N¸u thay cho f v g óng ta ch¿ câ
fij∗ ≈ fij v gij∗ ≈ gij
th¼ thay cho b i to¡n (2.13),(2.14) v (2.15) ta câ b i to¡n
∆hkv∗ = f∗, (i, j) ∈ Ωhk, v∗|Γ1hk = g1∗, v∗|Γ2hk = g∗2. (2.36) Khi â sai sè t½nh to¡n v∗ −v thäa m¢n
∆hk(v∗ −v) = f∗ −f, (i, j) ∈ Ωhk, (v∗ −v)|Γ1hk = g1∗ −g1, (v∗ −v)|Γ2hk = g2∗ −g2. (2.37) p döng ành lþ 2.1 v· sü ên ành ta suy ra kv∗ −vk∞ ≤K max Ωhk fij∗ −fij + max Γ1hk∪Γ2hk g1∗ij −g1ij,g∗2ij −g2ij . (2.38) Sau â l§y vij∗ ≈uij = u(xi, yj) ta câ
vij∗ −u(xi, yj) ≤ vij∗ −vij+|vij −uij|. Suy ra max Ωhk vij∗ −u(xi, yj) ≤ max Γ1hk∪Γ2hk g1∗ij −g1ij,g2∗ij −g2ij +K max Ωhk fij∗ −fij +max Ωhk (|ϕij|), (2.39) vîi: max Ωhk (|ϕij|) = O(h2 +k2).
Ch֓ng 3
Thû nghi»m sè
3.1 Sü ríi r¤c hâa b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson
º ìn gi£n, ta x²t mi·n h¼nh vuæng [0; 1]2, mi·n n y ¢ ÷ñc kþ hi»u l Ω. T¼m h m sè u(x, y) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Poisson (2.1) vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp (2.4) v (2.5), trong â Γ = Γ1∪Γ2. º ti»n theo dãi, chóng tæi vi¸t l¤i c¡c ph÷ìng tr¼nh â nh÷ sau:
Ph÷ìng tr¼nh Poisson ∆u = ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = f (x, y), (x, y) ∈ Ω
vîi i·u ki»n bi¶n
u(x, y) Γ1 = g(x, y), (x, y) ∈ Γ1, u0(x, y) Γ2 = g0(x, y), (x, y) ∈ Γ2.
Mi·n h¼nh vuæng Ω ÷ñc chia ÷ñc chia ·u theo méi h÷îng. Gi£ sû h l b÷îc l÷îi theo h÷îng x v k l b÷îc l÷îi theo h÷îng y. Khi â ta kþ hi»u Ωhk l c¡c nót l÷îi n¬m ph½a trong mi·n, Γ1hk l c¡c nót n¬m tr¶n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet, Γ2hk l c¡c nót n¬m tr¶n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n Neumann v Ωhk = Ωhk ∪Γ1hk ∪Γ2hk l tªp t§t c£ c¡c nót l÷îi thuëc mi·n Ω, bao gçm c£ c¡c nót ph½a trong mi·n v c¡c nót n¬m tr¶n bi¶n.
3.2 Thuªt to¡n gi£i b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson
¦u v o: Ωhk, tham sè x¡c ành i·u ki»n bi¶n, c¡c i·u ki»n bi¶n hén hñp (2.4) v (2.5) v v¸ ph£i cõa ph÷ìng tr¼nh Poisson (2.1). ¦u ra: Sai sè lîn nh§t v sai sè trung b¼nh cõa nghi»m x§p x¿ vîi nghi»m ch½nh x¡c.
Nëi dung thuªt to¡n:
B÷îc 1: X¡c ành tªp c¡c nót trong mi·n Ωhk, tªp c¡c nót tr¶n bi¶n Γ1hk v Γ2hk.
B÷îc 2: Ríi r¤c v¸ tr¡i cõa ph÷ìng tr¼nh Poisson (2.1) b¬ng c¡ch: vîi méi nót trong (x, y) ∈ Ωhk, ta x¡c ành tªp X = {(x, y),(x+
h, y),(x − h, y),(x, y + h),(x, y − h),(x + k, y),(x − k, y),(x, y −
k),(x, y+k)}, t½nh v²c tì dángw(x,y),(x,y) = −2/h2−2/k2,w(x,y),(x1,y1) = 1/h2 vîi (x1, y1) ∈ {(x + h, y),(x − h, y),(x, y + h),(x, y − h)} v w(x,y),(x1,y1) = 1/k2 vîi (x1, y1) ∈ {(x + k, y),(x − k, y),(x, y − k),(x, y+ k)}, ta nhªn ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh X (x1,y1)∈X w(x,y),(x1,y1)uˆ(x1,y1) = f (x, y), (x, y) ∈ Ωhk. (3.1) B÷îc 3: Chuyºn t§t c£ c¡c cët t÷ìng ùng vîi bi¸n l nót n¬m tr¶n bi¶n sang v¸ ph£i cõa (3.1).
B÷îc 4: Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh (3.1)-(2.4) - (2.5) º t¼m nghi»m x§p x¿.
