bi¶n hén hñp
a, Sü x§p x¿
Cæng thùc (2.11) chùng tä
ϕ = ∆hku−∆u = O(h2 +k2).
â l sü x§p x¿ ∆ bði ∆hk. B i to¡n sai ph¥n (2.13), (2.14)v (2.15) x§p x¿ b i to¡n vi ph¥n (2.1), (2.4) v (2.5). X²t ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n sau:
Lhku = u(xi+1, yj)−2u(xi, yj) +u(xi−1, yj) h2 + u(xi, yj+1)−2u(xi, yj) +u(xi, yj−1) k2 + u(xi+1, yj)−u(xi−1, yj) 2h + u(xi, yj+1)−u(xi, yj−1) 2k +dijuij = f(xi, yj), (xi, yj) ∈ Ωhk. (2.16)
Ng÷íi ta gåi (2.16) l sì ç 5 iºm v¼ trong ph÷ìng tr¼nh n y câ m°t h m u t½nh t¤i 5 iºm (i, j); (i−1, j); (i+ 1, j); (i, j−1); (i, j+ 1). Gëp c¡c sè h¤ng çng d¤ng trong (2.16), ta ÷ñc Lhku = Au(xi+1,yj) +Bu(xi−1,yj) +Cu(xi,yj+1) +Du(xi,yj−1)−Eu(xi,yj) = f(xi,yj) trong â A= 1 h2 + 1 2h; B = 1 h2 − 1 2h; C = 1 k2 + 1 2k; D = 1 k2 − 1 2k; E = 2 h2 + 2 k2 −dij
º chùng minh h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n Lhku= f;u|Γ = g gi£i ÷ñc duy nh§t, ta c¦n chùng tä h» ph÷ìng tr¼nh (tuy¸n t½nh) thu¦n nh§t t÷ìng ùng Lhku = 0; u|Γ = 0 ch¿ câ nghi»m t¦m th÷íng.
b, Nguy¶n lþ cüc ¤i
X²t b i to¡n t sai ph¥n têng qu¡t hìn ∆hk
Lhkv ≡ −vi+1j −2vij +vi−1j h2 − vij+1 −2vij +vij−1 k2 +dijvij −vi+1j −vi−1j 2h − vij+1−vij−1 2k , dij ≥ 0
Khi dij = 0 t¤i måi (i, j) th¼ Lhk tròng vîi −∆hk
Ph¡t biºu nguy¶n lþ cüc ¤i[2]
1/ N¸u v 6= const v Lhkv ≥ 0 t¤i c¡c nót trong th¼ v khæng ¤t cüc tiºu ¥m ð mët nót trong n o.
2/ N¸u v 6= const v Lhkv ≤ 0 t¤i c¡c nót trong th¼ v khæng ¤t cüc ¤i d÷ìng ð mët nót trong n o.
Chùng minh. Ta vi¸t Lhkv ð d¤ng Lhkv = 1 h2 [(vij −vi+1j) + (vij −vi−1j)] + 1 k2 [(vij −vij+1) + (vij −vij−1)] +dijvij − 1 2h (vi+1j −vi−1j)− 1 2k (vij+1 −vij−1)
1/ Gi£ sû v ¤t cüc tiºu ¥m t¤i nót trong, khi â v¼ v 6= const n¶n tçn t¤i nót trong (i, j) t¤i â v ¤t cüc tiºu ¥m thüc sü, ngh¾a l bèn hi»u sè:
·u nhä hìn ho°c b¬ng 0 v trong â câ ½t nh§t mët hi»u sè nhä hìn 0, çng thíi vij < 0. Do â (Lhkv)ij < 0, i·u â m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t
(Lhkv)ij ≥ 0. Vªy v khæng ¤t cüc tiºu ¥m ð b§t ký nót trong n o. 2/ Gi£ sû v ¤t cüc ¤i d÷ìng t¤i nót trong, khi â v¼ v 6= const n¶n tçn t¤i nót trong (i, j) t¤i â v ¤t cüc ¤i d÷ìng thüc sü, ngh¾a l bèn hi»u sè (2.16) ·u lîn hìn ho°c b¬ng 0, v trong â câ ½t nh§t mët hi»u sè lîn hìn 0, çng thíi vij > 0. Do â (Lhkv)ij > 0, i·u â m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t(Lhkv)ij ≤ 0. Vªy v khæng ¤t cüc ¤i d÷ìng ð b§t ký nót trong n o.
