Nghiên Cứu Một Số Thuật Toán Chọn K-Láng Giếng Gần Trong 2D Và Áp Dụng Cho Phương Pháp Rbf-Fd Giải Phương Trình Poisson

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG TRẦN XUÂN TIỆP NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D VÀ ÁP DỤNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu u.vn/ TRƯỜNG ĐẠI HỌ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN CHUYÊN NGÀ LUẬN N i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực mẻ Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Học viên thực luận văn Trần Xuân Tiệp ii LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân có hướng dẫn nhiệt tình q Thầy Cơ, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến giáo TS Đặng Thị Oanh, người hết lòng giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành luận văn Xin gửi lời tri ân điều mà cô dành cho Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến tồn thể q Thầy Cô trường Đại học Công nghệ thông tin & Truyền thông quý Thầy Cô tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người khơng ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập thực luận văn Cuối cùng, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến anh chị bạn bè đồng nghiệp hỗ trợ cho suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn cách hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng năm 2014 Học viên thực Trần Xuân Tiệp DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Từ Ý nghĩa RBF Radial Basic Function FD Finite Different LLF Lee Liu Fan MQ Multiquadric IMQ Inverse Multiquadric Gauss Gaussian BST Binary Search Tree W33 Wendlend's C RMS Root Mean Square MỘT SỐ HÀM DÙNG TRONG LUẬN VĂN Tên hàm Viết tắt Định nghĩa Multiquadric MQ  (r) 1r mq Inverse Multiquadric IMQ imq (r) 1 1r Gausian Gauss Wendlend's C W33 (r)  r e g  (1 r) (32r 25r 8r 1) 33  DANH MỤC HÌNH VẼ Trang Hình 1.1 Lưới sai phân 16 Hình 2.1 Cây tìm kiếm nhị phân 21 Hình 2.2 Phân hoạch Kdtree 23 Hình 2.3 Bốn cung phần tư, sử dụng điểm cung phần tư 24 Hình 2.4 Tập tâm rời rạc tâm (TT cung phần tư) 25 Hình 2.5 m điểm gần nhất (TT cung phần tư) 26 Hình 2.6 Hình 2.7 Các điểm cung phần tư hình tròn tâm  (TT cung phần tư) Chọn điểm cung phần tư gần  (TT cung phần tư) 26 27 Hình 2.8 Tập tâm rời rạc tâm (TT Lee Liu Fan) 29 Hình 2.9 Bốn điểm gần nhất (TT Lee Liu Fan) 30 Hình 2.10 Bán kính D hình tròn tâm (TT Lee Liu Fan) 30 Hình 2.11 Bộ tâm tìm (TT Lee Liu Fan) 31 Hình 2.12 Tập tâm rời rạc (TT Oleg&Oanh) 35 Hình 2.13 Số điểm gần tâm nhất (TT Oleg&Oanh) 36 Hình 2.14 Số tâm cần tìm (TT Oleg&Oanh) 36 Hình 3.1 Giao diện chương trình 43 Hình 3.2 Số tâm ban đầu sau (Bài tốn 1) 44 Hình 3.3 Đồ thị sai số ba thuật toán (Bài toán 1) 44 Hình 3.4 Số tâm ban đầu sau (Bài tốn 2) 45 Hình 3.5 Đồ thị sai số ba thuật tốn (Bài tốn 2) 46 Hình 3.6 Số tâm ban đầu sau (Bài toán 3) 47 Hình 3.7 Đồ thị sai số ba thuật tốn (Bài tốn 3) 48 Hình 3.8 Số tâm ban đầu sau (Bài tốn 4) 49 Hình 3.9 Đồ thị sai số ba thuật toán (Bài toán 4) 50 Hình 3.10 Số tâm ban đầu sau (Bài tốn 5) 51 Hình 3.11 Đồ thị sai số ba thuật toán (Bài toán 5) 52 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT .iii DANH MỤC HÌNH VẼ iv LỜI MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson 1.2 Hệ phương trình đại số tuyến tính .4 1.