Xây dựng một số bộ dữ liệu phân tán trong không gian 2D cho phương pháp RBF FD giải phương trình Poisson

1 NGUYỄN NGỌC KHÁNH XÂY DỰNG MỘT SỐ BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN TRONG KHÔNG GIAN 2D CHO PHƢƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƢƠNG TRÌNH POISSON CHUYÊN NGÀNH: KHOA HỌC MÁY TÍNH MÃ SỐ: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ THÁI NGUYÊN - 2013 2 Tôi xin cam đoan: Luận văn này là sản phẩm nghiên cứu của tôi. Số liệu trong luận văn là trung thực. Tài liệu nghiên cứu có nguồn gốc rõ ràng. Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình. Học viên thực hiện luận văn Nguyễn Ngọc Khánh 3 LỜI CẢM ƠN Để có thể hoàn thành luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự hƣớng dẫn nhiệt tình của quý Thầy Cô, cũng nhƣ sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ. Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến cô giáo TS. Đặng Thị Oanh, ngƣời đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều mà cô đã dành cho tôi. Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý Thầy Cô trong Trƣờng Đại Học Công Nghệ Thông Tin & Truyền Thông cũng nhƣ quý Thầy Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và cho đến khi thực hiện luận văn. Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những ngƣời đã không ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến các anh chị và các bạn bè đồng nghiệp đã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh. Thái Nguyên, tháng 12 năm 2013 Học viên thực hiện Nguyễn Ngọc Khánh 4 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Từ Ý nghĩa RBF Radial Basic Function FD Finite Different LLF Lee Liu Fan MQ Multiquadric IMQ Inverse Multiquadric Gauss Gaussian BST Binary Search Tree W33 Wendlend's C 6 5 DANH MỤC HÌNH VẼ Trang Hình 2.1 Sinh tâm ngẫu nhiên (200 tâm trong số 4000 tâm) 30 Hình 2.2 Sinh tâm ngẫu nhiên (400 tâm trong số 4000 tâm) 30 Hình 2.3 Sinh tâm ngẫu nhiên (800 tâm trong số 4000 tâm) 31 Hình 2.4 Cấu trúc ngựa vằn (200 tâm với độ rộng dải trống là 0.65) 32 Hình 2.5 Cấu trúc ngựa vằn (800 tâm với độ rộng dải trống là 0.65) 32 Hình 2.6 Cấu trúc ngựa vằn (800 tâm với độ rộng dải trống là 0.13) 33 Hình 2.7 Cấu trúc ngựa vằn (1200 tâm với độ rộng dải trống là 0.13) 33 Hình 2.8 Cấu trúc ngựa vằn (800 tâm với độ rộng dải trống là 0.15) 34 Hình 2.9 Cấu trúc ngựa vằn (1200 tâm với độ rộng dải trống là 0.15) 34 Hình 2.10 Cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên (200 tâm trong miền với hệ số co là 0.2) 37 Hình 2.11 Cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên (400 tâm trong miền với hệ số co là 0.2) 37 Hình 2.12 Cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên (400 tâm trong miền với hệ số co là 0.4) 38 Hình 2.13 Cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên (800 tâm trong miền với hệ số co là 0.4) 38 Hình 2.14 Cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên (400 tâm trong miền với hệ số co là 0.6) 39 Hình 2.15 Cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên (800 tâm trong miền với hệ số co là 0.6) 39 Hình 2.16 Cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên (400 tâm trong miền với hệ số co là 0.8) 40 Hình 2.17 Cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên 40 6 (800 tâm trong miền với hệ số co là 0.8) Hình 2.18 Bộ tâm là sản phẩm của thuật toán làm mịn thích nghi (với số nút trên miền = 145 và số nút trên biên = 44) 45 Hình 2.19 Bộ tâm là sản phẩm của thuật toán làm mịn thích nghi (Số nút trên miền 206 và số nút trên biên 54) 46 Hình 2.20 Bộ tâm là sản phẩm của thuật toán làm mịn thích nghi (số nút trên miền = 283 và số nút trên biên= 74) 46 Hình 2.21 Bộ tâm là sản phẩm của thuật toán làm mịn thích nghi (với số nút trên miền = 433 và số nút trên biên = 102) 47 Hình 3.1 Giao diện chính của chƣơng trình 49 Hình 3.2 50 Bảng1.1 Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo 19 Bảng 3.1 Bảng sai số RMS trên bộ tâm đƣợc biểu diễn nhƣ trong hình 3.2 50 7 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 10 CHƢƠNG 1 12 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 12 1.1. ĐIỀU KIỆN VẬT LÝ DẪN ĐẾN PHƢƠNG TRÌNH POISSON 12 1.2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 13 1.3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 15 1.3.1. Phƣơng pháp Gauss 15 1.3.2. Phƣơng pháp truy đuổi giải hệ phƣơng trình với ma trận ba đƣờng chéo 17 1.4. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 19 1.4.1. Định nghĩa bộ dữ liệu phân tán 19 1.4.2. Một số định nghĩa liên quan đến hàm Radial Basis Function-RBF 19 1.4.3. Định nghĩa véc tơ trọng số 20 1.5. NỘI SUY HÀM RBF 20 1.5.1. Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian d R 20 1.5.2. Nội suy với hàm cơ sở theo bán kính 21 1.6. PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN (Finite Different - FD) 22 1.6.1. Bài toán 22 8 1.6.2. Rời rạc bài toàn Dirichlet 23 1.6.3. Lƣợc đồ sai phân hữu hạn giải bài toán Dirichlet với phƣơng trình Poisson 23 CHƢƠNG 2 25 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN TRONG KHÔNG GIAN 2D 25 2.1. PHƢƠNG PHÁP RBF-FD (Radial Basis Function Finite Different) 25 2.1.1. Véc tơ trọng số dựa vào hàm nội suy theo cơ sở bán kính25 2.1.2. Ma trận hệ số (ma trận cứng) 27 2.1.3. Lƣợc đồ RBF 27 2.2. THUẬT TOÁN CHỌN BỘ TÂM HỖ TRỢ TÍNH HỆ SỐ NỘI SUY HÀM RBF 28 2.3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN 32 2.3.1. Bộ tâm ngẫu nhiên 32 2.3.2. Cấu trúc Ngựa vằn (Zebra) 34 2.3.3. Cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên . 37 2.3.4. Làm mịn thích nghi 43 CHƢƠNG 3 50 THỬ NGHIỆM SỐ 50 3.1. GIAO DIỆN CHÍNH CỦA CHƢƠNG TRÌNH 50 3.2. SAI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN THỬ NGHIỆM 50 3.2.1 Sai số 50 9 3.2.2 Các bài toán 51 3.3 KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 51 3.3.1 Thử nghiệm trên bộ sinh tâm ngẫu nhiên 51 3.3.2 Thử nghiệm trên cấu trúc ngựa vằn 52 3.3.3 Thử nghiệm trên bộ sinh tâm co đều xung quanh các điểm : 54 3.3.4 Thử nghiệm trên cấu trúc sinh tâm thích nghi 56 58 59 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƢỚNG DẪN 61 10 LỜI MỞ ĐẦU Trong suốt thế kỷ XX một loạt các phƣơng pháp số đã hình thành và phát triển nhƣ các phƣơng pháp sai phân hữu hạn, phƣơng pháp phần tử hữu hạn v.v… đã đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng các phƣơng pháp toán học vào thực