H» qu£ 2.1.
(i) N¸u (Lhkv) ≥ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Ωhk v v ≥ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Γhk
th¼ v ≥ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Ωhk ;
(ii) N¸u (Lhkv) ≤0 t¤i måi (i, j) ∈ Ωhk v v ≤ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Γhk
th¼ v ≤ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Ωhk.
Chùng minh. Ta chùng minh ph¦n (i).
Theo gi£ thi¸t, Lhkv ≥ 0 t¤i måi nót trong. Vªy theo nguy¶n lþ cüc ¤i th¼ v khæng ¤t cüc tiºu ¥m ð mët nót trong n o. Do â t¤i måi nót trong v ·u lîn hìn ho°c b¬ng 0. Cán v tr¶n bi¶n th¼ ¢ lîn hìn ho°c b¬ng 0 theo gi£ thi¸t. Vªy v ≥ 0 t¤i måi nót (i, j) ∈ Ωhk.
Ph¦n (ii) chùng minh t÷ìng tü. H» qu£ 2.2 (ành lþ so s¡nh).
X²t b i to¡n:
Lhkv = F, (i, j) ∈ Ωhk, v = g, (i, j) ∈ Γhk. Lhkv = F , (i, j) ∈ Ωhk, v = g, (i, j) ∈ Γhk.
N¸u |Fij| ≤ Fij, |gij| ≤ gij th¼ vij ≥ 0 v |vij| ≤ vij t¤i måi nót
(i, j) ∈ Ωhk.
Chùng minh. Tr÷îc h¸t theo gi£ thi¸t Fij ≥ 0 v gij ≥ 0, cho n¶n theo h» qu£ 2.1 ta câ vij ≥0 t¤i måi nót.
Lhk(v +v) = Lhkv+ Lhkv = F +F ≥ 0, (i, j) ∈ Ωhk.
Vªy theo h» qu£ 2.1 ta câ
v +v ≥ 0, ∀(i, j) = Ωhk. (2.18) M°t kh¡c
Lhk(v −v) = Lhkv−Lhkv = F −F ≥ 0, (i, j) ∈ Ωhk,
(v −v)|Γhk = g −g ≥ 0, (i, j) ∈ Γhk. Theo h» qu£ 2.1, ta câ
v−v ≥ 0∀(i, j) ∈ Ωhk. (2.19) C¡c k¸t qu£ (2.17) v (2.18) chùng tä
−vij ≤vij ≤vij, (i, j) ∈ Ωhk. Suy ra
|vij| ≤ vij, (i, j) ∈ Ωhk. â l k¸t luªn cõa h» qu£ 2.2.
H» qu£ 2.3. Nghi»m cõa b i to¡n
Lhkv = 0, (i, j) ∈ Ωhk, v|Γhk = g, (i, j) ∈ Γhk, (2.20) thäa m¢n max (i,j)∈Ωhk {|vij|} ≤ max (i,j)∈Γhk{|vij|}. (2.21) Chùng minh. p döng h» qu£ 2.2 vîi
Fij = Fij = 0, (i, j) = Ωhk, v|Γhk = (|v|)|Γhk, ta suy ra (2.20).
H» qu£ 2.4. èi vîi nghi»m cõa b i to¡n
Lhkv = F, (i, j) = Ωhk, v|Γhk = 0, (2.22) ta câ ÷îc l÷ñng sau max (i,j)∈Ωhk {|vij|} ≤ K max (i,j)∈Ωhk {|Fij|}, (2.23) trong â K l mët h¬ng sè.
