Chuyên đề môn toán ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH và góc vào một số bài TOÁN HÌNH học tọa độ PHẲNG

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC VÀO MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG A/ PHẦN MỞ ĐẦU I/ Tác giả viết chuyên đề - Giáo viên: Nguyễn Huy Nguyện Tổ: Toán – Tin Trường THPT Yên Lạc Mail: nguyenmathyl2.vinhphuc@gmail.com II/ Lý chọn đề tài - - - Trong đề thi ĐH – CĐ xuất toán tọa độ phẳng, vài năm gần toán gây cho học sinh nhiều khó khăn độ khó Để giải tốn ngồi việc học sinh cần nắm vững kiến thức phương pháp giải học sinh cịn phải có kiến thức hình học phẳng hệ thức lượng tam giác, tam giác vng, kiến thức tam giác, hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang… Trong trình giảng dạy làm đề thi thấy xuất nhiều tốn hình học tọa độ phẳng cần tính góc, khoảng cách sử dụng cơng thức tính góc khoảng cách để giải tốn Thơng thường giả thiết góc khoảng cách ẩn bên hình vẽ Chính lý nên viết chuyên đề nhằm mục đích có thêm tài liệu phục vụ cho việc giảng dạy làm tài liệu cho học sinh ơn tập III/ Mục đích - Chun đề nhằm mục đích củng cố lại cho học sinh kiến thức góc khoảng cách tốn tọa độ phẳng Sử dụng kiến thức vào giải toán từ đến nâng cao Các tập chuyên đề nhằm mục đích phát triển tư tốn học cho học sinh Chuyên đề tài liệu cho giáo viên tham khảo giảng dạy, giúp học sinh tự ôn tập IV/ Phạm vi nghiên cứu sử dụng Trang 1/ Phạm vi nghiên cứu Trong chuyên đề nghiên cứu tốn tọa độ phẳng có sử dụng cơng thức góc khoảng cách, cách tư số toán để đưa dạng 2/ Phạm vi sử dụng Chuyên đề sử dụng cho học sinh THPT từ lớp 10 đến lớp 12 Đặc biệt học sinh ôn thi đại học – cao đẳng B/ NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CƠNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I/ Kiến thức áp dụng 1/ Cơng thức tính khoảng cách: */ Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng d ( M ; ∆) = ∆ ax + by + c = : là: ax0 + by0 + c a + b2 ∆1 ∆2 */ Khoảng cách hai đường thẳng song song với khoảng cách từ điểm M thuộc đường thẳng đến đường thẳng d ( ∆1 ; ∆ ) = d ( M ; ∆ ) = d ( N ; ∆1 ) M ∈∆1 N ∈ ∆ (với ; ) 2/ Cơng thức tính góc: */ Góc hai đường thẳng uu r n2 ( a2 ; b2 ) ∆1 ∆2 có véctơ pháp tuyến ur uu r cos ( ∆1 ; ∆ ) = cos n1 ; n2 = ( ) */ Chú ý: góc hai đường thẳng thuộc  π 0;  3/ Hệ thức lượng tam giác */ Trong tam giác vuông: Trang a1.a2 + b1.b2 a12 + b12 a2 + b22 ur n1 ( a1; b1 ) - Định lý pitago: Tam giác ABC vng A ta có: BC = AB + AC - Các công thức tính sin, cosin, tang, cotang tam giác vng */ Trong tam giác bất kỳ: ABC Định lý cosin tam giác cos ∠A = : AB + AC − BC 2 AB AC II/ Một số tập áp dụng 1/ Bài tập Ta xét hai tập sau: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng B ( −2; ) đến đường thẳng ∆ ∆ A ( 1;1) qua khoảng cách từ điểm