Biểu diễn nhóm hữu hạn và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN QUANG BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————————— Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào ngày .tháng năm 2017 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thộng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết biểu diễn nhóm nội dung lý thuyết nhóm, có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng nhóm abel phát biểu cho nhóm cyclic Gauss, Dirichlet sau mở rộng sang cho nhóm abel hữu hạn Frobenius Stickelberger Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn hình thành vào cuối kỷ XIX cơng trình Frobenius, Schur Burnside Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn nghiên cứu cách mà nhóm tác động không gian véctơ tự đẳng cấu tuyến tính Lý thuyết biểu diễn nhóm nội dung lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng, chẳng hạn giúp hiểu rõ cấu trúc nhóm: cụ thể, biểu diễn nhóm hữu hạn thể nhóm hữu hạn có ảnh đồng cấu nhóm nhóm ma trận khả nghịch Nhằm tìm hiểu biểu diễn nhóm hữu hạn ứng dụng nó, tơi chọn đề tài “ Biểu diễn nhóm hữu hạn ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn - Biểu diễn số nhóm bậc thấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn - Một số nhóm hữu hạn quen biết: nhóm abel, nhóm cyclic, nhóm nhị diện, nhóm quaternion, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học, tài liệu liên quan đến lý thuyết biểu diễn nhóm ứng dụng - Tổng hợp, phân tích, giải vấn đề thuộc nội dung luận văn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại kiến thức lý thuyết nhóm đại số tuyến tính để làm sở cho chương sau Chương 2: Cơ sở biểu diễn nhóm Chương trình bày sơ lược lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn kết liên quan Chương 3: Biểu diễn số nhóm hữu hạn Chương trình bày biểu diễn số nhóm bậc thấp, nhóm hữu hạn quen biết như: nhóm abel, nhóm cyclic, nhóm dihedral, nhóm quaternion, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức lý thuyết nhóm đại số tuyến tính để làm sở cho chương sau 1.1 Một số khái niệm cấu trúc nhóm 1.1.1 Nhóm, nhóm con, nhóm chuẩn tắc, nhóm thương Định nghĩa 1.1.1.1 Cho tập hợp G khác rỗng với phép toán hai ngơi G G×G→G (a, b) → a ∗ b Cặp (G, ∗) gọi nhóm i ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ii Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, có tính chất a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ G iii Với a ∈ G, có phần tử a−1 ∈ G, gọi nghịch đảo a, cho a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e Nếu ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a (G, ∗) gọi nhóm giao hốn Định nghĩa 1.1.1.2 Một tập H nhóm G gọi ổn định tích hai phần tử x, y H lại thuộc H Nếu H tập ổn định nhóm G, H cảm sinh phép tốn từ phép tốn nhóm G Định nghĩa 1.1.1.3 Một tập ổn định H nhóm G gọi nhóm G, H với phép tốn cảm sinh lập thành nhóm, kí hiệu H G Định nghĩa 1.1.1.4 Nhóm G gọi nhóm cyclic G chứa phần tử a cho phần tử G lũy thừa nguyên a Phần tử a có tính chất gọi phần tử sinh nhóm cyclic G, kí hiệu G = a Nhóm cyclic cấp n kí hiệu Cn Ta có: Cn = a = a/an = = 1, a1 , a2 , , an−1 Định nghĩa 1.1.1.5 Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị a ∈ G Nếu am = với m > 0, ta nói a có cấp vơ hạn Nếu m số nguyên dương nhỏ cho am = m gọi cấp a Cấp phần tử a kí hiệu ord(a) Từ định nghĩa ta có ord(a) = a ord(a) = ⇔ a = Định nghĩa 1.1.1.6 Giả sử N nhóm nhóm G Với a ∈ G, tập hợp aN = an|n ∈ N N a = na|n ∈ N gọi tương ứng lớp kề trái lớp kề phải N a Mệnh đề 1.1.1.7 Hai lớp kề trái N trùng khơng có phần tử chung Các lớp kề phải Như thế, nhóm G phân hoạch thành tập hợp rời lớp kề trái( tương ứng lớp kề phải) Định nghĩa 1.1.1.8 Cho G nhóm với phép tốn nhân, nhóm H G gọi nhóm chuẩn tắc G ∀x ∈ G, với a ∈ H, xax−1 ∈ H , kí hiệu H G Định nghĩa 1.1.1.9 Cho G nhóm H ≤ G Ta gọi tập gồm tất lớp kề trái H G tập thương G H kí hiệu G/H G/H = xH|x ∈ G Lực lượng tập G/H gọi số nhóm H nhóm G kí hiệu [G : H] Mệnh đề 1.1.1.10 Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G Khi i Quy tắc cho tương ứng cặp (xH, yH) với lớp kề xyH ánh xạ G/H × G/H → G/H ii Tập thương G/H với phép tốn hai ngơi: (xH, yH) → xyH nhóm, gọi nhóm thương G nhóm chuẩn tắc H Định lý 1.1.1.11 (Định lý Lagrange) Giả sử G nhóm hữu hạn H nhóm G Khi |G| bội |H| 1.1.2 Nhóm tâm, nhóm tâm hóa, nhóm giao hốn tử Mệnh đề 1.1.2.1 Cho G nhóm Tập hợp Z(G) = g ∈ G/gs = sg, ∀s ∈ G nhóm giao hoán chuẩn tắc G, gọi tâm nhóm G Mệnh đề 1.1.2.2 Cho G nhóm, A ≤ G Tập CG (A) = x ∈ G|x−1 ax = a, ∀a ∈ A nhóm G, gọi nhóm tâm hóa nhóm A G Định nghĩa 1.1.2.3 Cho x, y hai phần tử nhóm G Kí hiệu [x, y] = x−1 y −1 xy ∈ G gọi giao hoán tử x với y Định nghĩa 1.1.2.4 Cho G nhóm Nhóm sinh giao hốn tử [x, y], ∀x, y ∈ G, kí hiệu [G, G], gọi nhóm giao hốn tử nhóm G Mệnh đề 1.1.2.5 Cho G nhóm, [G, G] G 1.1.3 Nhóm tuyến tính tổng quát Định nghĩa 1.1.3.1 Giả sử K trường, V không gian véctơ n chiều K Kí hiêu GL(V ) tập hợp tất tự đẳng cấu tuyến tính V Tập hợp GL(V ) với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm, gọi nhóm tuyến tính tổng qt V 1.1.4 Vành nhóm Định nghĩa 1.1.4.1 Giả sử G nhóm hữu hạn K vành Gọi K[G] tập hợp tổ hợp tuyến tính hình thức ks s phần tử s∈G G với hệ số ks ∈ K Khi đó, K[G] với hai phép toán ks s + hs s = (ks + hs ) s s∈G s∈G ks s s∈G ht t s∈G = t∈G ks ht (st) s∈G t∈G lập thành vành, gọi vành nhóm G (với hệ số K) Đơn vị K[G] phần tử = 1.e Với s ∈ G, cách đặt tương ứng s → 1.s ta coi G ⊂ K[G] Rõ ràng K[G] vành giao hốn G abel Nhóm cộng abel K[G] với phép nhân vô hướng   h hks s, ∀h ∈ K ks s = s∈G s∈G lập thành K - không gian véctơ với sở G 1.2 Quan hệ liên hợp 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1.1 Cho G nhóm, a, x ∈ G Phần tử x−1 ax ∈ G gọi phần tử liên hợp a x, kí hiệu ax = x−1 ax 1.2.2 Lớp liên hợp số nhóm hữu hạn Cho nhóm dihedral sau Dn =< a, b|an = e, b2 = e, b−1 ab = a−1 > Mệnh đề 1.2.2.1 Số lớp liên hợp nhóm Dn phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n, xác định sau: Nếu n lẻ: nhóm có n+3 lớp liên hợp: {e} , a, a−1 , , a Nếu n chẵn: nhóm có n n−1 , a− n−1 , b, ab, , an−1 b + lớp liên hợp: n n n a, a−1 , , a −1 , a− +1 , {e} , a b, a2 b, , an−2 b , ab, a3 b, , an−1 b Mệnh đề 1.2.2.2 Nhóm Q8 =< a, b|a4 = e, a2 = b2 , b−1 ab = a−1 > có lớp liên hợp {e} , a2 , a, a3 , b, a2 b , ab, a3 b Mệnh đề 1.2.2.3 Nhóm A4 =< a, b, c|a2 = b2 = e, c3 = 3, ab = ba, ac = cb, bc = cba, abc = ca > có lớp liên hợp {e} , {a, b, ba} , {c, ca, cb, cba} , c2 , c2 a, c2 b, c2 ba Định lý 1.2.2.4 Cho G H hai nhóm hữu hạn Nếu G có n lớp liên hợp có phần tử đại diện g1 , g2 , , gn H có m lớp liên hợp có phần tử đai diện h1 , h2 , , hm Khi đó, nhóm G × H có n.m lớp liên hợp với phần tử đại diện gi , hj với i = 1, , n; j = 1, , m Từ Định lý 1.2.2.4, ta có hệ sau: Hệ 1.2.2.5 Cho nhóm C2 =< c >= {e, c} Khi nhóm G = D3 ×C2 có lớp liên hợp {e} , a, a−1 , b, ab, a2 b , {c} , ac, a−1 c , bc, abc, a2 bc Hệ 1.2.2.6 Cho nhóm C2 =< x >= {e, x} Khi nhóm G = A4 × C2 có lớp liên hợp {e} , {a, b, ba} , {c, ca, cb, cba} , c2 , c2 a, c2 b, c2 ba , {x} , {ax, bx, bax} , {cx, cax, cbx, cbax} , c2 x, c2 ax, c2 bx, c2 bax CHƯƠNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chương trình bày sơ lược lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn 2.1 BIỂU DIỄN NHĨM THEO THUẬT NGỮ MƠĐUN Giả sử G nhóm hữu hạn, K trường, V K - không gian vectơ hữu hạn chiều 2.1.1 Biểu diễn nhóm Định nghĩa 2.1.1.1 Một biểu diễn (tuyến tính) nhóm G V đồng cấu nhóm ρ: G → GL(V) từ G vào nhóm GL(V) tự đẳng cấu tuyến tính V Định nghĩa 2.1.1.2 Một biểu diễn (tuyến tính) cấp n nhóm G K - khơng gian véctơ n chiều V đồng cấu nhóm ρ : G → Gl(n, K) từ G vào nhóm Gl(n, K) ma trận khả nghịch ρ : G → GL(n, K) s → ρ(s) = As Mệnh đề 2.1.1.3 Giả sử V K - không gian véctơ Khi đó, V khơng gian biểu diễn V K[G] - môđun 2.1.2 Biểu diễn quy nhóm Định nghĩa 2.1.2.1 Xét ánh xạ ρ: G → GL(K[G]) định nghĩa sau: ρ : G → GL(K[G]) s → ρ(s) = ρs với ρs kt t t∈G = kt (st) t∈G Ta có 2.1.5 Biểu diễn bất khả quy Định nghĩa 2.1.5.1 Biểu diễn ρ : G → GL(V) gọi bất khả quy V G - khơng gian khác V Nói cách khác, ρ biểu diễn bất khả quy V C[G] - mơđun đơn Ví dụ 2.1.5.2 Mỗi biểu diễn cấp ρ: G → GL(V) biểu diễn bất khả quy dimC V = nên V có hai khơng gian V 2.1.6 Tổng trực tiếp tích tenxơ biểu diễn Định nghĩa 2.1.6.1 Cho hai biểu diễn ρ : G → GL(V) ϕ : G → GL(W) nhóm G Khi tổng trực tiếp ρ ⊕ ϕ : G → GL(V ⊕ W) tích tenxơ ρ ⊗ ϕ : G → GL(V ⊗ W) chúng định nghĩa sau: (ρ ⊕ ϕ)s (v, w) = (ρs (v), ϕs (w)) (ρ ⊗ ϕ)s (v ⊗ w) = ρs (v) ⊗ ϕs (w) với s ∈ G, v ∈ V, w ∈ W Định lý 2.1.6.2 (Định lý Maschke) Nếu đặc số trường K không chia hết cho cấp nhóm G K[G] vành nửa đơn, tức biểu diễn tuyến tính G K - không gian vectơ tổng trực tiếp biểu diễn bất khả quy 2.2 ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂU DIỄN 2.2.1 Đặc trưng biểu diễn tuyến tính Định nghĩa 2.2.1.1 Giả sử ρ: G → GL(V) biểu diễn nhóm G không gian vectơ V Hàm số χ : G → C xác định sau: χ(s) = T r(ρs ), ∀s ∈ G 10 gọi đặc trưng biểu diễn ρ, hay đặc trưng G xác định ρ Định nghĩa 2.2.1.2 Giả sử χ đặc trưng biểu diễn ρ : G → GL(V ) Khi đó, ta gọi cấp đặc trưng χ gọi cấp biểu diễn ρ Mệnh đề 2.2.1.3 Giả sử χ đặc trưng biểu diễn ρ có cấp n, cho s ∈ G, ord(s) = m, e phần tử đơn vị nhóm G Khi đó: i χ(e) = n ii χ(s) tổng n bậc m đơn vị iii χ(s) ≤ n Dấu "=" xảy tồn giá trị λ ∈ C để ρs = λid iv χ(s−1 ) = χ(s),∀s ∈ G ( χ(s) số phức liên hợp χ(s)) v χ(tst−1 ) = χ(s), ∀s, t ∈ G Định nghĩa 2.2.1.4 Cho ρ : G → GL(V ) biểu diễn G χ đặc trưng ρ Khi đó, hạt nhân χ định nghĩa bởi: Kerχ = s ∈ G : χ(s) = χ(e) Mệnh đề 2.2.1.5 Giả sử χρ χϕ đặc trưng biểu diễn ρ : G → GL(V) ϕ : G → GL(W) nhóm G Khi đó: i Đặc trưng χ⊕ biểu diễn tổng trực tiếp ρ ⊕ ϕ χρ + χϕ ii Đặc trưng χ⊗ biểu diễn tổng trực tiếp ρ ⊗ ϕ χρ χϕ 2.2.2 Bổ đề Schur Định lý 2.2.2.1 (Bổ đề Schur) Giả sử ρ : G → GL(V) ϕ : G → GL(W) biểu diễn bất khả quy nhóm G Cho ánh xạ tuyến tính f : V → W cho: ϕs f = f ρs , ∀s ∈ G Nói cách khác, f đồng cấu C[G] - mơđun Khi đó: i Nếu ρ ϕ khơng đẳng cấu với f = 11 ii Nếu V = W ρ ϕ f phép vị tự tỉ số λ, tức f = λidV , với λ số phức Hệ 2.2.2.2 Cho G nhóm hữu hạn, V W G - không gian bất khả quy, λ phiếm hàm C tuyến tính V Xét x ∈ V, y ∈ W Khi đó, V W khơng đẳng cấu với λ(sx)s−1 y = s∈G Đặc biệt, với µ phiếm hàm C tuyến tính V thì: λ(sx)µ s−1 y = s∈G Hệ 2.2.2.3 Giả sử ρ : G → GL(V)và ϕ : G → GL(W) biểu diễn bất khả quy nhóm G h : V → W ánh xạ tuyến tính Đặt: (ϕs )−1 hρs h0 = |G| s∈G Khi đó: i Nếu ρ ϕ khơng đẳng cấu với h0 = ii Nếu V = W ρ = ϕ h0 phép vị tự với tỉ số λ = T r(h) dim(V ) Trước đến hệ Bổ đề Schur, giả sử với s ∈ G, ρs ϕs cho ma trận As = (aij (s)), Bs = (bkl (s)) sở {e1 , e2 , , en } V {ε1 , ε2 , , εm } W Khi ta có: Hệ 2.2.2.4 Giả sử ρ : G → GL(V)và ϕ : G → GL(W) biểu diễn bất khả quy nhóm G Nếu ρ ϕ khơng đẳng cấu với thì: (aij (s)).(bkl (s−1 )) = 0, ∀i, j, k, l |G| s∈G Hệ 2.2.2.5 Nếu ρ : G → GL(V ) biểu diễn bất khả quy cấp n, akl (s−1 )aji (s) = |G| s∈G n (i = k, j = l) (i = k ∨ j = l) 2.2.3 Tích vơ hướng đặc trưng Định lý 2.2.3.1 Giả sử χ, χ đặc trưng hai biểu diễn bất khả quy khơng đẳng câu với nhau, đó: 12 i < χ, χ >= ii < χ, χ >= Hệ 2.2.3.2 Giả sử V G - không gian với đặc trưng α giả sử V phân tích thành G - khơng gian bất khả quy sau: V = W1 ⊕ W2 ⊕ Wk Khi đó, W G - không gian bất khả quy với đặc trưng χ số Wi đẳng cấu với W < α, χ > Định nghĩa 2.2.3.3 Số < α, χ > gọi số lần xuất W V, hay số bội mà W chứa V Như vậy, G - khơng gian có phân tích (sai khác đẳng cấu) thành tổng trực tiếp G - không gian bất khả quy Hệ 2.2.3.4 Cho hai biểu diễn G có hàm đặc trưng đẳng cấu với với Định lý 2.2.3.5 Biểu diễn ρ : G → GL(V ) bất khả quy đặc trưng χρ có chuẩn 1, tức < χρ , χρ > 2.2.4 Hệ đầy đủ biểu diễn bất khả quy Định lý 2.2.4.1 Cho ánh xạ ρ : G → GL(C[G]) biểu diễn quy G Đặc trưng biểu diễn quy G cho cơng thức: |G| (s = e) rG (s) = (s = e) với e đơn vị G Hệ 2.2.4.2 Mỗi biểu diễn bất khả quy chứa biểu diễn quy với số bội cấp Hệ 2.2.4.3 Giả sử W1 , , Wk tất G - không gian bất khả quy đơi khơng đẳng cấu với nhau, có đặc trưng χ1 , , χk với cấp tương ứng n1 , , nk Khi đó: i n21 + + n2k = |G| k ni χi (s) = 0, ∀s ∈ G\{e} ii i=1 13 Định nghĩa 2.2.4.4 Hàm f : G → C goi hàm lớp G f (tst−1 ) = f (s), ∀s, t ∈ G Kí hiệu RC (G) không gian vectơ không gian F(G,C) gồm tất hàm lớp G Định lý 2.2.4.5 Gọi χ1 , χ2 , , χk đặc trưng tất biểu diễn bất khả quy đơi khơng đẳng cấu G Khi χ1 , χ2 , , χk lập nên sở trực chuẩn không gian RC (G) hàm lớp G Định lý 2.2.4.6 Số biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu G số lớp liên hợp G Định lý 2.2.4.7 Cho χ1 , χ2 , , χm m đặc trưng bất khả quy G ψ1 , , ψn n đặc trưng bất khả quy H Khi đó, G × H có m.n đặc trưng bất khả quy, là: χi × ψj với i = 1, m, j = 1, n Ta hiểu phép nhân Định lý 2.2.4.7 sau: Giả sử χi : G → C g → χi (g) ψj : H → C h → ψj (h) Khi đó: χi × ψj : H × G → C (g, h) → (χi × ψj )(g, h) = χi (g).ψj (h) 2.2.5 Phép nâng đặc trưng Mệnh đề 2.2.5.1 Giả sử N G χ đặc trưng G/N Hàm χ : G → C xác định χ(s) = χ(sN ), s ∈ G Khi đó, χ đặc trưng G, χ χ có cấp 14 Định nghĩa 2.2.5.2 Nếu N G χ đặc trưng G/N Hàm χ : G → C xác định χ(s) = χ(sN ), s ∈ G gọi nâng χ lên G Định lý 2.2.5.3 Giả sử N G Bằng cách kết hợp đặc trưng G/N với nâng lên G, ta thu song ánh tập hợp đặc trưng G/N tập hợp đặc trưng χ G thỏa mãn N ≤ Kerχ Các đặc trưng bất khả quy G/N tương ứng với đặc trưng bất khả quy G mà chứa N hạt nhân chúng 15 CHƯƠNG BIỂU DIỄN MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN Áp dụng kết chương 2, chương trình bày biểu diễn số nhóm hữu hạn quen biết 3.1 Biểu diễn nhóm Abel hữu hạn Định lý 3.1.1 Nhóm G abel biểu diễn bất khả quy có cấp Hệ 3.1.2 Giả sử A nhóm abel G Khi đó, biểu diễn bất khả quy G có cấp nhỏ [G : A] Định lý 3.1.3 Có tương ứng - biểu diễn cấp G với biểu diễn bất khả quy nhóm abel G/[G,G] Số biểu diễn cấp không đẳng cấu với G số [G,G] nhóm G 3.2 Biểu diễn nhóm cyclic hữu hạn Xét nhóm cyclic cấp n sinh a: Cn = a|an = e Ta thu n biểu diễn bất khả quy bậc Cn với đặc trưng là: χk (am ) = e 2πikm n (k = 0, 1, , n − 1) Ta có bảng đặc trưng nhóm Cn χ0 χk e χn−1 a e e am 2πik n 2πi(n−1) n e e 2πikm n 2πi(n−1)m n 3.3 Biểu diễn nhóm diheral Dn , n > Biểu diễn Dn phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n 16 an−1 e 2πik(n−1) n e 2πi(n−1)2 n 3.3.1 Biểu diễn nhóm Dn với n chẵn Theo Mệnh đề 1.2.2.1, nhóm Dihedrah Dn có n2 + lớp liên hợp: n n ≤ r ≤ − , a2j b, ≤ j ≤ , {e} , an/2 , ar , a−r 2 a2j+1 b, ≤ j ≤ Do Dn có n n + đặc trưng bất khả quy Bốn đặc trưng bất khả quy cấp χ1 , χ2 , χ3 , χ4 Dn thu cách đặt tương ứng ±1 với a b Các đặc trưng tương ứng mô tả bảng sau: am 1 (−1)m (−1)m χ1 χ2 χ3 χ4 bam -1 (−1)m (−1)m+1 Hai đặc trưng biểu diễn cấp hai χk xác định sau: 2πkm χk (am ) = wkm + w−km = cos ; χk (bam ) = n với ≤ k ≤ n/2 Các đặc trưng χ1 , χ2 , χ3 , χ4 , χ1 , χ2 , , χ n −1 hệ đầy đủ đặc trưng bất khả quy đôi khác Dn tổng bình phương cấp chúng 4.1 + ( n2 − 1).4 = 2n cấp Dn Từ kết trên, ta có bảng đặc trưng nhóm Dn , với n chẵn sau: χ1 χ2 χ3 χ4 χk với ≤ r ≤ n an/2 ar 1 1 n/2 (−1) (−1)r (−1)n/2 (−1)r 2(−1)k 2cos 2πkr n e 1 1 − 1, ≤ k ≤ n −1 17 b -1 -1 ab -1 -1 3.3.2 Biểu diễn nhóm Dn với n lẻ Theo Mệnh đề 1.2.2.1, nhóm Dn ứng với n lẻ có n+3 lớp liên hợp là: n−1 ), {as b, ≤ s ≤ n − 1} {e} , ar , a−r (1 ≤ r ≤ Do đó, theo Định lý 2.2.4.6, nhóm Dn có n+3 Đồng thời ta có [Dn , Dn ] =< a >∼ = C2 Vì Cn đặc trưng bất khả quy Dn Dn /Cn ∼ = C2 , nên ta theo Định lý 3.1.1, Dn có hai biểu diễn bất khả quy cấp Do Dn có hai đặc trưng cấp χ1 , χ2 xác định bởi: χ1 (am ) = χ1 (bam ) = χ2 (am ) = 1, χ2 (bam ) = −1 Các biểu diễn cấp hai ρk (0 < k < n2 ) định nghĩa công thức n chẵn Các đặc trưng χ1 , χ2 , , χ n−1 ρ1 , , ρ n−1 với χ1 , χ2 lập thành hệ đầy đủ đặc trưng bất khả quy đôi không đẳng cấu với Dn , 2.1 + n−1 = 2n = |Dn | Ta có bảng đặc trưng Dn ứng với n lẻ sau: χ1 χ2 χk với ≤ r ≤ n−1 , 1≤k≤ ar 1 2cos 2πkr n e 1 b -1 n−1 3.4 Biểu diễn nhóm quaternion Xét nhóm quaternion Q8 Q8 = a, b|a4 = e, a2 = b2 , aba = b Theo Mệnh đề 1.2.2.2, nhóm Q8 có lớp liên hợp đại diện phần tử e, a2 , a, b, ab, nên có biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu với Mặt khác, [Q8 , Q8 ] =< a2 > nhóm cyclic cấp nên [Q8 : [Q8 , Q8 ]] = |Q8 /[Q8 , Q8 ]| = 18 Theo Định lí 3.1.3, Q8 có biểu diễn bất khả quy cấp đôi không đẳng cấu với nhau, số [Q8 : [Q8 , Q8 ]] = Theo Hệ 2.2.4.3, biểu diễn bất khả quy thứ Q8 có cấp √ 8−4=2 Ta lại có biểu diễn √ cấp Q8 , cho tương ứng −1 √0 b→ a→ − −1 Ta có đặc trưng χ5 biểu diễn có tính chất: χ5 (e) = 2, χ5 (a2 ) = −2, χ5 (a) = χ5 (b) = χ5 (ab) = Từ suy < χ5 , χ5 >= Vậy χ5 đặc trưng bất khả quy Bốn đặc trưng bất khả quy cấp lại Q8 tìm theo phương pháp Định lí 3.1.1 Chúng phần tử nhóm giao hoán tử [Q8 , Q8 ] = e, a2 Hơn nữa, a2 = b2 nên bốn đặc trưng tương ứng với cách ánh xạ a, b vào ±1, bậc hai Cuối cùng, giá trị đặc trưng ab tích hai giá trị a b Tất đặc trưng bất khả quy đôi không đẳng cấu G cho bảng sau χ1 χ2 χ3 χ4 χ5 e 1 1 a2 1 1 -2 a -1 -1 b -1 -1 ab 1 -1 -1 3.5 Biểu diễn nhóm đối xứng, nhóm thay phiên 3.5.1 Nhóm đối xứng, nhóm thay phiên Cho T tập hợp Khi đó, tập S(T) gồm tất song ánh T với phép hợp thành ánh xạ lập nên nhóm Phần tử đơn vị S(T) ánh xạ đồng idT T Phần tử nghịch đảo phần tử α ∈ S(T ) ánh xạ ngược α−1 19 Định nghĩa 3.5.1.1 Nhóm S(T) gọi nhóm đối xứng tập hợp T Mỗi nhóm S(T) gọi nhóm phép T Đặc biệt, T = {1, 2, , n} S(T) kí hiệu đơn giản Sn gọi nhóm đối xứng n phần tử Mệnh đề 3.5.1.2 Sn nhóm hữu hạn |Sn | = n! Với n ≥ 2, ta đặt (j − i) ∈ Z ∆n = 1≤i