Phép biến đổi laplace hữu hạn và ứng dụng (LV01642)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THÀNH BIÊN PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè Ban Giám hiệu, thầy cô tổ Toán - Tin trường trung học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thành Biên Lời cam đoan Trong suốt trình nghiên cứu luận văn “Phép biến đổi Laplace hữu hạn ứng dụng” giúp tác giả tìm hiểu sâu môn giải tích phức, đặc biệt khái niệm quan trọng phép biến đổi Laplace hữu hạn Qua giúp tác giả bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Tác giả xin cam đoan luận văn hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm tòi, nghiên cứu thân hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thành Biên i Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Khái niệm tính chất 1.1.2 Sự hội tụ dãy số phức 1.1.3 Một số tập hợp mặt phẳng phức 1.2 Hàm chỉnh hình 10 1.3 Tích phân phức 13 1.4 Chuỗi lũy thừa 16 1.5 Lý thuyết thặng dư 18 1.5.1 Không điểm cực điểm 18 1.5.2 Công thức thặng dư 20 Chương Phép biến đổi Laplace hữu hạn 23 2.1 Định nghĩa số ví dụ 23 2.1.1 Khái niệm phép biến đổi Laplace hữu hạn 23 2.1.2 Một số ví dụ phép biến đổi Laplace hữu hạn 27 2.2 Một số tính chất phép biến đổi Laplace hữu hạn 32 ii Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn 37 3.1 Bài toán Cauchy 37 3.2 Bài toán dao động điều hòa đơn 38 3.3 Bài toán giá trị biên 39 3.4 Bài toán cường độ dòng điện tức thời mạch đơn 40 Kết luận 43 Phụ lục 44 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Lí chọn đề tài Một dấu ấn đậm nét xuất phép biến đổi tích phân phải kể đến số công trình nhà Toán học Leonhard Euler nững năm 1763 - 1769 Các nghiên cứu ông mặt sử dụng phép biến đổi Laplace biến đổi Laplace ngược để giải phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai Đến năm 1910, Bateman người áp dụng phép biến đổi Laplace việc giải số vấn đề Vật lý lượng tử Bằng cách đặt ∞ e−xt P (t)dt, p(x) = ông thu phương trình biến đổi phương trình phân rã phóng xạ Rutherford dP = −λi P dt Qua phép biến đổi Lappace phép tính vi phân tích phân chuyển thành phép tính đại số (ta hình dung qua phép tính logarit mà phép nhân chuyển thành phép cộng) mà phép biến đổi cho ta công cụ hiệu lực việc giải toán phương trình vi phân tuyến tính thường, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, toán xử lý mạch điện vật lý, Tuy nhiên phép biến đổi thường sử dụng để tìm lời giải hệ tuyến tính thời điểm t thỏa mãn điều kiện đầu t = hàm nhiễu f (t) với t ≥ Trong trường hợp hàm nhiễu (hay gọi hàm đầu vào) hàm f (t) = exp(at2 ); a > phép biến đổi Laplace thông thường sử dụng việc tìm nghiệm toán với điều kiện đầu biến đổi Laplace hàm f (t) không tồn Theo số cách nhìn từ khía cạnh Vật lý, điều lý hàm f (t) không sử dụng hàm nhiễu chấp nhận để giải vấn đề đặt Điều thường cho lời giải toán thời điểm sau t không hiệu lực thời điểm t Từ thực tế này, đưa nhà Toán học hình thành ý tưởng giới thiệu phép biến đổi Laplace hữu hạn đoạn ≤ t ≤ T Tính hiệu lực hữu ích phép biến đổi Laplace hữu hạn so với phép biến đổi Laplace thường khẳng định nhiều lĩnh vực khác Toán học thực tiễn Được