Lời giải: Gọi r r n ( a; b ) ≠ véctơ pháp tuyến đường thẳng Do đường thẳng ∆ qua A ( 1;1) nên phương trình ∆ ∆ có dạng: a ( x − 1) + b( y − 1) = ⇔ ax + by − a − b = (1) Theo đề ta có: d ( B; ∆ ) = ⇔ −2a + 2b − a − b a + b2 = ⇔ ( −3a + b ) = 5a + 5b ⇔ 2a − 3ab − 2b =  a = 2b ⇔ a = − b  Với a = 2b chọn a = ⇒ b =1 phương trình đường thẳng ∆ là: 2x + y − = Với a=− b chọn a = ⇒ b = −2 phương trình đường thẳng x − 2y +1 = Trang ∆ là: ∆ Vậy có đường thẳng thỏa mãn đề ∆1 : x + y − = Bài 2: Viết phương trình đường thẳng ∆2 : x + y − = 450 thẳng góc ∆2 : x − y + = ∆1 qua điểm A ( −2;0 ) tạo với đường Lời giải: Gọi ur r n1 ( a; b ) ≠ vectơ pháp tuyến đường thẳng Một véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆2 ∆1 uur n2 ( 1;3) Theo đề ta có: ur uu r cos ( ∆1 ; ∆ ) = cos 450 ⇔ cos n1 ; n2 = ( ⇔ ( a + 3b ) = ( a + b Với Với a = 2b chọn a=− b chọn ) ) ⇔ a + 3b a + b 10 2 = ⇔ a + 3b = a + b 2  a = 2b ⇔ 2a − 3ab − 2b = ⇔  a = − b  2 a = ⇒ b =1 phương trình đường thẳng a = ⇒ b = −2 ∆1 phương trình đường thẳng là: ∆1 2x + y + = là: x − 2y + = Trên hai tốn viết phương trình đường thẳng liên quan tới khoảng cách từ điểm đến đường thẳng góc hai đường r r n ( a; b ) ≠ thẳng Cách giải loại tập ta gọi véctơ pháp tuyến đường thẳng cần viết phương trình Sau dựa vào đề để tìm liên hệ a b từ chọn véctơ pháp tuyến đường thẳng viết phương trình đường thẳng Dưới tơi xin trình bày số tập phức tạp đưa phương pháp hai toán để giải Trang Bài tập liên quan đến góc hai đường thẳng ABC Oxy BC Bài 1: hệ trục tọa độ , cho tam giác cân có đáy nằm d1 2x − y +1 = AB đường thẳng có phương trình là: , cạnh bên nằm đường d2 12 x − y − 23 = AC thẳng có phương trình là: Viết phương trình cạnh biết AC qua điểm M ( 3,1) */ Phân tích: Ta thấy tam giác ABC cân A ∠ABC = ∠ACB nên mà góc ∠ABC = ( d1 ; d ) AC Như ta hồn tồn viết phương trình đường thẳng qua M ( 3;1) d1 tạo với góc xác định Như tốn giải Lời giải: Ta có: d1 uur n2 ( 12; −1) Do có véc tơ pháp tuyến là: cos ∠ABC = cos ( d1; d ) = ∆ABC cân A ur n1 ( 2; −5 ) d , có véc tơ pháp tuyến 5 cos ( AC ; BC ) = cos ∠ACB = cos ∠ABC = nên ta có Trang 5 Gọi r r n ( a; b ) ≠ vtpt đường thẳng cos ( AC ; BC ) = Ta có a= b Với chọn a = −12b Với phương trình đường thẳng a = 12 ⇒ b = −1 (loại  a= b  2a − 5b ⇔ = ⇔ 9a + 100ab − 96b =  2  a = −12b 29 a + b a =8⇒b =9 chọn 12 x − y − 35 = ⇔ AC AC / / AB AC là: phương trình đường thẳng x + y − 33 = AC là: ) Vậy có phương trình đường thẳng AC thỏa mãn ycbt là: x + y − 33 = Bài (Đại học khối A, A1 năm 2012): Trong mặt phẳng tọa độ cạnh BC N , Oxy , cho hình vng điểm cạnh CD cho đường thẳng AN có phương trình là: ABCD Gọi CN = ND 2x − y − = M trung điểm Giả sử  11  M ; ÷  2 Tìm tọa độ đỉnh A */ Phân tích: Đây đề thi đại học khối A năm 2012, tốn khó với học sinh Khi giải học sinh khó phát kiện để tìm tọa độ điểm A Trong đáp án Bộ GD&ĐT có trình bày cách giải sau: Gọi H giao điểm AB cắt AD AN BC BD P Kẻ đường thẳng qua Q Trang H song song với HP = x Đặt QC = x Ta có PD = x, AP = x, HQ = x suy nên Hơn ta có MQ = x ∆AHP = ∆HMQ suy AH ⊥ HM AH = HM AM = MH = 2d ( M ;( AN ) ) = Do Do 10 A ∈ AN ⇒ A ( t ; 2t − 3) AM = Vậy 2 t = 10 7 45  11   ⇔  t − ÷ +  2t − ÷ = ⇔ t − 5t + = ⇔  2  2  t = A ( 1; −1) A ( 4;5 ) */ Nhận xét: Với cách giải ta thấy việc xác định AH = HM AM = 10 AH ⊥ HM khó khăn học sinh Với toán ta viết phương trình đường thẳng tìm tọa độ điểm A trở lên đơn giản AM việc ta cần xác định góc xong cách dựa vào định lý cosin tam giác Trang AM A = AM ∩ AN Để viết phương trình đường thẳng ∠MAN , ∆AMN Với ý tưởng tơi xin trình bày cách giải khác sau: Gọi cạnh hình vng DN = ta có: BC x = 2 CN = , Từ ta suy Xét tam giác AMN r r n ( a; b ) ≠ 5x ta có: AM = , , x AN = , x 10 MA2 + NA2 − MN 2 cos ∠MAN = = 2MA.NA véctơ pháp tuyến đường thẳng AM cos ( AM ; AN ) = cos ∠MAN = Ta có ⇔ 2a − b a + b 2 = ⇔ 3a − 8ab − 3b =  a = 3b ⇔ a = − b  Với 2x x MN = Gọi x BM = MC = a = 3b chọn a = 3⇒ b =1 phương trình đường thẳng AM là: x + y − 17 = Trang Suy tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: 3x + y − 17 =  x = ⇔ ⇒ A ( 4;5)  2 x − y − = y = Với a=− b chọn Vậy có hai điểm a = ⇒ b = −3 A làm tương tự ta có thỏa mãn điều kiện đề A ( 1; −1) A ( 4;5 ) */ Nhận xét: Với hai cách giải ta thấy việc tính góc so với việc chứng minh AH ⊥ HM , AH = HM ∠MAN AM = A ( 1; −1) 10 đễ dàng Bài 3: (Trích đề thi thử đại học khối A, A1 lần nhóm Vĩnh Phúc năm học 2013 – 2014) Trong hệ trục tọa độ thẳng chứa cạnh BD Oxy , cho hình chữ nhật AB : x − y − = x − y + 14 = ABCD Có phương trình đường , phương trình đường thẳng chứa đường chéo , đường thẳng hình chữ nhật AC qua điểm M ( 2;1) Tìm tọa độ đỉnh */ Phân tích: Với tốn ta viết phương trình đường thẳng tốn giải Ta thấy: ∠BAC = ∠ABD = ϕ = ( AB, BD ) Trang AC (AB) có vtpt ur n1 = ( 1; −2 ) , (BD) có vtpt uu r n2 = ( 1; −7 ) uu r uu r n1.n2 + 14 15 ⇒ cosϕ = ur uu = = r = 50 10 10 n1 n2 Như phương trình đường thẳng AC hồn tồn viết Lời giải: Gọi ϕ góc hai đường thẳng Ta có (AB) có vtpt ur n1 = ( 1; −2 ) AB BD , (BD) có vtpt uu r n2 = ( 1; −7 ) uu r uu r n1.n2 + 14 15 ⇒ cosϕ = ur uu = = r = 50 10 10 n1 n2 ( AC; BD ) = ∠ABD = ( AB, BD ) = ϕ ⇒ cos ( AC,AB ) = Mà: Gọi r r n ( a; b ) ≠ véctơ pháp tuyến đường thẳng 10 AC  a = −b 2 cos ( AC,BD ) = = ⇔ a + 8ab + b = ⇔  2 a = − b 10 a +b  a-2b Ta có:  a = −b ⇔ a = − b  Với a = −b Ta có Suy chọn a = ⇒ b = −1 A = AB ∩ AC ⇒ A ( 1; ) C ( 6;5 ) , phương trình đường thẳng B = AB ∩ BD ⇒ B ( 7;3) D ( 0; ) Trang 10 , AC là: x − y −1 = 7 5 I = AC ∩ BD ⇒ I  ; ÷ 2 2 Với a=− b AC / / BD chọn a = ⇒ b = −7 AC phương trình x − y + 12 = là: (loại ) Vậy đỉnh hình chữ nhật là: A ( 1;0 ) B ( 7;3 ) C ( 6;5 ) , */ Nhận xét: Trên tơi vẽ hình với trường hợp ngược lại AB < AD , AB > AD ∠BAC = ∠ABD = ϕ = ( AB, BD ) D ( 0; ) trường hợp Bài (Trích Đề thi thử đại học khối A; A1 lần nhóm tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013 – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ AB = AD B, C , D Oxy , cho hình chữ nhật Phương trình đường thẳng biết điểm D ABCD BD : x + y + = có đỉnh A ( 1;1) Tìm tọa độ điểm có hồnh độ khơng âm Lời giải từ đáp án đề thi: d ( A; BD ) = Ta có Gọi H + 3+ + 32 =2 hình chiếu vng góc A 1 + = ⇔ = ⇒ AD = 2 2 AD AB AH AD Gọi  −4 m −  D  m; ÷∈ BD, m ≥   ⇔ 25m + 30m = ⇔ m = Xét ∆ABD AB = AD có: ) Ta có: m=− Với ( BD  −4 m −  AD = ⇔ ( m − 1) +  − 1÷ =   (loại) m = ⇒ D ( 0; −1) Đường thẳng AB qua A có véctơ pháp tuyến Trang 11 uuur AD ( −1; −2 ) Phương trình AB : x + y − = { hệ: I Gọi Vậy, { tọa độ ( x; y ) B thỏa mãn x + 2y −3 = x = −3 ⇔ ⇒ B ( −3;3) 4x + 3y + = y=3 trung điểm ⇒ C ( −4;1) { B} = AB ∩ BD ⇒  −3  BD ⇒ I  ;1÷   B ( −3;3) , C ( −4;1) , D ( 0; −1) Mà I AC trung điểm */ Phân tích: - Với lời giải tơi nghĩ để dựng thêm điểm H sử dụng hệ thức lượng 1 + = 2 AD AB AH tam giác vng ABD để tính AD khó khăn học sinh Vì tơi có hướng giải khác sau: Do đỉnh A biết tọa độ nên nghĩ đến việc viết phương trình đường thẳng AD Nếu tìm góc hai đường thẳng trình đường thẳng AD Theo giả thiết ta thấy cos ∠ADB = AD BD viết phương AB = AD mà tam giác ABD vuông A Nên ta tính ta viết phương trình đường thẳng tìm tọa độ điểm D Từ ta tìm đỉnh lại Trang 12 AD từ Lời giải: ABD Xét tam giác vuông cos ( DA; DB ) = Suy Gọi r r n ( a; b ) ≠ véctơ pháp tuyến đường thẳng Ta có a = −2b Suy AD  a = −2b = ⇔ a = − b 25 a + b  11 4a + 3b a = ⇒ b = −1 ⇒ chọn D ( 0; −1) nên ta có cos ( DA; DB ) = ⇔ Với AB = AD cos ∠ADB = phương trình đường thẳng AD : x − y − = thỏa mãn Các điểm lại làm lời giải a=− Với Suy b 11 chọn  3 D− ; ÷  5 a = ⇒ b = −11 ⇒ loại D Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Phương trình đường thẳng BC AD : x − 11 y + = có hồnh độ khơng âm Oxy AD CD = BC = AB cạnh có tung độ dương phương trình đường thẳn , cho hình thang là: 2x + y + = ABCD , điểm vuông M ( 2,5 ) A D trung điểm Tìm tọa độ đỉnh hình thang biết điểm Trang 13 A AD */ Phân tích: Do đề cho phương trình đường thẳng tọa độ điểm M nên ta bám vào hai giả thiết để viết phương trình đường thẳng có liên quan Nếu ta gọi phương trình đường thẳng CD = BC = AB MN nên gọi N trung điểm AD tìm tọa độ điểm E trung điểm DC ta viết N Do giả thiết cho ∆BEC ∠BCE = 45 = ∠BMN suy từ ta viết phương trình tọa độ đỉnh hình thang vng cân BC ta tìm Lời giải: Gọi Gọi N, E F trung điểm giao điểm AD Ta có Gọi vng cân r r n ( a; b ) ≠ Với MN MN / / DC DC là: nên x − y + = ⇒ N ( −4; ) ∠BCE = 450 = ∠BMN véctơ pháp tuyến đường thẳng BC  a = −3b cos ( MN ; BC ) = cos 45 ⇔ = ⇔ 2 a = b a + b  Ta có: BC Ta có phương trình đường thẳng ∆BEC AD a = −3b chọn a = ⇒ b = −1 a − 2b phương trình Trang 14 BC 3x − y − = ⇒ F ( −1; −4 ) Gọi Với A ( x0 ; −2 x0 − ) a= b ⇒ F ( −7;8 ) chọn ta có a =1⇒ b = D ( −3;0 ) ⇒ B ( −1;6 ) ⇒ C ( 5; ) A ( −5; ) , loại điểm phương trình đường thẳng làm tương tự ta có Từ ta có Vậy: uuu r uuur FA = AN ⇒ A ( −3;0 ) A ( −5; ) A BC có tung độ dương x + y − 17 = , phương trình đường thẳng AB x − y + 13 = B ( −1;6 ) C ( 5; ) , , D ( −3; ) 2/ Bài tập liên quan đến khoảng cách Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 2) cắt đường trịn (C) có phương trình dây cung có độ dài Lời giải : Giả sử véctơ pháp tuyến có phương trình: d r r n (a ; b ) ≠ , d ( x − 2)2 + ( y + 1) = 25 qua điểm A ( 1; ) theo nên ax + by – a – 2b = d Vì cắt (C) theo dây cung có độ dài nên khoảng cách từ tâm (C) đến d Trang 15 I ( 2; –1) d d ( I,d ) = Với 2a − b − a − 2b a=0 a +b chọn b =1 a=− b = ⇔ a − 3b = a + b a = ⇔ 8a + 6ab = ⇔  a = − b  suy phương trình đường thẳng d:y–2=0 d : 3x − y + = a = ⇒ b = −4 Với chọn phương trình đường thẳng Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) nội tiếp hình vng ABCD có phương trình: ( x − 2) + ( y − 3) = 10 Xác định tọa độ đỉnh hình M ( −3; −2 ) vuông biết đường thẳng chứa cạnh AB qua điểm hồnh độ dương điểm A có */ Phân tích: Do đường trịn ( C) nội tiếp hình vng nên cạnh AB tiếp xúc với đường tròn, I suy d ( I ; AB ) = R với tâm đường trịn Như ta hồn tồn viết phương trình đường thẳng AB Từ suy tọa độ đỉnh hình vng Lời giải: Gọi r r n ( a, b ) ≠ véctơ pháp tuyến đường thẳng Phương trình đường thẳng Đường trịn (C) có tâm AB I ( 2;3) có dạng: AB ax + by + 3a + 2b = bán kính Trang 16 R = 10 Do ( C) 2a + 3b + 3a + 2b a + b2 Với Gọi a = −3b Với Gọi nên d ( I ; AB ) = R a = ⇒ b = −1 (với t >0 phương trình đường thẳng IA2 = 2.R = 20 ) ta có b = −3a chọn A ( 3t + 3; t ) Từ suy a = ⇒ b = −3 (với t > −1 loại t >0 phương trình đường thẳng ) ta có AB : 3x − y + = nên t = + ( 3t + ) = 20 ⇔ 10t + 20t + 20 = 20 ⇒  t = −2 + 3t ) Suy ( AB : x − y − = IA2 = 2.R = 20 + ( t − 3) = 20 ⇔ 10t +10 = 20 ⇒ t = A(6;1); B(0; −1); C ( −2;5); D(4;7) Vậy điểm cần tìm A(6;1); B(0; −1); C ( −2;5); D(4; 7) Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ thẳng chứa cạnh hay  a = −3b = 10 ⇔ 10(a + b ) = 25(a + b) ⇔ (a + 3b)(3a + b) = ⇔  b = −3a chọn A ( t ;3t + ) ( t − 2) AB tiếp xúc với x − y +1 = AB là: Oxy x − 2y + = cho hình thoi ABCD , có phương trình đường , phương trình đường thẳng chứa cạnh Viết phương trình đường thẳng M ( −3;3) ∈ AD N ( −1; ) ∈ BC */ Phân tích: Trang 17 AD BC , biết CD Do Do AD / / BC ABCD d ( AB, CD ) nên ta cần viết phương trình đường hình thoi nên ta có d ( AB, CD ) = d ( M ; BC ) mà khoảng cách ta xác định Như toán giải Lời giải: Lấy điểm Do Gọi ABCD Với ta có d ( AB, CD ) = d ( M ; BC ) = hình thoi nên ta có r r n ( a; b ) ≠ dạng: Do K ( −5;0 ) ∈ AB d ( AB; CD ) = d ( K ; CD ) = véctơ pháp tuyến BC phương trình BC có a ( x + 1) + b ( y − ) = ⇔ ax + by + a − 4b =  a= b  −2 a − b 4 d ( M ; BC ) = ⇔ = ⇔ 4a + 20ab − 11b = ⇔  2 5 a +b  a = − 11 b  a= b chọn a =1⇒ b = trình đường thẳng phương trình BC là: AD : x + y − = Trang 18 x + 2y − = suy phương a=− Với 11 b chọn phương trình a = 11 ⇒ b = −2 BC phương trình AD :11x − y + 39 = , , 11x − y + 19 = suy Bài 4: Viết phương trình cạnh hình vng BC CD DA là: qua điểm M ( 2;1) , ABCD N ( 0;1) ; biết cạnh P ( 3;5 ) Q ( −3; −1) ; AB , */ Phân tích: d ( AB; CD ) = d ( AD; BC ) Do đề cho hình vng nên ta có mà tất cạnh qua điểm cho trước nên ta nghĩ đế sử dụng khoảng cách để viết phương trình cạnh hình vng, cạnh cịn lại ta viết phương trình dựa vào quan hệ vng góc song song Lời giải: Gọi r r n1 ( a; b ) ≠ tuyến véctơ pháp tuyến Phương trình Do suy véctơ pháp BC Phương trình ABCD AB r r n2 ( b; − a ) ≠ AB BC có dạng: có dạng: ax + by − 2a − b = bx − ay + a = hình vng nên ta có d ( AB; CD ) = d ( AD; BC ) ⇔ d ( P; AB ) = d ( Q; BC ) Trang 19 a + 4b = a + b2  a = 7b ⇔ 2 a = − b b +a  −3b + 2a Suy ra: Với a = 7b a = ⇒ b =1 chọn phương trình AB : x + y − 15 = BC : x − y + = AD : x − y − = CD : x + y − 26 = , Với a=− b , a = ⇒ b = −3 chọn phương trình AB : x − y + = BC : 3x + y − = AD : x + y + 10 = CD : x − y + 12 = , , , , Bài 5: (Trích đề thi thử đại học khối A, A1 lần tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013 – 2014) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ AM trung tuyến điểm đoạn phía với A , điểm AM B , điểm Oxy cho tam giác thuộc đường thẳng D ( −1; −7 ) so với đường thẳng BC ABC x+ y+6=0 có điểm Điểm N ( 0;1) không nằm đường thẳng đồng thời khoảng cách từ Xác định tọa độ điểm C ( 5;1) A AM D , trung khác tới BC A, B */ Phân tích: Với giả thiết BC qua d ( A; BC ) = d ( D; BC ) C ( 5;1) trung điểm ta nghĩ đến viết phương trình đường thẳng tọa độ điểm AM nên ta có A lại chưa biết Theo đề d ( A; BC ) = 2d ( N ; BC ) từ ta viết phương trình BC Trang 20 d ( D; BC ) = 2d ( N ; BC ) từ ta suy tọa độ điểm toán giải N ( 0;1) B⇒M ⇒ A Lời giải: r r n ( a; b ) ≠ Gọi BC Do N véctơ pháp tuyến đường thẳng có dạng: ax + by − 5a − b = trung điểm Mà theo giả thiết AM Với a = 2b Suy Với Suy Vậy nên ta có d ( A; BC ) = 2d ( N ; BC ) suy −5a a = ⇒ b =1 phương trình B ( 17; −23) ⇒ M ( 11; −11) ⇒ A ( −11;13) chọn a = ⇒ b = −2 B ( −3; −3) BC loại phương trình B ( −3; −3) ⇒ M ( 1; −1) ⇒ A ( −1;3 ) A ( −1;3 ) d ( D; BC ) = 2d ( N ; BC )  a = 2b = ⇔ a = − b a2 + b2 a + b2  chọn a=− b phương trình d ( A; BC ) = d ( D; BC ) −6a − 8b Do ta có: BC