Ma trận cứng là ma trận mỗi dòng được xác định bởi véctơ trọng số mà được tìm được bởi nôi suy tập các tâm phân tán.
Với mỗi xịW ta chọn bộ tâm xung quanh x, giả sử ử =z {x1, , ,x2 Ò xn}ịRd. Khi đó, ta có véctơ dòng của ma trận cứng ứng với xịW là nghiệm của hệ phương trình 1 w ( ) ( ), 1, 2,..., n j i j i j x x D x x i n = F - = F - = ạ Cụ thể ta đi giải hệ 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 w ( ) w ( ) .... w ( ) ( ) w ( ) w ( ) .... w ( ) ( ) .... w ( ) w ( ) .... w ( ) ( ) n n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x D x x x x x x x x D x x F - + F - + + F - = F - ì ĩ F - + F - + + F - = F - ĩ ắ ĩ ĩ F - + F - + + F - = F - î Điều này có nghĩa là mỗi dòng của ma trận cứng được xác định bởi các hệ số của nội suy hàm cơ sở theo bán kắnh
3.2.3. Lược đồ phương pháp RBF-FD
Rời rạc phương trình đạo hàm riêng tại mỗi nút có thể xuất phát theo hướng sai phân hữu hạn thông thường bằng cách thay đạo hàm bởi xấp xỉđạo hàm của nội suy hàm RBF.
Trong trường hợp tuyến tắnh, ma trận toàn cục là ma trận thưa (đa số các thành phần của nó bằng 0) và hệ phương trình này có thể giải được bằng cách sử dụng phương pháp trực tiếp hoặc phương pháp lặp (phương pháp lặp Jacobi) để giải hệ phương trình toàn cục).
Tóm lại, giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng vector trọng số từ nội suy hàm cơ sở theo bán kắnh gồm các bước sau:
Bước 1: Chỉ rõ sự phân bố các tâm trong miền tắnh toán. Có nghĩa là xác định tập các tâm nằm trên biên và các tâm nằm trong miền.
Bước 2: Với mỗi nút trong z , xác định bộ các tâm nằm xung quanh z bởi một trong các tâm này chắnh là giá của vectơ trọng số và kắ hiệu là ửz,z ịửz.
Bước 3: Đối với mỗi ửz , ta thu được vectơ trọng số wbằng cách giải hệ phương trình 1 w ( ) ( ), 1, 2,..., n j i j i j x x D x x i n = F - = F - = ạ
Bước 4: Thay các các vectơ trọng số ở bước 3 vào hệ phương trình (3.3). Cho đến khi tìm thấy hết các véc tơ trọng số w. Quay lại bước 2 cho đến khi tìm hết các véc tơ trọng số.
3.3. Thử nghiệm số
Sử dụng sai số trung bình bình phương RMS (Root Mean Square)
$( ) ( ) ( ) int 1 2 2 in t 1 erro r u u z z z ịX ă ö = çç - ƠƠ X è ạ ụ Giao diện của chương trình chắnh Hình 3.1: Giao diện của chương trình chắnh 3.3.1. Thử nghiệm trên miền hình chữ nhật
Bài toán 1: Cho bài toán (3.1) - (3.2) với phương trình Poisson, trong đó
( ) ( ) 2 8 sin 2 u x y D = - P P -
kiểu tâm phân bố không đều (Adaptive) trong miền [0,1]2 (hình 3.2) với điều kiện biên Dirichlet được chọn sao cho nghiệm chắnh xác là sin 2( P -(x y)), hàm
Hình 3.2: Số tâm ban đầu và sau cùng
* Nhận xét: Với bài toán 1, nhìn vào đồ thị sai số (hình 3.3) ta có thể thấy hiệu quả nội suy của ba thuật toán. Trong hình 3.3 ta thấy thuật toán Cung phần tư và Oleg&Oanh nội suy tốt hơn so với thuật toán Lee Liu Fan. Bài toán này sử dụng thuật toán Cung phần tư là tốt nhất.