B÷îc 5: ¡nh gi¡ sai sè cõa nghi»m x§p x¿ vøa t¼m ÷ñc vîi nghi»m ch½nh x¡c. Sai sè lîn nh§t M axe := max (ˆu(x, y)−u(x, y)), (x, y) ∈ Ωhk (3.2) Sai sè trung b¼nh b¼nh ph÷ìng rmse := 1 #Ωh,k X (x,y)∈Ω (ˆu(x, y)−u(x, y))2 1/2 , (x, y) ∈ Ωhk (3.3)
3.3 Mët sè k¸t qu£ thû nghi»m
3.3.1 Thû nghi»m 1
B i to¡n 1: B i to¡n (2.1) -(2.4) -(2.5) vîi∆u = −2π2sin(πx) sin(πy)
trong mi·n [0; 1]2 vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp, trong â c¤nh bi¶n ph£i câ i·u ki»n Dirichlet, c¡c c¤nh bi¶n cán l¤i câ i·u ki»n Neumann v nghi»m ch½nh x¡c u(x, y) = sin(πx) sin(πy). T¼m nghi»m x§p x¿ thäa m¢n v¸ ph£i ∆ v c¡c i·u ki»n bi¶n ¢ cho.
Tham sè: N = 3;M = 3;M axIP = 2000, trong â MaxIP l sè nót n¬m ph½a trong mi·n. C¡c gi¡ trà tham sè n y ÷ñc dòng cho c¡c thû nghi»m ph½a sau. Trong ch÷ìng tr¼nh, chóng ta câ thº thay êi c¡c gi¡ trà n y.
K½ch th÷îc l÷îi ban ¦u l 3×3, sau méi l¦n l°p th¼ k½ch th÷îc l÷îi t¤i méi chi·u t«ng th¶m 1, ch¯ng h¤n, l¦n ¦u l 3×3 th¼ l¦n ti¸p theo l 4×4. Qu¡ tr¼nh l°p s³ døng cho ¸n khi sè nót n¬m trong mi·n khæng v÷ñt qu¡ MaxIP.
H¼nh 3.2: Sai sè trung b¼nh cõa B i to¡n 1
3.3.2 Thû nghi»m 2
B i to¡n 2: B i to¡n (2.1) -(2.4) -(2.5) vîi ∆u = −2 sin(x) sin(y)
trong mi·n [0; 1]2 vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp, trong â c¤nh bi¶n ph£i v bi¶n ph½a tr¶n câ i·u ki»n Dirichlet, c¡c c¤nh bi¶n cán l¤i câ i·u ki»n Neumann v nghi»m ch½nh x¡c u(x, y) = sin(x)sin(y). T¼m nghi»m x§p x¿ thäa m¢n v¸ ph£i ∆ v c¡c i·u ki»n bi¶n ¢ cho.
H¼nh 3.4: Sai sè trung b¼nh cõa B i to¡n 2
3.3.3 Thû nghi»m 3
B i to¡n 3: B i to¡n (2.1) -(2.4) -(2.5) vîi ∆u = 2e(x+y) trong mi·n
[0; 1]2 vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp, trong â c¤nh bi¶n ph½a tr¶n câ i·u ki»n Dirichlet, c¡c c¤nh bi¶n cán l¤i câ i·u ki»n Neumann v nghi»m ch½nh x¡c u(x, y) = e(x+y). T¼m nghi»m x§p x¿ thäa m¢n v¸ ph£i ∆ v c¡c i·u ki»n bi¶n ¢ cho.
H¼nh 3.6: Sai sè trung b¼nh cõa B i to¡n 3
3.4 K¸t luªn
Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y sü ríi r¤c cõa b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson; Thuªt to¡n gi£i b i to¡n v mët sè k¸t qu£ thû nghi»m tr¶n b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson. K¸t qu£ thû nghi»m thº hi»n tr¶n ç thà ¢ cho th§y sai sè lîn nh§t công nh÷ sai sè trung b¼nh b¼nh ph÷ìng ·u ìn i»u gi£m.
KT LUN
Luªn v«n "Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n v ùng döng gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp" nh¬m t¼m hiºu mët sè hi»n t÷ñng vªt lþ d¨n ¸n b i to¡n ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng d¤ng Eliptic, t¼m hiºu ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n v sü ên ành cõa b i to¡n, c i °t ch÷ìng tr¼nh thû nghi»m tr¶n mæi tr÷íng Matlab.
Qua qu¡ tr¼nh l m luªn v«n em ¢ thu ÷ñc nhúng ki¸n thùc cì b£n v· mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh. Hiºu ÷ñc ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n. Nghi¶n cùu v c i °t ch÷ìng tr¼nh gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp b¬ng ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n.
Sau thíi gian thüc hi»n luªn v«n, c¡c ki¸n thùc cì b£n v· to¡n cõa em ÷ñc n¥ng l¶n rã r»t, çng thíi hiºu hìn b£n ch§t cõa mët sè b i to¡n vªt lþ to¡n v câ thº sû döng th nh th¤o mët ngæn ngú lªp tr¼nh º t¼m líi gi£i sè cõa ph÷ìng tr¼nh Poisson b¬ng ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n.
Trong khuæn khê cõa mët luªn v«n th¤c s¾, thíi gian câ h¤n, tr¼nh ë cán h¤n ch¸, v¼ vªy em công ch¿ mîi thüc hi»n ÷ñc b÷îc ¦u trong nghi¶n cùu. Em r§t mong ÷ñc sü ch¿ d¤y v âng gâp þ ki¸n cõa c¡c Th¦y Cæ v åc gi£ quan t¥m tîi luªn v«n.
T i li»u tham kh£o
[1] T¤ V«n ¾nh, Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n, NXB KHKT, H Nëi, 2002.
[2] Ph¤m Ký Anh, Gi£i t½ch sè, NXB ¤i håc Quèc gia H Nëi, 1995. [3] D÷ìng Thòy V¾, Gi¡o tr¼nh ph÷ìng ph¡p t½nh, NXB KHKT, H Nëi,
2001.
[4] Tr¦n V«n Th nh, Ph÷ìng ph¡p sè thüc h nh, NXB ¤i håc Quèc gia H Nëi, 2007.