Hàm cơ sở theo bán kính và ứng dụng giải bài toán Dirichlet với phương trình Poisson

Ch÷ìng 3 : Mët sè thû nghi»m gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»nbi¶n Dirichlet.. Do thíi gian v tr¼nh ë cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäinhúng thi¸u sât.. ành, khæng thay êi t

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

PH„M THÀ QUY–N

H€M CÌ SÐ THEO BN KNH V€ ÙNG DÖNG GIƒI B€I TON DIRICHLET VÎI PH×ÌNG TRœNH

POISSON

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - 2013

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

PH„M THÀ QUY–N

H€M CÌ SÐ THEO BN KNH V€ ÙNG DÖNG GIƒI B€I TON DIRICHLET VÎI PH×ÌNG TRœNH

Möc löc

1.1 H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh 5

1.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh 7 1.2.1 Chu©n cõa ma trªn, chu©n cõa v²c tì 7

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p Gauss 7

1.2.3 Ph÷ìng ph¡p truy uêi gi£i h» ph÷ìng tr¼nh vîi ma trªn ba ÷íng ch²o 10

1.2.4 Ph÷ìng ph¡p Jacobi 11

1.3 Nhúng i·u ki»n vªt lþ d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh Poisson 12

1.4 Mët sè ph÷ìng ph¡p nëi suy cê iºn 14

1.4.1 Nëi suy Lagrange 14

1.4.2 Nëi suy Newton 16

1.5 Nëi suy bði h m RBF 20

1.5.1 Mët sè ành ngh¾a 20

1.5.2 Nëi suy dú li»u ph¥n t¡n trong khæng gian Rd 21

1.5.3 Nëi suy vîi h m cì sð theo b¡n k½nh 23

1.5.4 Nëi suy vîi ë ch½nh x¡c a thùc v  h m x¡c ành d÷ìng câ i·u ki»n 24

1.5.5 Sai sè, ên ành v  hëi tö 26

2 Gi£i b i to¡n Dirichlet vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson düa v o

2.1 Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n tr¶n mi·n h¼nh chú nhªt 29

2.1.1 L÷îi sai ph¥n v  h m l÷îi 29

2.1.2 L÷ñc ç sai ph¥n 30

2.1.3 X§p x¿ cõa l÷ñc ç sai ph¥n 31

2.1.4 Sü ên ành cõa l÷ñc ç sai ph¥n 33

2.1.5 B i to¡n sai ph¥n èi vîi sai sè 34

2.1.6 Sü hëi tö cõa l÷ñc ç sai ph¥n 34

2.2 Ph÷ìng ph¡p düa v o h m nëi suy cì sð theo b¡n k½nh tr¶n mi·n câ h¼nh håc b§t ký 34

2.2.1 Ríi r¤c b i to¡n Dirichlet vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson tr¶n c¡c t¥m ph¥n bè khæng ·u 34

2.2.2 V²c tì trång sè düa v o h m nëi suy cì sð theo b¡n k½nh 35

2.2.3 X¥y düng ma trªn h» sè (ma trªn cùng) 40

2.2.4 L÷ñc ç RBF 41

2.3 Thuªt to¡n chån t¥m hé trñ cho t½nh v²c tì trång sè 41

3 Thû nghi»m sè 46 3.1 Mët sè thû nghi»m vîi kiºu t¥m ph¥n bè ·u 46

3.2 Mët sè thû nghi»m vîi kiºu t¥m th½ch nghi 53

Mð ¦u

Nhi·u hi»n t÷ñng khoa håc v  kÿ thuªt d¨n ¸n c¡c b i to¡n bi¶n cõaph÷ìng tr¼nh vªt lþ to¡n Gi£i c¡c b i to¡n â ¸n ¡p sè b¬ng sè l  mëty¶u c¦u quan trång cõa thüc ti¹n Trong mët sè ½t tr÷íng hñp thªt ìngi£n vi»c â câ thº l m ÷ñc nhí v o nghi»m t÷íng minh cõa b i to¡nd÷îi d¤ng c¡c cæng thùc sì c§p, c¡c t½ch ph¥n ho°c c¡c chuéi h m Cántrong ¤i a sè tr÷íng hñp kh¡c, °c bi»t l  èi vîi c¡c b i to¡n câ h»

sè bi¸n thi¶n, c¡c b i to¡n phi tuy¸n, c¡c b i to¡n tr¶n mi·n b§t ký th¼nghi»m t÷íng minh cõa b i to¡n khæng câ, ho°c câ nh÷ng r§t phùc t¤p.Trong nhúng tr÷íng hñp â vi»c t½nh nghi»m ph£i düa v o c¡c ph÷ìngph¡p gi£i g¦n óng ¢ câ nhi·u ph÷ìng ph¡p truy·n thèng gi£i b i to¡n

n y nh÷ ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n ([5], [7], [8]), ph÷ìng ph¡p ph¦n

· t i t¼m hiºu mët ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ngdüa tr¶n h m cì sð theo b¡n k½nh ¥y l  ph÷ìng ph¡p ÷ñc nhi·u nh khoa håc tr¶n th¸ giîi quan t¥m trong nhúng n«m g¦n ¥y Möc ½chcõa · t i l  sû döng h m cì sð b¡n k½nh gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi

i·u ki»n bi¶n Dirichlet trong c¡c mi·n h¼nh håc 2D, lñi th¸ cõa c¡ch

ti¸p cªn n y l  khæng c¦n t½nh l÷îi, chi ph½ cho vi»c t½nh to¡n l÷îi tr¶n

bà lo¤i trø Hìn núa c¡ch ti¸p cªn sû döng nëi suy h m RBF d¹ d ngtrong c¡c tr÷íng hñp: dú li»u ph¥n bè ph¥n t¡n, mi·n câ h¼nh håc phùct¤p v  sè chi·u khæng gian cao v¼ h m RBF ch¿ l m vi»c vîi kho£ngc¡ch, chuyºn nhi·u chi·u v· mët chi·u

· t i ÷ñc tr¼nh b y trong 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì sð v· h» ph÷ìng tr¼nh v mët sè c¡ch gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh çng thíi ÷a rac¡c ki¸n thùc cì sð v· nëi suy h m sè theo ph÷ìng ph¡p cê iºn v  nëisuy h m cì sð theo b¡n k½nh

Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n tr¶n mi·n h¼nhchú nhªt v  ríi r¤c b i to¡n Dirichlet vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson

Ch÷ìng 3 : Mët sè thû nghi»m gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»nbi¶n Dirichlet

Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n v  ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc KhoaHåc-¤i håc Th¡i Nguy¶n Qua ¥y tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y

cæ gi¡o Khoa To¡n-Tin, Ban Gi¡m hi»u, Pháng  o t¤o nh  tr÷íng ¢trang bà ki¸n thùc cì b£n v  t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi trong qu¡tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi TS °ng Thà Oanh, ng÷íi

¢ tªn t¼nh ch¿ b£o, t¤o i·u ki»n v  gióp ï tæi câ th¶m nhi·u ki¸nthùc, kh£ n«ng nghi¶n cùu, têng hñp t i li»u º ho n th nh luªn v«n.Tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b± v  c¡c çng nghi»p ¢

ëng vi¶n, gióp ï tæi qu¡ tr¼nh håc tªp cõa m¼nh

Do thíi gian v  tr¼nh ë cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäinhúng thi¸u sât Tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa c¡c th¦y cæ ºluªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, ng y 10 th¡ng 08 n«m 2013

Ng÷íi thüc hi»nPh¤m Thà Quy¶n

ta ¢ i x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p nhanh º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i

sè tuy¸n t½nh cï lîn l  khai th¡c tri»t º c¡c thæng tin v· ma trªn cõah»

D÷îi ¥y l  mët sè d¤ng °c bi»t cõa ma trªn:

1) Ma trªn ÷íng ch²o : Ma trªn vuæng c§p n m  måi ph¦n tû n¬mngo i ÷íng ch²o ch½nh b¬ng 0, tùc l  aij = aji, vîi i 6= j, ÷ñc gåi l 

1.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n

||A||2 =



Pn i=1

Pn j=1|aij|21/2

b) Chu©n cõa vectì

Cho vectì x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn ta câ mët sè chu©n nh÷ sau:

¥y l  ph÷ìng ph¡p trüc ti¸p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh

Þ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p khû Gauss l  khû d¦n c¡c ©n º ÷a h» ban

¦u v· h» vîi ma trªn tam gi¡c tr¶n b¬ng c¡c ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng:1) êi ché hai ph÷ìng tr¼nh b§t k¼