định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài: "Phép biến đổi Laplace hữu hạn ứng dụng" để thực luận văn Thạc sĩ Toán học chuyên ngành Toán giải tích Luận văn cấu trúc thành 03 chương Chương 1, trình bày số kiến thức chuẩn bị Phần nghiên cứu trình bày chương luận văn, trình bày cách hệ thống phép biến đổi Laplace hữu hạn Chương trình bày số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hệ thống kiến thức phép biến đổi Laplace hữu hạn sau nêu số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cách hệ thống phép biến Laplace hữu hạn số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn lĩnh vực Vật lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phép biến đổi Laplace hữu hạn số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn để giải phương trình vi phân thường việc giải số toán lĩnh vực Vật lý như: toán Cauchy, toán cường độ dòng điện tức thời mạch đơn, toán giá trị biên, toán dao động điều hòa đơn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp xin ý kiến định hướng người hướng dẫn Đóng góp đề tài Hệ thống hóa chi tiết, phép biến đổi Laplace hữu hạn; trình bày số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn lĩnh vực Vật lý Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Khái niệm tính chất Số phức số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R; i đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x phần thực y phần ảo, kí hiệu tương ứng x = Rez, y = Imz Tập hợp số phức kí hiệu C Tập hợp số phức đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng C → R2 z = x + iy → (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) 32 2.2 Một số tính chất phép biến đổi Laplace hữu hạn Định lý 2.2 Nếu LT {f (t)} = f¯(s, T ) LT e−at f (t) = f¯(s + a, T ); s (ii) LT {f (at)} = f¯ , aT a a (i) (2.30) (2.31) Chứng minh Theo định nghĩa, ta có T T e−at f (t)e−st dt = (i) LT e−at f (t) = f (t)e−(s+a)t dt = f¯(s + a, T ), T T f (at)e−st dt = a (ii) LT {f (at)} = s f (at)e− a (at) d(at) s = f¯ , aT a a Định lý 2.3 (Biến đổi Laplace hữu hạn đạo hàm) Giả sử LT {f (t)} = f¯(s, T ) Khi đó, ta có khẳng định sau (i) LT {f (t)} = sf¯(s, T ) − f (0) + e−sT f (T ), (2.32) (ii) LT {f (t)} = s2 f¯(s, T ) − sf (0)−f (0) + sf (T )e−sT + f (T )e−sT (2.33) 33 Tổng quát, ta có công thức n (iii) LT f (n) (t) = s f¯(s, T ) − sn−k f (k−1) (0) n k=1 n +e −sT sn−k f (k−1) (T ) (2.34) k=1 Chứng minh Sử dụng công thức tích phân phần, ta có T T f (t)e−st dt = f (t)e−st LT {f (t)} = T f (t)e−st dt +s 0 = sf (s, T ) − f (0) + f (T )e−sT Sử dụng (2.32) ta chứng minh (2.33) sau LT {f (t)} = LT {(f (t)) } = sLT {f (t)} − f (0) + e−sT f (T ) = s[sf¯(s, T ) − f (0) + e−sT f (T )] − f (0) + e−sT f (T ) = s2 f¯(s, T ) − sf (0) − f (0) + sf (T )e−sT + f (T )e−sT Ta chứng minh công thức (2.34) phép chứng minh quy nạp toán học Với n = công thức (2.34) trở thành LT {f (t)} = sf¯(s, T ) − f (0) + e−sT f (T ) Đây công thức (2.32) mà ta chứng minh Giả sử công thức (2.34) với số tự nhiên n − Như thế, theo giả thiết quy nạp ta có n−1 LT f (n−1) (t) = s n−1 f¯(s, T )− n−1 n−1−k (k−1) s k=1 f −sT sn−1−k f (k−1) (T ) (0)+e k=1 34 Bây giờ, ta chứng minh công thức (2.34) với số tự nhiên