Phương pháp RBF FD giải phương trình POISSON trong không gian hai chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN - Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: THÁI NGUYÊN - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i TS Oanh Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2013 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Minh Thùy Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ii i DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iv v vii MỞ ĐẦU CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Điều kiện vật lý dẫn đến phƣơng trình Poisson 1.1.1 Bài toán truyền nhiệt vật chất 1.1.2 Bài tốn truyền nhiệt mơi trƣờng phẳng 1.2 Một số định nghĩa 1.2.1 Nội suy liệu phân tán 1.2.2 Ma trận xác định dƣơng hàm xác định dƣơng 1.2.3 Hàm bán kính 1.2.4 Hàm xác định dƣơng 1.2.5 Hàm bán kính xác định dƣơng 1.3 Nội suy liệu phân tán với hàm xác định dƣơng 10 12 1.4.1 Hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 12 1.4.2 Các loại phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 14 1.4.3 Phƣơng pháp Gauss giải hệ phƣơng trình tuyến tính 14 1.4.4 Phƣơng pháp Jacobi giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 17 1.4.5 Phƣơng pháp truy đuổi đƣờng chéo giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 19 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI PHƢƠNG TRÌNH POISSON 22 2.1 Phƣơng pháp FD giải phƣơng trình Poisson miền chữ nhật 22 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ iii 2.1.1 Phát biểu toán 22 2.1.2 Rời rạc hóa tốn Dirichlet 22 2.1.3 Lƣợc đồ sai phân hữu hạn giải tốn Dirichlet với phƣơng trình Poisson 23 2.2 Lƣợc đồ RBF-FD giải tốn Dirichlet với phƣơng trình Poisson 23 23 2.2.2 Lƣợc đồ RBF-FD dựa hàm RBF 25 2.2.3 Ƣu nhƣợc điểm phƣơng pháp RBF-FD 25 2.3 Thuật toán chọn tâm 26 CHƢƠNG THỬ NGHIỆM SỐ 30 30 - 37 45 46 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ iv DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT BST : Binary Search Tree FD : Fnite Different Gauss : Gaussian IMQ : Inverse Multiquadric LLF : Lee Liu Fan MQ : Multiquadric RBF : Radial Basis Function W33 : Wendlend‟s C6 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ v Hình 1.1: Thanh vật chất đặt trục Ox từ x a đến x a L b Hình 1.2: Bản mỏng vật chất có đƣờng biên đƣờng cong khép kín h 30 (Adaptive) pdetoolbox 31 32 -FD [0,1]2 32 (Adaptive) pdetoolbox 32 33 -FD tr [0,1]2 34 (Adaptive) pdetoolbox 34 35 [0,1]2 35 (Adaptive) pdetoolbox 36 -FD 36 -FD [0,1] 37 (Adaptive) pdetoolbox 37 3.14 38 3.16: B (Adaptive) pdetoolbox 38 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ vi 3.16 39 (Adaptive) pdetoolbox 40 3.18 40 (Adaptive) pdetoolbox 41 3.20 41 (Adative) pdetoolbox 42 3.22 42 (Adaptive) pdetoolbox 43 3.24 43 (Adaptive) pdetoolbox 44 3.26 44 (Adaptive) pdetoolbox 45 3.28 45 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ vii Bảng 1.1: Một số hàm sở bán kính dùng báo cáo, r x xk Bảng 1.2: Một số hàm sở bán kính với tham số hình dạng Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ >0 MỞ ĐẦU Nhiều tƣợng khoa học kỹ thuật dẫn đến tốn biên phƣơng trình vật lý tốn Giải tốn đến đáp số số yêu cầu quan trọng thực tiễn Trong số trƣờng hợp thật đơn giản, việc làm đƣợc nhờ vào nghiệm tƣờng minh tốn dƣới dạng cơng thức sơ cấp, tích phân chuỗi hàm Còn đại đa số trƣờng hợp khác, đặc biệt tốn có hệ số biến thiên, tốn phi tuyến, tốn miền nghiệm tƣờng minh tốn khơng có, có nhƣng phức tạp Trong trƣờng hợp việc tính nghiệm phải dựa vào phƣơng pháp giải gần Tuy nhiê Muốn sử dụng phƣơng pháp ta cần lƣới điểm Vì cần chi phí cho sinh lƣới, trì lƣới cập nhật lƣới Hơn trƣờng hợp miền có hình học phức tạp việc sinh lƣới, trì lƣới cập nhật lƣới gặp khó khăn chí nghiệm xấp xỉ thu đƣợc khác xa nghiệm xác S tìm hiểu chƣơng: Chƣơng 1: Chƣơng 2: Phƣơng p - Chƣơng 3: Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Điều kiện vật lý dẫn đến phƣơng trình Poisson 1.1.1 Bài tốn truyền nhiệt vật chất Xét vật chất đồng chất, dài L cm , có thiết diện thẳng nhỏ khơng đổi S (cm ) , có khối lƣợng riêng ( g / cm3 ) , có nhiệt dung [9] C (cal / g.0 C ) Xét phận vật chất tích V (cm3 ) Nếu phận có nhiệt độ khơng đổi nhiệt độ u (0 C ) nhiệt lƣợng H (cal ) liên hệ với theo công thức: H u CV (1.1) Ngƣời ta quan sát thấy vật chất có vùng nóng vùng lạnh nhiệt lƣợng có