2) Nh¥n mët ph÷ìng tr¼nh vîi mët sè kh¡c khæng

3) Cëng v o ph÷ìng tr¼nh mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa mët ph÷ìngtr¼nh kh¡c

Nh÷ vªy ph÷ìng ph¡p Gauss gçm hai qu¡ tr¼nh:

Qu¡ tr¼nh thuªn: ÷a h» v· d¤ng tam gi¡c tr¶n

Qu¡ tr¼nh ng÷ñc: Gi£i h» tam gi¡c tr¶n tø d÷îi l¶n tr¶n.

a) Qu¡ tr¼nh thuªn : º vi¸t gån ta x²t h»

ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh:

x1 + b12x2 + · · · + b1nxn = b1,n+1 (1.4)vîi b1j = a

(0) 1j

a(0)11

, j = 2, , n + 1.Cëng v o ph÷ìng tr¼nh thù i cõa h» (1.3) ph÷ìng tr¼nh (1.4) sau khi ¢nh¥n vîi −a(0)

Nh÷ vªy sau b÷îc 1 ta thu ÷ñc ph÷ìng tr¼nh (1.4) v  h» (1.5)

B÷îc 2: Dòng ph÷ìng tr¼nh ¦u ti¶n trong (1.5) khû x2 trong c¡cph÷ìng tr¼nh cán l¤i t÷ìng tü nh÷ ¢ l m trong b÷îc 1 Qu¡ tr¼nh ÷ñcti¸p töc nh÷ vªy K¸t qu£ sau b÷îc thù m ta thu ÷ñc h»

xm+ bm,m+1xm+1+ · · · + bm,nxn = bm,n+1

a(m)m+1,m+1xm+1+ · · · + a(m)m+1,nxn = a(m)m+1,n+1

a(m)n,m+1xm+1 + · · · + a(m)n,nxn = a(m)n,n+1.vîi

bmj = a(m−1)mj /a(m−1)mm , j = m + 1, · · · , n + 1

a(m)ij = a(m−1)ij − a(m−1)im bmj, i = m + 1, , n; j = m + 1, , n + 1.Cuèi còng, sau n b÷îc khû ta thu ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh vîi ma trªntam gi¡c tr¶n sau ¥y

x1 + b12x2 + · · · + b1nxn = b1,n+1

x2 + · · · + b2nxn = b2,n+1 (1.6)

· · ·

xn = bn,n+1.C¡c h» sè ÷ñc t½nh theo cæng thùc

bmj = a(m−1)ij /a(m−1)mm , m = 1, , n; j = m + 1, , n + 1

a(m)ij = a(m−1)ij − a(m−1)im bmj; i = m + 1, , n; j = m + 1, , n + 1 (1.7)C¡c ph¦n tû a(m−1)

mm m = 1, , n a l  c¡c ph¦n tû trö hay c¡c ph¦n tûchõ ¤o

b) Qu¡ tr¼nh ng÷ñc: Gi£i h» (1.6) tø d÷îi l¶n tr¶n

1.2.3 Ph÷ìng ph¡p truy uêi gi£i h» ph÷ìng tr¼nh vîi ma trªn

xi−1 = αi−1xi+ βi−1 v o ph÷ìng tr¼nh thù i − 1 (i ≥ 2) ta thu ÷ñc biºudi¹n cõa xi qua xi+1

Tâm l¤i, ph÷ìng ph¡p n y gçm hai qu¡ tr¼nh sau :

• Qu¡ tr¼nh truy uêi xuæi: T½nh α1 = b1

ành lþ 1.1 N¸u tçn t¤i mët sè 0 < q < 1 sao cho ∀i = 1, 2, · · · , n

1.3 Nhúng i·u ki»n vªt lþ d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh PoissonX²t mët b£n mäng vªt ch§t Ω, câ ÷íng bi¶n l  mët ÷íng cong kh²pk½n Γ, °t trong m°t ph¯ng Oxy

Khi â ta câ ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t trong mæi tr÷íng ph¯ng çngch§t

∂y

h

k2(x, y, t, u)∂u

∂yi

+ f (x, y, t, u), (x, y) ∈ Ω, t > 0 (1.20)Hay khi k1, k2, f khæng phö thuëc v o u th¼ câ ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh

∂y

h

k2(x, y, t)∂u

∂yi

− q(x, y, t)u + f (x, y, t), (x, y) ∈ Ω, t > 0 (1.21)C¡c ph÷ìng tr¼nh (1.19), (1.20), (1.21) gåi l  c¡c ph÷ìng tr¼nh truy·nnhi»t hai chi·u

N¸u ¸n mët lóc n o â ph¥n bè nhi»t tr¶n b£n mäng vªt ch§t ¢ ên

ành, khæng thay êi theo thíi gian núa th¼ ta nâi hi»n t÷ñng truy·nnhi»t ¢ døng Tø lóc â nhi»t ë khæng thay êi theo thíi gian n¶n

∂2u

∂x2 + ∂

2u

∂y2 = f (x, y), (x, y) ∈ Ω (1.25)Ng÷íi ta gåi chóng l  ph÷ìng tr¼nh Poisson hai chi·u

èi vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson hai chi·u (1.25) i·u ki»n phö cho t¤i bi¶n

Γ cõa mi·n Ω

i·u ki»n phö

u(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ Γ (1.26)gåi l  i·u ki»n bi¶n lo¤i mët hay i·u ki»n bi¶n Dirichlet

B i to¡n t¼m h m sè u = u(x, y) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.25) vîi i·uki»n bi¶n (1.12) gåi l  b i to¡n bi¶n lo¤i mët hay b i to¡n bi¶n Dirichlet

èi vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson (1.24)

Þ ngh¾a vªt lþ cõa b i to¡n n y l  nâ mæ t£ sü ph¥n bè nhi»t ë ¢ ên

ành trong mi·n ph¯ng Ω khi ph¥n bè nhi»t ë t¤i bi¶n Γ cõa Ω ên ành

l  g(x, y)

1.4 Mët sè ph÷ìng ph¡p nëi suy cê iºn

1.4.1 Nëi suy Lagrange

a) Thi¸t lªp a thùc nëi suy

Ta s³ nëi suy h m f(x) t¤i c¡c iºm xi ∈ [a, b], (i ∈ 0, n) bði a thùc

i·u â câ ngh¾a l  Ln(x)l  a thùc nëi suy h m f(x) t¤i xi, (i = 0, , n)

do ð tr¶n ¢ chùng minh a thùc nëi suy l  duy nh§t Vªy Ln(x) ch½nh

l  a thùc nëi suy Pn(x) ð d¤ng (1.27) c¦n t¼m a thùc (2.3) mang t¶n

a thùc nëi suy Lagrange Nâ câ thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng

Wn+1(x) = (x − x0)(x − x1) (x − xn) (1.35)X²t hai tr÷íng hñp ìn gi£n cõa a thùc nëi suy Lagrange

• Nëi suy bªc nh§t hay nëi suy tuy¸n t½nh

Khi n = 1, ta câ hai nót nëi suy x0, x1 v 

L1(x) = f (x0) x − x1

x0 − x1 + f (x1)

x − x0

x1 − x0. (1.36)

• Nëi suy bªc hai

Khi n = 2 ta câ ba nót nëi suy x0, x1, x2 v 

L2(x) = f (x0) (x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2) + f (x1)

(x − x0)(x − x2)(x1 − x0)(x1 − x2)+ f (x2) (x − x0)(x − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1). (1.37)

÷íng cong y = L2(x)ch½nh l  parabol i qua ba iºm A(x0, f (x0)), B(x1, f (x1)),C(x2, f (x2))

V½ dö 1.4.1 X¥y düng a thùc nëi suy cho h m y = sin πx t¤i c¡c nót

x0 = 0, x1 = 1

6, x2 =

1

2.Gi£i:

Ta câ b£ng gi¡ trà cõa h m

1

2.

(x − 0)(x − 12)(16 − 0)(1

6 − 1

2)+1.

