TIỂU LUẬN MÔN HỌC THIẾT KẾ BỘ LỌC & MÃ HÓA BĂNG CON BIẾN ĐỔI WAVELET MỘT CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ---------------ﻪﻫ------------------- TIỂU LUẬN MÔN HỌC THIẾT KẾ BỘ LỌC & MÃ HÓA BĂNG CON ĐỀ TÀI: BIẾN ĐỔI WAVELET MỘT CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG Giáo viên hướng dẫn: TS. Ngô Văn Sỹ Học viên thực hiện : Bạch Ngọc Vinh Phan Văn Vĩnh Lớp : KTDT25 Ngành : Kỹ Thuật Điện Tử Khóa : 2012 – 2014 Đà Nẵng 03/2013 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU.. 1 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI WAVELET.. 2 1.1. Tổng quan về Wavelet. 2 1.2. Hoàn cảnh lịch sử.. 3 1.2.1. Trước 1930. 3 1.2.2. Vào thập niên 30. 3 1.2.3. Từ 1960 – 1980. 4 1.2.4. Sau 1980. 4 1.3. Phân tích Fourier. 4 1.3.1. Phép biến đổi Fourier (Fourier Transforms - FT). 4 1.3.2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transforms - STFT) 6 1.3.3. Biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transforms - FFT). 8 1.4. Giới thiệu về phép biến đổi Wavelet:. 8 1.5. Giới thiệu một số họ Wavelet. 11 1.5.1. Biến đổi Wavelet Haar. 11 1.5.2. Biến đổi Wavelet Meyer. 12 1.5.3. Biến đổi Wavelet Daubechies. 12 CHƯƠNG 2: CỞ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BIỂN ĐỔI WAVELET.. 14 2.1 Cơ bản về phép biến đổi Wavelet:. 14 2.2. Biến đổi wavelet liên tục (CWT). 17 2.2.1. Giới thiệu. 17 2.2.2. Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục. 19 2.2.3. Biểu diễn toán học. 21 2.2.4. Các tính chất của CWT.. 23 2.3. Biến đổi wavelet rời rạc (DWT). 26 2.3.1. Bộ lọc một tầng – Những xấp xỉ và chi tiết. 27 2.3.2. Sự phân tách nhiều mức (Multiple-Level Decomposition). 29 2.3.3. Sự tái tạo lại tín hiệu của Wavelet (Signal Wavelet Reconstruction). 30 1.4.6.4. Sự phân rã và sự xây dựng lại nhiều bước. 34 CHƯƠNG 3: TỔ CHỨC CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ.. 35 CÁC ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI WAVELET 1-D.. 35 3.1. Dùng biến đổi Wavelet để phân tích tín hiệu điện tâm đồ (ECG):. 35 3.1.1. Mục đích:. 35 3.1.2. Các hàm Matlab liên quan:. 36 3.1.3. Đoạn code thực hiện chương trình phân tích tín hiệu ECG:. 38 3.2. Khử nhiễu các tín hiệu:. 48 3.2.1. Mô hình khử nhiễu một chiều cơ bản. 48 3.2.2. Nguyên tắc khử nhiễu. 48 3.2.3. Đặt ngưỡng mềm hay ngưỡng cứng. 50 3.2.4. Các quy tắc chọn ngưỡng. 51 3.2.5. Giải quyết nhiễu không tỷ lệ và nhiễu không trắng. 52 3.2.6.Viết chương trình khử nhiễu cho tín hiệu. 54 3.2.6.1.Khử nhiễu tín hiệu 1D bằng ngưỡng cứng:. 54 3.2.6.2.Khử nhiễu tín hiệu 1D bằng ngưỡng mềm.. 56 CHƯƠNG 4: THỰC HIỆN VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ.. 59 4.1. Phân tích tín hiệu ECG dùng phép biến đổi Wavelet:. 59 4.1.1. Cách thực hiện mô phỏng trong Matlab:. 59 4.1.2. Đánh giá kết quả:. 61 4.2. Chương trình khử nhiễu các tín hiệu:. 61 4.2.1. Cách thực hiện mô phỏng trong Matlab:. 61 4.2.2. Đánh giá kết quả:. 63 LỜI MỞ ĐẦU Hiện nay, bên cạnh phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Wavelet đang được ứng dụng rất phổ biến trong phân tích tín hiệu nhờ những ưu điểm của phép phân tích này so với phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi Wavelet có thể phân tích các loại tín hiệu phức tạp và có sự biến thiên nhanh, đột ngột mà phép biến đổi Fourier phân tích không chính xác, đó là nhờ sử dụng các bộ hàm Wavelet chứ không phải các hàm sin hay cos điều hòa như Fourier. Ngoài ra phép biến đổi Wavelet không chỉ phân tích về bản chất tần số của tín hiệu, mà còn có khả năng giữ lại thông tin về mặt thời gian của tín hiệu. Với nhiều ưu điểm như vậy, phép biến đổi Wavelet được ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống. Trong đó, phân tích các tín hiệu phức tạp như âm thanh, hình ảnh, video, ứng dụng trong chống nhiễu tín hiệu, nén các loại tín hiệu là những ứng dụng quan trọng nhất. Với mục đích tìm hiểu về phép phân tích Wavelet và ứng dụng trong thực tế, nhóm em thực hiện tiểu luận này bao gồm phần lý thuyết về Wavelet và phần mô phỏng ứng dụng Wavelet dùng phần mềm Matlab. Tiểu luận gồm 4 chương: Chương 1: Tổng quan về Wavelet Chương 2: Cơ sở lý thuyết về biến đổi Wavelet Chương 3: Tổ chức chương trình thiết kế ứng dụng Wavelet 1-D Chương 4: Thực hiện và đánh giá kết quả Nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy Ngô Văn Sỹ đã giúp nhóm em hoàn thành tiểu luận này. Do những hạn chế về kiến thức và thời gian thực hiện tiểu luận, không thể tránh khỏi sai sót, nhóm em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của Thầy và các bạn. Nhóm em xin chân thành cảm ơn. Đà Nẵng, tháng 03 năm 2013 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI WAVELET 1.1. Tổng quan về Wavelet Wavelet còn gọi là “sóng con’’, có thể hiểu là những tín hiệu có dao động nhỏ, tồn tại trong khoảng thời gian giới hạn, có giá trị trung bình bằng không. Đây là thuật ngữ khoa học, ý nghĩa chính xác của nó thể hiện về mặt toán học, tốt nhất ta gọi tên là “Wavelet”. Wavelet là cơ sở khai triển toán học mới để biểu diễn hàm, là kỹ thuật mới để phân tích hệ trục thời gian – tần số của tín hiệu. Hiện nay, Wavelet là một trong những đề tài được quan tâm của nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới. Wavelet là công cụ tổng quát, mang ý nghĩa toán học và có khả năng áp dụng thực tế rất lớn. Đối với phân tích Wavelet, ta vẫn giữ được thông tin tần số và thông tin thời gian của tín hiệu của tín hiệu. Biến đổi Wavelet đưa ra khái niệm hệ số co giãn (scale factor) đại diện cho tần số và hệ số dịch chuyển (shift factor) đại diện cho thời gian để biểu diễn tín hiệu. Tập hợp các sóng ngắn wavelet được dùng để xấp xỉ một tín hiệu, mỗi phần tử trong tập wavelet được xây dựng từ một hàm đơn điệu, hàm wavelet gốc, được gọi là hàm wavelet mẫu. Mỗi phần tử của tập wavelet là một hàm wavelet mẫu được co giãn (scaled) và dịch chuyển (translated). Thang tỷ lệ (scale) và thuật toán đa phân giải (multi-resolution) đóng vai trò đặc biệt quan trọng đối với xử lý dữ liệu. Wavelet đã đưa ra được mức phân giải tốt theo miền thời gian lẫn miền tần số. Nghĩa là, nếu chúng ta quan sát tập dữ liệu qua cửa sổ (window) lớn thì ta sẽ nhận thấy được đặc tính thô (gross), còn nếu ta quan sát qua của sổ nhỏ thì ta sẽ được những đặc tính tinh (small). Đặc điểm này rất quan trọng đối với việc giải tích tín hiệu không dừng, luôn luôn biến thiên, không ổn định (nonstationary signal analysis). Lý thuyết wavelet có thể được dùng trong nhiều lĩnh vực và nhiều ứng dụng như: giải tích ảnh (image analysis), hệ thống thông tin, hệ thống rada, âm học khí (air-acoustics), cơ sở lý thuyết toán học, hệ thống điều khiển, xử lý tín hiệu...

