Phép biến đổi fourier trên nhóm hữu hạn và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN TẤN NGUYỆN BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2018 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 17 tháng 06 năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc biểu diễn hàm tuần hoàn thành tổng hàm lượng giác Fourier đưa lần dựa theo cơng trình trước Euler, D’Alembert Daniel Bernoulli Về sau gọi chuỗi Fourier xác định sau: a0 +∞ + (an cos nx + bn sin nx), n=1 an = π bn = π π f (x) cos(nx)dx, n = 0, 1, 2, f (x) sin(nx)dx, n = 1, 2, 3, −π π −π Trên sở đó, Fourier đưa khái niệm phép biến đổi Fourier L1(−π, π) L2(−π, π) Sau đó, phép biến đổi phát triển nhiều lần nhà toán học Riemann Cantor Lebesgue Vào năm 1807, 1811 Fourier công bố cơng trình áp dụng phép biến đổi Fourier để giải phương trình nhiệt Cho đến phép biến đổi Fourier ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: Vật lý, Số học, xử lý tín hiệu, xác suất thống kê, mật mã, âm học, Hải dương học, Quang học, Hình học, tần số sóng Rada, định vị GPS, Trong không gian L2 tổng quát ta xây dựng chuỗi Fourier Do vậy, xây dựng cấu trúc khơng gian L2 nhóm hữu hạn G ta xây dựng chuỗi Fourier nhóm Năm 1989, Arthus tìm thấy số ví dụ chuỗi Fourier nhóm hữu hạn Đây tiền đề quan trọng để nhà tốn học sau xây dựng thành cơng không gian L2 (G) phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Với nhiều ứng dụng biết phép biến đổi Fourier, nên hi vọng tìm ứng dụng tương tự cho phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Để làm điều cần phải hiểu rõ ràng phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn nên tơi chọn đề tài: “PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu, tìm hiểu trình bày cách có hệ thống kết phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Ứng dụng kết vào giải phương trình nhóm Abel hữu hạn ứng dụng Vật lý Đối tượng nghiên cứu Phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn, số vấn đề Vật lý Giải tích liên quan đến phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Phạm vi nghiên cứu Định nghĩa, số tính chất phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn, phép biến đổi ngược tích chập Ứng dụng vào ngun lý bất định Heisenberg giải phương trình nhóm Abel Phương pháp nghiên cứu Dựa vào kết biết phép biến đổi Fourier cổ điển để nghiên cứu kết tương tự cho phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết, sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán Luận văn tài liệu tham khảo tốt cho người nghiên cứu Vật lý Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày ba chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày đầy đủ khái niệm tính chất liên quan đến nhóm hữu hạn khơng gian Hilbert Giới thiệu biến đổi Fourier lớp Schwartz Chương 2: Xây dựng không gian