3.3.2. Thử nghiệm trên một số miền có hình học phức tạp.
Bài toán 2: Cho bài toán (3.1) - (3.2) với phương trình Poisson trên miền là hình tứ giác, trong đó ( ) ( ) 2 2 sin sin u x y D = - P P P
kiểu tâm phân bố không đều (Adaptive) trong miền [-1, 1]2 (hình 3.4)với điều kiện biên Dirichlet được chọn sao cho nghiệm chắnh xác là sin( ) ( )Px sin Py , hàm thử là hàm Gauss.
Hình 3.5: Đồ thị sai số của ba thuật toán
* Nhận xét: Với bài toán 2, nhìn vào đồ thị sai số (hình 3.5) ta có thể thấy hiệu quả nội suy của ba thuật toán như sau. Trong hình 3.5 ta thấy 3 thuật toán đều nội suy tương đối tốt nhưng thuật toán Oleg&Oanh-2011 là tốt hơn cả. Bài toán này sử dụng thuật toán Oleg&Oanh-2011 là tốt nhất.
Bài toán 3: Cho bài toán (3.1) - (3.2) với phương trình Poisson trên miền hình chữ L, trong đó ( )( )2 4sin 2 u xy x y D = -
kiểu tâm phân bố không đều (Adaptive) trong miền [1,1]2 (hình 3.6) với điều kiện biên Dirichlet được chọn sao cho nghiệm chắnh xác là sin 2( )xy
Hình 3.7: Đồ thị sai số của ba thuật toán
* Nhận xét: Với bài toán 3, nhìn vào đồ thị sai số ta có thể đánh giá được hiệu quả nội suy của ba thuật toán như sau. Ta thấy thuật toán Lee Liu Fan cũng như thuật toán Cung phần tư nội suy không ổn định, còn thuật toán Oleg&Oanh-2011 thì nội suy rất ổn định. Bài toán này sử dụng thuật toán Oleg&Oanh-2011 là tốt nhất. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài toán 4: Cho bài toán (3.1) - (3.2) với phương trình Poisson trên miền hình ngũ giác, trong đó ( ) ( ) 2 2 sin sin u x y D = - P P P
kiểu tâm phân bố không đều(Adaptive) trong miền [0.1,0.1]2 (hình 3.8) với điều kiện biên Dirichlet được chọn sao cho nghiệm chắnh xác là sin( ) ( )Px sin Py
Hình 3.9: Đồ thị sai số của ba thuật toán
* Nhận xét: Với bài toán 4, nhìn vào đồ thị sai số (hình 3.9) ta có thể đánh giá được hiệu quả nội suy của ba thuật toán như sau. Với kiểu tâm phân bố không đều ở bài toán này thì các thuật toán đều nội suy tương đối tốt, tuy nhiên trong trường hợp này thì ta nên chọn thuật toán Oleg&Oanh để giải bài toán là tốt nhất.
Bài toán 5: Cho bài toán (3.1) - (3.2) với phương trình Poisson trên miền hình lục giác, trong đó ( ) ( ) 2 2 sin sin u x y D = - P P P
kiểu tâm phân bố đều(Uniform) trong miền [-0.85, 0.15]2 (hình 3.10) với điều kiện biên Dirichlet được chọn sao cho nghiệm chắnh xác là sin( ) ( )Px sin Py
Hình 3.11: Đồ thị sai số của ba thuật toán
* Nhận xét: Với bài toán 5, nhìn vào đồ thị sai số (hình 3.11) ta có thể đánh giá được hiệu quả nội suy của ba thuật toán như sau: Với thuật toán Oleg&Oanh-2011 và thuật toán Cung phần tư xu hướng nội suy tốt hơn, nhưng trong bài toán này sử dụng thuật toán Cung phần tư là nội suy tốt nhất
KẾT LUẬN
Trong quá trình tìm hiểu và nghiên cứu đề tài: "Nghiên cứu một số thuật toán chọn K-láng giềng gần trong 2D và áp dụng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson", được sự giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của cô giáo hướng dẫn TS. Đặng Thị Oanh đề tài của em đã thu được những kết quả nhất định:
- Tìm hiểu kiến thức cơ sở xung quanh luận văn như: Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson; Hệ phương trình đại số tuyến tắnh; Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tắnh; Một số định nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF; Nội suy hàm RBF; Phương pháp sai phân hữu hạn.