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI WAVELET 2

1.1 Tổng quan về Wavelet 2

1.2 Hoàn cảnh lịch sử 3

1.2.1 Trước 1930 3

1.2.2 Vào thập niên 30 3

1.2.3 Từ 1960 – 1980 4

1.2.4 Sau 1980 4

1.3 Phân tích Fourier 4

1.3.1 Phép biến đổi Fourier (Fourier Transforms - FT) 4

1.3.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transforms - STFT) 6

1.3.3 Biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transforms - FFT) 8

1.4 Giới thiệu về phép biến đổi Wavelet: 8

1.5 Giới thiệu một số họ Wavelet 11

1.5.1 Biến đổi Wavelet Haar 11

1.5.2 Biến đổi Wavelet Meyer 12

1.5.3 Biến đổi Wavelet Daubechies 12

CHƯƠNG 2: CỞ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BIỂN ĐỔI WAVELET 14

2.1 Cơ bản về phép biến đổi Wavelet: 14

2.2 Biến đổi wavelet liên tục (CWT) 17

2.2.1 Giới thiệu 17

2.2.2 Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục 19

2.2.3 Biểu diễn toán học 21

2.2.4 Các tính chất của CWT 23

2.3 Biến đổi wavelet rời rạc (DWT) 26

2.3.1 Bộ lọc một tầng – Những xấp xỉ và chi tiết 27

2.3.2 Sự phân tách nhiều mức (Multiple-Level Decomposition) 29

2.3.3 Sự tái tạo lại tín hiệu của Wavelet (Signal Wavelet Reconstruction) 30

1.4.6.4 Sự phân rã và sự xây dựng lại nhiều bước 34

CHƯƠNG 3: TỔ CHỨC CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ 35

CÁC ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI WAVELET 1-D 35

3.1 Dùng biến đổi Wavelet để phân tích tín hiệu điện tâm đồ (ECG): 35

3.1.1 Mục đích: 35

3.1.2 Các hàm Matlab liên quan: 36

3.1.3 Đoạn code thực hiện chương trình phân tích tín hiệu ECG: 38

3.2 Khử nhiễu các tín hiệu: 48

3.2.1 Mô hình khử nhiễu một chiều cơ bản 48

3.2.2 Nguyên tắc khử nhiễu 48

3.2.3 Đặt ngưỡng mềm hay ngưỡng cứng 50

3.2.4 Các quy tắc chọn ngưỡng 51

3.2.5 Giải quyết nhiễu không tỷ lệ và nhiễu không trắng 52

3.2.6.Viết chương trình khử nhiễu cho tín hiệu 54

3.2.6.1.Khử nhiễu tín hiệu 1D bằng ngưỡng cứng: 54

3.2.6.2.Khử nhiễu tín hiệu 1D bằng ngưỡng mềm 56

CHƯƠNG 4: THỰC HIỆN VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ 59

4.1 Phân tích tín hiệu ECG dùng phép biến đổi Wavelet: 59

4.1.1 Cách thực hiện mô phỏng trong Matlab: 59

4.1.2 Đánh giá kết quả: 61

4.2 Chương trình khử nhiễu các tín hiệu: 61

4.2.1 Cách thực hiện mô phỏng trong Matlab: 61

4.2.2 Đánh giá kết quả: 63

LỜI MỞ ĐẦU

Hiện nay, bên cạnh phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Wavelet đangđược ứng dụng rất phổ biến trong phân tích tín hiệu nhờ những ưu điểm của phépphân tích này so với phép biến đổi Fourier

Phép biến đổi Wavelet có thể phân tích các loại tín hiệu phức tạp và có sựbiến thiên nhanh, đột ngột mà phép biến đổi Fourier phân tích không chính xác, đó

là nhờ sử dụng các bộ hàm Wavelet chứ không phải các hàm sin hay cos điều hòanhư Fourier

Ngoài ra phép biến đổi Wavelet không chỉ phân tích về bản chất tần số củatín hiệu, mà còn có khả năng giữ lại thông tin về mặt thời gian của tín hiệu

Với nhiều ưu điểm như vậy, phép biến đổi Wavelet được ứng dụng rộng rãitrong cuộc sống Trong đó, phân tích các tín hiệu phức tạp như âm thanh, hìnhảnh, video, ứng dụng trong chống nhiễu tín hiệu, nén các loại tín hiệu là nhữngứng dụng quan trọng nhất

Với mục đích tìm hiểu về phép phân tích Wavelet và ứng dụng trong thực

tế, nhóm em thực hiện tiểu luận này bao gồm phần lý thuyết về Wavelet và phần

mô phỏng ứng dụng Wavelet dùng phần mềm Matlab

Tiểu luận gồm 4 chương:

Chương 1: Tổng quan về Wavelet

Chương 2: Cơ sở lý thuyết về biến đổi Wavelet

Chương 3: Tổ chức chương trình thiết kế ứng dụng Wavelet 1-D

Chương 4: Thực hiện và đánh giá kết quả

Nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy Ngô Văn Sỹ đã giúp nhóm em hoànthành tiểu luận này

Do những hạn chế về kiến thức và thời gian thực hiện tiểu luận, không thểtránh khỏi sai sót, nhóm em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của Thầy vàcác bạn

Nhóm em xin chân thành cảm ơn

Đà Nẵng, tháng 03 năm 2013

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI WAVELET

1.1 Tổng quan về Wavelet

Wavelet còn gọi là “sóng con’’, có thể hiểu là những tín hiệu có dao độngnhỏ, tồn tại trong khoảng thời gian giới hạn, có giá trị trung bình bằng không Đây

là thuật ngữ khoa học, ý nghĩa chính xác của nó thể hiện về mặt toán học, tốt nhất

ta gọi tên là “Wavelet”

Wavelet là cơ sở khai triển toán học mới để biểu diễn hàm, là kỹ thuật mới đểphân tích hệ trục thời gian – tần số của tín hiệu Hiện nay, Wavelet là một trongnhững đề tài được quan tâm của nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới.Wavelet là công cụ tổng quát, mang ý nghĩa toán học và có khả năng áp dụng thực

tế rất lớn

Đối với phân tích Wavelet, ta vẫn giữ được thông tin tần số và thông tin thờigian của tín hiệu của tín hiệu Biến đổi Wavelet đưa ra khái niệm hệ số co giãn(scale factor) đại diện cho tần số và hệ số dịch chuyển (shift factor) đại diện chothời gian để biểu diễn tín hiệu

Tập hợp các sóng ngắn wavelet được dùng để xấp xỉ một tín hiệu, mỗi phần

tử trong tập wavelet được xây dựng từ một hàm đơn điệu, hàm wavelet gốc, đượcgọi là hàm wavelet mẫu Mỗi phần tử của tập wavelet là một hàm wavelet mẫuđược co giãn (scaled) và dịch chuyển (translated)

Thang tỷ lệ (scale) và thuật toán đa phân giải (multi-resolution) đóng vai trò

đặc biệt quan trọng đối với xử lý dữ liệu Wavelet đã đưa ra được mức phân giảitốt theo miền thời gian lẫn miền tần số Nghĩa là, nếu chúng ta quan sát tập dữ liệu

qua cửa sổ (window) lớn thì ta sẽ nhận thấy được đặc tính thô (gross), còn nếu ta quan sát qua của sổ nhỏ thì ta sẽ được những đặc tính tinh (small) Đặc điểm này

rất quan trọng đối với việc giải tích tín hiệu không dừng, luôn luôn biến thiên,không ổn định (nonstationary signal analysis)

Lý thuyết wavelet có thể được dùng trong nhiều lĩnh vực và nhiều ứng dụngnhư: giải tích ảnh (image analysis), hệ thống thông tin, hệ thống rada, âm học khí(air-acoustics), cơ sở lý thuyết toán học, hệ thống điều khiển, xử lý tín hiệu

1.2 Hoàn cảnh lịch sử

1.2.1 Trước 1930

Trước năm 1930, Joseph Fourier cùng với thuyết của ông về phân tích trongmiền tần số dựa trên cơ sở toán học đã dẫn dắt đến sự ra đời và phát triển Waveletnhư là sự kế thừa và phát triển phép biến đổi Fourier Ông khẳng định rằng bất kỳhàm số có chu kỳ tuần hoàn đều được biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi các

)cos(

)(



2 0

)sin(

)(

Một nghiên cứu khác trong những năm 30 đó là nỗ lực nghiên cứu củaLittlewood Paley và Stain về việc tính toán năng lượng của hàm số f(x):

thay đổi thang tỷ lệ và có thể bảo toàn năng lượng khi tính toán hàm năng lượng.Công việc này đã giúp cho David Marr với thuật toán hiệu quả trong xử lý ảnhdùng Wavelet vào đầu thập niên 1980.

1.2.3 Từ 1960 – 1980

Giữa những năm 1960-1980, hai nhà toán học Guido Weiss và RonaldR.Coifman đã nghiên cứu các thành phần đơn giản nhất của một không gian hàm,

gọi là atoms, với mục đích tìm những atom cho một hàm chung, và tìm ra luật hội

tụ cho phép tái cấu trúc tất cả các thành phần thuộc không gian hàm số dùng nhữngatom này Năm 1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã mởrộng khái niệm Wavelet trong vật lý lượng tử Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ramột cách nhìn về Wavelet dựa vào khả năng trực giác tự nhiên

1.2.4 Sau 1980

Vào năm 1985, Stephane Mallat đã đưa ra một ứng dụng về Wavelet tronglĩnh vực xử lý ảnh Ông đã tìm ra được mối quan hệ giữa bộ lọc gương cầu phương(Quadrature Mirror Filter), giải thuật hình tháp, và cơ sở Wavelet trực chuẩn Gópmột phần đáng kể vào kết quả này, Y.Meyer đã xây dựng nên Wavelet đầu tiên rấtquan trọng Không giống như Wavelet Haar, Wavelet Meyer có tính vi phân liêntục Hai năm sau, Ingrid Daubechies sử dụng thuyết của Mallat để xây dựng mộttập các hàm cơ sở Wavelet trực chuẩn, và đã trở thành nền tảng, cơ sở cho các ứngdụng Wavelet ngày nay

1.3 Phân tích Fourier

1.3.1 Phép biến đổi Fourier (Fourier Transforms - FT)

Phép biến đổi Fourier là một công cụ rất mạnh được sử dụng phổbiến trong phân tích tín hiệu Qua phép biến đổi, các thành phần tần sốkhông thấy được trong miền thời gian có thể được hiển thị rõ ràngtrong miền tần số Tuy nhiên khi chuyển tín hiệu từ miền thời gian sangmiền tần số thì các thông tin về miền thời gian lại hoàn toàn bị mất Do

đó biến đổi Fourier truyền thống không thích hợp để phân tích các tínhiệu không dừng (nonstationary)

Hình 1.1 : Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier (FT) của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là:

Với  = 2f là tần số của tín hiệu

Tích phân này lấy trong toàn miền thời gian của tín hiệu f(t) với hàm mũ cơ

số e Những kết quả của biến đổi là những hệ số Fourier F() (được gọi là phổtần số của f(t)) mà khi nhân với 1 sóng hình sin với tần số tương ứng, sẽ cho racác thành phần hình sin của tín hiệu nguyên mẫu

    

2

1 ) (t F e j t

Chuỗi Fourier là tổng các hàm chu kỳ bao gồm hàm sin và cosin theo tần số,

là bội số nguyên của tần số cơ bản của hàm Cho f(x) là hàm thực với chu kỳ T

Ví dụ: Hàm số bất kỳ được phân tích Fourier sẽ được biểu diễn như hình sau:

Hình 1.2: Phép biến đổi Fourier của tín hiệu có chu kỳ

Phép biến đổi Fourier chuyển tín hiệu từ miền thời gian t sang miền tần số (hay f) X() được gọi là phổ tần số của tín hiệu x(t), bao gồm tất cả các thànhphần tần số có trong tín hiệu x(t)

Như vậy, ta thấy rằng FT cho chúng ta biết được tổng các thành phần tần số

có trong tín hiệu, chúng ta không thể biết được các thành phần tần số xuất hiện ởnhững thời điểm nào trong tín hiệu Bất kỳ một sự thay đổi đột biến biên độ nào

của tín hiệu trong miền thời gian đều được trãi rộng trên khắp trục tần số trongbiến đổi Fourier, và thời điểm đột biến của tín hiệu bị mất hoàn toàn Xét ví dụbiến đổi Fourier của một hàm xung x(t) xuất hiện tại thời điểm t = 0 cho kết quả làmột phổ X() = 1 trên toàn trục , không có một thông tin nào về thời điểm xuấthiện của xung (t).