L2 (G), đưa định nghĩa, định lý tính chất khơng gian L2 (G) L2 (G) Chương 3: Ứng dụng biến đổi Fourier nhóm hữu hạn vào chứng minh nguyên lý bất định Heisenberg, hàm "Gaussian" giải phương trình nhóm Abel hữu hạn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Lý thuyết nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.1.1 Cho G tập hợp khác rỗng, phép tốn hai ngơi G (G, ) gọi nhóm thỏa mãn điều kiện sau: • ∀x, y, z ∈ G, (x.y).z = x.(y.z) • ∃e ∈ G : x.e = e.x = x, ∀x ∈ G • ∀x ∈ G, ∃x ∈ G : x.x = x x = e Định nghĩa 1.1.2 Nhóm G gọi nhóm hữu hạn có hữu hạn phần tử Ngược lại có vơ hạn phần tử gọi nhóm vơ hạn Định nghĩa 1.1.3 Cấp nhóm G số phần tử nhóm G Kí hiệu: |G| Định nghĩa 1.1.4 Một tập H nhóm (G, ) gọi tập ổn định nhóm G với x, y ∈ H, xy ∈ H Khi phép tốn nhân thu hẹp H xác định phép toán H mà ta gọi phép toán cảm sinh H Định nghĩa 1.1.5 Nhóm H nhóm G tập ổn định nhóm G cho với phép tốn cảm sinh H nhóm Kí hiệu H ≤ G Định lí 1.1.6 Cho H tập khác rỗng nhóm (G, ) Các mệnh đề sau tương đương: (i) H ≤ G; (ii) Với x, y ∈ H , xy ∈ H x−1 ∈ H ; (iii) Với x, y ∈ H , x−1 y ∈ H Định nghĩa 1.1.7 Cho S tập nhóm G Nhóm sinh S nhóm nhỏ G chứa S kí hiệu S Tập hợp S gọi tập sinh nhóm S Nếu S hữu hạn: S = {x1, , xn} ta nói S nhóm hữu hạn sinh với phần tử sinh x1 , , xn mà ta thường kí hiệu nhóm x1 , , xn Định nghĩa 1.1.8 Cho G nhóm Nhóm a G sinh phần tử a ∈ G gọi nhóm cyclic sinh a Nếu tồn phần tử a ∈ G cho a = G ta nói G nhóm cyclic a phần tử sinh G Định nghĩa 1.1.9 Cấp phần tử a nhóm G cấp nhóm cyclic a Kí hiệu: |a| Hệ 1.1.10 Cho (G, ) nhóm a ∈ G Ta có: (i) a có cấp vơ hạn với k ∈ Z, ak = e k = (ii) a có cấp hữu hạn tồn k ∈ Z∗ cho ak = e (iii) Nếu a có cấp hữu hạn cấp a số nguyên dương n nhỏ cho an = e Hơn nữa, với k ∈ Z, ak = e k bội số n Định lí 1.1.11 Cho (G, ) nhóm H nhóm G Xét quan hệ ∼ G sau: x ∼ y ⇔ x−1y ∈ H Khi đó: (i) ∼ quan hệ tương đương G (ii) Lớp tương đương chứa x x = xH , xH = {xh|h ∈ H} Ta gọi xH lớp ghép trái H Tập hợp thương G theo quan hệ ∼, kí hiệu G/H , gọi tập thương G H |G/H| số nhóm H G, kí hiệu [G : H] Chú ý 1.1.12 Hoàn toàn tương tự, ta định nghĩa quan hệ ∼ G sau: x ∼ y ⇔ xy −1 ∈ H Khi ∼ quan hệ tương đương G lớp tương đương chứa x x = Hx, Hx = {hx|h ∈ H} Ta gọi Hx lớp ghép phải H Định lí 1.1.13 (Định lý Lagrange) Cho G nhóm hữu hạn H nhóm G Khi đó: |G| = |H|[G : H] Hệ 1.1.14 Cho G nhóm hữu hạn Khi đó: (i) Cấp nhóm G ước số cấp nhóm G (ii) Cấp phần tử thuộc G ước số cấp nhóm G (iii) Nếu G có cấp ngun tố G nhóm cyclic G sinh phần tử khác e Hệ 1.1.15 (Định lý nhỏ Fecma) Nếu p số nguyên tố ap − a chia hết cho p Định nghĩa 1.1.16 Cho hai nhóm G, , G , G G gọi đẳng cấu với tồn hàm tuyến tính φ : G → G cho φ(a.b) = φ(a) φ(b) Kí hiệu G G 1.2 Khơng gian Hilbert 1.2.1 Tích vơ hướng, không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1 