x + y − 11 = là: A BC D là: thỏa mãn điều kiện phía BC x − 2y − = A, D khác phía với BC Bài 6: (trích đề thi thử đại học khối B lần Vĩnh Phúc năm học 2013 – 2014) Trang 21 Oxy Trong mặt phẳng với hệ tọa độ đường thẳng d : x − y − = 0, ABCD , cho hình vng đường thẳng có đỉnh A thuộc M (4;0), BC qua điểm đường thẳng N (0;2) AMN A CD qua điểm Biết tam giác cân , viết phương trình đường thẳng BC */ Phân tích: M d A B D N A Với toán ta tìm điểm dựa vào đặc điểm hình vng C Để viết phương trình BC ⊥ DC d ( A; BC ) = d ( A; DC ) BC Lời giải: Giả sử A ( t; t − ) ∈ d , tam giác AMN cân đỉnh A nên AM = AN ⇔ AM = AN ⇔ ( t − ) + ( t − ) = t + ( t − ) ⇔ t = −1 ⇒ A ( −1; −5 ) Gọi r r n ( a; b ) ≠ ur n ' ( b; −a ) 2 véctơ pháp tuyến đường thẳng véctơ pháp tuyến Phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng BC DC DC có dạng: có dạng: BC Do ta có: ax + by − 4a = bx − ay + 2a = Trang 22 BC ⊥ DC nên ta ABCD Do hình vuông nên khoảng cách −5a − 5b ⇔ Với Với 3a + b = ⇔ a + b2  a − 3b = 7a − b = a + b2 3a + b = a − 3b = d ( A, BC ) = d ( A, CD ) , chọn , chọn a = ⇒ b = −3 ⇒ a = ⇒b = 1⇒ phương trình phương trình Vậy có hai phương trình đường thẳng BC : x − y − = BC : x − y − = BC BC : 3x + y − 12 = thỏa mãn điều kiện toán là: BC : 3x + y − 12 = III/ Bài tập tương tự Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục giác đỉnh ABC A, C biết B ( 2; −1) Oxy , viết phương trình cạnh tam , đường cao đường phân giác qua có phương trình là: x − y + 27 = Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ∆ : 2x + 3y + = góc 450 Tìm tọa độ điểm B∈∆ Oxy cho x + 2y −5 = A ( 1;1) đường thẳng cho đường thẳng AB hợp với ∆ Bài 3: (Trích đề thi đại học khối B năm 2002) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 1  I  ;0÷ 2  Oxy cho hình chữ nhật Biết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB = AD A Oxy thuộc cạnh AC đỉnh tam giác , điểm ABC M ( 2; −3) thuộc Trang 23 AB có tâm x − 2y + = A , cho tam giác Biết cạnh huyền nằm đường thẳng N ( 7;7 ) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết điểm Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ AB ABCD có hồnh độ âm ABC d : x + y − 31 = nằm ngồi vng cân , điểm AB Tìm tọa độ Bài (trích đề thi thử đại học khối A, A1 nhóm lần tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013 – 2014) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình x − y −1 = x − y + 14 = đường thẳng AB, BD ; đường thẳng AC qua điểm M(2;1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Bài (trích đề thi thử đại học khối A, A1 nhóm lần tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013 – 2014) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ đường thẳng qua O d2 : 2x − y − = cắt d1 , d Oxy cắt tại A, B , cho đường thẳng I d1 : x + y − = Viết phương trình đường thẳng