Hình 1.3: FT của xung Dirac

Nếu một tín hiệu không thay đổi nhiều trên toàn miền thời gian thì có thể sửdụng được phép biến đổi Fourier này, nhưng đa số những tín hiệu trong thực tế đềuchứa đựng nhiều đặc tính động như ở trạng thái quá độ, các thay đổi đột ngột, sựtrôi (drift)… Những đặc tính này thường là phần quan trọng nhất của tín hiệu,nhưng biến đổi Fourier thì chưa mô tả đầy đủ đặc tính này

1.3.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transforms STFT)

-Để khắc phục nhược điểm này, Dennis Gabor (1946) đã sử dụng một cáchlinh hoạt biến đổi Fourier để phân chia tín hiệu ra thành từng đoạn đủ nhỏ theothời gian, thì tín hiệu trong mỗi đoạn có thể xem là tín hiệu dừng; và do đó có thểlấy biến đổi Fourier trên từng đoạn tín hiệu này Như vậy, phép biến đổi vừa cótính định vị theo tần số do tính chất của biến đổi Fourier, vừa có tính định vị theothời gian do được tính trong từng khoảng thời gian ngắn Đây là nguyên lý củabiến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT), hay còn gọi là biến đổi Fourier cửa sổ hóa

(Windowed Fourier Transform).

Trong STFT, tín hiệu f(t) đầu tiên được nhân với một hàm cửa sổ w(t - ) đểlấy được tín hiệu trong một khoảng thời gian ngắn xung quanh thời điểm  Sau đó,phép biến đổi Fourier bình thường được tính trên đoạn tín hiệu này Kết quả, tađược một hàm hai biến STFTf(,) xác định bởi:

STFT tại thời điểm  là biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) nhân với phiên bản

dịch một khoảng  theo thời gian w(t-) của cửa sổ cơ bản tập trung quanh .

Đây là phổ cục bộ của f(t) xung quanh thời diểm  do cửa sổ tương đối ngắn làmtriệt tiêu tín hiệu ngoài vùng lân cận xung quanh  Do đó, STFT có tính định vị theo thời gian Cửa sổ phân tích càng hẹp thì sự định vị này (hay độ phân giải theo thời gian) càng tốt.

Hình 1.4: Biến đổi Fourier trong thời gian ngắn (STFT)

STFT thể hiện mối quan hệ giữa thời gian và tần số của tín hiệu Nó cungcấp thông tin về thời gian và tần số xuất hiện sự kiện Tuy nhiên, độ chính xáccủa thông tin này có hạn, và phụ thuộc thuộc vào kích thước cửa sổ

Khuyết điểm chính của STFT là khi đã chọn hàm cửa sổ phân tích thì độ phângiải thời gian - tần số không thay đổi trên khắp mặt phẳng thời gian - tần số Trongkhi đó, các tín hiệu không dừng thường gặp trong thực tế đều gồm một số thànhphần tần số thấp khá ổn định (gần tuần hoàn, quasi-stationary) trong khoảng thờigian dài và các burst tần số cao tồn tại trong một khoảng thời gian ngắn Nếu chọncửa sổ rộng để phân tích các thành phần ổn định với độ phân giải tần số tốt thìkhông phân tích được các burst với độ phân giải thời gian tốt Ngược lại, nếu chọncửa sổ hẹp để phân giải tốt các burst về thời gian thì độ phân giải tần số lại xấu đi.Mâu thuẫn này không thể giải quyết được trong STFT

1.3.3 Biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transforms - FFT)

Biến đổi Fourier nhanh thực chất là biến đổi Fourier rời rạc (Discrete FourierTransform - DFT), chính là xấp xỉ một hàm số bằng cách lấy mẫu tại một số giá trịtần số nhất định

Giả sử tín hiệu được lấy mẫu tại N điểm với chu kỳ lấy mẫu là T, khi biến đổisang miền tần số bằng FFT N điểm, các tần số được lấy mẫu là:

rõ ràng hơn về phổ tần số đã phân tích

1.4 Giới thiệu về phép biến đổi Wavelet:

Lý thuyết về phép biến đổi Fourier là một trong những kết quả tốtnhất của phép phân tích hiện đại và đóng vai trò quan trọng về mặt lýthuyết của nhiều ngành khoa học Nó thường được sử dụng trong phântích tín hiệu Tuy nhiên, phân tích Fourier không giải bài toán với thờigian thay đổi hoặc tín hiệu không ổn định Do đó cần có một phươngpháp phân tích có thể đáp ứng cả trong miền thời gian lẫn tần số Phépbiến đổi Wavelet được phát triển như một công cụ thay thế STFT trongphân tích tín hiệu không dừng

Hình 1.5 Phép biến đổi wavelet

T

k N

k NT

k

k 2 2 .

 

Những điểm khác nhau của biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier là các riêng

các hàm wavelet được khoanh vùng trong không gian (localized in space) Đặc

tính này cùng với đặc tính định vị trong miền tần số của Wavelet tạo điều kiện tốtcho nhiều hàm số và toán tử sử dụng phép rời rạc hoá Wavelet khi biến đổi sangmiền Wavelet Sự rời rạc hoá này lần lượt được ứng dụng và cho kết quả tốt trongmột số lĩnh vực như: nén dữ liệu, phát hiện các tính chất của ảnh, hay loại nhiễu,rada …

Để thấy sự khác nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet, xem mức độbao phủ mặt phẳng của hàm cơ sở trong miền thời gian – tần số được biểu diễn ởcác hình sau

Hình 1.6 - Biến đổi Fourier STFT hay biến đổi Fourier cửa sổ hoá, sử dụng chỉ một cửa sổ duy nhất dạng hình vuông, cửa sổ này sẽ cắt tín hiệu hình sin, cosin để vừa với chiều rộng cửa sổ Cửa sổ này được dùng cho tất cả các thành phần tần số trong biến đổi Fourier STFT, do đó thuật toán phân tích giống nhau cho tất cả các vị trí trong mặt phẳng thời gian – tần số.

Hình 1.6: Biểu diễn các hàm cơ sở Fourier, viên ngói (ô) thời gian – tần số và mặt độ bao phủ

trong mặt phẳng thời gian – tần số.

Đối với Wavelet thì thuận lợi hơn, đó là cửa sổ thay đổi được Để tách biệtcác tín hiệu không liên tục, sẽ có một số hàm cơ sở ngắn, tại cùng thời điểm, để cóđược phân tích tần số chi tiết, sẽ có một số hàm cơ sở dài Để đạt được điều này,

có những hàm cơ sở chứa thành phần tần số cao và thành phần tần số thấp Khácvới biến đổi Fourier chỉ có một tập hàm cơ sở như hàm sin, cosin, biến đổiWavelet có tập vô hạn các hàm cơ sở

Phân tích Wavelet có thể đáp ứng trong miền thời gian lẫn tần số, vì vậy thích hợp để phân tích tín hiệu không ổn định Biến đổi wavelet trực chuẩn có thể được xem như một phép phân tích đa phân giải của tín hiệu, các đặc tính tốt của tính hiệu được phân tích với độ phân giải tốt, các tín hiệu kém được phân tích với độ phân giải kém.