n Thật vậy, ta có LT f (n) (t) = LT f (n−1) (t) = s.LT f (n−1) (t) − f (n−1) (0) + e−sT f (n−1) (T ) n−1 n−1 = s s n−1 f¯(s, T ) − s n−1−k (k−1) f −sT sn−1−k f (k−1) (T ) (0) + e k=1 k=1 − f (n−1) (0) + e−sT f (n−1) (T ) n−1 = s f¯(s, T ) − n n−1 n−k (k−1) s f (0) + e −sT k=1 sn−k f (k−1) (T ) k=1 − f (n−1) (0) + e−sT f (n−1) (T ) n = s f¯(s, T ) − n n n−k (k−1) s f −sT sn−k f (k−1) (T ) (0) + e k=1 k=1 Định lý 2.4 (Biến đổi Laplace hữu hạn tích phân) Giả sử t F (t) = f (u)du, (2.35) cho F (t) = f (t) với t Khi đó, ta có  t    f¯(s, T ) − e−sT F (T ) LT f (u)du =   s Chứng minh Từ công thức (2.32) ta có LT {F (t)} = sLT {F (t)} − F (0) + e−sT F (T ), hay f¯(s, T ) = LT    t   f (u)du + e−sT F (T )  (2.36) 35 Do LT    t   f¯(s, T ) − e−sT F (T ) f (u)du =  s Định lý 2.5 (Đạo hàm biến đổi Laplace hữu hạn) Giả sử hàm f (t) có biến đổi Lpalce hữu hạn LT {f (t)} = f¯(s, T ) Khi đó, ta có khẳng định sau d ¯ f (s, T ) = LT {(−t)f (t)} , ds d2 ¯ f (s, T ) = LT (−t)2 f (t) , ds (2.37) (2.38) Tổng quát ta có công thức dn ¯ f (s, T ) = LT {(−t)n f (t)} n ds Chứng minh Ta có T d ¯ d f (s, T ) = ds ds T ∂ −st e f (t)dt ∂s e−st f (t)dt = 0 T (−t)f (t)e−st dt = LT {(−t)f (t)} = T d d ¯ f (s, T ) = 2 ds ds T e −st f (t)dt = ∂ −st e f (t)dt ∂s2 T (−t)2 f (t)e−st dt = LT (−t)2 f (t) = (2.39) 36 T dn ¯ dn f (s, T ) = n dsn ds T −st e f (t)dt = ∂ n −st e f (t)dt ∂sn T (−t)n f (t)e−st dt = LT {(−t)n f (t)} = Những kết sử dụng để tìm biến đổi Laplace hữu hạn tích tn đạo hàm hàm f (t) có LT {f (t)} = f¯(s, T ) Nói cách khác dn [LT {f (t)}] LT {t f (t)} = (−1) dsn n n d sf¯(s, T ) − f (0) + f (T )e−sT = (−1) n ds n n Tương tự thế, ta nhận kết tổng quát n (m) LT t f dn (t) = (−1) LT f (m) (t) n ds n , Điều có từ việc sử dụng công thức (2.34) sau dn = (−1) sm f (s, T ) − n ds m m n m−k (k−1) s f −sT sm−k f (k−1) (T ) (0) +e k=1 k=1 Cuối cùng, ta tìm T T s T f (t)e−st dt = ds f (s, T )ds = s T s T f (t) −st e dt − t e−st ds f (t)dt o T = T f (t) −T t e dt t = g¯(s, T ) − g¯(T, T ); g(t) = g¯(s, T ) f (t) giả sử tồn biến đổi Laplace hữu hạn t 37 Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn Phép biến đổi Laplace hữu hạn cung cấp thêm phương pháp việc giải nhiều toán Chương nghiên cứu số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn việc giải số toán lĩnh vực Vật lý 3.1 Bài toán Cauchy Giải phương trình vi phân dx + αx = At; dt (3.1) x(t = 0) = a (3.2) với giá trị đầu Trước hết, lấy biến đổi Laplace hữu hạn hai vế ta s¯ x(s, T ) − x(0) + e−sT x(T ) + α¯ x(s, T ) = A 1 −sT − e s2 s +T s Hay a e−sT x(T ) A 1 −sT x¯(s, T ) = − + − e s+α s+α s + α s2 s +T s (3.3) 38 Tuy hàm hàm nguyên, trở thành hàm nguyên cách đặt x(T ) = AT A A − + e−αT + ae−αT , α α α (3.4) ta A − e−(s+α)T x¯(s, T ) = a + α s+α A T −sT A −sT + − e − e − − e−sT 2 α s s α s (3.5) Sử dụng bảng phụ lục biến đổi Laplace hữu hạn số hàm thông thường ta tìm nghiệm toán sau x(t) = a+ A α2 e−αt + At A − α α (3.6) 3.2 Bài toán dao động điều hòa đơn Trong Vật lý việc nghiên cứu dao động điều hòa đơn dẫn đến việc giải phương trình vi phân cấp hai dạng d2 x + ω2x = F ; dt (3.7) x(t = 0) = a, x(t ˙ = 0) = u; (3.8) với điều kiện