Ứng dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn vào một số bài toán đếm

Mục lục Lời cảm ơn iii Lời cam đoan iv Lời nói đầu v Danh mục kí hiệu vii Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức nhóm 1.1.1 Kiến thức nhóm 1.1.2 Nhóm đối xứng 1.2 Tác động nhóm 1.3 Các quy tắc đếm 1.3.1 Bổ đề Burnside 1.3.2 Định lý đếm Polya 18 Chương Khối đa diện định lý tồn khối đa diện 26 2.1 Khối đa diện lồi định lý Euler 26 2.1.1 Định nghĩa hình đa diện 26 2.1.2 Hình đa diện lồi khối đa diện lồi 27 2.1.3 Sơ đồ phẳng hình đa diện lồi Định lý Euler 27 2.2 Khối đa diện định lý tồn khối đa diện 29 Chương Bài toán tô màu khối đa diện 3.1 Nhóm phép quay khối đa diện 33 33 3.1.1 Phép biến đổi trực giao không gian Euclid ba chiều i 33 Mục lục 3.1.2 Mô tả cụ thể nhóm phép quay khối đa diện 41 3.2 Bài toán tô màu khối đa diện 45 3.2.1 Nhóm phép quay khối tứ diện toán tô màu khối tứ diện 45 3.2.2 Nhóm phép quay khối lập phương toán tô màu khối lập phương 48 3.2.3 Nhóm phép quay khối mặt toán tô màu khối mặt 54 3.2.4 Nhóm phép quay khối 12 mặt toán tô màu khối 12 mặt 55 3.2.5 Nhóm phép quay khối 20 mặt toán tô màu khối 20 mặt 63 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 67 ii Lời cảm ơn Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS TSKH Phùng Hồ Hải Thầy giao đề tài "Ứng dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn vào số toán đếm" cho tận tình hướng dẫn trình hoàn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cám ơn tới toàn thầy cô giáo tham gia giảng dạy thời gian học tập Viện Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp cao học K21 Viện Toán học nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Tôi xin cảm ơn người bạn đặc biệt, tận tình giúp đỡ tìm tài liệu tiếng anh mà không tìm Hà Nội, Ngày 31 tháng 10 năm 2015 Tác giả Trần Thị Vân iii Lời cam đoan Luận văn hoàn thành Viện toán học - Viện Hàn Lâm Khoa Học Công Nghệ Việt Nam, hướng dẫn GS TSKH Phùng Hồ Hải Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, Ngày 31 tháng 10 năm 2015 Tác giả Trần Thị Vân iv Lời nói đầu Lý chọn đề tài Toán học niềm đam mê kể từ bắt đầu thầy giáo dạy lớp định hướng việc học toán Cú vấp ngã trượt đại học bị lưu ban làm cho phương hướng việc phấn đấu học toán cấp bậc cao Tôi tự hỏi học để làm gì, học có tác dụng không muốn trở thành giáo viên dạy toán THPT Ra trường, học thạc sĩ để hy vọng có hội lớn công việc sau Vì vậy, buổi tiếp xúc với giáo sư Viện toán ngày đầu nhập học, thực thích thú với đề tài "Ứng dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn vào số toán đếm" mà G.S Phùng Hồ Hải với yêu cầu thầy đặt cho đề tài "đối tượng thầy cô giáo dạy chuyên toán THPT" Vì thế, xin theo đề tài để làm luận văn hoàn thành khóa học thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Bước đầu tìm hiểu lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn; bổ đề Burnside; định lý đếm Polya - Ứng dụng vào toán tô màu đếm đối tượng có tính chất đối xứng đẹp mà cụ thể khối đa diện Cấu trúc khóa luận Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày giải thích thuật ngữ nhóm, tác động nhóm từ tìm hiểu định lý đếm Polya Chương 2: Khối đa diện định lý tồn khối đa diện Chương trình bày định nghĩa khối đa diện lồi định lý Euler Sau đó, tìm hiểu định nghĩa khối đa diện định lý "Chỉ có loại khối đa diện đều" Đây đối tượng tìm hiểu chương luận văn v Lời nói đầu Chương 3: Bài toán tô màu khối đa diện Chương trình bày nhóm đối xứng thực quay khối đa diện không gian Euclid chiều kết thu thực tô màu đỉnh, mặt, cạnh khối đa diện với k màu cho trước Trong tập "Kỷ yếu trại hè Hùng Vương môn toán lần thứ 6" hai thầy cô dạy chuyên toán trường THPT chuyên Thái Nguyên tham khảo tài liệu số [3] để có báo cáo "Áp dụng định lý BurnsideFrobenius vào toán tô màu tổ hợp" trình bày toán tô màu đỉnh đa giác đều; tô màu mặt khối lập phương, khối tứ diện đều; tô màu bảng ô vuông Và kết thúc báo có câu hỏi "Định lý Burnside- Frobenius có ứng dụng số toán mức độ khó hơn, ví dụ toán tô màu mặt khối lập phương, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt " Trong luận văn này, tìm hiểu thêm lý thuyết đếm Polya để trả lời câu hỏi báo cáo Vì vậy, hy vọng vấn đề mà luận văn bàn tới tài liệu tham khảo hữu ích thầy cô giáo dạy chuyên toán THPT quan tâm Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Tôi mong nhận góp ý xây dựng thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 31 tháng 10 năm 2015 Trần Thị Vân vi Danh mục kí hiệu N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên id Phép chiếu đồng Cn Nhóm xyclic n phần tử Sn Nhóm đối xứng n phần tử A≤B A nhóm nhóm B A⊂B A tập thực B A⊆B A tập B |G| Cấp nhóm |G| ∞ vô ∅ tập rỗng Kết thúc chứng minh vii Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày định nghĩa kết sử dụng chương sau Nội dung bật chương trình bày tác động nhóm, từ tìm hiểu quy tắc đếm Polya để giải toán tô màu đặt Chương Nội dung tham khảo từ tài liệu [1, 5] 1.1 Kiến thức nhóm 1.1.1 Kiến thức nhóm Định nghĩa 1.1 Một nhóm G tập hợp với phép toán nhóm G×G → G (a, b) → ab thỏa mãn điều kiện sau: (i) ∀a, b, c ∈ G ta có (ab)c = a(bc); (ii) ∀a ∈ G, ∃ e ∈ G : ea = ae = a; (iii) ∀a ∈ G, ∃ b ∈ G : ab = ba = e Ví dụ 1.2 Tập hợp tất ma trận vuông cấp n có định thức khác không GL(n, R) tập hợp số thực R với phép nhân ma trận thông thường lập thành nhóm, gọi nhóm tuyến tính đầy đủ cấp n với hệ số R Định nghĩa 1.3 (i) Nếu nhóm G có hữu hạn phần tử ta nói G nhóm hữu hạn Cấp nhóm G số phần tử nhóm ký hiệu |G| (ii) Với g ∈ G có số nguyên dương n > cho g n = Số nguyên dương nhỏ gọi cấp g ký hiệu ord(g) Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.4 Giả sử G G nhóm (với luật hợp thành viết theo lối nhân) Một ánh xạ ϕ : G → G gọi đồng cấu nhóm ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y); với x, y ∈ G Ví dụ 1.5 Ánh xạ det : GL(n, K) → K \ {0} đưa A vào det A, đồng cấu nhóm nhân Định nghĩa 1.6 Một đồng cấu nhóm đồng thời song ánh gọi đẳng cấu nhóm Định nghĩa 1.7 Một tập hợp H nhóm nhân G gọi nhóm G điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép toán nhân đóng H, tức xy ∈ H, ∀x, y ∈ H; (ii) H chứa phần tử đơn vị e G; (iii) x−1 ∈ H, ∀x ∈ H Ví dụ 1.8 Cho G nhóm a phần tử tùy ý G Khi tập hợp H = {an | n ∈ Z} lập thành nhóm G Nhóm H nhóm xyclic Cho H nhóm nhóm G Trên G ta xây dựng hai quan hệ 2-ngôi R R sau: với x, y hai phần tử tùy ý G, xRy ⇔ yx−1 ∈ H, xR y ⇔ x−1 y ∈ H Ta thấy R R quan hệ tương đương G Đặt: R(x) = {y ∈ G | yx−1 ∈ H} = {y | ∃ h ∈ H : y = hx} = Hx R (x) = {y ∈ G | x−1 y ∈ H} = {y | ∃ h ∈ H : y = xh} = xH Vậy (Hx)x∈G (xH)x∈G cho ta hai phân hoạch tập hợp G Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.9 Tập hợp Hx gọi lớp ghép trái H G tập hợp xH gọi lớp ghép phải H G Một phần tử lớp ghép gọi đại diện lớp ghép Định lí 1.10 (Định lí Lagrange) Cho H nhóm nhóm hữu hạn G Khi số lớp ghép trái H G số lớp ghép phải H G nhau, số gọi số nhóm H G kí hiệu [G : H] Hơn ta có |G| = |H|[G : H] 1.1.2 Nhóm đối xứng Giả sử T tập hợp Khi đó, ta kiểm tra tập hợp S(T ) tất song ánh T với phép hợp thành ánh xạ lập nên nhóm Phần tử đơn vị S(T ) ánh xạ đồng idT T Phần tử nghịch đảo α ∈ S(T ) ánh xạ ngược α−1 Định nghĩa 1.11 Nhóm S(T ) gọi nhóm đối xứng tập hợp T Mỗi nhóm S(T ) gọi nhóm phép T Đặc biệt, T = {1, 2, 3, , n} nhóm S(T ) kí hiệu đơn giản Sn gọi nhóm đối xứng n phần tử Ví dụ 1.12 Xét T = {1, 2, 3} Khi đó, tập hợp S(T ) tất song ánh T bao gồm phần tử σ1 = σ4 = 3 3 , σ2 = , σ5 = 3 2 3 , σ3 = , σ6 = 3 1 3 , với phép hợp thành ánh xạ lập nên nhóm Phần tử đơn vị S(T ) ánh xạ đồng σ1 T S(T ) kí hiệu S3 nhóm đối xứng phần tử Mệnh đề 1.13 Sn nhóm hữu hạn Hơn nữa, ta có |Sn | = n! = 1.2.3 n Định lí 1.14 Mỗi phép α ∈ Sn viết thành xích tích xích rời Chương Bài toán tô màu khối đa diện (1,3,8)(2,7,5)(4)(6) 37 34 32 78 76 84 85 41 26 21 65 51 Bảng 3.3: Bảng tác động nhóm GC tác động lên tập cạnh khối lập phương Dựa vào bảng trên, nhóm GC tác động lên tập cạnh khối lập phương bao gồm phần tử: (c1 )(c2 )(c3 )(c4 )(c5 )(c6 )(c7 )(c8 )(c9 )(c10 )(c11 )(c12 ), (c1 , c6 )(c2 , c4 )(c3 , c7 )(c5 , c8 )(c9 , c12 )(c10 , c11 ), (c1 , c9 )(c2 , c11 )(c3 , c5 )(c4 , c10 )(c6 , c12 )(c7 , c8 ), (c1 , c12 )(c2 , c10 )(c3 , c8 )(c4 , c11 )(c5 , c7 )(c6 , c9 ), (c1 , c4 , c6 , c2 )(c3 , c5 , c7 , c8 )(c9 , c11 , c12 , c10 ), (c1 , c2 , c6 , c4 )(c3 , c8 , c7 , c5 )(c9 , c10 , c12 , c11 ), (c1 , c5 , c9 , c3 )(c2 , c4 , c11 , c10 )(c6 , c7 , c12 , c8 ), (c1 , c3 , c9 , c5 )(c2 , c10 , c11 , c4 )(c6 , c8 , c12 , c7 ), (c1 , c6 , c12 , c9 )(c2 , c8 , c10 , c3 )(c4 , c7 , c11 , c5 ), (c1 , c9 , c12 , c6 )(c2 , c3 , c10 , c8 )(c4 , c5 , c11 , c7 ), (c1 )(c2 , c5 )(c3 , c4 )(c6 , c9 )(c7 , c10 )(c8 , c11 )(c12 ), (c1 , c8 )(c2 )(c3 , c6 )(c4 , c10 )(c5 , c12 )(c7 , c9 )(c11 ), (c1 , c12 )(c2 , c7 )(c3 , c11 )(c4 , c8 )(c5 , c10 )(c6 )(c9 ), (c1 , c7 )(c2 , c11 )(c3 , c12 )(c4 )(c5 , c6 )(c8 , c9 )(c10 ), (c1 , c10 )(c2 , c9 )(c3 )(c4 , c12 )(c5 , c8 )(c6 , c11 )(c7 ), (c1 , c11 )(c2 , c12 )(c3 , c7 )(c4 , c9 )(c5 )(c6 , c10 )(c8 ), (c1 , c3 , c2 )(c4 , c9 , c8 )(c5 , c10 , c6 )(c7 , c11 , c12 ), (c1 , c2 , c3 )(c4 , c8 , c9 )(c5 , c6 , c10 )(c7 , c12 , c11 ), (c1 , c4 , c5 )(c2 , c7 , c9 )(c3 , c6 , c11 )(c10 , c8 , c12 ), (c1 , c5 , c4 )(c2 , c9 , c7 )(c3 , c11 , c6 )(c10 , c12 , c8 ), (c1 , c8 , c11 )(c2 , c12 , c5 )(c3 , c10 , c9 )(c4 , c6 , c7 ), (c1 , c11 , c8 )(c2 , c5 , c12 )(c3 , c9 , c10 )(c4 , c7 , c6 ), 53 Chương Bài toán tô màu khối đa diện (c1 , c10 , c7 )(c2 , c8 , c6 )(c3 , c12 , c4 )(c5 , c9 , c11 ), (c1 , c7 , c10 )(c2 , c6 , c8 )(c3 , c4 , c12 )(c5 , c11 , c9 ) Đa thức số chu trình nhóm tác động lên 12 cạnh khối lập phương 12 (x1 + 3x62 + 6x34 + 6x21 x52 + 8x43 ) 24 Do đó, theo định lý Polya với k màu cho trước số cách tô màu 12 cạnh khối lập phương 12 (k + 3k + 6k + 6k + 8k ) 24 3.2.3 Nhóm phép quay khối mặt toán tô màu khối mặt Ta xét toán tô màu mặt, đỉnh, cạnh khối bát diện Do tính chất đối ngẫu khối lập phương khối bát diện đều, ta có (i) Số cách tô màu đỉnh khối lập phương số cách tô màu mặt khối bát diện (ii) Số cách tô màu mặt khối lập phương số cách tô màu đỉnh khối bát diện (iii) Số cách tô màu cạnh khối lập phương số cách tô màu cạnh khối bát diện Vì vậy, ta có kết cho toán tô màu khối bát diện sau (i) Với k màu cho trước số cách tô màu đỉnh khối mặt (k + 3k + 12k + 8k ) 24 (ii) Với k màu cho trước số cách tô màu cạnh khối mặt 12 (k + 3k + 6k + 6k + 8k ) 24 (iii) Với k màu cho trước số cách tô màu mặt khối mặt (6k + 17k + k ) 24 54 Chương Bài toán tô màu khối đa diện 3.2.4 Nhóm phép quay khối 12 mặt toán tô màu khối 12 mặt Gọi Z = {1, 2, 3, 4, 5, , 20} tập đỉnh khối 12 mặt Ta thực đánh số đỉnh khối 12 mặt hình (3.6) Chúng ta Hình 3.6 Khối 12 mặt xét toán tô màu khối 12 mặt Bài toán Với k màu cho trước {y1 , y2 , y3 , , yk }, hỏi có cách tô màu phân biệt đỉnh khối 12 mặt biết hai cách tô màu coi cách nhận từ cách tô màu nhờ phép quay thuộc GD Giải Nhóm tác động lên phép quay biến khối 12 mặt thành gồm: (i) Phép đồng σ1 = (1)(2)(3)(4) (19)(20) (ii) 24 phép quay quanh trục bậc (mỗi trục có phép quay phân biệt) Kí hiệu {i1 , i2 , i3 , i4 , i5 } mặt 12 mặt tạo đỉnh i1 , i2 , i3 , i4 , i5 Ví dụ xét trục quay nối tâm hai mặt đối diện {1, 2, 3, 4, 5} {10, 11, 12, 13, 14} - Khi quay khối 12 mặt quanh trục ngược chiều kim đồng hồ π với góc quay ta hoán vị σ2 = (1, 5, 4, 3, 2)(10, 14, 13, 12, 11)(18, 6, 8, 20, 16)(17, 19, 7, 9, 15) 55 Chương Bài toán tô màu khối đa diện - Khi quay khối 12 mặt quanh trục ngược chiều kim đồng hồ 2π với góc quay ta hoán vị σ3 = (1, 4, 2, 5, 3)(10, 13, 11, 14, 12)(18, 8, 16, 6, 20)(17, 7, 15, 19, 9) - Khi quay khối 12 mặt quanh trục ngược chiều kim đồng hồ 3π với góc quay ta hoán vị σ4 = (1, 3, 5, 2, 4)(10, 12, 14, 11, 13)(18, 20, 6, 16, 8)(17, 9, 19, 15, 7) - Khi quay khối 12 mặt quanh trục ngược chiều kim đồng hồ 4π với góc quay ta hoán vị σ5 = (1, 2, 3, 4, 5)(10, 11, 12, 13, 14)(18, 16, 20, 8, 6)(17, 15, 9, 7, 19) (iii) 20 phép quay quanh trục bậc (mỗi trục bậc có hai phép quay) Ví dụ xét trục nối hai đỉnh đối diện (9) (18) - Khi quay khối 12 mặt quanh trục ngược chiều kim đồng hồ π với góc quay ta hoán vị σ6 = (1, 19, 17)(2, 6, 13)(3, 7, 14)(4, 11, 15)(5, 12, 16)(8, 10, 20)(9)(18) - Khi quay khối 12 mặt quanh trục ngược chiều kim đồng hồ 2π ta hoán vị với góc quay σ7 = (1, 17, 19)(2, 13, 6)(3, 14, 7)(4, 15, 11)(5, 16, 12)(8, 20, 10)(9)(18) (iv) 15 phép quay quanh trục bậc Ví dụ xét trục nối trung điểm hai cạnh đối diện (7, 8) (16, 17) Chúng ta quay khối 12 mặt quanh trục ngược chiều kim đồng hồ với góc quay 180◦ có hoán vị σ8 = (1, 14)(2, 13)(3, 12)(4, 11)(5, 10)(6, 9)(7, 8)(15, 18)(16, 17)(19, 20) Đa thức số chu trình nhóm tác động lên đỉnh khối 12 mặt 20 (x + 15x10 + 20x1 x3 + 24x5 ) 60 Do đó, theo định lý Polya với k màu cho trước số cách tô màu đỉnh khối 12 mặt 20 (k + 15k 10 + 20k + 24k ) 60 56 Chương Bài toán tô màu khối đa diện Bài toán Với k màu cho trước {y1 , y2 , y3 , , yk }, hỏi có cách tô màu phân biệt mặt khối 12 mặt biết hai cách tô màu coi cách nhận từ cách tô màu nhờ phép quay thuộc GD Giải Khối 12 mặt gồm 12 mặt mà ta kí hiệu m1 = {1, 2, 3, 4, 5}, m2 = {1, 2, 16, 17, 18}, m3 = {2, 3, 20, 15, 16}, m4 = {3, 4, 8, 9, 20}, m5 = {4, 5, 6, 7, 8}, m6 = {1, 5, 6, 19, 18}, m7 = {10, 11, 12, 13, 14}, m8 = {7, 8, 9, 10, 11}, m9 = {6, 7, 11, 12, 19}, m10 = {12, 13, 17, 18, 19}, m11 = {13, 14, 15, 16, 17}, m12 = {9, 10, 14, 15, 20} Xét tập Z = {m1 , m2 , m3 , , m11 , m12 } tập mặt khối 12 mặt Chúng ta xét tác động phần tử σ1 , σ2 , , σ7 , σ8 nhóm GD lên tập Z (i) Với phép hoán vị σ1 vị trí mặt không thay đổi, ta có phép đồng α1 = (m1 )(m2 )(m3 ) (m12 ) (ii) Với phép hoán vị σ2 = (1, 5, 4, 3, 2)(10, 14, 13, 12, 11)(18, 6, 8, 20, 16) (17, 19, 7, 9, 15) ta có {1, 2, 3, 4, 5} → {5, 1, 2, 3, 4}, {1, 2, 16, 17, 18} → {5, 1, 18, 19, 6} → {4, 5, 6, 7, 8} ↑ ↓ , (1, 2, 16, 17, 18) ← (2, 3, 20, 15, 16) ← {3, 4, 8, 9, 20} {10, 11, 12, 13, 14} → (14, 10, 11, 12, 13), {7, 8, 9, 10, 11} → {9, 20, 15, 14, 10} → {15, 16, 17, 13, 14} ↑ ↓ {7, 8, 9, 10, 11} ← {19, 6, 7, 11, 12} ← {17, 18, 19, 12, 13} tương ứng ta có hoán vị γ2 = (m1 )(m2 , m6 , m5 , m4 , m3 )(m7 )(m8 , m12 , m11 , m10 , m9 ) 57 , Chương Bài toán tô màu khối đa diện (iii) Với phép hoán vị σ3 = (1, 4, 2, 5, 3)(10, 13, 11, 14, 12)(18, 8, 16, 6, 20) (17, 7, 15, 19, 9) ta có {1, 2, 3, 4, 5} → {4, 5, 1, 2, 3}, {1, 2, 16, 17, 18} → {4, 5, 6, 7, 8} → {2, 3, 20, 15, 16} ↑ , ↓ {1, 2, 16, 17, 18} ← {3, 4, 8, 9, 20} ← {5, 1, 18, 19, 6} {10, 11, 12, 13, 14} → {13, 14, 10, 11, 12}, {7, 8, 9, 10, 11} → {15, 16, 17, 13, 14} → {19, 6, 7, 11, 12} ↑ , ↓ {7, 8, 9, 10, 11} ← {17, 18, 19, 12, 13} ← {9, 20, 15, 14, 10} tương ứng ta có hoán vị γ3 = (m1 )(m2 , m5 , m3 , m6 , m4 )(m7 )(m8 , m11 , m9 , m12 , m10 ) (iv) Với phép hoán vị σ4 = (1, 3, 5, 2, 4)(10, 12, 14, 11, 13)(18, 20, 6, 16, 8) (17, 9, 19, 15, 7) ta có {1, 2, 3, 4, 5} → {3, 4, 5, 1, 2}, {1, 2, 16, 17, 18} → {3, 4, 8, 9, 20} → {5, 1, 18, 19, 6} ↑ , ↓ {1, 2, 16, 17, 18} ← {4, 5, 6, 7, 8} ← {2, 3, 20, 15, 16} {10, 11, 12, 13, 14} → {12, 13, 14, 10, 11}, {7, 8, 9, 10, 11} → {17, 18, 19, 12, 13} → {9, 20, 15, 14, 10} ↑ ↓ , {7, 8, 9, 10, 11} ← {15, 16, 17, 13, 14} ← {19, 6, 7, 11, 12} tương ứng ta có hoán vị γ4 = (m1 )(m2 , m4 , m6 , m3 , m5 )(m7 )(m8 , m10 , m12 , m9 , m11 ) (v) Với phép hoán vị σ5 = (1, 2, 3, 4, 5)(10, 11, 12, 13, 14)(18, 16, 20, 8, 6) (17, 15, 9, 7, 19) ta có {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 3, 4, 5, 1}, 58 Chương Bài toán tô màu khối đa diện {1, 2, 16, 17, 18} → {2, 3, 20, 15, 16} → {3, 4, 8, 9, 20} ↑ ↓ , {1, 2, 16, 17, 18} ← {5, 1, 18, 19, 6} ← {4, 5, 6, 7, 8} {10, 11, 12, 13, 14} → {11, 12, 13, 14, 10}, {7, 8, 9, 10, 11} → {19, 6, 7, 11, 12} → {17, 18, 19, 12, 13} ↑ ↓ {7, 8, 9, 10, 11} ← {9, 20, 15, 14, 10} ← {15, 16, 17, 13, 14} tương ứng ta có hoán vị γ5 = (m1 )(m2 , m3 , m4 , m5 , m6 )(m7 )(m8 , m9 , m10 , m11 , m12 ) (vi) Với phép hoán vị σ6 = (1, 19, 17)(2, 6, 13)(3, 7, 14)(4, 11, 15)(5, 12, 16) (8, 10, 20)(9)(18) ta có {1, 2, 3, 4, 5} → {19, 6, 7, 11, 12} → {17, 13, 14, 15, 16} → {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 16, 17, 18} → {19, 6, 5, 1, 18} → {17, 13, 12, 19, 18} → {1, 2, 16, 17, 18}, {2, 3, 20, 15, 16} → {6, 7, 8, 4, 5} → {13, 14, 10, 11, 12} → {2, 3, 20, 15, 16}, {3, 4, 8, 9, 20} → {7, 11, 10, 9, 8} → {14, 15, 20, 9, 10} → {3, 4, 8, 9, 20} tương ứng ta có hoán vị γ6 = (m1 , m9 , m11 )(m2 , m6 , m10 )(m3 , m5 , m7 )(m4 , m8 , m12 ) (vii) Với phép hoán vị σ7 = (1, 17, 19)(2, 13, 6)(3, 14, 7)(4, 15, 11)(5, 16, 12) (8, 20, 10)(9)(18) ta có {1, 2, 3, 4, 5} → {17, 13, 14, 15, 16} → {19, 6, 7, 11, 12} → {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 16, 17, 18} → {17, 13, 12, 19, 18} → {19, 6, 5, 1, 18} → {1, 2, 16, 17, 18}, {2, 3, 20, 15, 16} → {13, 14, 10, 11, 12} → {6, 7, 8, 4, 5} → {2, 3, 20, 15, 16}, {3, 4, 8, 9, 20} → {14, 15, 20, 9, 10} → {7, 11, 10, 9, 8} → {3, 4, 8, 9, 20} tương ứng ta có hoán vị γ7 = (m1 , m11 , m9 )(m2 , m10 , m6 )(m3 , m7 , m5 )(m4 , m12 , m8 ) 59 Chương Bài toán tô màu khối đa diện (viii) Với phép hoán vị σ8 = (1, 14)(2, 13)(3, 12)(4, 11)(5, 10)(6, 9)(7, 8)(15, 18) (16, 17)(19, 20) ta có {1, 2, 3, 4, 5} → {14, 13, 12, 11, 10} → {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 16, 17, 18} → {14, 13, 17, 16, 15} → {1, 2, 16, 17, 18}, {2, 3, 20, 15, 16} → {13, 12, 19, 18, 17} → {2, 3, 20, 15, 16}, {3, 4, 8, 9, 20} → {12, 11, 7, 6, 19} → {3, 4, 8, 9, 20}, {4, 5, 6, 7, 8} → {11, 10, 9, 8, 7} → {4, 5, 6, 7, 8}, {1, 5, 6, 19, 18} → {14, 10, 9, 20, 15} → {1, 5, 6, 19, 18} tương ứng ta có hoán vị γ8 = (m1 , m7 )(m2 , m11 )(m3 , m10 )(m4 , m9 )(m5 , m8 )(m6 , m12 ) Đa thức số chu trình nhóm tác động lên mặt khối 12 mặt 12 (x1 + 15x62 + 20x43 + 24x21 x25 ) 60 Do đó, theo định lý Polya với k màu cho trước số cách tô màu mặt khối 12 mặt 12 (k + 15k + 20k + 24k ) 60 Bài toán Với k màu cho trước {y1 , y2 , y3 , , yk }, hỏi có cách tô màu phân biệt cạnh khối 12 mặt biết hai cách tô màu coi cách nhận từ cách tô màu nhờ phép quay thuộc GD Giải Khối 12 mặt có 30 cạnh, kí hiệu sau c1 = {1, 2}, c2 = {1, 5}, c3 = {1, 18}, c4 = {2, 3}, c5 = {2, 16}, c6 = {3, 4}, c7 = {3, 20}, c8 = 4, 5, c9 = {4, 8}, c10 = {5, 6}, c11 = {6, 7}, c12 = {6, 19}, c13 = {7, 8}, c14 = {7, 11}, c15 = {8, 9}, c16 = {9, 10}, c17 = {9, 20}, c18 = {10, 11}, c19 = {10, 14}, c20 = {11, 12}, c21 = {12, 13}, c22 = {12, 19}, c23 = {13, 14}, c24 = {13, 17}, c25 = {14, 15}, c26 = {15, 16}, c27 = {15, 20}, c28 = {16, 17}, c29 = {17, 18}, c30 = {18, 19} Chúng ta ký hiệu Z = {c1 , c2 , , c29 , c30 } tập cạnh khối 12 mặt Chúng ta lập bảng xét tác động phần tử σ1 , σ2 , , σ8 nhóm GD lên tập Z” 60 Chương Bài toán tô màu khối đa diện σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 σ7 σ8 {1,2} {1,2} {5,1} {4,5} {3,4} {2,3} {19,6} {17,13} {14,13} {1,5} {1,5} {5,4} {4,3} {3,2} {2,1} {19,12} {17,16} {14,10} {1,18} {1,18} {5,6} {4,8} {3,20} {2,16} {19,18} {17,18} {14,15,} {2,3} {2,3} {1,2} {5,1} {4,5} {3,4} {6,7} {13,14} {13,12} {2,16} {2,16} {1,18} {5,6} {4,8} {3,20} {6,5} {13,12} {13,17} {3,4} {3,4} {2,3} {1,2} {5,1} {4,5} {7,11} {14,15} {12,11} {3,20} {3,20} {2,16} {1,18} {5,6} {4,8} {7,8} {14,10} {12,19} {4,5} {4,5} {3,4} {2,3} {1,2} {5,1} {11,12} {15,16} {11,10} {4,8} {4,8} {3,20} {2,16} {1,18} {5,6} {11,10} {15,20} {11,7} {5, 6} {5,6} {4,8} {3,20} {2,16} {1,18} {12,13} {16,2} {10,9} {6,7} {6,7} {8,9} {20,15} {16,17} {18,19} {13,14} {2,3} {9,8} {6,19} {6,19} {8,7} {20,9} {16,15} {18,17} {13,17} {2,1} {9,20} {7,8} {7,8} {9,20} {15,16} {17,18} {19,6} {14,10} {3,20} {8,7} {7,11} {7,11} {9,10} {15,14} {17,13} {19,12} {14,15} {3,4} {8,4} {8,9} {8,9} {20,15} {16,17} {18,19} {6,7} {10,9} {20,9} {7,6} {9,10} {9,10} {15,14} {17,13} {19,12} {7,11} {9,20} {9,8} {6,5} {9,20} {9,20} {15,16} {17,18} {19,6} {7,8} {9,8} {9,10} {6,19} {10,11} {10,11} {14,10} {13,14} {12,13} {11,12} {20,15} {8,4} {5,4} {10,14} {10,14} {14,13} {13,12} {12,11} {11,10} {20,3} {8,7} {5,1} {11,12} {11,12} {10,11} {14,10} {13,14} {12,13} {15,16} {4,5} {4,3} {12,13} {12,13} {11,12} {10,11} {14,10} {13,14} {16,2} {5,6} {3,2} {12,19} {12,19} {11,7} {10,9} {14,15} {13,17} {16,17} {5,1} {3,20} {13,14} {13,14} {12,13} {11,12} {10,11} {14,10} {2,3} {6,7} {2,1} {13,17} {13,17} {12,19} {11,7} {10,9} {14,15} {2,1} {6,19} {2,16} {14,15} {14,15} {13,17} {12,19} {11,7} {10,9} {3,4} {7,11} {1,18} {15,16} {15,16} {17,18} {19,6} {7,8} {9,20} {4,5} {11,12} {18,17} {15,20} {15,20} {17,16} {19,18} {7,6} {9,8} {4,8} {11,10} {18,19} {16,17} {16,17} {18,19} {6,7} {8,9} {20,15} {5,1} {12,19} {17,16} {17,18} {17,18} {19,6} {7,8} {9,20} {15,16} {1,18} {19,18} {16,15} {18,19} {18,19} {6,7} {8,9} {20,15} {16,17} {18,17} {18,1} {15,20} Bảng 3.4: Bảng tác động nhóm GD tác động lên tập cạnh khối 12 mặt Với ý kí hiệu {i, j} hay {j, i} cạnh khối 12 mặt Ta có (i) Với hoán vị σ1 , cho ta hoán vị tương ứng α1 = (c1 )(c2 ) (c29 )(c30 ) 61 Chương Bài toán tô màu khối đa diện (ii) Với hoán vị σ2 , cho ta hoán vị tương ứng α2 =( c1 , c2 , c8 , c6 , c4 )(c3 , c10 , c9 , c7 , c5 )(c11 , c15 , c27 , c28 , c30 ) (c12 , c13 , c17 , c26 , c29 )(c14 , c16 , c25 , c24 , c22 )(c18 , c19 , c23 , c21 , c20 ) (iii) Với hoán vị σ3 , cho ta hoán vị tương ứng α3 = (c1 , c8 , c4 , c2 , c6 )(c3 , c9 , c5 , c10 , c7 )(c11 , c27 , c30 , c15 , c28 ) (c12 , c17 , c29 , c13 , c26 )(c14 , c25 , c22 , c16 , c24 )(c18 , c23 , c20 , c19 , c21 ) (iv) Với hoán vị σ4 , cho ta hoán vị tương ứng α4 = (c1 , c6 , c2 , c4 , c8 )(c3 , c7 , c10 , c5 , c9 )(c11 , c28 , c15 , c30 , c27 ) (c12 , c26 , c13 , c29 , c17 )(c14 , c24 , c16 , c22 , c25 )(c18 , c21 , c19 , c20 , c23 ) (v) Với hoán vị σ5 , cho ta hoán vị tương ứng α5 = (c1 , c4 , c6 , c8 , c2 )(c3 , c5 , c7 , c9 , c10 )(c11 , c30 , c28 , c27 , c15 ) (c12 , c29 , c26 , c17 , c13 )(c14 , c22 , c24 , c25 , c16 )(c18 , c20 , c21 , c23 , c19 ) (vi) Với hoán vị σ6 , cho ta hoán vị tương ứng α6 = (c1 , c12 , c24 )(c2 , c22 , c28 )(c3 , c30 , c29 )(c4 , c11 , c23 )(c5 , c10 , c21 ) (c6 , c14 , c25 )(c7 , c13 , c19 )(c8 , c20 , c26 )(c9 , c18 , c27 )(c15 , c16 , c17 ) (vii) Với hoán vị σ7 , cho ta hoán vị tương ứng α7 = (c1 , c24 , c12 )(c2 , c28 , c22 )(c3 , c29 , c30 )(c4 , c23 , c11 )(c5 , c21 , c10 ) (c6 , c25 , c14 )(c7 , c19 , c13 )(c8 , c26 , c20 )(c9 , c27 , c18 )(c15 , c17 , c16 ) (viii) Với hoán vị σ8 , cho ta hoán vị tương ứng α8 = (c1 , c23 )(c2 , c19 )(c3 , c25 )(c4 , c21 )(c5 , c24 )(c6 , c20 )(c7 , c22 )(c8 , c18 ) (c9 , c14 )(c10 , c16 )(c11 , c15 )(c12 , c17 )(c13 )(c26 , c29 )(c27 , c30 )(c28 ) Đa thức số chu trình nhóm tác động lên cạnh khối 12 mặt 30 10 (x1 + 24x65 + 15x21 x14 + 20x3 ) 60 Do đó, theo định lý Polya với k màu cho trước số cách tô màu cạnh khối 12 mặt 30 (k + 24k + 15k 16 + 20k 10 ) 60 62 Chương Bài toán tô màu khối đa diện 3.2.5 Nhóm phép quay khối 20 mặt toán tô màu khối 20 mặt Ta xét ba toán tô màu mặt, đỉnh, cạnh khối 20 mặt Do tính chất hai khối 12 mặt 20 mặt hai khối đối ngẫu nên ta có (i) Số cách tô màu đỉnh khối 12 mặt số cách tô màu mặt khối 20 mặt (ii) Số cách tô màu mặt khối 12 mặt số cách tô màu đỉnh khối 20 mặt (iii) Số