Biến đổi wavelet trực chuẩn thích hợp để phân tích tín hiệu ứng dụng trong phân tích mẫu và trong bài toán nhận dạng.

Hình 1.7: Biểu diễn mức độ bao phủ trong mặt phẳng thời gian – tần số với Wavelet mẫu là

Daubechies

Hình 1.8: Rời rạc hóa mặt phẳng thời gian tần số bằng các viên ngói định vị trong CWT và

các hàm wavelet tương ứng (với trường hợp hàm Morlet wavelet)

Hình 1.9: So sánh các phép biến đổi tín hiệu

Một wavelet là một sóng tồn tại trong khoảng thời gian có h và có giá trị trung bình bằng không So sánh Wavelets với những sóng hình sin, là cơ sở của Biến đổi Fourier Những hình sin không có giới hạn về thời gian - chúng mở rộng từ trừ đến cộng vô hạn.

Và trong khi những hình sin là mịn và có thể đoán trước, các Wavelets có khuynh hướng bất thường và không cân đối.

Hình 1.10: So sánh sóng sin và một wavelet

Biến đổi Fourier chia một tín hiệu vào trong những sóng hình sin của nhiềutần số Tương tự, biến đổi Wavelets chia tín hiệu vào trong những phần dịch và codãn của Wavelets nguyên bản hay Wavelets mẹ (mother Wavelets) Chỉ cần xemnhững hình ảnh của Wavelets và những sóng hình sin, có thể nhìn thấy trực giácrằng tín hiệu với hình dạng thay đổi thì có thể được phân tích tốt hơn với mộtWavelets bất thường so với một hình sin mịn Nó cũng cho cảm giác là những đặctính địa phương có thể được mô tả tốt hơn với Wavelets

1.5 Giới thiệu một số họ Wavelet

Để đáp ứng các ứng dụng thực tế, người ta đã xây dựng rất nhiều hàmwavelet cơ sở Tùy theo ứng dụng cụ thể mà ta sử dụng hàm wavelet thích hợp Sau đây là một số hàm wavelet thông dụng trong phân tích wavelets liên tục

1.5.1 Biến đổi Wavelet Haar

Biến đổi Wavelet Haar là biến đổi đơn giản nhất trong các phép biến đổiWavelet Hình 1.13 cho thấy dạng của hàm (t)với biến đổi Haar Do tính chấtđơn giản của biến đổi Haar mà nó được ứng dụng tương đổi nhiều trong nén ảnh,khi áp dụng biến đổi này để nén ảnh thì thuật toán nén ảnh trên máy tính có một sốđiểm khác với công thức toán học của biến đổi Haar

Hình 1.11: Hàm (t)của biến đổi Haar

1.5.2 Biến đổi Wavelet Meyer

Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép biếnđổi Wavelet Phép biến đổi Wavelet mang tên Meyer cũng là một phép biến đổithông dụng, biến đổi này có khả năng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biếnđổi Haar Dạng của (t)với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ:

Hình 1.12: Hàm (t) của biến đổi Meyer

1.5.3 Biến đổi Wavelet Daubechies

Giống như Meyer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao to lớntrong việc nghiên cứu phát triển phép biến đổi Wavelet Biến đổi Daubechies làmột trong những phép biến đổi phức tạp nhất trong biến đổi Wavelet Họ biến đổinày được ứng dụng hết sức rộng rãi, biến đổi này được ứng dụng trong JPEG2000

là một biến đổi trong họ biến đổi Wavelet Daubechies Dưới đây là hàm (t)

trong họ biến đổi Wavelet Daubechies.

Hình 1.13: Hàm (t)của họ biến đổi Daubechies n với n=2, 3, 7, 8

CHƯƠNG 2: CỞ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BIỂN ĐỔI WAVELET

2.1 Cơ bản về phép biến đổi Wavelet:

Trong thực tế thì ta thường hay gặp các tín hiệu không tĩnh (nonstationary).Đối với những tín hiệu này thì người ta thường dùng phép biến đổi Wavelet Biếnđổi wavelet có thể đáp ứng trong cả miền thời gian và miền tần số nên rất thíchhợp với các tín hiệu không ổn định

Độ phân giải thời gian tần số và nguyên lý bất định

Khi phân tích các loại tín hiệu không dừng (nonstationary), chúng ta khôngnhững chỉ cần các thông tin về tần số của tín hiệu mà còn cần biết thời gian xuấthiện các tần số đó, tức có thể biểu diễn tín hiệu trên cả hai trục thời gian và tần số(theo trục thứ 3 là biên độ) Như vậy, một phép phân tích (biến đổi) được gọi là

thích hợp với tín hiệu không dừng phải đồng thời tính định vị thời gian và tính

định vị tần số Tính định vị của một phép phân tích lệ thuộc vào tính định vị của

các hàm cơ sở của phép phân tích đó Do đó các hàm cơ sở được sử dụng để phântích tín hiệu không dừng phải định vị tốt trong thời gian và tần số

Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa tính định vị của một hàm cơ sở,nhưng tất cả đều liên quan đến việc "trải rộng" hàm theo thời gian và tần số Ví dụ,cho một hàm cơ bản f(t) có phổ là F(), ta có thể xác định các khoảng It và I chứa90% năng lượng của các hàm miền thời gian và tần số tập trung quanh trọng tâmcủa |f(t)|2 và |F()|2 Khối (It x I ) được gọi là một viên ngói trong mặt phẳng thời gian - tần số, như mô tả trên hình 4.3 Viên ngói này chính là định vị của hàm cơ sở f(t) theo thời gian và tần số.

Hình 2.1 Viên ngói định vị thời gian - tần số của hàm cơ sở f(t), nơi chứa 90% năng lượng của các hàm

miền thời gian và miền tần số (F( ))

Bây giờ ta xét đến các phép toán cơ bản trên hàm cơ sở và ảnh hưởng củachúng lên viên ngói định vị

 Dịch hàm một khoảng  theo thời gian làm viên ngói cũng bị dịch đi một

khoảng  theo trục thời gian

 Biến điệu (nhân) hàm bởi e jo t

làm viên ngói dịch chuyển một knoảng otheo trục tần số (hình 2.2a)

 Nhân tỉ lệ (scaling) hàm bởi một hệ số a, tức f’(t) = f(at) , ta được một vỉênngói mới xác định bởi I’t = (l/a)It và I’ = aI (theo tính chất củ a biến đổi Fourier) Như vậy cả hình dạng và vị trí của viên ngói đều bị ảnh hưởng (hình 2.2b).