Chùng minh. °t M = max (i,j)∈Ωhk {|Fij|}. X²t h m sè W = M 4 R 2 −x2 −y2,
trong â R l b¡n k½nh h¼nh trán trong m°t ph¯ng (x, y) câ t¥m t¤i gèc tåa ë O v phõ k½n mi·n Ω (h¼nh 2.3). H¼nh 2.3 H¼nh trán trong m°t ph¯ng (x, y) phõ k½n mi·n Ω Ta nhªn th§y r¬ng 0≤ W(x, y) ≤ M R 2 4 , ∀(x, y) ∈ Ω, v LhkW = M, M ≥ |Fij|, ∀(i, j) ∈ Ωhk, W|Γhk ≥0. p döng h» qu£ 2.2 º so s¡nh vij vîi Wij ta ÷ñc |vij| ≤Wij, ∀(i, j) ∈ Ωhk. Vªy, ta câ max Ωhk {|vij|} ≤ M R 2 4 ≤ R 2 4 mΩaxhk {|Fij|}, tùc l câ (2.22) vîi K = R2/4.
2.2 Sü ên ành v hëi tö cõa l÷ñc ç sai ph¥n gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp
2.2.1 Sü ên ành
ành lþ 2.1. B i to¡n bi¶n hén hñp
∆hkv = F, (i, j) ∈ Ωhk, (2.24) vîi c¡c i·u ki»n bi¶n t÷ìng ùng
v Γ1hk = G1, (i, j) ∈ Γ1hk, (2.25) v Γ2hk = G2, (i, j) ∈ Γ2hk, (2.26) ên ành, ngh¾a l nâ câ nghi»m duy nh§t vîi b§t ký F, v tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng K sao cho max Ωhk |vij| ≤ Kmax Ωhk |Fij|+ max Γ1hk |G1ij|+ max Γ2hk |G2ij|. (2.27) Chùng minh. X²t b i to¡n
∆hkv = 0, (i, j) ∈ Ωhk, v Γ1hk = 0, v Γ2hk = 0.
Theo h» qu£ 2.3, b i to¡n n y ch¿ câ nghi»m t¦m th÷íng. Vªy b i to¡n (2.24) câ nghi»m duy nh§t vîi b§t ký F, G1, G2.
°t v = u+w. (2.28) trong â ∆hku =0, (i, j) ∈ Ωhk, u Γ1hk = G1, (i, j) ∈ Γ1hk, (2.29) u Γ2hk = G2, (i, j) ∈ Γ2hk, v ∆hkw = F, (i, j) ∈ Ωhk, w Γ1hk = 0, w Γ2hk = 0, (2.30)
th¼ v thäa m¢n b i to¡n (2.24).
H» qu£ 2.3 ¡p döng v o b i to¡n (2.29) cho ta
max Ωhk {|uij|} ≤ max Γ1hk∪Γ2hk{|uij|} = max Γ1hk∪Γ2hk{|G1ij|,|G2ij|}. (2.31) p döng h» qu£ 2.4 ta nhªn ÷ñc max Ωhk {|wij|} ≤ Kmax Ωhk {|Fij|}. (2.32) Tø (2.28), ta câ |vij| ≤ |uij|+|wij|. (2.33) K¸t hñp vîi (2.31)-(2.32) ta thu ÷ñc (2.27).
2.2.2 B i to¡n sai ph¥n èi vîi sai sè
Gåi ul nghi»m cõa b i to¡n vi ph¥n (2.1), (2.4), (2.5) v v l nghi»m cõa b i to¡n sai ph¥n (2.12), (2.14)v (2.15) ho°c (2.13), (2.14) v (2.15).
°t z = v −u th¼ z l sai sè ph÷ìng ph¡p.
Theo ¯ng thùc x§p x¿ (2.11) v ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n (2.12) ta câ
∆hkz = ∆hkv−∆hku = fij −[∆u+O(h2 + k2)] = fij −f(xi, yj) +O(h2 +k2) = O(h2 +k2).
M°t kh¡c theo i·u ki»n bi¶n (2.14) cõa v v (2.4), (2.5) cõa u ta câ z|Γ1hk = v|Γ1hk −u|Γ1hk = g1 −g1 = 0.
z|Γ2hk = v|Γ2hk −u|Γ2hk = g2 −g2 = 0. Vªy z thäa m¢n
−∆hkz = ϕ, ϕ = O(h2 +k2), (i, j) ∈ Ωhk, z|Γ1hk = 0, z|Γ2hk = 0. (2.34) â l b i to¡n sai ph¥n èi vîi sai sè.
2.2.3 Sü hëi tö v sai sè
Vîi måi h m l÷îi w x¡c ành tr¶n Ωhk ta ành ngh¾a chu©n
kwk∞ = max
(i,j)∈Ωhk
{|wij|}.
p döng ành lþ 2.1 hay h» qu£ 2.4 v o b i to¡n (2.34) ta suy ra
||zk∞ = ||v −uk∞ = O(h2 +k2) (2.35) â l sü hëi tö cõa nghi»m óng v cõa b i to¡n sai ph¥n (2.13),(2.14) v (2.15) v· nghi»m óng u cõa b i to¡n vi ph¥n (2.1),(2.4) v (2.5). â công l ¡nh gi¡ cõa sai sè ph÷ìng ph¡p.
2.2.4 V· sai sè t½nh to¡n
N¸u thay cho f v g óng ta ch¿ câ
fij∗ ≈ fij v gij∗ ≈ gij
th¼ thay cho b i to¡n (2.13),(2.14) v (2.15) ta câ b i to¡n
∆hkv∗ = f∗, (i, j) ∈ Ωhk, v∗|Γ1hk = g1∗, v∗|Γ2hk = g∗2. (2.36) Khi â sai sè t½nh to¡n v∗ −v thäa m¢n
∆hk(v∗ −v) = f∗ −f, (i, j) ∈ Ωhk, (v∗ −v)|Γ1hk = g1∗ −g1, (v∗ −v)|Γ2hk = g2∗ −g2. (2.37) p döng ành lþ 2.1 v· sü ên ành ta suy ra kv∗ −vk∞ ≤K max Ωhk fij∗ −fij + max Γ1hk∪Γ2hk g1∗ij −g1ij,g∗2ij −g2ij . (2.38) Sau â l§y vij∗ ≈uij = u(xi, yj) ta câ
vij∗ −u(xi, yj) ≤ vij∗ −vij+|vij −uij|. Suy ra max Ωhk vij∗ −u(xi, yj) ≤ max Γ1hk∪Γ2hk g1∗ij −g1ij,g2∗ij −g2ij +K max Ωhk fij∗ −fij +max Ωhk (|ϕij|), (2.39) vîi: max Ωhk (|ϕij|) = O(h2 +k2).
Ch֓ng 3
Thû nghi»m sè
3.1 Sü ríi r¤c hâa b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson
º ìn gi£n, ta x²t mi·n h¼nh vuæng [0; 1]2, mi·n n y ¢ ÷ñc kþ hi»u l Ω. T¼m h m sè u(x, y) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Poisson (2.1) vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp (2.4) v (2.5), trong â Γ = Γ1∪Γ2. º ti»n theo dãi, chóng tæi vi¸t l¤i c¡c ph÷ìng tr¼nh â nh÷ sau:
Ph÷ìng tr¼nh Poisson ∆u = ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = f (x, y), (x, y) ∈ Ω
vîi i·u ki»n bi¶n
u(x, y) Γ1 = g(x, y), (x, y) ∈ Γ1, u0(x, y) Γ2 = g0(x, y), (x, y) ∈ Γ2.
Mi·n h¼nh vuæng Ω ÷ñc chia ÷ñc chia ·u theo méi h÷îng. Gi£ sû h l b÷îc l÷îi theo h÷îng x v k l b÷îc l÷îi theo h÷îng y. Khi â ta kþ hi»u Ωhk l c¡c nót l÷îi n¬m ph½a trong mi·n, Γ1hk l c¡c nót n¬m tr¶n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet, Γ2hk l c¡c nót n¬m tr¶n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n Neumann v Ωhk = Ωhk ∪Γ1hk ∪Γ2hk l tªp t§t c£ c¡c nót l÷îi thuëc mi·n Ω, bao gçm c£ c¡c nót ph½a trong mi·n v c¡c nót n¬m tr¶n bi¶n.
3.2 Thuªt to¡n gi£i b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson
¦u v o: Ωhk, tham sè x¡c ành i·u ki»n bi¶n, c¡c i·u ki»n bi¶n hén hñp (2.4) v (2.5) v v¸ ph£i cõa ph÷ìng tr¼nh Poisson (2.1). ¦u ra: Sai sè lîn nh§t v sai sè trung b¼nh cõa nghi»m x§p x¿ vîi nghi»m ch½nh x¡c.
Nëi dung thuªt to¡n:
B÷îc 1: X¡c ành tªp c¡c nót trong mi·n Ωhk, tªp c¡c nót tr¶n bi¶n Γ1hk v Γ2hk.
B÷îc 2: Ríi r¤c v¸ tr¡i cõa ph÷ìng tr¼nh Poisson (2.1) b¬ng c¡ch: vîi méi nót trong (x, y) ∈ Ωhk, ta x¡c ành tªp X = {(x, y),(x+
h, y),(x − h, y),(x, y + h),(x, y − h),(x + k, y),(x − k, y),(x, y −
k),(x, y+k)}, t½nh v²c tì dángw(x,y),(x,y) = −2/h2−2/k2,w(x,y),(x1,y1) = 1/h2 vîi (x1, y1) ∈ {(x + h, y),(x − h, y),(x, y + h),(x, y − h)} v w(x,y),(x1,y1) = 1/k2 vîi (x1, y1) ∈ {(x + k, y),(x − k, y),(x, y − k),(x, y+ k)}, ta nhªn ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh X (x1,y1)∈X w(x,y),(x1,y1)uˆ(x1,y1) = f (x, y), (x, y) ∈ Ωhk. (3.1) B÷îc 3: Chuyºn t§t c£ c¡c cët t÷ìng ùng vîi bi¸n l nót n¬m tr¶n bi¶n sang v¸ ph£i cõa (3.1).
B÷îc 4: Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh (3.1)-(2.4) - (2.5) º t¼m nghi»m x§p x¿.
B÷îc 5: ¡nh gi¡ sai sè cõa nghi»m x§p x¿ vøa t¼m ÷ñc vîi nghi»m ch½nh x¡c. Sai sè lîn nh§t M axe := max (ˆu(x, y)−u(x, y)), (x, y) ∈ Ωhk (3.2) Sai sè trung b¼nh b¼nh ph÷ìng rmse := 1 #Ωh,k X (x,y)∈Ω (ˆu(x, y)−u(x, y))2 1/2 , (x, y) ∈ Ωhk (3.3)
3.3 Mët sè k¸t qu£ thû nghi»m
3.3.1 Thû nghi»m 1
B i to¡n 1: B i to¡n (2.1) -(2.4) -(2.5) vîi∆u = −2π2sin(πx) sin(πy)
trong mi·n [0; 1]2 vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp, trong â c¤nh bi¶n ph£i câ i·u ki»n Dirichlet, c¡c c¤nh bi¶n cán l¤i câ i·u ki»n Neumann v nghi»m ch½nh x¡c u(x, y) = sin(πx) sin(πy). T¼m nghi»m x§p x¿ thäa m¢n v¸ ph£i ∆ v c¡c i·u ki»n bi¶n ¢ cho.
Tham sè: N = 3;M = 3;M axIP = 2000, trong â MaxIP l sè nót n¬m ph½a trong mi·n. C¡c gi¡ trà tham sè n y ÷ñc dòng cho c¡c thû nghi»m ph½a sau. Trong ch÷ìng tr¼nh, chóng ta câ thº thay êi c¡c gi¡ trà n y.
K½ch th÷îc l÷îi ban ¦u l 3×3, sau méi l¦n l°p th¼ k½ch th÷îc l÷îi t¤i méi chi·u t«ng th¶m 1, ch¯ng h¤n, l¦n ¦u l 3×3 th¼ l¦n ti¸p theo l 4×4. Qu¡ tr¼nh l°p s³ døng cho ¸n khi sè nót n¬m trong mi·n khæng v÷ñt qu¡ MaxIP.
H¼nh 3.2: Sai sè trung b¼nh cõa B i to¡n 1
3.3.2 Thû nghi»m 2
B i to¡n 2: B i to¡n (2.1) -(2.4) -(2.5) vîi ∆u = −2 sin(x) sin(y)
trong mi·n [0; 1]2 vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp, trong â c¤nh bi¶n ph£i v bi¶n ph½a tr¶n câ i·u ki»n Dirichlet, c¡c c¤nh bi¶n cán l¤i câ i·u ki»n Neumann v nghi»m ch½nh x¡c u(x, y) = sin(x)sin(y). T¼m nghi»m x§p x¿ thäa m¢n v¸ ph£i ∆ v c¡c i·u ki»n bi¶n ¢ cho.
H¼nh 3.4: Sai sè trung b¼nh cõa B i to¡n 2
3.3.3 Thû nghi»m 3
B i to¡n 3: B i to¡n (2.1) -(2.4) -(2.5) vîi ∆u = 2e(x+y) trong mi·n
[0; 1]2 vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp, trong â c¤nh bi¶n ph½a tr¶n câ i·u ki»n Dirichlet, c¡c c¤nh bi¶n cán l¤i câ i·u ki»n Neumann v nghi»m ch½nh x¡c u(x, y) = e(x+y). T¼m nghi»m x§p x¿ thäa m¢n v¸ ph£i ∆ v c¡c i·u ki»n bi¶n ¢ cho.
H¼nh 3.6: Sai sè trung b¼nh cõa B i to¡n 3
3.4 K¸t luªn
Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y sü ríi r¤c cõa b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson; Thuªt to¡n gi£i b i to¡n v mët sè k¸t qu£ thû nghi»m tr¶n b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson. K¸t qu£ thû nghi»m thº hi»n tr¶n ç thà ¢ cho th§y sai sè lîn nh§t công nh÷ sai sè trung b¼nh b¼nh ph÷ìng ·u ìn i»u gi£m.
KT LUN
Luªn v«n "Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n v ùng döng gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp" nh¬m t¼m hiºu mët sè hi»n t÷ñng vªt lþ d¨n ¸n b i to¡n ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng d¤ng Eliptic, t¼m hiºu ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n v sü ên ành cõa b i to¡n, c i °t ch÷ìng tr¼nh thû nghi»m tr¶n mæi tr÷íng Matlab.
Qua qu¡ tr¼nh l m luªn v«n em ¢ thu ÷ñc nhúng ki¸n thùc cì b£n v· mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh. Hiºu ÷ñc ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n. Nghi¶n cùu v c i °t ch÷ìng tr¼nh gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp b¬ng ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n.
Sau thíi gian thüc hi»n luªn v«n, c¡c ki¸n thùc cì b£n v· to¡n cõa em ÷ñc n¥ng l¶n rã r»t, çng thíi hiºu hìn b£n ch§t cõa mët sè b i to¡n vªt lþ to¡n v câ thº sû döng th nh th¤o mët ngæn ngú lªp tr¼nh º t¼m líi gi£i sè cõa ph÷ìng tr¼nh Poisson b¬ng ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n.
Trong khuæn khê cõa mët luªn v«n th¤c s¾, thíi gian câ h¤n, tr¼nh ë cán h¤n ch¸, v¼ vªy em công ch¿ mîi thüc hi»n ÷ñc b÷îc ¦u trong nghi¶n cùu. Em r§t mong ÷ñc sü ch¿ d¤y v âng gâp þ ki¸n cõa c¡c Th¦y Cæ v åc gi£ quan t¥m tîi luªn v«n.
T i li»u tham kh£o
[1] T¤ V«n ¾nh, Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n, NXB KHKT, H Nëi, 2002.
[2] Ph¤m Ký Anh, Gi£i t½ch sè, NXB ¤i håc Quèc gia H Nëi, 1995. [3] D÷ìng Thòy V¾, Gi¡o tr¼nh ph÷ìng ph¡p t½nh, NXB KHKT, H Nëi,
2001.
[4] Tr¦n V«n Th nh, Ph÷ìng ph¡p sè thüc h nh, NXB ¤i håc Quèc gia H Nëi, 2007.