đầu F, a u số Áp dụng biến đổi Laplace hữu hạn, ta có as u se−sT x(T ) x¯(s, T ) = + − s + ω s2 + ω s + ω2 e−sT x(T ˙ ) F − + (1 − e−sT ) 2 s +ω s(s + ω ) (3.9) 39 Bởi x¯(s, T ) không hàm nguyên, ta chọn x(T ) = F ω2 a− cos ωT + u F sin ωT + , ω ω (3.10) để x¯(s, T ) trở thành hàm nguyên Do (3.9) trở thành e−sT s F + {ω sin ωT − s cos ωT } x¯(s, T ) = a − ω s2 + ω s2 + ω u e−sT ω + − {s sin ωT + ω cos ωT } ω s2 + ω s2 + ω F − e−sT (3.11) + ω s Sử dụng bảng phụ lục biến đổi Laplace hữu hạn số hàm thông dụng, lấy biến đổi Laplace hữu hạn ngược (3.11) ta kết x(t) = a− F ω2 cos ωt + u F sin ωt + ω ω (3.12) 3.3 Bài toán giá trị biên Phương trình chuyển động dây dẫn lên phía gây lực tập trung tải trọng phân bố W (x) theo sức kéo sợi dây có độ dài L d2 y = W (x); ≤ x ≤ L, dx2 (3.13) có điều kiện biên cho y(0) = y(L) = (3.14) Chúng ta giải toán giá trị biên dẫn đến tải trọng đơn vị cường độ điểm W (x) = δ(x − a); < a < L 40 Sử dụng biến đổi Laplace hữu hạn ta xác định L y(x)e−sx dx y¯(s, L) = (3.15) Điều này, dẫn đến nghiệm toán (3.13) - (3.14) có dạng y¯(s, L) = −sa e + y (0) − e−sL y (L) s (3.16) đó, y (x) đạo hàm y(x) theo biến x Hàm y¯(s, L) hàm nguyên s trừ điều kiện y (0) = y (L) − thỏa mãn Sử dụng điều kiện nghiệm (3.16) viết dạng y (0) − e−sL − se−sL s −sa e + − e−s(L−a) + y (0)sLe−s(L−a) s y¯(s, L) = (3.17) Để nhận nghiệm ngược từ công thức (3.17), ta đặt Ly (0) = a − L nhận y(x) = xy (0) + (x − a)H(x − a) (3.18) 3.4 Bài toán cường độ dòng điện tức thời mạch đơn Cường độ dòng điện tức thời mạch đơn với điện trở R cuộn cảm L với hiệu điện xoay chiều E(t) = E0 cos ωt (như hình vẽ 3.1 mạch điện đơn đây) xác định công thức L dI + RI = E0 cos ωt; ≤ t ≤ T, dt (3.19) với điều kiện đầu I(t) = t = (3.20) 41 Hình 3.1: Mạch điện đơn Áp dụng biến đổi Laplace hữu hạn phương trình cho (3.19) - (3.20) ta nhận R¯ I(s, T ) L e−sT s + (ω sin ωT − s cos ωT ) s2 + ω s2 + ω ¯ T )+e−sT I(T ) + sI(s, = E0 L Hay ¯ T) = − e I(s, −sT I(T ) E0 + R R s+ L s+ L L −sT e s × + (ω sin ωT − s cos ωT ) s + ω s2 + ω (3.21) ¯ T ) không hàm nguyên, nên ta đặt Bởi I(s, I(T ) = E0 L ω R2 ω2 + L R R − RT cos ωT + sin ωT − e L ωL ωL (3.22) 42 Thay (3.22) vào (3.21) ta ωE0 ¯ T) = I(s, R ωL R2 L + L ωE0 + R2 L ω + L ω2 s e−sT + (ω sin ωT − s cos ωT s2 + ω s2 + ω e−sT ω − (s sin ωT + ω cos ωT s2 + ω s2 + ω  − ωE0 R2 L ω2 + L     R R ωL s + L  R − e−(s+ L )T   (3.23) Sử dụng bảng biến đổi Laplace ngược hữu hạn ta nhận nghiệm toán I(t) = ωE0 R2 L ω + L R Rt R cos ωT + sin ωT − exp − ωL ωL L (3.24) 43 Kết luận Với mục đích nghiên cứu phép biến đổi Laplace hữu hạn ứng dụng, trình nghiên cứu đề tài “Phép biến đổi Laplace hữu hạn ứng dụng” luận văn đạt kết thể qua ba chương sau: Chương Đề cập đến số kiến thức bổ trợ hàm số biến số phức là: Số phức mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, tích phân hàm biến số phức lý thuyết chuỗi Chương Giới thiệu lý thuyết phép biến đổi Laplace hữu hạn Ngoài định nghĩa, trình bày số ví dụ phép biến đổi Laplace hữu hạn số tính chất phép biến đổi Laplace hữu hạn phục vụ cho việc nghiên cứu số ứng dụng lĩnh vực Vật lý phép biến đổi Laplace hữu hạn chương Chương Trình bày