Cho H khơng gian vectơ trường K Tích vơ hướng xác định H ánh xạ xác định sau: , :H × H → K (x, y) → x, y thỏa mãn tiên đề sau: • x, y = y, x với x, y ∈ H • x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H • λx, y = λ x, y với x, y ∈ H λ ∈ K • x, x ≥ với x ∈ H x, x = x = x, y gọi tích vơ hướng hai vectơ x y Cặp (H, , ) gọi khơng gian tiền Hilbert (hay gọi khơng gian Unita) Ví dụ 1.2.2 Lấy X = Rn , với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ X biểu thức: n xi yi x, y = i=1 xác định tích vơ hướng Rn Lấy X = C[0;1] không gian gồm hàm liên tục [0; 1] nhận giá trị phức với x, y ∈ X , biểu thức x, y = x(t)y(t)dt, xác định tích vơ hướng C[0;1] Khi khơng gian khơng L gian tiền Hilbert thường kí hiệu C[0;1] Tính chất 1.1 (i) Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz: | x, y |2 ≤ x, x y, y 2 (ii) Đẳng thức hình bình hành: ||x + y|| +||x − y|| = ||x|| + ||y|| (iii) Nếu lim xn = x0 , lim yn = y0 lim xn , yn = x0 , y0 Định lí 1.2.3 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi đó, x = x, x , x ∈ H xác định chuẩn H Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian tiền Hilbert H , theo Định lý (1.2.3) H khơng gian tuyến tính định chuẩn Nếu H khơng gian đầy đủ ta gọi H khơng gian Hilbert Ví dụ 1.2.5 1) Lấy H = Cn với tích vơ hướng xác định hệ thức n x, y = xi y i , i=1 x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Cn Khi H khơng gian Hilbert 2) Cho (Ω, B, µ) khơng gian độ đo Kí hiệu: L2(Ω) = {f : Ω → C : |f (x)|2dµ < ∞} Ω Với tích vơ hướng f, g = f (x)g(x)dµ, Ω L2(Ω) không gian Hilbert 14 Bổ đề 1.3.9 Cho f, g ∈ S(R), f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ) Định nghĩa 1.3.10 Biến đổi ngược hàm f độ đo h định nghĩa: τhf (x) := f (x − h) Định lí 1.3.11 (Biến đổi Fourier ngược) Nếu f ∈ S(R), với x ∈ R f (ξ)e2πiξxdξ f (x) = R Định lí 1.3.12 (Định lý Plancherel) Nếu f ∈ (R) f = f 15 CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN 2.1 Khơng gian Hilbert nhóm G Định nghĩa 2.1.1 Đặt |G| = n, với a ∈ G ta định nghĩa hàm δa : G → C sau: δa(x) = √ ,x = a n ,x = a Thông thường ta định nghĩa δa (a) := 1, tạo δa(a) = √ n sau ta lại xây dựng tích bên L2(G), δas tạo thành sở trực chuẩn L2(G) Hai bổ đề sau giúp chứng minh δa s thực tạo thành sở trực chuẩn L2 (G) Bổ đề 2.1.2 Nếu f ∈ L2 (G) ∀x ∈ G f (a)δa(x) f (x) = √ n a∈G (2.1) Bổ đề 2.1.3 Các hàm {δa }a∈G độc lập tuyến tính Định nghĩa 2.1.4 Cho U ⊂ G f ∈ L2 (G), ta định nghĩa tích phân hàm f tập U sau: f= U f (a) (2.2) a∈U Bổ đề 2.1.5 Các tích phân xác định phương trình (2.2) có tính tuyến tính Bổ đề 2.1.6 Nếu U1 U2 tập G U1 ∪U2 f= U1 f+ U2 Định nghĩa 2.1.7 Định nghĩa ánh xạ , : L2 (G) × L2 (G) → C cho f 16 công thức |G| f, g = fg = G f (a)g(a) |G| a∈G (2.3) Bổ đề 2.1.8 Ánh xạ định nghĩa phương trình 2.3 tích