- Tìm hiểu một số thuật toán chọn tâm: thuật toán cung phần tư, thuật toán Lee Liu Fan, thuật toán Oleg&Oanh-2011. Tìm hiểu phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson.
- Tìm hiểu rời rạc hóa bài toán với phương trình Poisson - Tìm hiểu một số kiến thức về giải tắch số
- Tắnh véc tơ trọng số nhờ nội suy hàm cơ sở bán kắnh
- Xây dựng chương trình giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet bởi nội suy RBF trong miền 2D.
- So sánh được hiệu quả của 3 thuật toán với nhau - Cài đặt và thử nghiệm số.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn, kiến thức còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn đểđề tài được hoàn thiện hơn.
Hướng phát triển của đề tài: Tìm hiểu phương trình Poisson với các điểu kiện biên khác (Neumann, hỗn hợp). Nghiên cứu cải tiến phương pháp chọn tâm với mục đắch giảm chi phắ tìm kiếm và chất lượng nội suy cao hơn.
TầI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Anh
[1]. T. Cecil, J. Qian, and S. Osher. Numerical methods for high dimensional hamilton-jacobi equations using radial basis functions. J. Comput. Physis., 196(1):327-347, 2004.
[2]. Oleg Davydov and D. T. Oanh. Adaptive meshless centres and RBF stencils for Poisson equation. Journal of Computational Physis, 230:287-304,2011.
[3]. Oleg Davydov and D. T. Oanh. On the optimal shape parameter for Gausian radial Basis Function finite difference approximation of the Poisson equation. Computers and Mathematics with Applications: 62: 2143-2161, 2011.
[4]. P. S. Jensen. Finite differrent techniques for variable grids. Comput. Struct., 2(1 Ố 2):17 Ố 29, 1972.
[5]. T. Liszka and J. Orkisz. The finite difference method at arbittrary irregular grids and its application in applied mechanics. Comput. Struct., 11:83-95, 1980.
[6]. L. Shen. G. Lv, and Z. Shen. A finite point method based on directional differences. SIAM Journal on numerical analysis, 47 (3): 2224-2242, 2009.
[7]. A. I. Tolstykh and D. A. Shirobokov. On using radial basis function in a ‘finite difference mode’ with applications to elasticity problems. Computational Mechanics, 33(1): 68-79, 2003.
[8]. G. F. Fasshauer. Meshfree Approximation Methods with MATLAB, World Scientific Publishing Co., Inc, River Edge, NJ, USA, 2007. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[9]. Đặng Thị Oanh, RBF stencil for Poisson equation , Tạp chắ Khoa học và Công nghệ - Đại học Thái Nguyên 78(02): 63-66, 2011.
[10]. C. K. Lee. X. Liu, and S. C. Fan. Local multiquadric approximation for solving boundary value problems. Comput. Mech., 30 (5-6): 396-409, 2003.
[11]. L. Gavete, M.L Gavete, J.J Benito. Improvements of generalized finite difference method and comparison with other meshless method, accepted 19 February 2003.
Tiếng Việt
[12]. Đặng Thị Oanh, Phương pháp không lưới giải phương trình Poisson, Luận án tiến sĩ, 2012.
[13]. Đặng Thị Oanh và Đặng Quang Á, Sử dụng hàm cơ sở bán kắnh RBF trên tập dữ liệu tán xạ để tắnh đạo hàm, (2008), 383-394.
[14]. Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp sai phân hữu hạn và phần tử hữu hạn, Tạ Văn Đĩnh, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật, 2002.
[15]. Đặng Quang Á, Giáo trình phương pháp số, Nhà xuất bản Đại học Thái Nguyên, 2012.
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN