Nghiên cứu một số thuật toán chọn K láng giếng gần trong 2D và áp dụng cho phương pháp RBF FD giải phương trình Poisson

1 TRẦN XN TIỆP NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TỐN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D VÀ ÁP DỤNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH THÁI NGUN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 TRẦN XN TIỆP NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TỐN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D VÀ ÁP DỤNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON CHUN NGÀNH: KHOA HỌC MÁY TÍNH MÃ SỐ: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Đặng Thị Oanh THÁI NGUN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu riêng của tơi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và mới mẻ. Tơi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Học viên thực hiện luận văn Trần Xn Tiệp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Để hồn thành bản luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của q Thầy Cơ, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ. Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến cơ giáo TS. Đặng Thị Oanh, người đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tơi hồn thành luận văn này. Xin gửi lời tri ân nhất của tơi đối với những điều mà cơ đã dành cho tơi. Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến tồn thể q Thầy Cơ trong trường Đại học Cơng nghệ thơng tin & Truyền thơng cũng như q Thầy Cơ đã tận tình truyền đạt những kiến thức q báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và cho đến khi thực hiện luận văn. Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người đã khơng ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tơi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến các anh chị và các bạn bè đồng nghiệp đã hỗ trợ cho tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn một cách hồn chỉnh. Thái Ngun, tháng 3 năm 2014 Học viên thực hiện Trần Xn Tiệp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Từ Ý nghĩa RBF Radial Basic Function FD Finite Different LLF Lee Liu Fan MQ Multiquadric IMQ Inverse Multiquadric Gauss Gaussian BST Binary Search Tree W33 Wendlend's C 6 RMS Root Mean Square MỘT SỐ HÀM DÙNG TRONG LUẬN VĂN Tên hàm Viết tắt Định nghĩa Multiquadric MQ 2 ()1 mq rr f =+ Inverse Multiquadric IMQ 2 ()11 imq rr f =+ Gausian Gauss 2 () r g re f - = Wendlend's C 6 W33 832 33 (1).(322581)rrrr f + =-+++ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iv DANH MỤC HÌNH VẼ Trang Hình 1.1 Lưới sai phân 16 Hình 2.1 Cây tìm kiếm nhị phân 21 Hình 2.2 Phân hoạch Kdtree 23 Hình 2.3 Bốn cung phần tư, sử dụng 2 điểm trên mỗi cung phần tư 24 Hình 2.4 Tập các tâm rời rạc và tâm z (TT cung phần tư) 25 Hình 2.5 m điểm gần z nhất (TT cung phần tư) 26 Hình 2.6 Các điểm trên mỗi cung phần tư của hình tròn tâm z (TT cung phần tư) 26 Hình 2.7 Chọn 2 điểm trên mỗi cung phần tư gần z nhất (TT cung phần tư) 27 Hình 2.8 Tập các tâm rời rạc và tâm z (TT Lee Liu Fan) 29 Hình 2.9 Bốn điểm gần z nhất (TT Lee Liu Fan) 30 Hình 2.10 Bán kính D của hình tròn tâm z (TT Lee Liu Fan) 30 Hình 2.11 Bộ tâm tìm được (TT Lee Liu Fan) 31 Hình 2.12 Tập các tâm rời rạc (TT Oleg&Oanh) 35 Hình 2.13 Số điểm gần tâm z nhất (TT Oleg&Oanh) 36 Hình 2.14 Số tâm cần tìm (TT Oleg&Oanh) 36 Hình 3.1 Giao diện của chương trình chính 43 Hình 3.2 Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài tốn 1) 44 Hình 3.3 Đồ thị sai số của ba thuật tốn (Bài tốn 1) 44 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ v Hình 3.4 Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài tốn 2) 45 Hình 3.5 Đồ thị sai số của ba thuật tốn (Bài tốn 2) 46 Hình 3.6 Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài tốn 3) 47 Hình 3.7 Đồ thị sai số của ba thuật tốn (Bài tốn 3) 48 Hình 3.8 Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài tốn 4) 49 Hình 3.9 Đồ thị sai số của ba thuật tốn (Bài tốn 4) 50 Hình 3.10 Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài tốn 5) 51 Hình 3.11 Đồ thị sai số của ba thuật tốn (Bài tốn 5) 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ vi MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iii DANH MỤC HÌNH VẼ iv LỜI MỞ ĐẦU 1 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 3 1.1. Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson 3 1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính 4 1.3. Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 5 1.3.1. Chuẩn của véc tơ, chuẩn của ma trận 5 1.3.2. Phương pháp Gauss 6 1.4. Một số định nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF 8 1.5. Nội suy hàm RBF 10 1.5.1. Nội suy dữ liệu phân tán trong khơng gian d R 10 1.5.2. Nội suy với hàm cơ sở theo bán kính 11 1.5.3. Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều kiện 13 1.6. Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Different - FD) 15 1.6.1. Bài tốn truyền nhiệt dừng trong miền chữ nhật 15 1.6.2. Lưới sai phân 15 1.6.3. Hàm lưới 16 Chương 2. MỘT SỐ THUẬT TỐN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D 19 2.1. Một số kiến thức cơ sở về cây tìm kiếm nhị phân 19 2.2. Thuật tốn cung phần tư 23 2.2.1. Ý tưởng 23 2.2.2. Nội dung 23 2.2.3. Thuật tốn 24 2.2.4. Ví dụ 25 2.2.4. Ưu, nhược điểm 27 2.3. Thuật tốn Lee Liu Fan (LLF) 27 2.3.1. Ý tưởng 28 2.3.2. Nội dung 28 2.3.3. Thuật tốn 28 2.3.4. Ví dụ 29 2.2.5. Ưu, nhược điểm 31 2.3. Thuật tốn Oleg&Oanh – 2011 31 2.3.1. Ý tưởng 31 2.3.2. Nội dung 32 2.3.3. Thuật tốn 33 2.3.4. Ví dụ 35 2.3.5. Ưu, nhược điểm 37 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ vii Chương 3. ÁP DỤNG THUẬT TỐN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD TRONG KHƠNG GIAN 2D 38 3.1. Rời rạc hóa phương trình Poisson 38 3.2. Phương pháp RBF-FD (Radial Basis Function Finite Different) 39 3.2.1. Véc tơ trọng số dựa vào hàm nội suy theo cơ sở bán kính 39 3.2.2. Xây dựng ma trận hệ số (ma trận cứng) 41 3.2.3. Lược đồ phương pháp RBF-FD 42 3.3. Thử nghiệm số 43 3.3.1. Thử nghiệm trên miền hình chữ nhật 43 3.3.2. Thử nghiệm trên một số miền có hình học phức tạp 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 LỜI MỞ ĐẦU Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài tốn biên của phương trình vật lý tốn. Giải các bài tốn đó đến đáp số bằng số là một u cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số ít trường hợp thật đơn giản, việc đó có thể làm được nhờ vào nghiệm tường minh của bài tốn dưới dạng các cơng thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm. Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là đối với các bài tốn có hệ số biến thiên, các bài tốn phi tuyến, các bài tốn trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài tốn khơng có, hoặc có nhưng rất phức tạp. Trong những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải gần đúng. Trong suốt thế kỷ XX một loạt các phương pháp số đã hình thành và phát triển như các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn v.v… đã đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng các phương pháp tốn học vào thực tiễn. Các phương pháp vừa nêu nói chung đều là các phương pháp lưới. Tuy nhiên, các phương pháp này còn nhiều hạn chế khi áp dụng vào lớp các bài tốn thực tế có cấu trúc phức tạp. Vào khoảng những năm cuối của thế kỷ trước đã hình thành một xu hướng mới của các phương pháp số: Phương pháp khơng lưới. Cũng như các phương pháp lưới, lược đồ giải các bài tốn biên bằng phương pháp khơng lưới cũng cần thiết tạo ra các tập hợp nút, mà ở đây gọi là các bộ tâm để tính tốn. Từ bộ tâm này ta xấp xỉ các tốn tử vi phân bằng tổ hợp các giá trị của hàm tại các nút. Phương pháp tìm các vectơ trọng số dựa trên các hàm cơ sở bán kính (RBF – Radial Basis Function) gọi là phương pháp nội suy dữ liệu phân tán với các hàm cơ sở bán kính RBF – FD (Radial Basis Function – Finite Different). Khi áp dụng phương pháp này, khó khăn gặp phải là chọn bộ tâm cho nội suy hàm RBF để tìm véc tơ trọng số. Nhận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... Chương 2: Một số thuật tốn chọn K- láng giềng gần trong 2D Chương này sẽ tập trung nghiên cứu ba thuật tốn tìm K- Láng giềng gần trong 2D là: thuật tốn bốn cung phần tư, thuật tốn Lee Liu Fan, thuật tốn Oleg&Oanh-2011, phương pháp khơng lưới có sự hỗ trợ của thuật tốn tìm K- Láng giềng gần Chương 3: Áp dụng thuật tốn chọn K- láng giềng gần cho phương pháp RBF- FD trong khơng gian 2D Chương này dành cho phần... cho mỗi thuật tốn Nội dung