(x − 0)(x − 16)(12 − 0)(1

ành lþ sau ¥y cho ta ¡nh gi¡ â

ành lþ 1.2 Gi£ sû h m sè f(x) ∈ Cn+1[a, b], tùc l  câ ¤o h m li¶ntöc ¸n c§p n+1 tr¶n [a, b] chùa t§t c£ c¡c nót nëi suy xi, (i = 0, , n).Khi â sai sè nëi suy Rn(x) = f (x) − Ln(x) câ d¤ng

Rn(x) = f

n+1(ξ)(n + 1)!Wn+1(x), (1.38)trong â ξ l  mët iºm phö thuëc v o x v  thuëc [a, b]

H» qu£ 1.1 èi vîi sai sè cõa a thùc nëi suy Lagrange cho h m f(x)t¤i c¡c nót x0, ·, xn ∈ [a, b] câ ¡nh gi¡

|f (x) − Ln(x)| ≤ Mn+1

(n + 1)!|Wn+1(x)|, (1.39)trong â Mn+1 = max

a≤x≤b|f(n+1)(x)|

1.4.2 Nëi suy Newton

a thùc nëi suy Lagrange (2.3), nh÷ ta th§y r§t ìn gi£n v  d¹ t½nhn¸u c¡c nót nëi suy ¢ ÷ñc cè ành Nh÷ng n¸u nh÷ ta bä sung th¶m

nót nëi suy th¼ qu¡ tr¼nh t½nh l¤i ph£i thüc hi»n l¤i tø ¦u ¥y l  nh÷ñc

iºm r§t lîn cõa a thùc nëi suy Lagrange º kh­c phöc nh÷ñc iºmtr¶n ng÷íi ta t½nh a thüc nëi suy theo mët c¡ch kh¡c hi»u qu£ hìn â

l  cæng thùc nëi suy Newton º x¥y düng cæng thùc n y, ta c¦n ¸nkh¡i ni»m t sai ph¥n

a) T sai ph¥n

Gi£ sû f(x) l  mët h m sè x¡c ành v  li¶n töc trong o¤n [a, b] Ti¸ptheo gi£ sû a = x0 < x1 < < xn = b l  tªp c¡c iºm nót, t¤i â chotr÷îc gi¡ trà cõa h m

Ta ành ngh¾a:

- T sai ph¥n bªc 0 cõa h m f(x) t¤i xi l  f(xi)

-T sai ph¥n bªc 1 cõa h m f(x) t¤i xi v  xj l 

f (xi, xj) = f (xi) − f (xj)

xi− xj .-T sai ph¥n bªc 2 cõa h m f(x) t¤i xi, xj, xk l 

f (xi, xj, xk) = f (xi, xj) − f (xi, xk)

xj − xk .Mët c¡ch têng qu¡t, t sai ph¥n bªc k cõa h m f t¤i x0, x1, , xk+1 l 

f (x0, x1, , xk+1) = f (x0, x1, , xk) − f (x1, x2, , xk+1)

D¹ th§y r¬ng t sai ph¥n câ c¡c t½nh ch§t sau:

i) Thù tü c¡c nót trong t sai ph¥n câ thº £o ng÷ñc, ch¯ng h¤n

b) a thùc nëi suy Newton

Tø ành ngh¾a c¡c t sai ph¥n suy ra

Pn(x) = f (x0) + (x − x0)f (x0, x1) + (x − x0)(x − x1)f (x0, x1, x2) +

+ (x − x0)(x − x1) (x − xn−1)f (x0, x1, , xn) (1.41)hay

Nhªn x²t

1) Vi»c t½nh to¡n a thùc nëi suy theo cæng thùc tr¶n kh­c phöc ÷ñcnh÷ñc iºm cõa c¡ch t½nh theo cæng thùc Lagrange (2.3) v¼ bê sung c¡cnót nëi suy mîi ch¿ c¦n t½nh th¶m mët sè h¤ng mîi cëng v o têng cô.2) Sau khi ¢ t½nh ÷ñc c¡c t sai ph¥n, º t½nh a thùc nëi suyNewton mët c¡ch húu hi»u ng÷íi ta th÷íng dòng l÷ñc ç Horner

P (x) = f (x0) + (x − x0)[f (x0, x1) + (x − x1)[f (x0, x1, x2)

+ (x − x2)[f (x0, x1, x2, x3) + ]]]

3) N¸u xu§t ph¡t tø xn v  lòi ¸n x0 ng÷íi ta x¥y düng ÷ñc a thùc

nëi suy d¤ng sau

Pn(x) = f (xn) + (x − xn)f (xn, xn−1) + (x − xn)(x − xn−1)f (xn, xn−1, xn−2)

+ + (x − xn)(x − xn−1) (x − x1)f (xn, xn−1, , x0) (1.43)