tiễn. Các phƣơng pháp vừa nêu nói chung đều là các phƣơng pháp lƣới. Tuy nhiên, các phƣơng pháp này còn nhiều hạn chế khi áp dụng vào lớp các bài toán thực tế có miền hình học hoặc dữ liệu phân bố quá phân tán. Vào khoảng những năm cuối của thế kỷ trƣớc đã hình thành một xu hƣớng mới của các phƣơng pháp số: Phƣơng pháp không lƣới. Cũng nhƣ các phƣơng pháp lƣới, để giải các bài toán biên bằng phƣơng pháp không lƣới cũng cần thiết có các tập hợp nút, mà ở đây gọi là các bộ tâm để tính toán. Từ bộ tâm này ta xấp xỉ các toán tử vi phân bằng tổ hợp các giá trị của hàm tại các nút. Phƣơng pháp tìm các vectơ trọng số dựa trên các hàm cơ sở bán kính (RBF – Radial Basis Function) gọi là phƣơng pháp dựa vào nội suy dữ liệu phân tán với các hàm cơ sở bán kính RBF – FD (Radial Basis Function – Finite Different). Khi áp dụng phƣơng pháp này, khó khăn gặp phải là chọn bộ tâm hỗ trợ cho việc tính véc tơ trọng số. Nhờ sự giúp đỡ của TS. Đặng Thị Oanh, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài: “Xây dựng một số bộ dữ liệu phân tán trong không gian 2D cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson”. Mục đích của đề tài là xây dựng một số bộ tâm có cấu trúc đặc biệt để test độ mạnh của một số thuật toán chọn tâm hỗ trợ cho tính véc tơ trong số hiện nay. Trên cơ sở thực hiện các test sẽ rút ra đƣợc một số nhận xét nhằm cải tiến việc chọn bộ tâm sao cho nội suy hàm RBF tốt hơn. Nội dung luận văn bao gồm 3 chƣơng: Chƣơng 1: Một số kiến thức cơ sở [...]...11 Chƣơng này trình bày đ H ; ; ; ; Nội suy RBF; Phƣơng pháp sai phân Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp xây dựng bộ tâm dữ liệu phân tán trong không gian 2D Chƣơng này nghiên cứu về phƣơng pháp RBF- FD, xây dựng ma trận hệ số, thuật toán chọn bộ tâm cho hệ số nội suy hàm RBF và chuyên sâu về nghiên cứu một số phƣơng pháp xây dựng bộ dữ liệu phân tán nhƣ: sinh bộ tâm ngẫu nhiên, cấu trúc ngựa... và X x1 , x2 , xn là bộ tâm phân tán đã đƣợc chọn trong không gian R d Một xấp xỉ vi phân tuyến tính đối với toán tử D n Du x w i x u xi (1.24) i 1 đƣợc xác định bởi các trọng số w i w i x Khi đó w w1 , w 2 , w n đƣợc gọi là véc tơ trọng số hay còn đƣợc gọi là stencil đối với toán tử vi phân D 1.5 NỘI SUY HÀM RBF 1.5.1 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian R d [8] Cho bộ dữ liệu xi , yi , i 1,... 1.3 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH [12] 1.3.1 Phƣơng pháp Gauss [14] Đây là phƣơng pháp trực tiếp giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính Ý tƣởng của phƣơng pháp khử Gauss là khử dần các ẩn để đƣa hệ ban đầu về hệ với ma trận tam giác trên bằng các phép biến đổi tƣơng đƣơng: 1) Đổi chỗ hai phƣơng trình bất kì 2) Nhân một phƣơng trình với một số khác không 3) Cộng vào phƣơng trình. .. 1.4 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.4.1 Định nghĩa bộ dữ liệu phân tán [8] Cho bộ dữ liệu xi , yi , i 1, 2, , n , xi Rd , yi R , trong đó xi là các vị trí đo, yi là các kết quả tại vị trí đo Cho B1 , B2 , , Bn là các hàm cơ sở của không gian tuyến tính các hàm liên tục d biến Ký hiệu: n F span B1 , B2 , Bn ck Bk , ck R k 1 ; 1.4.2 Một số định nghĩa liên quan đến hàm Radial Basis Function -RBF. .. nghi Chƣơng 3: Thử nghiệm số Chƣơng này dành cho phần thử nghiệm phƣơng pháp RBF- FD trên các bộ tâm đƣợc sinh ra bởi các phƣơng pháp trình bày trong chƣơng 2 12 CHƢƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 ĐIỀU KIỆN VẬT LÝ DẪN ĐẾN PHƢƠNG TRÌNH POISSON [12] Xét một bản mỏng vật chất , có đƣờng biên là một đƣờng cong khép , đặt trong mặt phẳng Oxy kín Khi đó ta có phƣơng trình truyền nhiệt trong môi trƣờng phẳng... với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một x1 , x2 , , xn trong nếu , trong đó ma trân A đƣợc định nghĩa bởi (1.28) Định lý 1.1 [8] (Mairhuber Curtis) Giả sử rằng Rd , d 2 , chứa một điểm trong Khi đó không tồn tại không gian Haar của các hàm liên tục trên Định lý Mairhuber Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải đƣợc bài toán nội suy dữ liệu phân tán nhiều biến thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu Để... CHƢƠNG 2 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN TRONG KHÔNG GIAN 2D 2.1 PHƢƠNG PHÁP RBF- FD (Radial Basis Function Finite Different) 2.1.1 Véc tơ trọng số dựa vào hàm nội suy theo cơ sở bán kính Cho : [0; ) —> R là hàm xác định dƣơng, bán kính thỏa mãn (x) := : Rd —> R là hàm || x ||2), || x ||2 là chuẩn Euclide của x Rd là bộ tâm phân biệt từng đôi một, u : Rd —> R là X ={ x 1, x 2, , x n}... trọng số nhƣ sau : Cho : R d R là hàm xác định dƣơng, X = {x1,x2,…,xn} R là bộ tâm phân biệt từng đôi một, hàm u : Rd — R là hàm liên tục, D là toán tử vi phân tuyến tính và hàm nội suy s đƣợc biểu diễn dƣới dạng (2.1) - (2.2) Khi đó véc tơ trọng số w của vi phân số tại x đƣợc tìm bằng cách giải hệ phƣơng trình 27 (2.6), hay véc tơ trọng số là các hệ số của nội suy hàm cơ sở bán kính với dữ liệu đƣợc cho. .. khi thuật toán không kết thúc sớm là O(k2 ) Vì vậy, độ phức tạp thuật toán của đoạn chƣơng trình từ bƣớc I đến bƣớc III là theo quy tắc cộng Nên nó chính là độ phức tạp của bƣớc I và nó là O(m.log(N)) Hơn nữa, Nint là số nút trong tập int nên độ phức tạp của Thuật Toán 1 là O(Nint.m.log(N)) Vì vậy mệnh đề 2.1 đƣợc chứng minh 2.3 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN 2.3.1 Bộ tâm ngẫu nhiên... , j 1 , , k 1 \ j 1 , Một quan sát giống như áp dụng chọn p trong Bước III 4- Trong trường hợp các miền phức tạp, nếu phần giữa của miền biên thì nên bỏ các điểm i và i cắt này đi ngay trong bước I c Đánh giá độ phức tạp của thuật toán Mệnh đề 2.1 Cho N là số các tâm, rời rạc , N int là số các tâm thuộc tập k là số tâm trong bộ tâm cho hệ số nội suy RBF int , và m (m > k) là số tâm gần nhất Khi đó, . KHÁNH XÂY DỰNG MỘT SỐ BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN TRONG KHÔNG GIAN 2D CHO PHƢƠNG PHÁP RBF- FD GIẢI PHƢƠNG TRÌNH POISSON CHUYÊN NGÀNH: KHOA HỌC MÁY TÍNH MÃ SỐ: 60.48.01 . về phƣơng pháp RBF- FD, xây dựng ma trận hệ số, thuật toán chọn bộ tâm cho hệ số nội suy hàm RBF và chuyên sâu về nghiên cứu một số phƣơng pháp xây dựng bộ dữ liệu phân tán nhƣ: sinh bộ tâm ngẫu. 1: Một số kiến thức cơ sở 11 Chƣơng này trình bày đ ; H ; ; ; Nội suy RBF; Phƣơng pháp sai phân . Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp xây dựng bộ tâm dữ liệu phân tán trong không gian 2D