Biểu diễn nhóm hữu hạn và ứng dụng vào quan hệ đồng chất trên các p nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VŨ HỨA HẠNH NGUYÊN BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN CÁC p-NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VŨ HỨA HẠNH NGUYÊN BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN CÁC p-NHÓM Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu Đà Nẵng, Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các kết quả, số liệu nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Vũ Hứa Hạnh Nguyên MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cấu trúc nhóm cấu trúc đại số bản, đóng vai trị quan trọng khơng tốn học mà cịn nhiều ngành khoa học khác Việc kiểm tra tập hợp với phép tốn hai ngơi xác định tập hợp lập thành nhóm, chƣa có nghĩa biết nhóm Để hiểu biết rõ nhóm, ta cần phải xác định nhiều yếu tố liên quan đến nhóm Lý thuyết biểu diễn nhóm nội dung lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng, chẳng hạn giúp hiểu rõ cấu trúc nhóm: cụ thể, biểu diễn nhóm hữu hạn thể nhóm hữu hạn có ảnh đồng cấu nhóm nhóm ma trận khả nghịch Nhằm tìm hiểu biểu diễn nhóm hữu hạn ứng dụng nó, tơi chọn đề tài: “Biểu diễn nhóm hữu hạn ứng dụng vào quan hệ đồng chất p – nhóm” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn - Nghiên cứu quan hệ đồng chất nhóm ứng dụng biểu diễn nhóm vào quan hệ đồng chất p – nhóm hữu hạn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nhóm p – nhóm bậc thấp - Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn - Quan hệ đồng chất nhóm - Ứng dụng biểu diễn nhóm hữu hạn vào quan hệ đồng chất p – nhóm Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung luận văn, đặc biệt tài liệu biểu diễn nhóm hữu hạn, quan hệ đồng chất nhóm, ứng dụng biểu diễn nhóm vào quan hệ đồng chất Từ phân tích, nghiên cứu nội dung theo mục đích luận văn - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến ngƣời hƣớng dẫn Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn đƣợc chia thành chƣơng Chƣơng – Các kiến thức chuẩn bị Chƣơng nhắc lại kiến thức lý thuyết nhóm, đại số tuyến tính nhằm làm sở cho chƣơng sau Chƣơng – Biểu diễn nhóm hữu hạn Phần đầu chƣơng trình bày lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Phần thứ hai chƣơng dành cho việc tính biểu diễn nhóm có cấp nhỏ 16 Chƣơng – Ứng dụng biểu diễn nhóm vào quan hệ đồng chất tập nhóm Chƣơng giới thiệu quan hệ đồng chất tập nhóm ví dụ minh họa Phần cuối chƣơng trình bày ứng dụng biểu diễn nhóm hữu hạn vào quan hệ đồng chất CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chƣơng nhắc lại kiến thức lý thuyết nhóm đại số tuyến tính đủ để làm sở cho chƣơng sau Các chi tiết liên quan nhƣ phép chứng minh ngƣời đọc xem tài liệu lý thuyết nhóm, đại số tuyến tính [2], [3], [4], [5], … 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CẤU TRÚC NHĨM 1.1.1 Nhóm chuẩn tắc, nhóm thƣơng Định nghĩa 1.1 Một nhóm A nhóm G đƣợc gọi nhóm chuẩn tắc G x 1ax  A với a  A x  G Kí hiệu A  G Định nghĩa 1.2 Giả sử A nhóm nhóm G Với x  G , tập hợp xA  {xa : a  A} Ax  {ax : a  A} đƣợc gọi tƣơng ứng lớp kề trái lớp kề phải A x Định lý 1.1 [5] Giả sử A nhóm nhóm G Các điều kiện sau tƣơng đƣơng i) A chuẩn tắc ii) xA  Ax , với x  G Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm G xA  Ax đƣợc gọi lớp kề A x, với x  G Định nghĩa 1.3 Giả sử A nhóm nhóm G Tập hợp tất lớp kề trái A G đƣợc gọi tập thương A G, đƣợc kí hiệu G/A Định nghĩa 1.4 Giả sử A nhóm