuần hoàn rời rạc theo

thời gian x(n) với biến đổi Fourier:

số lượng mẫu được lấy trong khoảng này là N thì khoảng cách giữa các lần

lấy mẫu sẽ là δωN=2 π / N - xem Hình 2.3

Nếu đánh giá (2.21) tại ωN=2 πk /N , chúng ta nhận được:

Hình 2.3: Lấy mẫu miền tần số của biến đổi FourierChúng ta hãy chia tổng trong (2.22) thành một số lượng vô hạn bao

gồm các tổng mà mỗi tổng có chứa N phần tử Như vậy công thức (2.22) có

Nếu chỉ số n của tổng bên trong được thay đổi thành n-lN và vị trí của

hai tổng được thay đổi cho nhau chúng ta sẽ nhận được kết quả sau:

(2.25)

này vẫn không đảm bảo được rằng x(n) hoặc X (ωN) có thể được khôi phục

từ các mẫu hay không Để đảm bảo được điều này cần phải xem xét thêm

quan hệ giữa x(n) và x p(n).

Hình 2.4: Dãy không tuần hoàn x(n) với độ dài L và triển khai tuần hoàn của

nó với N≥L (không trùm thời gian) và N < L (trùm thời gian)

Bởi vì theo công thức (2.24) x p(n) là sự mở rộng một cách tuần hoàn

của x(n) do vậy x(n) có thể được khôi phục lại từ x p(n) nếu không có sự

(2.27)

(2.28)

“trùm thời gian” giữa các thành phần của x p(n) Điều này đòi hỏi x(n) phải

có độ dài hữu hạn và độ dài L phải nhỏ hơn chu kỳ N của x p(n) Trên Hình

2.4 mô tả hai trường hợp của tín hiệu x p(n) ứng với các trường hợp N>L và N<L Ở đây không làm mất tính tổng quát chúng ta có thể xem x(n) là một

dãy có độ dài hữu hạn với các giá trị khác không trong khoảng 0≤n≤L−1 Có thể đưa ra nhận xét rằng khi N≥L thì:

x (n)=x p(n ) 0≤n≤N−1

vì vậy x(n) có thể được khôi phục từ x p(n) mà không có sự sai lệch Mặt

khác nếu N<L thì sẽ không có khả năng khôi phục x(n) từ x p(n) do có sự

trùm tín hiệu trong miền thời gian

Từ kết quả thu được ở trên chúng ta suy ra phổ của tín hiệu rời rạc theo

thời gian không tuần hoàn với độ dài hữu hạn L có thể được khôi phục một

cách chính xác thông qua các mẫu của nó tại các tần số ωN k=2 πk/ N nếuN≥L Quá trình này được thực hiện trước hết bằng việc xác định x p(n) ,

n = 0, 1, 2, , N-1 thông qua công thức (1.19) Khi N≥L thì x(n) được xác