Hình 2.2: Các phép toán cơ bản trên hàm1 cơ sở làm ảnh hưởng lên viên ngói thời gian - tần

số

(a) Dịch thời gian một khoảng  của f ta được f’ và biến điệu f bằng ejo t cho ra f’

(b) Nhân tỉ lệ f bởi a = 1/3, f’(t) = f(at)

Như vậy thao tác dịch và biến điệu hàm cơ sở không làm thay đổi kích thướccủa viên ngói, chỉ làm viên ngói tịnh tiến theo theo trục thời gian và tần số Nếu tachọn các giá trị  và  thích hợp thì toàn bộ mặt phẳng thời gian - tần số có thểđược bao phủ hoàn toàn Trong khi đó phép nhân tỉ lệ làm thay đổi độ rộng củaviên ngói theo thời gian và tần số, It và I nhưng tích của chúng không thay đổi

Ta thấy rõ ràng tính định vị của một hàm cơ sở theo thời gian - tần số càng tốtnếu kích thước của viên ngói, lt và I càng nhỏ Nếu It càng nhỏ thì hàm định vịcàng tốt theo thời gian Tương tự, I càng nhỏ thì tính vị tần số càng tốt Kíchthước của viên ngói định vị của từng hàm cơ sở quy định nên độ nét của sự phântích theo thời gian - tần số, kích thước này càng nhỏ thì độ nét của phép phân tích

càng lớn Độ nét này còn được gọi là độ phân giải theo thời gian và tần số Độ

phân giải thời gian càng tốt nếu độ rộng thời gian It của các hàm cơ sở càng nhỏ.Trong khi đó độ phân giải tần số càng tốt nếu độ rộng tần số  càng nhỏ Tuynhiên chúng ta không thể cùng một lúc đạt đươc độ phân giải tốt trong cả hai miềnthời gian và tần số vì chúng tuân theo nguyên lý bất định

Nguyên lý bất định

Nguyên lý bất định cho thấy rằng trong phân tích tín hiệu chúng ta không thểxác định chính xác tần số nào xảy ra ở thời điểm nào, mà chỉ có thể biết được

khoảng tần số nào xảy ra ở một khoảng thời gian nào mà thôi, tức không thể xác

định một điểm mà chỉ có thể xác định được một viên ngói trong mặt phẳng thờigian - tần số

Nguyên lý đặt ra một điểm chặn trên cho độ phân giải tối đa theo thời gian vàtần số của bất kỳ một phép biến đổi tuyến tính nào Không thể đạt được độ phângiải tốt trên cả hai miền thời gian và tần số Nếu tăng độ phân giải tần số tốt thì độphân giải thời gian sẽ giảm, và ngược lại Chỉ có thể đạt được độ phân giải tối ưunếu sử dụng các hàm Gauss làm các hàm cơ sở của phép biến đổi

f ab( ) , a0 Trong đó : a : là hệ số co giãn; b: hệ số dịch chuyển

Hàm fab(x) chính là hàm f(x) được co giãn với hệ số a và được dịch chuyểnvới hệ số b Đối với hàm số f(t) = sint, t là biến thời gian, tuần hoàn có chu kỳ T,thực hiện phép co giãn và phép dịch chuyển cũng tương tự

Hàm f có chu kỳ T là tuần hoàn nếu: f(t+T) = f(t), tR

Ví dụ : Hàm sint có chu kỳ 2, sin2t có chu kỳ là 1 Tổng quát, hàm f(t) có chu

f a( ) có chu kỳ là aT, chu kỳ không thay đổitrong phép dịch chuyển, f ab(t) sinta b có chu kỳ 2a

2.2 Biến đổi wavelet liên tục (CWT)

2.2.1 Giới thiệu

Biến đổi wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa là tổng trong miền thờigian của tín hiệu được nhân bởi các phiên bản dịch chuyển (position) và co giãncủa hàm Wavelet:

Kết quả của CWT là nhiều hệ số Wavelet C, các hệ số này là một hàm theo tỉ lệ

và vị trí Việc nhân mỗi hệ số bởi những Wavelet được co giãn và dịch chuyển cho ta các Wavelet liên tục của tín hiệu ban đầu

Hình 2.3: Minh họa phép biến đổi Wavelet

Cho hàm g theo thời gian t, xét phép co giãn của g bởi hệ số a : ga(t) = g(t/a)

và phép dịch chuyển bởi hệ số b : gb(t) = g(t-b)

Nếu g được dịch chuyển, sau đó được co giãn , trở thành: gab(t) = g((t-b)/a) Nếu g được co giãn sau đó dịch chuyển, trở thành: gab(t) = g(t/a-b)

Định tỷ lệ

Định tỷ lệ một Wavelet đơn giản là kéo giãn hay co các các wavelet đó Việckéo giãn hay co lại một wavelet thực ra là thay đổi các hệ số tỷ lệ (thường được kýhiệu là a) của chúng Xét sóng sin dưới đây để thấy được ý nghĩa của hệ số tỷ lệ a.

Hình 2.4: Sự co giãn của sóng sin.

Rõ ràng ta thấy rằng đối với sóng sin(t), hệ số tỷ lệ a tỷ lệ nghịch với tần số

 Đối với các Wavelet thì các hệ số tỷ lệ cũng có ý nghĩa như vậy Hệ số tỷ lệcàng nhỏ thì Wavelet càng bị co lại, và ngược lại hệ số tỷ lệ càng lớn thì Waveletcàng giản ra Điều đó cũng có nghĩa là, hệ số tỷ lệ của các Wavelet tỷ lệ nghịch vớitần số của tín hiệu

Sự dịch chuyển

Việc dịch một Wavelet đơn giản có nghĩa làm trễ (hoặc sớm) sự bắt đầu của nó.

Về mặt toán học là làm trễ hàm f(t) đi một hệ số k được biểu diễn bởi f(t-k).

Hình 2.5: Sự dịch chuyển của wavelet

2.2.2 Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục

1 0 1  / 2  3/2 2

1 0 1  / 2  3/2 2

1 0 1  / 2  3/2 2

f(x) = sin(x) a=1

f(x) = sin(2x) a=1/2

f(x)=sin(4x) a=1/4

Biến đổi Wavelet liên tục là tổng cả miền thời gian cuả tín hiệu nhân vớinhững phiên bản được dịch và co giãn của Wavelet Quá trình này tạo ra những

hệ số Wavelet là một hàm của co giãn và vị trí

Có năm bước dễ dàng tạo ra một CWT:

- Lấy một Wavelet và so sánh nó với một đoạn ở vị trí bắt đầu của tín hiệunguyên bản

- Tính toán hệ số C, đặc trưng cho sự tương quan giữa Wavelet với đoạn nàycủa tín hiệu Hệ số C càng cao, hai tín hiệu càng giống nhau càng nhiều hơn Chú

ý rằng những kết quả sẽ phụ thuộc vào Wavelet mà bạn đã chọn

- Chuyển Wavelet sang bên phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao trùmtoàn bộ tín hiệu

- Co giãn Wavelet và lặp lại từng bước từ 1 đến 3

- Lặp lại từ bước 1 đến bước 4 cho tất cả các co giãn của Wavelet

Khi thực hiện xong, ta sẽ có những hệ số được tạo ra bởi những co giãn khácnhau với những đoạn khác nhau của tín hiệu Những hệ số cấu thành những kếtquả của hồi quy của tín hiệu nguyên bản thực hiện trên Wavelet

Ta có thể một vẽ mà trục hoành là vị trí của tín hiệu (thời gian), trục tung là co giãn, và màu ở mỗi điểm x-y biễu diễn sự độ lớn của hệ số Wavelet C Sau đây là các hình vẽ bởi công cụ đồ hoạ.