cho 2IA = IB d Bài 7: (Trích đề thi thử đại học khối A, A1 nhóm lần Vĩnh phúc năm học 2013 – 2014) Trong hệ trục tọa độ thẳng chứa cạnh Oxy , cho hình chữ nhật AB : x − y − = , đường thẳng hình chữ nhật AC qua điểm Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ tai A ( 2;1) M ( −3; ) BC thuộc đoạn cạnh nằm đường thẳng cịn lại hình vng PF + y − 6x + y + = tới ( C) với E, F BC = BM Oxy điểm P ( 1;3) Oxy M ( 2;1) Tìm tọa độ đỉnh , Cho tam giác ABC vuông cân Tìm tọa độ đỉnh , cho hình vng tâm ( ∆) : x − 2y − = Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ( C) : x Oxy cho Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ có phương trình đường , phương trình đường thẳng chứa đường chéo x − y + 14 = BD ABCD B, C I(2;3) , có Viết phương trình cạnh , cho đường trịn Viết phương trình tiếp tuyến tiếp điểm Tính diện tích tam giác Trang 24 PEF PE Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ (C ) : x + y – x – y + = Oxy , cho hai đường tròn (C ') : x + y + x – = Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ( C) : x qua M + y + 4x − y + = cắt lớn (với ( C) I điểm M ( 1; −8 ) hai điểm phân biệt tâm đường tròn ( C) phương trình M ( −9; ) AB : x − y + = Oxy A, B A, , cho đường tròn Viết phương trình đường thẳng cho diện tích tam giác d ABI ) Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ qua (C ), (C ') MA = MB B cho qua M ( 1;0 ) Oxy đường chéo , cho hình chữ nhật BD : x − y − = Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật C KẾT LUẬN Trang 25 ABCD , đường chéo có AC Bài tập hình học tọa độ phẳng đa dạng phong phú, tốn tọa độ phẳng có nhiều cách giải khác Trên tơi trình phương pháp sử dụng cơng thức tính góc khoảng cách để giải số tập Chuyên đề hi vọng giúp ích cho giáo viên trình giảng dạy học sinh trình học tập ôn luyện Tuy cố gắng nhiều khơng thể tránh sai xót, tập cịn hạn chế Mong đóng góp từ phía giáo viên để chun đề hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! D TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách đại số 10, NXB GD - Một số đề thi đại học, cao đẳng năm - Một số đề thi thử đại học Vĩnh Phúc tỉnh khác - Nguồn từ internet - Một số tập đồng nghiệp Trang 26 ... đại học – cao đẳng B/ NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CƠNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I/ Kiến thức áp dụng 1/ Cơng thức tính khoảng cách: */ Khoảng cách. .. Trong chuyên đề nghiên cứu tốn tọa độ phẳng có sử dụng cơng thức góc khoảng cách, cách tư số toán để đưa dạng 2/ Phạm vi sử dụng Chuyên đề sử dụng cho học sinh THPT từ lớp 10 đến lớp 12 Đặc biệt học. .. có AC Bài tập hình học tọa độ phẳng đa dạng phong phú, tốn tọa độ phẳng có nhiều cách giải khác Trên tơi trình phương pháp sử dụng cơng thức tính góc khoảng cách để giải số tập Chuyên đề hi vọng