Phương pháp sai phân hữu hạn và ứng dụng giải phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp

[...]... chiãu 1.2.4 Bi toĂn truyãn nhiằt dứng Náu án mởt lúc no õ phƠn bố nhiằt ở trản thanh vêt chĐt, bÊn mọng vêt chĐt  ờn nh, khổng thay ời theo thới gian nỳa thẳ ta nõi hiằn tữủng truyãn nhiằt  dứng Khi õ, nhiằt ở khổng thay ời theo u thới gian nản = 0, v do õ ta cõ cĂc phữỡng trẳnh truyãn nhiằt dứng t sau: Trong trữớng hủp mởt chiãu ta cõ bi toĂn truyãn nhiằt dứng: d2 u = 0, a < x < b dx2 (1.36)... nghắa cừa bi toĂn ờn nh: bi toĂn sai phƠn cõ nghiằm duy nhĐt, ỗng thới nghiằm õ phử thuởc liản tửc vo vá phÊi cừa phữỡng trẳnh sai phƠn v iãu kiằn biản, nghắa l khi vá phÊi cừa phữỡng trẳnh sai phƠn v iãu kiằn biản thay ời ẵt thẳ nghiằm cụng thay ời ẵt BĐt ng thực (1.71) nõi lản ỵ nghắa õ, ta gồi nõ l bĐt ng thực ờn nh cừa bi toĂn (1.50)-(1.51) nh lỵ 1.3 Bi toĂn sai phƠn (1.50)-(1.51) l bi toĂn... l õ ta nõi toĂn tỷ sai phƠn Lh xĐp x toĂn tỷ vi phƠn L tợi cĐp O(h2 ) Hỡn nỳa, vẳ v0 u0 = = 0 v vN uN = = 0 nản ta cụng nõi, bi toĂn sai phƠn (1.50), (1.51) xĐp x bi toĂn vi phƠn (1.47)(1.48) 1.3.9 Sỹ hởi tử nh nghắa 1.3 GiÊ sỷ u(x) l nghiằm cừa bi toĂn vi phƠn (1.47), (1.48) v vi l nghiằm cừa bi toĂn phƠn (1.50), (1.51) hởi tử náu vu sai phƠn (1.50), (1.51) Bi toĂn sai 0 khi h 0 tực l... cừa sai số tẵnh toĂn v v v v M1 {| | + | | + f f } (1.84) (1.85) : (1.86) Vêy náu lĐy vi u (xi ) ta s cõ, i vi u (xi ) = (vi vi ) + (vi u (xi )) Do õ: |vi u (xi )| |vi vi | + (vi u (xi )) tực l: v v v v + vu Vêy, ta cõ: v u M1 {| | + | | + f f } + O h2 (1.87) 29 Chữỡng 2 Phữỡng phĂp sai phƠn giÊi phữỡng trẳnh Poisson vợi iãu kiằn biản hộn hủp 2.1 Phữỡng phĂp sai. .. sai phƠn hon chnh: Tẳm hm lữợi v thọa mÂn (2.13), (2.14) v (2.15) 2.1.4 Lữủc ỗ sai phƠn giÊi phữỡng trẳnh Poisson vợi iãu kiằn biản hộn hủp a, Sỹ xĐp x Cổng thực (2.11) chựng tọ = hk u u = O(h2 + k 2 ) õ l sỹ xĐp x bi hk Bi toĂn sai phƠn (2.13), (2.14)v (2.15) xĐp x bi toĂn vi phƠn (2.1), (2.4) v (2.5) Xt phữỡng trẳnh sai phƠn sau: u(xi+1 , yj ) 2u(xi , yj ) + u(xi1 , yj ) h2 u(xi , yj+1 ) 2u(xi...  nõi án chữỡng 1 Nõ mổ tÊ hiằn tữủng truyãn nhiằt dứng trong mởt thanh vêt chĐt m nhiằt ở hai Ưu mút cừa thanh ữủc Đn nh trữợc 1.3.2 Lữợi sai phƠn Ta chia oÔn [a, b] thnh N oÔn con bơng nhau, mội oÔn con di h = (b a)/N bi cĂc im xi = a + ih, i = 0, 1, , N (hẳnh 1.4) Mội im xi gồi l mởt nút lữợi, h gồi l bữợc lữợi 20 Hẳnh 1.4 Lữợi sai phƠn Têp h = {xi , 1 i N 1} gồi l têp cĂc nút trong... cõ bi toĂn (2.1) vợi iãu kiằn biản (2.4)-(2.5) l bi toĂn biản hộn hủp 2.1.2 Lữợi sai phƠn v hm lữợi a, Lữợi sai phƠn Ta chia miãn thnh ổ nhọ (hẳnh 2.2) Chồn trữợc hai số nguyản N > 1 v M > 1, t h = (b a)/N gồi l bữợc i theo x v k = ((d c)/M ) gồi l bữợc i theo y t xi = a + ih, yj = c + jk (2.6) 31 Hẳnh 2.2 Lữợi sai phƠn Mội im (xi , yj ) gồi l mởt nút lữợi, cỏn kỵ hiằu l (i, j) Nút trong ... h h2 1.3.5 Phữỡng phĂp sai phƠn Ta tẳm cĂch tẵnh gƯn úng giĂ tr cừa nghiằm úng u(xi ) tÔi cĂc nút xi h Gồi cĂc giĂ tr gƯn úng õ l vi Muốn cõ vi ta thay bi toĂn vi phƠn (1.47)-(1.48) bi bi toĂn sai phƠn: Lh v (avx )xi + qi vi = fi , (1.50) 21 v0 = , vN = , (1.51) ai = k (xi h/2) , qi = q (xi ) , fi = f (xi ) (1.52) trong õ: 1.3.6 Phữỡng phĂp truy uời giÊi bi toĂn sai phƠn Cho bi toĂn: ai... khĂc 0 ta cõ cĂc phữỡng trẳnh: 2u 2u + = f (x, y), (x, y) x2 y 2 (1.45) 2u 2u 2u + + = f (x, y, z), (x, y, z) x2 y 2 z 2 (1.46) Ngữới ta gồi chúng l phữỡng trẳnh Poisson hai chiãu v ba chiãu 1.3 KhĂi niằm m Ưu vã phữỡng phĂp sai phƠn 1.3.1 Bi toĂn vi phƠn Cho hai số a v b vợi a < b Tẳm hm u = u(x) xĂc nh tÔi a < x < b thọa mÂn: Lu = (ku ) + qu = f (x) , a < x < b (1.47) u(a) = , u(b) = (1.48)... n1 + m1 1 y0 = 1 m1 1 yi+1 = i+1 yi + i+1 , i = 0, 1, 2, N 1 24 1.3.7 Sỹ ờn nh cừa bi toĂn sai phƠn Trữợc hát  o ở lợn cừa hm lữợi v = (v0 , v1 , , vN ) RN +1 v hm lữợi f = (f1 , f2 , , fN 1 ) RN 1 , ta sỷ dửng cĂc chuân v := max {|vi |} , 0iN f (1.70) := max {|f |} 0