Cæng thùc tr¶n câ t¶n gåi l  a thùc nëi suy Newton lòi

c) Sì ç t½nh

º t½nh c¡c t sai ph¥n (T.s.p) trong cæng thùc cõa a thùc nëi suy

Newton (1.41) ng÷íi ta lªp b£ng (1.1) (v½ dö cho n = 4)

d) Sai sè cõa a thùc nëi suy Newton

Tø ành ngh¾a cõa c¡c t sai ph¥n vi¸t cho h m f(x), t÷ìng tü nh÷

trong möc tr÷îc ta câ thº thu ÷ñc

Wn+1(x) = Πni=0(x − xi)

1.5 Nëi suy bði h m RBF

1.5.1 Mët sè ành ngh¾a

ành ngh¾a 1.1 (Tªp c¡c t¥m ríi r¤c Ξ([4]) Tªp c¡c t¥m ríi r¤c Ξ

l  t§t c£ c¡c t¥m, bao gçm c£ c¡c t¥m n¬m trong mi·n v  c¡c t¥m n¬m

tr¶n bi¶n

ành ngh¾a 1.2 (V²c tì trång sè (stencil)[3])) Cho D l  to¡n tû

vi ph¥n tuy¸n t½nh v  X = {x1, , xn} l  bë c¡c t¥m ph¥n t¡n ¢ ÷ñc

chån trong khæng gian Rn Mët x§p x¿ vi ph¥n tuy¸n t½nh vîi to¡n tû D

Trong c¡c ph÷ìng ph¡p düa tr¶n l÷îi th¼ tªp n y bao gçm xi v  c¡c

¿nh cõa c¡c tam gi¡c m  ÷ñc li¶n thæng vîi xi bði mët c¤nh Cán èivîi ph÷ìng ph¡p khæng l÷îi, c¦n mët thuªt to¡n lüa chån c¡c t¥m m chóng tæi gåi l  thuªt to¡n lüa chån gi¡ cõa v²c tì trång sè

ành ngh¾a 1.4 (H m b¡n k½nh) Mët h m Φ : Rd

−→ R ÷ñc gåi l 

h m b¡n k½nh n¸u ð â tçn t¤i mët h m φ : [0, +∞) −→ R sao cho

Φ(x) = φ(||x||2), ∀x ∈ Rdtrong â ||x||2 l  chu©n Euclide

ành ngh¾a 1.6 H m mët bi¸n φ : [0, ∞) → R ÷ñc gåi l  x¡c ànhd÷ìng tr¶n Rd n¸u h m nhi·u bi¸n t÷ìng ùng Φ(x) := φ(||x||2), x ∈ Rd

l  x¡c ành d÷ìng

1.5.2 Nëi suy dú li»u ph¥n t¡n trong khæng gian Rd

Cho (xi, yi), i = 1, 2, n, xi ∈ Rd, yi ∈ R vîi xi l  c¡c và tr½ o, yi l c¡c k¸t qu£ o ¤c Gi£ sû r¬ng dú li»u ph¥n t¡n, ngh¾a l  c¡c và tr½ dú

li»u khæng n¬m tr¶n l÷îi ·u.

Cho B1, B2 , , Bn l  c¡c h m cì sð cõa khæng gian tuy¸n t½nh

B i to¡n (1.49)-(1.50) câ thº gi£i ÷ñc n¸u det A 6= 0 V¼ vªy c¥u häi °t

ra ð ¥y l  chån cì sð {B1, B2, , Bn}nh÷ th¸ n o º sao cho det A 6= 0?Trong tr÷íng hñp nëi suy a thùc th¼ c¡c cì sð

{B1, B2, , Bn} = {1, x, x2, , xn−1}

ành ngh¾a 1.7 Cho F ⊂ C(Ω) l  khæng gian tuy¸n t½nh húu h¤n chi·u

câ cì sð l  {B1, B2, , Bn} Khi â F l  khæng gian Haar tr¶n Ωd

ành lþ Maihuber Curtis cho th§y r¬ng n¸u muèn gi£i ÷ñc b i to¡nnëi suy dú li»u ph¥n t¡n nhi·u bi¸n th¼ cì sð c¦n phö thuëc v o c¡c vàtr½ dú li»u º thu ÷ñc c¡c khæng gian x§p x¿ phö thuëc dú li»u, chóng

ta c¦n x²t c¡c h m x¡c ành d÷ìng v  c¡c ma trªn d÷ìng

1.5.3 Nëi suy vîi h m cì sð theo b¡n k½nh

Cho bë Φk, k = 1, 2, , n sao cho

Φk(x) = Φ(x − xk) = φ(||x − xk||2), x ∈ Rd (1.51)Nëi suy h m cì sð theo b¡n k½nh câ ngh¾a c¦n t¼m

n

X

ckφ(||xi − xk||) = yi, i = 1, 2, , n

· · · ·Φ(xn− x1) Φ(xn − x2) · · · Φ(0)

1.5.4 Nëi suy vîi ë ch½nh x¡c a thùc v  h m x¡c ành d÷ìng

câ i·u ki»n

Cho bë Φk, k = 1, 2, , n sao cho

Φk(x) = Φ(x − xk) = φ(||x − xk||2), ∀x ∈ RdNëi suy h m cì sð theo b¡n k½nh vîi ë ch½nh x¡c a thùc câ ngh¾a l c¦n t¼m

n

X

k=1

ckp`(xk) = 0, ` = 1, 2, , M

Do â ta câ i·u ki»n nëi suy suy rëng

· · · ·Φ(xn− x1) Φ(xn − x2) · · · Φ(0)

#

=

"

y0

gian Rd th¼ hìn núa nâ s³ l  x¡c ành d÷ìng câ i·u ki»n vîi måi bªclîn hìn ` Cö thº l  n¸u mët h m l  x¡c ành d÷ìng (` = 0) th¼ s³ l x¡c ành d÷ìng vîi måi bªc ` ∈ N.

2) Ma trªn A vîi c¡c ph¦n tû Aj,k = Φ(xj − xk) t÷ìng ùng vîi h mch®n, li¶n töc v  x¡c ành d÷ìng câ i·u ki»n bªc `, câ thº ÷ñc s¡ng tänh÷ l  h m x¡c ành d÷ìng tr¶n khæng gian v²c tì c sao cho

1.5.5 Sai sè, ên ành v  hëi tö

∗ ×îc l÷ñng sai sè cõa h m nëi suy theo b¡n k½nh:

Cho h m f : Ω ⊆ Rd

→ R v  ta kþ hi»u NΦ(Ω) l  khæng gian ÷ñc sinh

ra bði Φ, â l  khæng gian Hilbert m  c¡c ph¦n tû cõa nâ câ d¤ng

n Φ

X

j=1

cjΦ( − xj), xj ∈ Ω,trong â cho ph²p nΦ = ∞ v  t½ch væ h÷îng cõa nâ ÷ñc cho bði

|β|

(∂x )β1 (∂x )βd

Khi â, vîi h m trìn v  kh£ vi væ h¤n l¦n nh÷ h m Gauss v  h mMultiquadrics th¼ ta s³ câ ë hëi tö cao b§t ký Ngh¾a l , vîi måi ` ∈ N

v  |α| ≤ ` chóng ta câ

|Dαf (x) − DαP f (x)| ≤ C`h`−|α|X,Ω |f |NΦ(Ω), (1.60)trong â f ∈ NΦ(Ω)

∗ Sü ên ành v  sè i·u ki»n cõa ma trªn nëi suy h m cì sðtheo b¡n k½nh:

B i to¡n nëi suy (1.53) khi t½nh to¡n s³ g°p sai sè m¡y t½nh v  d¨n ¸n

Suy ra, ta câ sai sè tuy»t èi

V¼ ¥y l  ph÷ìng ph¡p x§p x¿ trong ph÷ìng ph¡p sè n¶n ta ch¿ ÷ñcph²p b n ¸n sai sè t÷ìng èi

trong â cond(A) = ||A||2||A−1||2 l  sè i·u ki»n cõa ma trªn A

èi vîi ma trªn x¡c ành d÷ìng th¼ cond(A) = λmax

λmin, trong â λmax l gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t, cán λmin l  gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t

Quan s¡t ma trªn A trong cæng thùc (1.54) ta th§y

trong â Cd l  h¬ng sè v  qχ = 1

2mini6=j ||xi − xj||2 l  kho£ng c¡ch t¡chbi»t (separation distance)

Quan s¡t hìn núa, ta th§y r¬ng:

1) N¸u cè ành  v  cho qχ → 0 th¼ cond(A) → ∞

2) T÷ìng tü, n¸u cè ành qχ v  cho  → 0 th¼ cond(A) → ∞

Do â, n¸u chån nhi·u iºm ho°c chån  qu¡ nhä công ·u d¨n ¸n câthº câ k¸t qu£ t½nh to¡n khæng ên ành V¼ vªy mët c¥u häi °t ra ð

¥y l  chån sè iºm nëi suy b¬ng bao nhi¶u l  õ v  gi¡ trà  b¬ng baonhi¶u l  tèi ÷u?