vơ hướng L2 (G) Định nghĩa 2.1.9 Cho f ∈ L2 (G), chuẩn định nghĩa f L2 (G) = f (a)f (a) |G| a∈G √ f, f f = n f f, f = Hệ 2.1.10 Cho f = (2.4) Bổ đề 2.1.11 Hệ {δa }a∈G sở trực chuẩn L2 (G) 2.2 Phép biến đổi Fourier L2 (G) Định nghĩa 2.2.1 Một đặc trưng nhóm G đồng cấu nhóm χ : G → S S đường tròn đơn vị, xác định sau: S = {z ∈ C : |z| = 1} Định nghĩa 2.2.2 χ đồng cấu nhóm ∀a, b ∈ G χ(a + b) = χ(a)χ(b) Bổ đề 2.2.3 Nhóm đối ngẫu nhóm G kí hiệu G nhóm xác định với phép tốn hai ngơi (χ1χ2)(a) = χ1(a)χ2(a), ∀χ1, χ2 ∈ G, a ∈ G Ví dụ 2.2.4 Xét hai nhóm Zn nhóm đối ngẫu xác định với Un bậc n phần tử Cho n = 3, ta tạo bảng cộng cho Z3 bảng nhân cho U3 Ta có bảng cộng cho Z3 : + 0 1 2 17 Bảng nhân cho U3 : × 1 2πi/3 e e2πi/3 e4πi/3 e4πi/3 e2πi/3 e4πi/3 e2πi/3 e4πi/3 e4πi/3 2πi/3 e Ta nhận thấy hai bảng cấu trúc giống Thực vậy, Z3 U3 Ta xem đa thức đặc trưng phần tử nhóm, ta có bảng đa thức đặc trưng: × χ0 χ1 χ2 1 2πi/3 4πi/3 e e e4πi/3 e2πi/3 Bảng nhân đa thức đặc trưng Z3 : × χ0 χ1 χ2 χ0 χ0 χ1 χ2 Trong ví dụ trên, ta thấy G χ1 χ1 χ2 χ0 χ2 χ2 χ0 χ1 G trùng hợp ngẫu nhiên Cho nhóm abel hữu hạn G G Bởi ta liên kết phần tử từ G vào phần tử G Cho a ∈ G, ta liên hệ a đến aχa G Trong trường hợp tổng qt, khơng có đẳng cấu tắc G G Bây ta xét nhóm khác, ta xẽ cần định nghĩa không gian tương tự đến L2 (G), ta gọi không gian L2 (G) bao gồm hàm từ G → C Không gian L2 (G) không gian đối ngẫu L2 (G) Tương tự ta có với khơng gian L2 (G), ta L2 (G) có tích khơng gian vectơ Định nghĩa 2.2.5 Tích L2 (G) với f , g ∈ G định nghĩa 18 sau: f , g := f (χ)g(χ) χ∈G Định nghĩa 2.2.6 Chuẩn L2 (G) định nghĩa: f L2 (G) := f (χ)f (χ) χ∈G χ = χ0 n χ = χ0 χ(a) = a=0 n a=0 χ∈G χ(a)χ(b) = a=b n a=b Bổ đề 2.2.7 Nếu χ ∈ G, a∈G χ(a) = n = |G| Bổ đề 2.2.8 Nếu a ∈ G, χ∈G n = |G| Bổ đề 2.2.9 Nếu a, b ∈ G n = |G| 2.3 Biến đổi Fourier L2 (G) Định nghĩa 2.3.1 Biến đổi Fourier f ∈ L2 (G) hàm f ∈ L2(G), định nghĩa tích vơ hướng với đặc trưng G: f (χ) = f, χ = f (a)χ(a) (2.5) |G| a∈G Bổ đề 2.3.2 Biến đổi Fourier định nghĩa phương trình (2.5) có tính tuyến tính Định nghĩa 2.3.3 (Phép tịnh tiến) Ta định nghĩa phép tịnh tiến với a ∈ G hàm f ∈ L2(G) sau: τaf (x) = f (x − a) (2.6) Bổ đề 2.3.4 Cho a ∈ G f ∈ L2 (G), τa f (χ) = χ(a)f (χ) Định lí 2.3.5 (Biến đổi ngược) Nếu f ∈ L2 (G) f = χ∈G f (χ)χ 19 Ví dụ 2.3.6 Xét hàm δ ∈ G xác định 1, a = 0, 0, a = δ(a) = (2.7) Ta có biến đổi Fourier hàm δ sau: δ(χ) = δ(a)χ(a) = χ(0) = a∈G δ= n χ χ∈G Định lí 2.3.7 (Định lý Plancherel) Nếu f ∈ L2 (G) |G| = n, f L2 (G) = f L2 (G) Định nghĩa 2.3.8 (Tích chập) Cho hai hàm f, g ∈ L2 (G), ta định nghĩa tích chập sau: (f g)(x) = τ−xf (−a)g(a) (2.8) a∈G Bổ đề 2.3.9 Tích chập định nghĩa phương trình 2.8 có tính giao hốn Bổ đề 2.3.10 Với hai hàm f, g ∈ L2 (G) ta ln có f g = f g Định nghĩa 2.3.11 (Sự biến thiên) Sự