khả khuếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh Ta gọi suất khuếch tán nhiệt k (cm / s ) Chú ý 1: Đôi người ta gọi c k C suất dẫn nhiệt [cal / ( s.cm 0C )] vật chất Cả k c tham số phản ánh khả truyền nhiệt vật chất Bây giả sử vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trƣờng xung quanh, trừ hai đầu mút Xét diễn biến theo thời gian phân bố nhiệt độ Giả sử vật chất đặt trục Ox từ x a đến x a L b nhƣ hình 1.1 Hình 1.1: Thanh vật chất đặt trục Ox từ x a đến x a L b Gọi u( x, t ) nhiệt độ điểm x thời điểm t Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 33 (Adaptive) pdetoolbox Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 34 - u sin [0,1]2 (2.1) - (2.2) x y = sin x y h nghi (Adaptive) pdetoolbox Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 35 [0,1]2 u x2 y2 e x2 y =e x2 y Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 36 (Adaptive) pdetoolbox -FD Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 37 - -FD [0,1]2 3.2 Phƣơng pháp B u - sin( x)sin =1 y u = sin 3.14: (Adaptive) pdetoolbox Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ x sin y 38 3.15: bi u 3.14 - - 4sin(2xy)(x + y ) =1 u = sin 2xy 3.16: Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 39 (Adaptive) pdetoolbox 3.17 3.16 u 2 sin( x)sin y cho Số hóa trung tâm học liệu Poisson = sin x sin y http://lrc.tnu.edu.vn/ 40 3.18: (Adaptive) pdetoolbox 3.19 3.18 u 4sin xy x y2 = sin 2xy Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 41 3.20: (Adaptive) pdetoolbox 3.21 3.20 u 2 sin( x)sin y n cho Số hóa trung tâm học liệu = sin http://lrc.tnu.edu.vn/ x sin y 42 3.22: (Adative) pdetoolbox nh 3.23 3.22 10 u 4sin xy x y2 u = sin 2xy Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 43 3.24: (Adaptive) pdetoolbox 3.25 10 nh 3.24 11 u 2 sin( x)sin y = sin Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ x sin y 44 nh 3.26: (Adaptive) pdetoolbox 3.27 11 3.26 12 u 4sin xy x y2 = sin 2xy Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 45 3.28: (Adaptive) pdetoolbox 3.29 12 3.28 - Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 46 nhƣ sau: - Tìm hiểu số kiến thức giải tích số - Tìm hiểu nội suy hàm RBF - Tìm hiểu phƣơng pháp sai phân - Tìm hiểu phƣơng pháp RBF- FD - - - biên I Tiếng Việt Nguyên, 2009 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 47 Tạ Văn Đĩnh, Phƣơng pháp sai phân hữu hạn phần tử hữu hạn, Tạ Văn Đĩnh, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2002 Đặng Thị Oanh, Phƣơng pháp khơng lƣới giải phƣơng trình Poisson, Luận án tiến sĩ, 2012 Đặng Thị Oanh Đặng Quang Á, Sử dụng hàm sở bán kính RBF tập liệu tán xạ để tính đạo hàm, Kỷ yếu hội thảo quốc gia công nghệ thông tin (2008), 383-394 Đặng Thị Oanh, RBF stencil for oisson equation Tạp chí Khoa học Cơng nghệ - Đại học Thái nguyên (2011), 78(02): 63-66 II Tiếng Anh A I Tolstykh and D A Shirobokov On using radial basis function in a „finite difference mode‟ with applications to elasticity problems Computational Mechanics, 33(1): 68-79, 2003 G F Fasshauer Meshfree Approximation Methods with MATLAB, World Scientific Publishing Co., Inc, River Edge, NJ, USA, 2007 L Shen G Lv, and Z Shen A finite point method based on directional differences SIAM Journal on numerical analysis, 47 (3): 2224-2242, 2009 Oleg Davydov and D T Oanh Adaptive meshless centres and RBF stencils for Poisson equation Journal of Computational Physis, 230:287-304,2011 10 Oleg Davydov and D T Oanh On the optimal shape parameter for Gausian radial Basis Function finite difference approximation of the Poisson equation Computers and Mathematics with Applications: 62: 2143-2161, 2011 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ... phƣơng pháp quy nạp theo n Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 22 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP RBF- FD GIẢI BÀI TỐN DIRICHLET VỚI PHƢƠNG TRÌNH POISSON 2.1 Phƣơng pháp FD giải phƣơng trình Poisson. .. Các loại phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính Ngƣời ta chia phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính thành loại: phƣơng pháp trực tiếp phƣơng pháp lặp.[10] Phƣơng pháp trực... phân hữu hạn giải tốn Dirichlet với phƣơng trình Poisson 23 2.2 Lƣợc đồ RBF- FD giải tốn Dirichlet với phƣơng trình Poisson 23 23 2.2.2 Lƣợc đồ RBF- FD dựa hàm RBF 25