nhóm G Số lớp kề trái A G đƣợc gọi số nhóm A nhóm G, đƣợc kí hiệu [G : A] Định lý 1.2 (Định lý Lagrange) Nếu G nhóm hữu hạn A nhóm G | G |  | A | [G : A]  | A | | G / A | Mệnh đề 1.1 [5] Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm G i) Quy tắc cho tƣơng ứng với cặp ( xA, yA) lớp kề trái xyA ánh xạ từ G/A  G/A vào G/A ii) G/A với phép toán hai ngơi ( xA, yA)  xyA nhóm, gọi nhóm thương G A 1.1.2 Nhóm tâm, nhóm tâm hóa, nhóm giao hốn tử Định nghĩa 1.5 Giả sử G nhóm, tập Z (G)  {a  G : ax  xa, x  G} nhóm chuẩn tắc G, đƣợc gọi tâm nhóm G Mệnh đề 1.2 [11] Cho G nhóm A  Z (G) Khi A  G , G/A cyclic G nhóm abel Định nghĩa 1.6 Cho G nhóm, a  G Tập CG (a)  {x  G : x 1ax  a} nhóm G, đƣợc gọi nhóm tâm hóa phần tử a nhóm G Định nghĩa 1.7 Giả sử G nhóm Phần tử [x, y]  x 1 y 1xy đƣợc gọi giao hoán tử cặp phần tử x, y  G Nhóm đƣợc sinh tất giao hoán tử [x, y] , với x, y  G , kí hiệu [G, G] , nhóm chuẩn tắc G, đƣợc gọi nhóm giao hốn tử (hay nhóm dẫn xuất) G Mệnh đề 1.3 [3] i) Cho G nhóm Khi đó, nhóm G / [G, G] abel, đƣợc gọi nhóm abel hóa nhóm G ii) Nếu A  G G/A abel [G, G]  A 1.1.3 Nhóm tuyến tính tổng quát Định nghĩa 1.8 Giả sử K trƣờng, V không gian vectơ n - chiều K Kí hiệu GL(V ) tập hợp tất tự đẳng cấu tuyến tính V Tập hợp GL(V ) với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm, đƣợc gọi nhóm tuyến tính tổng quát V Phần tử đơn vị GL(V ) tự đẳng cấu đồng idV V Nghịch đảo f  GL(V ) đẳng cấu ngƣợc f 1 Nhóm GL(V ) abel n  dimV  Giả sử chọn sở không gian vectơ V Mỗi tự đẳng cấu tuyến tính V đƣợc đặt tƣơng ứng với ma trận sở chọn Khi đó, nhóm GL(V ) đƣợc đồng với nhóm GL(n, K ) , GL(n, K ) nhóm gồm tất ma trận khả nghịch cấp n với phần tử K, phép toán phép nhân hai ma trận 1.1.4 Vành nhóm Định nghĩa 1.9 Giả sử G nhóm hữu hạn K vành Gọi K [G] tập hợp tổ hợp tuyến tính hình thức k s sG s phần tử G với hệ số k s K Khi đó, K [G] với hai phép toán  k s  l s sG s sG s   (k sG      ks s   lt t    sG  t G  s  ls ) s ,  k l (st ) s G t G s t lập thành vành, gọi vành nhóm G (với hệ số K ) Đơn vị K [G] phần tử  1.e Với s  G cách đặt tƣơng ứng s  1.s coi G  K [G] Rõ ràng K [G] vành giao hoán G abel Nhóm cộng abel K [G] với phép nhân vô hƣớng   h   ks s    sG   hk (s) sG s lập thành K - không gian véctơ với sở G 1.2 QUAN HỆ LIÊN HỢP Định nghĩa 1.10 Cho G nhóm, a, x  G Phần tử x 1ax  G , đƣợc gọi phần tử liên hợp với a x, kí hiệu a x  x 1ax Mệnh đề 1.4 [6] Cho G nhóm Trên G ta xác định quan hệ hai R nhƣ  a, b  G, a Rb  sau  x G : b  a x Khi đó, quan hệ R quan hệ tƣơng đƣơng nhóm G đƣợc gọi quan hệ liên hợp Lớp tƣơng đƣơng chứa phần tử a, theo quan hệ liên hợp, kí hiệu Ca  {a x  G : x  G} gọi lớp liên hợp chứa phần tử a Mệnh đề 1.5 [6] Cho G nhóm, a  G , ta có a  Z (G)  Ca  {a} ... quan hệ đồng chất nhóm ứng dụng biểu diễn nhóm vào quan hệ đồng chất p – nhóm hữu hạn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nhóm p – nhóm bậc th? ?p - Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn - Quan hệ đồng chất. .. CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA BIỂU DIỄN NHÓM VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN T? ?P CÁC NHÓM Chƣơng giới thiệu quan hệ đồng chất t? ?p nhóm ví dụ minh họa Phần cuối chƣơng trình bày ứng dụng biểu diễn nhóm hữu hạn vào. .. nhóm hữu hạn Phần thứ hai chƣơng dành cho việc tính biểu diễn nhóm có c? ?p nhỏ 16 Chƣơng – Ứng dụng biểu diễn nhóm vào quan hệ đồng chất t? ?p nhóm Chƣơng giới thiệu quan hệ đồng chất t? ?p nhóm ví