biến thiên hàm f ∈ L2(G) với a ∈ G định nghĩa: Mα f (x) = α(x)f (x) Bổ đề 2.3.12 Cho f ∈ L2 (G) α ∈ G, Mα f (ξ) = f (α−1 ξ) 20 CHƯƠNG ỨNG DỤNG 3.1 Nguyên lý bất định Heisenberg Nguyên lý bất định biết đến rộng rãi học lượng tử, cho thấy vị trí động lượng hạt khơng thể xác định đồng thời điểm, xử lý tín hiệu thiết lập giới hạn mức độ "tần số tức thời" tín hiệu đo Tuy nhiên có ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân phần Donoho Stark nguyên lý bất định sử dụng nhiều lĩnh vực khác xử lý tín hiệu phân tích hình ảnh 3.1.1 Ngun lý bất định R Định lí 3.1.1 (Nguyên lý bất định Heisenberg) Giả sử ψ ∈ S(R) ψ chuẩn hóa L2(R), tức ψ x2|ψ(x)|2dx R ξ 2|ψ(ξ)|2dξ R = Khi ≥ 16π 2 3.1.2 Nguyên lý bất định G Định nghĩa 3.1.2 Cho f : G → C f định nghĩa suppf = {x ∈ G|f (x) = 0} Ta có biến đổi Fourier: f (χ) = f (x)χ(x) x∈G Định lí 3.1.3 (Nguyên lý bất định − Dạng một) Giả sử G nhóm hữu hạn với nhóm đối ngẫu G Cho f : G → C khác 0, |suppf ||suppf | ≥ |G| 21 Ta dễ dàng đưa ví dụ cho đẳng thức xuất định lý (3.1.3) Lấy f = δe , với e phần tử đơn vị G Khi f = Vì suppf = {e} suppf = G Từ ta có đẳng thức định lý (3.1.3) Ta xét ví dụ cụ thể hơn, xét nhóm H G f (x) = δH (x) = 1, x ∈ H, 0, x ∈ / H Vì |suppf | = |H| nên ta có f (y)χ(y) = f (χ) = y∈H y∈G |H|, χ ∈ H #, χ(y) = 0, χ∈ / H # H # đối ngẫu H , định nghĩa H # = {χ ∈ G|χ(h) = 1, ∀h ∈ H} Định nghĩa 3.1.4 Giả sử f ∈ L2 (G) T tập G, B tập G Tốn tử giới hạn thời gian PT định nghĩa PT f = f.δT (3.1) Và toán tử giới hạn tần số RB f định nghĩa RB f (x) = f (χ)χ(x), |G| χ∈B (3.2) với f (χ) = f (y)χ(y) y∈G Để nghiên cứu toán tử tuyến tính Q : L2 (G) → L2 (G), cần biết khơng gian tốn tử, chuẩn khơng gian ma trận phức n × n, n = |G| Định nghĩa 3.1.5 Cho ma trận phức A dạng n × n, chuẩn ma trận A Kí hiệu A có tính chất cho ma trận n × n tùy ý A B sau: 1) A ≥ 0; 2) A = ⇔ A = 0; 3) cA = |c| A với c ∈ C; 22 4) A + B ≤ A + B ; 5) AB ≤ A B Định nghĩa 3.1.6 Giả sử Q : L2 (G) → L2 (G) toán tử tuyến tính Tốn tử chuẩn (Kí hiệu: Q ) Q định nghĩa: Qf |f ∈ L2(G), f = f Định nghĩa 3.1.7 The Frobenius hay L2 chuẩn tắc, Q Q = max Q định nghĩa Q 2 = T r(Q ∗ Q) Q ma trận phức n × n, chuẩn Frobenius bậc hai tổng giá trị tuyệt đối phần Chuẩn Frobenius gọi Hilbert-Schmidt, Schur, hay chuẩn Euclide Bổ đề 3.1.8 (i) Cho RB kí hiệu cho tốn tử "giới hạn tần số" định nghĩa (3.2) Khi chuẩn thỏa mãn RB = (ii) Nếu PT kí hiệu cho tốn tử "giới hạn thời gian", PT ≤ (iii) Với RB PT định nghĩa, ta có PT RB = RB PT ≤ Bổ đề 3.1.9 Cho Q = RW PT tích tốn tử giới hạn tần số giới hạn thời gian Khi Q |G| ≤ Q ≤ Q = |W ||T | |G| Định lí 3.1.10 (Nguyên tắc bất định − Dạng hai) Với định nghĩa (3.1) (3.2) toán tử giới hạn thời gian giới hạn tần số, 23 ta có: RW PT ≤ |W ||T | |G| Donoho Stark [1989] đưa lưu ý nguyên lý bất định có ý nghĩa cho việc