∗ Sü hëi tö cõa nëi suy h m cì sð theo b¡n k½nh:

èi vîi h m Gauss v  lîp h m Mutliquadric, n«m 1991 Mandych ¢chùng minh r¬ng n¸u f ∈ NΦ(Ω) th¼ ð â tçn t¤i λ ∈ (0, 1) sao cho

|f (x) − P f (x)| ≤ Cλ1/(hX,Ω ) (1.66)

câ ngh¾a l  h m nëi suy P f s³ hëi tö ¸n h m f ∈ NΨ(Ω)vîi tèc ë môkhi  → 0 ho°c hX,Ω → 0

Ω ⊂ Rd B i to¡n ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: cho f : Ω −→ R v  g : ∂Ω −→

R l  c¡c h m li¶n töc T¼m h m u ∈ C2( ¯Ω) sao cho :

vîi i·u ki»n bi¶n

u

X²t b i to¡n Dirichlet vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson (2.1) − (2.2) trong mi·nh¼nh chú nhªt Ω = {(x; y)| : a < x < b; c < y < d} ÷íng bi¶n cõa Ωk½ hi»u l  ∂Ω, â l  c¡c o¤n th¯ng

(a, y) : c ≤ y ≤ d, (b, y) : c ≤ y ≤ d,(x, c) : a ≤ x ≤ b, (x, d) : a ≤ x ≤ b

Gi£ sû r¬ng b i to¡n tr¶n câ nghi»m duy nh§t õ trìn trong ¯Ω = Ω∪∂Ω

2.1.1 L÷îi sai ph¥n v  h m l÷îi

Chia Ω th nh c¡c æ nhä Chån tr÷îc hai sè nguy¶n N > 1, M > 1,

°t h = b − a

N gåi l  b÷îc i theo x v  k = d − c

M gåi l  b÷îc i theo y

Méi h m u(x; y) x¡c ành t¤i måi (x; y) ∈ ¯Ω t¤o ra h m l÷îi u x¡c

ành bði uij = u(xi, yj) Ta s³ t½nh g¦n óng gi¡ trà cõa nghi»m u(x, y)t¤i c¡c nót (xi, yj) v  kþ hi»u gi  trà g¦n óng â l  vij:

vij ≈ u(xi, yj)

2.1.2 L÷ñc ç sai ph¥n

Vîi méi (i, j) ∈ Ωhk, ta chån mët cæng thùc vi ph¥n tuy¸n t½nh èivîi to¡n tû Laplace ∆ Gåi v l  mët h m l÷îi n o â x¡c ành t¤i måinót cõa l÷îi ¯Ωhk Ta °t:

∆hkv ≈ 1

h2 (vi−1j − 2vij + vi+1j) + 1

k2 (vij−1 − 2vij + vij+1)Khi â ta ÷ñc

∆hku = ∆u + 0(h2 + k2) (2.3)

Sè h¤ng 0(h2 + k2) l  mët væ còng b² Ta nâi to¡n tû ∆hk x§p x¿ to¡n

tû ∆ Ta câ vectì trång sè l 

ω = −2/h2 − 2/k2, 1/h2, 1/k2, 1/h2, 1/k2
Thay vectì trång sè n y v o b i to¡n (2.1) − (2.2) ta thu ÷ñc ph÷ìngtr¼nh sai ph¥n

∆hkv = fij, fij = f (xi, yj), (xi, yj) ∈ Ωhk (2.4)

vij = g(xi, yj), (xi, yj) ∈ ∂Ωhk (2.5)

...

Xt bi toĂn Dirichlet vợi phữỡng trẳnh Poisson (2.1) (2.2) miÃnhẳnh chỳ nhêt = {(x; y)| : a < x < b; c < y <... > 1, M > 1,

°t h = b − a

N gồi l bữợc i theo x v k = d c

M gồi l bữợc i theo y