luận văn bao gồm 3 chương: Chương 1: Một số kiến thức cơ sở Chương này trình bày một số kiến thức về hình học phẳng; Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson; Hệ phương trình đại số tuyến tính; Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính; Một số định nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF; Nội suy hàm RBF; Phương pháp sai phân hữu hạn Chương 2: Một. .. được vấn đề trên và sự định hướng của TS Đặng Thị Oanh, tơi đã mạnh dạn chọn đề tài: Nghiên cứu một số thuật tốn chọn k- láng giềng gần trong 2D và áp dụng cho phương pháp RBF- FD giải phương trình Poisson Mục đích của đề tài là tìm hiểu một số thuật tốn chọn tâm phổ biến hiện nay và cài đặt thử nghiệm để so sánh hiệu quả của mỗi thuật tốn Đồng thời tìm ngun nhân gây ra sai số của mỗi thuật tốn, trên... quả của các thuật tốn tìm K- Láng giềng gần khi áp dụng để hỗ trợ phương pháp khơng lưới giải phương trình Poisson Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson Xét một bản mỏng vật chất W , có đường biên là một đường cong khép k n G , đặt trong mặt phẳng Oxy Khi đó ta có phương trình truyền nhiệt trong mơi... pháp trực tiếp giải hệ phương trình đại số tuyến tính Ý tưởng của phương pháp khử Gauss là khử dần các ẩn để đưa hệ ban đầu về hệ với ma trận tam giác trên bằng các phép biến đổi tương đương: 1) Đổi chỗ hai phương trình bất k 2) Nhân một phương trình với một số khác khơng 3) Cộng vào phương trình một tổ hợp tuyến tính của một phương trình khác Như vậy phương pháp Gauss gồm hai q trình: Q trình thuận:... GẦN TRONG 2D 2.1 Một số kiến thức cơ sở về cây tìm kiếm nhị phân Trong chương này ta trình bày một số thuật tốn tìm kiếm "k- láng giềng gần" Bao gồm có 3 thuật tốn, về cơ bản các thuật tốn tìm kiếm trên đều tính độ sai khác giữa một phần tử truy vấn (tâm tìm kiếm) mà ta nhập vào và một tập hợp các phần tử các láng giềng tìm được chính là các phần tử có độ sai khác thỏa mãn điều kiện nào đó Các thuật. .. , X in } Cho điểm z là điểm đầu vào hay gọi là điểm phần tử truy vấn trong khơng gian n chiều z = {z 1 , , z n } Cho hệ số α ( ad - hoc ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20 Output: K láng giềng có thể, thỏa mãn điều kiện của thuật tốn Khoảng cách Cơ sở thuật tốn: Thuật tốn tìm K láng giềng gần nhất là một thuật tốn tìm kiếm dựa trên việc tính tốn khoảng cách giữa một phần tử... cung phần tư, 2 điểm tìm được nếu q gần nhau sẽ dẫn đến chất lượng nội suy k m 2.3 Thuật tốn Lee Liu Fan (LLF) Thuật tốn này có cách tìm K – láng giềng là số k t quả đầu ra là khơng cố định mà nó phụ thuộc vào một hệ số a cho trước mà ta nhập vào khi thực hiện thuật tốn Hệ số này càng lớn thì phạm vi tìm kiếm càng lớn do đó số lượng K láng giềng tìm được càng nhiều [10] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/... của véc tơ trọng số ºV ) Giá của véc tơ trọng số ºV là tập hợp các tâm bao gồm V và các tâm nằm trong lân cận địa phương của nó Trong các phương pháp dựa trên lưới thì tập này bao gồm V và các đỉnh của các tam giác mà được liên thơng với V bởi một cạnh Còn đối với phương pháp khơng lưới, cần một thuật tốn lựa chọn các tâm này mà chúng tơi gọi là thuật tốn lựa chọn giá của véc tơ trọng số [12] * Định... binary_tree(node.left, key); else if key > node.key return search_binary_tree(node.right, key) else % key is equal to node key return node.value; % found key Thời gian tìm kiếm trung bình là O(log n) Cây tìm kiếm KD -TREE: KD- tree là viết tắt của K - Dimensional Tree KD - Tree là một cấu trúc dữ liệu phân hoạch khơng gian, dùng để tổ chức các điểm trong khơng gian k- chiều Mỗi node sẽ tạo ra một mặt phẳng phân . trên và sự định hướng của TS. Đặng Thị Oanh, tơi đã mạnh dạn chọn đề tài: Nghiên cứu một số thuật tốn chọn k-láng giềng gần trong 2D và áp dụng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson TRẦN XN TIỆP NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TỐN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D VÀ ÁP DỤNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON LUẬN VĂN THẠC SĨ. Oleg&Oanh-2011, phương pháp khơng lưới có sự hỗ trợ của thuật tốn tìm K-Láng giềng gần. Chương 3: Áp dụng thuật tốn chọn K-láng giềng gần cho phương pháp RBF-FD trong khơng gian 2D Chương này dành cho