phục hồi tần số tín hiệu Cho RB tốn tử "tần số mất", tín hiệu gửi đi, nhận lại tín hiệu r = RB s Cho W = B c = G − B tần số không quan sát Giả sử rẳng s = PT s Khi r = RB PT s = (I − RW PT )s (3.3) Định lí 3.1.11 Cho số c > 1, |T ||W | ≤ |G|, c có biến đổi ngược cho toán tử (I − RW PT ) cho chuỗi hình học (I − RW PT )−1 = (RW PT )k k≥0 Ví dụ 3.1.12 G = Z/15Z Ta lấy T = W = {0, 5, 10(mod 15)} Chọn T W thỏa mãn giả thiết Định lý (3.1.10) Ma trận I − Q khả nghịch Q = RW PT Ta tính tốn ma trận qT,W cách sử dụng δT (y) χ∈W χ(xy −1), x, y ∈ G |Q| 2πiω(s − t) qT,W (s, t) = δT (t) exp 15 15 ω∈T 4πi(s − t) 2πi(s − t) = δT (t) + exp + exp 15 3 = δT (t)δS (s − t), với S = {0, 3, 6, 9, 12(mod 15)} Điều nghĩa ma trận Q có 15 hàng phương trình qT,W (x, y) = số khác không 1/5 (tất hàng tương ứng với 0, 5, 10) Và ta 24 xếp lại ma trận Q sau: I ∗ Vì giá trị riêng lớn Q 1/5 Do giá trị riêng nhỏ I − Q 4/5 I − Q khả nghịch Từ Bổ đề (3.1.9) ta có Q = 3/5, = Q ≥ Q ≥√ Q 15 = 3.2 Hàm "Gaussian" Trong giải tích Fourier R G có hàm đặc trưng làm xảy dấu nguyên lý bất định Trong giải tích Fourier cổ điển, hàm gọi hàm Gaussians, hàm có tính chất như: phép tịnh tiến, biến thiên tích vơ hướng nhóm G Đây hàm mà đẳng thức có từ bất đẳng thức; hàm gọi hàm cực trị 3.2.1 Hàm Gaussian R Nhớ lại Gaussian hàm có dạng Ga (x) = e−ax Trước chứng minh nguyên lý bất định dạng cổ điển đẳng thức hàm Gaussian, ta cần nhớ lại vài phép toán sơ π a √ π Bổ đề 3.2.2 Tích phân R x2 e−ax dx = 2a Bổ đề 3.2.1 Tích phân −ax dx = Re Bổ đề 3.2.3 Biến đổi Fourier hàm Gaussian hàm Gaussian Định lí 3.2.4 Nguyên lý bất định, Định lý (3.1.1), xảy dấu ψ(x) = 2B −Bx2 e với B > π 25 3.2.2 Hàm Gaussian G Trong phần này, ta chứng minh rằng, với nhóm cyclic, |G| = |suppf ||suppf | f có tính chất: tịnh tiến, biến thiên, tích vơ hướng với hàm đặc trưng, tồn phần tử 1H với H nhóm G Ta nhắc lại số Định nghĩa Bổ đề từ lý thuyết nhóm Định nghĩa 3.2.5 Hàm đặc trưng định nghĩa, cho A ⊆ G 1A(a) = 1, a ∈ A 0, a ∈ /A Định nghĩa 3.2.6 Phần bù trực giao tập S ⊆ G, kí hiệu S ⊥ định nghĩa S ⊥ := {α ∈ G : α(x) = 1, ∀x ∈ S} Nhận xét 3.2.7 Chú ý phần bù trực giao tập nhóm đối ngẫu G bao gồm đặc trưng G tầm thường S Nếu S G S Bổ đề 3.2.8 Nếu H nhóm G, với α ∈ G, |H| , α ∈ H⊥ |G| 1H (α) = 0, α∈ / H⊥ Bổ đề 3.2.9 Nếu H ⊆ G nhóm con, nhóm G, S ⊥ nhóm G đẳng cấu với |H||H ⊥| = |G| Bổ đề liên quan đến phép tịnh tiến biến thiên giới thiệu phần (2.3.3) (2.3.11) Nhớ lại rằng, cho a ∈ G, α ∈ G, f ∈ L2(G) f ∈ G, τaf (x) := f (x − a) Mα f (x) := α(x)f (x) Ngoài ra, τα f (ξ) = f (ξα−1) Maf (ξ) = ξ(a)f (ξ) Ta ý |suppf | = |suppτa f | với a ∈ G Như vậy, suppf = suppMα f với α ∈ G 26 Bổ đề 3.2.10 Nếu f ≡ 0, tồn ∈ supp(τ−x0 Mα0−1 f ), 1G = χ0 ∈ supp(τ−x0 Mα0−1 f ) với vài x0 ∈ G α0 ∈ G Định lí 3.2.11 Nếu ∈ suppf χ0 ∈ suppf , |suppf ||suppf | = |G| f = c1H , với H nhóm nhóm cyclic G c số khác không Nhận xét 3.2.12 Chú ý với Định lý (3.2.11) Bổ đề (3.2.10) ta có: Nếu g ≡ 0, |suppg| + |suppf | ≥ |G| g có tính chất: biến thiên, phép tịnh tiến, tích vơ hướng khác không hàm tựa 1H , với H nhóm G G nhóm cyclic 3.3 Phương trình nhóm Abel hữu hạn Cho G nhóm Abel hữu hạn Gọi A1 , A2 , , Ak tập G a phần tử cố định G Ta xác định số nghiệm phương trình: x1 + x2 + + xk = a, (xi ∈ Ai, i = 1, 2, , k) (3.4) Đặt |Ai | = mi Giả sử tập Ai không đổi a ∈ G phần tử ngẫu nhiên Ta dự đoán số nghiệm toán là: m1 mk n tử số dãy số gồm k số hạng chứa A1 × × Ak k i=1 (3.5) có từ n xi với a ngẫu nhiên G xi ∈ G không đổi Điều đáng ý trường hợp tổng quát, m1 mk /n gần với số nghiệm a ∈ G Trước hết ta thấy số nghiệm phương trình 3.4 khơng thay đổi ta thay Ak Ak − a = {u − a|u ∈ Ak } 27 Do đó, số nghiệm phương trình 3.4 số nghiệm phương trình: x1 + x2 + + xk = 0, (xi ∈ Ai, i = 1, 2, , k) (3.6) Với giả thiết vậy, định lý sau lời giải tốn nêu Định lí 3.3.1 Số nghiệm phương trình 3.6 là: N= m1 mk +R n (3.7) mi = |Ai | R= n k fAi (χ) (3.8) χ∈G i=1 χ=χ0 Giá trị công thức phụ thuộc vào khả ước lượng sai số R Để kết luận phương trình 3.6 có nghiệm, cần chứng minh |R| < (m1 mk )/n Định lí 3.3.2 Cho A1 , A2 , A3 tập G a ∈ G Gọi N số nghiệm phương trình x1 +x2 +x3 = a, (xi ∈ Ai, i = 1, 2, 3) Khi |A1||A2||A3| < Φ(A3) |A1||A2| n Φ(A3) |A1||A2| Hệ 3.3.3 Nếu < phương trình |A3| n x1 + x2 + x3 = a, (xi ∈ Ai, i = 1, 2, 3) N− có nghiệm (3.9) 28 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, học hỏi từ tài liệu Thầy TS Phan Đức Tuấn cung cấp, em hoàn thành luận văn Những kết trình bày luận văn gồm: Trong chương 1: Trình bày cách đầy đủ chi tiết khái niệm quan trọng nhóm hữu hạn Khơng gian Hilbert, giới thiệu biến đổi Fourier R Trong chương 2: Tìm hiểu định nghĩa, định lý tính chất quan trọng phép biến đổi Fourier L2 (G) L2 (G) Trong chương 3: Đưa ba ứng dụng cụ thể biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Nguyên lý bất định Heisenberg, hàm "Gaussians" Phương trình nhóm Abel hữu hạn ... không gian L2 (G) phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Với nhiều ứng dụng biết phép biến đổi Fourier, nên tơi hi vọng tìm ứng dụng tương tự cho phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Để làm điều cần... cách có hệ thống kết phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Ứng dụng kết vào giải phương trình nhóm Abel hữu hạn ứng dụng Vật lý Đối tượng nghiên cứu Phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn, số vấn đề Vật... tích liên quan đến phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Phạm vi nghiên cứu Định nghĩa, số tính chất phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn, phép biến đổi ngược tích chập Ứng dụng vào nguyên lý bất định