Hình 2.5: Minh hoạ các hệ số Wavelet

Những hình vẽ hệ số này được nhìn ở trên xuống Nếu có thể xem từ bên cạnh,

ta sẽ thấy hình như sau:

Hình 2.6: Các hệ số Wavelet ba chiều

Những hình vẽ hệ số biến đổi Wavelet liên tục là hình ảnh chính xác của tínhiệu theo thời gian mà chúng ta đề cập ở trên Nó là một cách nhìn khác về tínhiệu so với thời gian mà chúng ta đề cập ở trên Nó là một cách nhìn khác về tínhiệu so vơi cách nhìn thời gian - tần số Fourier, nhưng nó không phải là khôngliên quan với nhau

Sự co giãn và tần số

Nhớ lại là những hệ số co giãn càng cao tương ứng với Wavelet càng trải ra Wavelet càng trải ra, tương ứng với phần so sánh tín hiệu càng dài ra, và như vậy các đặc tính tín hiệu đo được bởi những hệ số Wavelet càng thô hơn

Hình 2.7: So sánh các Wavelet co giãn khác nhau

Như vậy có một sự tương ứng giữa những co giãn Wavelet và tần số nhưbiến đổi Wavelet cho thấy:

- Độ co giãn thấp a  Wavelet bị nén  những chi tiết thay đổi nhanhchóng  tần số cao.

- Độ co giãn cao a  Wavelet bị trải  những chi tiết thô, thay đổi chậm tần số thấp

2.2.3 Biểu diễn toán học

Biến đổi wavelet liên tục của một hàm f(t) được bắt đầu từ một hàm wavelet

mẹ (t) Hàm wavelet mẹ (t)có thể là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liêntục nào thỏa mãn các tính chất sau đây:

Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàm (t) là bằng 0 Tức là:

b t a t



a

1)(

a

W( , ) ( ) ,b( ) (2.6)

Theo toán học ta gọi đây là tích vô hướng của hai hàm f (t) và  ,b(t) Giá trị

t b

2 2

, ( ) ( )

Với mỗi giá trị của a thì  ,b(t)là một bản sao của a, 0 (t) được dịch đi b đơn

vị trên trục thời gian Do đó b được gọi là tham số dịch Đặt tham số dịch b = 0 tathu được:



a

1)(

0

Điều đó cho thấy rằng a là tham số tỷ lệ

Khi a > 1 thì hàm Wavelet sẽ được trải rộng còn khi 0 < a < 1 thì hàm sẽđược co lại Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa phép biến đổi ngược của biến đổiWavelet liên tục Gọi  ()là biến đổi Fourier của (t):

2

) (

(2.10)

Biến đổi CWT chỉ tồn tại nếu C dương và hữu hạn Do đó C được gọi là điềukiện tồn tại của biến đổi Wavelet Cùng với hai điều kiện đã nêu ở trên, đây là điềukiện thứ 3 mà một hàm cần phải thỏa mãn để có thể được lựa chọn hàm Wavelet

2.2.4 Các tính chất của CWT

Tính tuyến tính

Nếu hai tín hiệu f(t) và g(t) có biến đổi wavelet liên tục lần lượt là CWTf(a,b)

và CWTg(a,b), thì hàm x(t) = c.f(t) + d.g(t), với c, d là hằng số có CWT được xácđịnh:

CWTx(a,b)= c CWTf(a,b) + d CWTg (a,b) (2.11)Tính chất này được suy ra trực tiếp từ tính tuyến tính của tích vô hướng

Tính dịch thời gian (shift property)

Nếu f(t) có biến đổi wavelets liên tục là CWTf(a,b) thì f’(t) = f(t-b’) có biếnđổi:

CWTf’(a,b) = CWTf (a,b-b’) (2.12)

Hình 2.8: Sự dịch thời gian của tín hiệu phân tích dẫn đến sự dịch thời gian tương ứng của CWT.

Vùng xám trên mặt phẳng (a,b) là vùng ảnh hưởng của phép biến đổi

Tính chất thay đổi thang độ (scaling property)

Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWTf (a, b) thì hàm 

g( ) 1

có biến đổi:

) , ( )

, (

s

b s

a CWT b

a

Hình 2.9: Tính thay đổi thang độ.

a Thay đổi thang độ với hệ số 2

b Hai khối vuông có cùng năng lượng trước và sau khi thay đổi thang độ

Tính bảo toàn năng lượng

CWT có tính bảo toàn năng lượng giống như đẳng thức Parserval của biếnđổi Fourier

dt t

dt t g t

1 )

( ) (

1 ) ,

b t a

dt a

b t t t a b a CWT f          (2.17)

Vớí một giá trị ao đã cho, tức ứng với một đường ngang trong miền biểu diễnbởi CWT, phép biến đổi bằng với hàm wavelet (đã thay đổi scale và chuẩn hóa)

tập trung ở vị trí của xung Dirac Rõ ràng với giá trị scale a nhỏ, phép biến đổi

"phóng đại " xung Dirac với một sự định vị thời gian rất tốt.

Hình 2.10: Tính định vị thời gian của CWT của hàm f(t) = (t - to).

Vùng hình nón ảnh hưởng có độ rộng ao/2 ở mỗi bên của to

t

[min/a, max/a]

Ta thấy rằng nếu tín hiệu f(t) có tần số i nằm trong khoảng [min/a, max/a]thì sẽ có ảnh hưởng lên phép biến đổi wavelets Hay nói cách khác, với mỗi giá trịcủa scale a, phép biến đổi wavelet sẽ “cho qua” các thành phần tần số nằm trongkhoảng [min/a, max/a] và ngăn cản các thành phần khác Rõ ràng với giá trị a cànglớn thì khoảng [min/a, max/a] càng nhỏ, do đó tính định vị tần số càng tốt

Ngược lại, với một tín hiệu f(t) có tần số i, giá trị scale nhỏ nhất và lớn nhấttương ứng mà CWT cho tín hiệu qua là:

hàm wavelet mẫu () có dải thông [min , max ]

a Hàm wavelet mẫu

b Vùng ảnh hưởng theo lý thuyết

c Tín hiệu tần số 200Hz

d Vùng ảnh hưởng trên kết quả mô phỏng

2.3 Biến đổi wavelet rời rạc (DWT)

CWT tạo ra các hệ số Wavelet có độ dư thừa rất cao do thực hiện tính toánbởi các hàm dịch và định tỷ lệ liên tục trên toàn bộ tín hiệu Ngay cả khi nếu độ dưthừa là không có thì CWT cũng tạo ra vô số các hệ số Wavelet Với lượng tín hiệukhổng lồ này, ta khó có thể giải quyết một cách hiệu quả và chính xác và việc tínhtoán các hệ số Wavelet với mọi tỷ lệ là một công việc khá nặng nề Để giảm thiểucông việc tính toán người ta chỉ chọn ra một tập nhỏ các giá trị tỉ lệ và các vị trí đểtiến hành tính toán Hơn nữa nếu việc tính toán được tiến hành tại các tỉ lệ và các

vị trí trên cơ sở lũy thừa cơ số 2 thì kết quả thu được sẽ hiệu quả và chính xác hơnrất nhiều Quá trình chọn các tỷ lệ và các vị trí để tính toán như trên tạo thành lướinhị tố (dyadic) Một phân tích như trên hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ biếnđổi Wavelet rời rạc (DWT) Do đó, việc tính toán biến đổi DWT thực chất là sự rờirạc hóa biến đổi Wavelet liên tục (CWT); việc rời rạc hóa được thực hiện với sựlựa chọn các hệ số a và b như sau:

m

a 2 b 2m n m ,n Z

Hình 2.12: Minh họa lưới nhị tố (dyadic) với các giá trị của m và n

Một cách có hiệu quả để thực hiện biến đổi Wavelet rời rạc là dùng các bộ lọc

đã được Mallat đưa ra vào năm 1988 Thuật toán Mallat là một sơ đồ mã hóa băngcon hai kênh đã biết trong kỹ thuật xử lý tín hiệu

Thuật toán lọc thực tế này cho một phép biến đổi Wavelet nhanh là một hộpbiến đổi mà đầu vào là tín hiệu cần phân tích và đầu ra là các hệ số Wavelet của tínhiệu đó

Giải thuật lọc rất thực tế này cho ta một phép biến đổi Wavelet nhanh – mộtcái hộp mà tín hiệu đi vào, và tín hiệu đi ra là những hệ số Wavelet một cáchnhanh chóng Sau đây, ta sẽ đi khảo sát các bộ lọc này sâu hơn

2.3.1 Bộ lọc một tầng – Những xấp xỉ và chi tiết

Đối với nhiều tín hiệu, thành phần tần số thấp là quan trọng nhất Đó là thànhphần để nhận biết tín hiệu Thành phần tần số cao truyền đạt hương vị và sắc thái.Xét tiếng nói của con người, nếu dịch chuyển thành phần cao tần, tiếng nói kêukhác nhau, nhưng vẫn nghe được nói cái gì Nếu dịch chuyển một mức đủ thànhphần hạ tần, sẽ nghe được tiếng nói lắp bắp

Chính vì vậy mà trong biến đổi Wavelet, có khái niệm xấp xỉ và chi tiết.Những xấp xỉ là những tín hiệu có thành phần độ co giãn cao, tần số thấp.Những chi tiết là những thành phần độ co giãn thấp, tần số cao Xem xét quá trìnhlọc ở mức cơ bản nhất của nó Hình vẽ sau:

Để khắc phục vấn đề này, khái niệm lấy mẫu thấp xuống, bộ giảm mẫu –downsampling Điều này tạo sự lặp phổ (aliasing) trong các thành phần tín hiệu.

Hình 2.14: Quá trình giảm mẫu

Để đánh giá tốt quá trình này, ta thực hiện biến đổi Wavelet rời rạc một tầngcủa tín hiệu Ví dụ đối với tín hiệu S là hình sin thuần khiết với nhiễu tần số cao

Mã Matlab cần để tạo tín hiệu S, hệ số xấp xỉ và hệ số chi tiết cA và cD là:

S = sin(20.*linspace(0,pi,1000)) + 0.5.*rand(1,1000);

{cA,cD}=dwt(S,’db2’);

db2 là Wavelet daubechies sử dụng để phân tích.

Hình 2.15: Tính Wavelet một sóng sin có nhiễu tần số cao

Những hệ số chi tiết cD chứa thành phần chủ yếu là nhiễu tần số cao, những

hệ số xấp xỉ cA chứa nhiễu thành phần tần số thấp, ít nhiễu hơn tín hiệu nguyênbản

Chiều dài thực tế của những vectơ hệ số chi tiết và xấp xỉ là hơi dài hơn nửachiều dài của tín hiệu nguyên mẫu

>> {length(cA) length(cD)}

ans =501 501

Điều này là do có phép tính tích chập của tín hiệu với bộ lọc, tích chập “làmlem” tín hiệu, tạo thêm một số mẫu trong kết quả

2.3.2 Sự phân tách nhiều mức (Multiple-Level Decomposition)

Quá trình phân tách có thể được lặp, với những thành phần xấp xỉ liên tiếpđược phân tách 1 lượt, làm tín hiệu được chia thành nhiều thành phần độ phân giảithấp hơn (lower-resolution) Cái này được gọi cây phân tách Wavelets

Do quá trình phân tích là lặp đi lặp lại, về lý thuyết nó có thể được tiếp tục vôtận Trong thực tế, sự phân tách có thể tiếp diễn cho đến khi mà những chi tiết chỉbao gồm có một mẫu hoặc một điểm Trong thực hành, sẽ lựa chọn một số lượngmức thích hợp dựa vào bản chất của tín hiệu, hoặc trên một tiêu chuẩn thích hợpnào đó như entropi.

2.3.3 Sự tái tạo lại tín hiệu của Wavelet (Signal Wavelet Reconstruction)

Chúng ta nghiên cứu làm sao biến đổi Wavelet rời rạc có thể được có phân tích, hoặc phân tách, những tín hiệu và những hình ảnh Mặt khác của vấn đề là làm sao những thành phần đó có thể được tập hợp sau vào trong tín hiệu nguyên bản mà không hoặc hạn chế mất mát thông tin Quá trình này được gọi xây dựng lại hoặc sự tổng hợp (reconstruction hoặc synthesis) Sự thao tác toán học thực hiện sự tổng hợp được gọi biến đổi Wavelet.

Hình 2.18: Quá trình tổng hợp tín hiệu theo Wavelet

Biến đổi Wavelet bao gồm lọc và downsampling, quá trình xây dựng lại Wavelet gồm có tăng mẫu (upsampling) và lọc Upsampling là quá trình làm dài ra một thành phần tín hiệu bởi việc chèn những mẫu zerô giữa những mẫu

Hình 2.19: Quá trình upsampling

Toolbox Wavelets bao gồm những lệnh, như idwt và waverec, thực hiện xâydựng lại một mức hoặc nhiều mức tương ứng trên các thành phần của những tínhiệu một chiều Những lệnh này đối với hai chiều là idwt2 và waverec2

Hình 2.20: Bộ lọc xây dựng lại tín hiệu

Xây dựng lại từ những xấp xỉ và những chi tiết

Chúng ta đã thấy rằng có thể để xây dựng lại nguyên bản tín hiệu từ những hệ số xấp xỉ và chi tiết.

Hình 2.21: Xây dựng lại tín hiệu từ những hệ số Wavelets

Cũng có thể xây dựng lại những sự xấp xỉ và những chi tiết từ những vectơ hệ

số của chúng Xem xét một ví dụ, xây dựng lại xấp xỉ mức đầu tiên A1 từ vectơ hệ