cách tô màu cạnh khối 12 mặt số cách tô màu cạnh khối 20 mặt Vì vậy, ta có kết cho toán tô màu đỉnh, cạnh, mặt khối 20 mặt sau (i) Với k màu cho trước số cách tô màu đỉnh khối 20 mặt 12 (k + 24k + 15k + 20k ) 60 (ii) Với k màu cho trước số cách tô màu cạnh khối 20 mặt 30 (k + 24k + 15k 16 + 20k 10 ) 60 (iii) Với k màu cho trước số cách tô màu mặt khối 20 mặt 20 (k + 15k 10 + 24k + 20k ) 60 Mục quan trọng toán tô màu khối đa diện việc tìm đa thức số chu trình nhóm tác động Từ đó, áp dụng định lý đếm Polya, toán tô màu khối đa diện giải Chúng ta tham khảo số toán sau: Có cách sơn mặt hình lập phương màu với điều kiện mặt sơn màu hai cách sơn sai khác phép xoay hình lập phương, màu sơn mặt khác 63 Chương Bài toán tô màu khối đa diện Với hai màu đen trắng, có cách tô màu phân biệt mặt tứ diện với mặt tô màu trắng mặt tô màu đen Có cách tô màu phân biệt để tô mặt hình lập phương với mặt trắng, mặt đen mặt đỏ Có cách tô màu mặt khối 20 mặt với màu đen 16 màu trắng Có cách tô màu mặt khối 12 mặt với mặt tô màu đen, mặt tô màu trắng mặt tô màu xanh Với hai màu đen trắng ta tô màu mặt khối 12 mặt Hỏi có cách tô màu phân biệt để có mặt tô màu đen mặt tô màu trắng Biết hai cách tô màu tương đương sai khác phép xoay hình 64 Kết luận Trong luận văn tác giả trình bày hoàn thiện toán tô màu đỉnh, mặt, cạnh khối đa diện Cụ thể, luận văn thu kết sau: Tìm hiểu định lý đếm Polya để trả lời cho toán " Với k màu phân biệt cho trước, tìm số cách tô màu đỉnh, mặt, cạnh khối đa diện Hai cách tô màu tương đương, cách nhận từ cách phép xoay khối đa diện đều" Kết toán tóm tắt bảng 3.5: Tìm hiểu định lý đếm Polya tổng quát để có câu trả lời cho toán yêu cầu cụ thể số cách tô màu 65 Chương Bài toán tô màu khối đa diện Tô màu đỉnh khối tứ diện Tô màu mặt khối tứ diện Tô màu cạnh khối tứ diện Tô màu đỉnh khối lập phương Tô màu mặt khối lập phương Tô màu cạnh khối lập phương Tô màu đỉnh khối mặt Tô màu mặt khối mặt Tô màu cạnh khối mặt Tô màu đỉnh khối 12 mặt Tô màu mặt khối 12 mặt Tô màu cạnh khối 12 mặt Tô màu đỉnh khối 20 mặt Tô màu mặt khối 20 mặt Tô màu cạnh khối 20 mặt (k + 11k ) 12 (k + 11k ) 12 (k + 8k + 3k ) 12 (k + 17k + 6k ) 24 (k + 3k + 6k + 6k + 8k ) 24 12 (k + 3k + 6k + 6k + 8k ) 24 (k + 3k + 12k + 8k ) 24 (6k + 17k + k ) 24 12 (k + 3k + 6k + 6k + 8k ) 24 20 (k + 15k 10 + 20k + 24k ) 60 12 (k + 15k + 20k + 24k ) 60 30 (k + 24k + 15k 16 + 20k 10 ) 60 12 (k + 24k + 15k + 20k ) 60 20 (k + 15k 10 + 24k + 20k ) 60 30 (k + 24k + 15k 16 + 20k 10 ) 60 Bảng 3.5 Bảng tổng kết số cách tô màu đỉnh, mặt, cạnh khối đa diện 66 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, "Đại số đại cương", NXB Giáo dục, 1998 [2] Lê Viết Hòa- Lê Đức Ánh, "Lí thuyết biểu diễn nhóm ứng dụng vật lí", Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2013 [3] Nguyễn Tuyết Nga, "Ứng dụng lí thuyết nhóm số toán sơ cấp", Luận văn thạc sĩ toán học, Thái nguyên 2009 [4] Đoàn Quỳnh, "Tài liệu chuyên toán hình học 12", NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [5] Ngô Đắc Tân, "Lý thuyết tổ hợp đồ thị", NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2004 [6] Ngô Việt Trung, "Giáo trình đại số tuyến tính", NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 [7] Kristen Walcott, "Application and Analysis of Burnside’s theorem", 2004 67