số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn lĩnh vực Vật lý toán Cauchy, toán dao động điều hòa đơn, toán giá trị biên, toán cường độ dòng điện tức thời mạch đơn 44 Phụ lục Bảng biến đổi Laplace hữu hạn số hàm thông dụng TT f (t) 1 t LT {f (t)} = f¯(s, T ) 1 − esT s 1 − e−sT s s n! tn sn+1 − +T s e−sT (sT )n + n(sT )n−1 n+1 s +n(n − 1)(sT )n−2 + · · · + n! ta ; a > −1 exp(−at); a > tn exp(−at); a > sa+1 γ (a + 1, sT ) (s + a)−1 [1 − exp{−T (s + a)}] e−(a+s)T n! n − n+1 n+1 [{(s + a)T } (s + a) (s + a) +n{T(s + a)}n−1 + n(n − 1){T(s + a)}n−2 + · · · + n! H(t − a); a > cos(at) sin(at) 10 e−at sin(bt) 11 e−at cos(bt) 12 sinh(at) 13 cosh(at) −sa e − e−sT H(T − a) s s e−sT + (a sin aT − s cos aT ) s + a2 s + a2 a e−sT − (s sin aT + a cos aT ) s + a2 s + a2 b e−sT − (s sin bT + a sin bT + b cos bT ) (s + a)2 + b2 (s + a)2 + b2 s+a e−sT − (b sin bT − s cos bT − a cos bT ) (s + a)2 + b2 (s + a)2 + b2 a e−sT − (a cosh aT + s sinh aT ) s − a2 s − a2 s e−sT − (s cosh aT + a sinh aT ) s − a2 s − a2 45 √ 14 t 15 t− t 2a 16 erf c 17 erf c(bt) 18 erf (t) 19 erf √ t 20 ebt erf 21 ebt erf c √ bT √ bT √ √ T exp(−sT ) π erf ( sT ) + − s s3/2 √ π erf ( sT ) s e−sT T exp(a2 s2 ) {1 − exp(a2 s2 )erf c(as)} − erf c + s s 2a s T + as ×erf c 2a s2 exp s2 s s s2 4b2 − exp erf − erf c + exp s 4b2 2b s 2b s 4b2 s e−sT ×erf c bT + − erf (bT ) 2b s 2 s s e4 s e4 s e−sT − erf + erf T + − erf (T ) s s s √ √ erf ( T ) exp(−sT )erf ( T ) − s(s + 1) s √ √ √ berf ( sT ) e−(s−b)T erf ( bT ) √ − s−b s(s − b) √ √ √ b e−(s−b)T erf ( bT ) − √ erf ( sT ) − (s − b) s−b s 46 Tài liệu tham khảo [1] Carslaw H S and Jaeger J C (1953), Operational Methods in Applied Mathematics, Oxford University Press, Oxford [2] Debnath L and Bhatta D (2007), Integral transforms and their Applications, Second Edition, University of Central Florida [3] Tranter C J (1966), Integral Transforms in Mathematical Physics, Third Edition, Methuen and Company Ltd., London [4] Watson E J (1981), Laplace Transforms and Applications, Van Nostrand Reinhold, New York [5] Widder D V (1941), The Laplace Transform, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [...]... phân thứ hai và trong trường hợp này trở thành phép biến đổi Laplace thông thường Điều đó cho thấy rằng, khác với phép biến đổi Laplace thường của hàm f (t), không cần có sự hạn chế nào đối với biến s về sự tồn tại của biến đổi Laplace hữu hạn LT {f (t)} = f¯(s, T ) Thêm nữa, sự tồn tại của công thức biến đổi (2.1) không cần đến điều kiện bậc mũ của hàm f (t) Nếu hàm f (t) có biến đổi Laplace thông... Phép biến đổi Laplace hữu hạn 2.1 Định nghĩa và một số ví dụ 2.1.1 Khái niệm về phép biến đổi Laplace hữu hạn Phép biến đổi Laplace hữu hạn của một hàm f (t) liên tục (hoặc liên tục từng khúc) trong khoảng (0; T ) được ký hiệu và xác định bởi công thức T LT {f (t)} = f¯(s, T ) = f (t)e−st dt; (2.1) 0 trong đó s là một số thực hoặc phức và T là một số hữu hạn có thể âm hoặc dương sao cho tích phân (2.1)... s2 sn−1 sn (2.22) Tuy nhiên, với biến thực thì biến đổi Laplace hữu hạn của hàm này được xác định qua một hàm đặc biệt sau Ví dụ 2.6 Nếu f (t) = ta ; a > −1 thì LT {ta } = s−(a+1) γ(a + 1, sT ); (2.23) trong đó γ(α, x) là hàm Gamma không hoàn chỉnh và được xác định bởi x e−u uα−1 du γ(α, x) = (2.24) 0 Từ định nghĩa của phép biến đổi Laplace hữu hạn và dùng phép đổi biến u = st ta nhận được T ta e−st... thường, thì nó cũng có biến đổi Laplace hữu hạn Nói cách khác, nếu tồn tại biến đổi Laplace thông thường f¯(s) = LT {f (t)}, thì cũng tồn tại biến đổi Laplace hữu hạn LT {f (t)} = f¯(s, T ) và ta có ∞ T f¯(s) = e−st f (t)dt + 0 e−st f (t)dt (2.9) T Bởi vì f¯(s) tồn tại, nên cả hai tích phân ở vế phải của của biểu thức (2.9) cũng tồn tại Do đó, tích phân thứ nhất của (2.9) tồn tại và xác định hàm f¯(s,... cos at thì biến đổi Lpalace của các hàm này được xác định như sau T sin ate−st dt LT {sin at} = 0 a e−sT = 2 − (s sin aT + a cos aT ) s + a2 s 2 + a2 (2.18) Tính toán tương tự như thế, ta cũng xác định được ngay s e−sT LT {cos at} = 2 − (a sin aT − s cos aT ) s + a2 s 2 + a2 (2.19) Trong số những hàm cơ bản được ứng dụng khá nhiều trong phép biến đổi Laplace hữu hạn cũng như phép biến đổi Laplace thông... tuần hoàn Trong ví dụ này chúng tôi đưa ra việc tính biến đổi Laplace hữu hạn của một hàm như vậy 31 Ví dụ 2.9 Cho f (t) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ ω Khi đó, ta có 1 − e−sT f¯(s, T ) = LT {f (t)} = f (s, ω); 1 − e−sω (2.28) trong đó, T = nω và n là một số nguyên dương hữu hạn Một cách đơn giản, theo định nghĩa của phép biến đổi Laplace hữu hạn ta có ngay T f (t)e−st dt LT {f (t)} = 0 ω 2ω f (t)e−st... dưới tích phân trong công thức (2.14) là một hàm nguyên theo biến s Do đó, theo định lý Cauchy tích phân trên đường cong C triệt tiêu, tức là ta có fin (t) = ff i (t) = f (t) (2.15) Như vậy, định lý được chứng minh 2.1.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Laplace hữu hạn Trong phần này, chúng ta sẽ giới thiệu việc tính toán biến đổi Laplace hữu hạn của một số hàm sơ cấp thông thường 28 Ví dụ 2.1 Nếu f (t)... bất kỳ (−T1 ; T2 ) Hiển nhiên rằng LT là phép biến đổi tích phân tuyến tính Biến đổi Laplace hữu hạn ngược được xác định bởi tích phân phức c+i∞ f (t) = L−1 L 1 f¯(s, T ) = 2πi f¯(s, T )est ds; (2.2) c−i∞ ở đó tích phân được lấy trên đường cong Γ nối hai điểm c − iR và c + iR của mặt phẳng phức s khi R → ∞ Nếu f (t) là hàm liên tục từng khúc, nghĩa là nó có hữu hạn điểm gián đoạn trong đoạn 0 ≤ t ≤ T... giới hạn c khi R → ∞ Điều khẳng định có được bởi f¯(s, T ) là một hàm nguyên theo biến s Từ công thức (2.1) ta suy ra rằng nếu f (t)e−st dt = −F (s, t)e−st ; (2.4) thì f¯(s, T ) = F (s, 0) − F (s, T )e−sT = f¯(s) − F (s, T )e−sT ; (2.5) (2.6) trong đó f¯(s) là biến đổi Laplace thông thường Do đó ∞ f¯(s) = F (s, 0) = e−st f (t)dt (2.7) 0 Hơn nữa, sử dụng công thức (2.2) và (2.5) phép biến đổi Laplace. .. z0 và h có không điểm đơn tại z0 Khi đó res z=z0 p p(z0 ) = h h (z0 ) Định lý 1.15 (Định lý thặng dư Cauchy) Giả sử f là hàm chỉnh hình trong một miền D, trừ ra một số hữu hạn các cực điểm z1 , z2 , , zN nằm trong miền đó Khi đó, chúng ta có công thức N f (z)dz = 2πi γ res f , k=1 z=zk ở đó γ là chu tuyến nằm trong miền D sao cho {z1 , z2 , , zN } ⊂ Dγ ⊂ D 23 Chương 2 Phép biến đổi Laplace hữu hạn