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính .5 1.3.1 Chuẩn véc tơ, chuẩn ma trận 1.3.2 Phương pháp Gauss 1.4 Một số định nghĩa khái niệm nội suy hàm RBF 1.5 Nội suy hàm RBF 10 1.5.1 Nội suy liệu phân tán không gian Rd 10 1.5.2 Nội suy với hàm sở theo bán kính 11 1.5.3 Nội suy với độ xác đa thức hàm xác định dương có điều kiện 13 1.6 Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Different - FD) 15 1.6.1 Bài toán truyền nhiệt dừng miền chữ nhật 15 1.6.2 Lưới sai phân 15 1.6.3 Hàm lưới 16 Chương MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D 19 2.1 Một số kiến thức sở tìm kiếm nhị phân 19 2.2 Thuật toán cung phần tư 23 2.2.1 Ý tưởng 23 2.2.2 Nội dung 23 2.2.3 Thuật toán 24 2.2.4 Ví dụ 25 2.2.4 Ưu, nhược điểm 27 2.3 Thuật toán Lee Liu Fan (LLF) 27 2.3.1 Ý tưởng 28 2.3.2 Nội dung 28 2.3.3 Thuật toán 28 2.3.4 Ví dụ 29 2.2.5 Ưu, nhược điểm 31 2.3 Thuật toán Oleg&Oanh – 2011 31 2.3.1 Ý tưởng 31 2.3.2 Nội dung 32 2.3.3 Thuật toán 33 2.3.4 Ví dụ 35 2.3.5 Ưu, nhược điểm 37 vii Chương ÁP DỤNG THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD TRONG KHÔNG GIAN 2D .38 3.1 Rời rạc hóa phương trình Poisson 38 3.2 Phương pháp RBF-FD (Radial Basis Function Finite Different) 39 3.2.1 Véc tơ trọng số dựa vào hàm nội suy theo sở bán kính 39 3.2.2 Xây dựng ma trận hệ số (ma trận cứng) 41 3.2.3 Lược đồ phương pháp RBF-FD 42 3.3 Thử nghiệm số 43 3.3.1 Thử nghiệm miền hình chữ nhật 43 3.3.2 Thử nghiệm số miền có hình học phức tạp 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 56 Soá hóa Trung tâm Học liệu u.vn/ LỜI MỞ ĐẦU Nhiều tượng khoa học kỹ thuật dẫn đến tốn biên phương trình vật lý tốn Giải tốn đến đáp số số yêu cầu quan trọng thực tiễn Trong số trường hợp thật đơn giản, việc làm nhờ vào nghiệm tường minh tốn dạng cơng thức sơ cấp, tích phân chuỗi hàm Còn đại đa số trường hợp khác, đặc biệt tốn có hệ số biến thiên, toán phi tuyến, toán miền nghiệm tường minh tốn khơng có, có phức tạp Trong trường hợp việc tính nghiệm phải dựa vào phương pháp giải gần Trong suốt kỷ XX loạt phương pháp số hình thành phát triển phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn v.v… đem lại đóng góp to lớn việc ứng dụng phương pháp toán học vào thực tiễn Các phương pháp vừa nêu nói chung phương pháp lưới Tuy nhiên, phương pháp nhiều hạn chế áp dụng vào lớp tốn thực tế có cấu trúc phức tạp Vào khoảng năm cuối kỷ trước hình thành xu hướng phương pháp số: Phương pháp không lưới Cũng phương pháp lưới, lược đồ giải toán biên phương pháp không lưới cần thiết tạo tập hợp nút, mà gọi tâm để tính tốn Từ tâm ta xấp xỉ toán tử vi phân tổ hợp giá trị hàm nút Phương pháp tìm vectơ trọng số dựa hàm sở bán kính (RBF – Radial Basis Function) gọi phương pháp nội suy liệu phân tán với hàm sở bán kính RBF – FD (Radial Basis Function – Finite Different) Khi áp dụng phương pháp này, khó khăn gặp phải chọn tâm cho nội suy hàm RBF để tìm véc tơ trọng số Nhận 3.2.3 Lược đồ phương pháp RBF-FD Rời rạc phương trình đạo hàm riêng nút xuất phát theo hướng sai phân hữu hạn thông thường cách thay đạo hàm xấp xỉ đạo hàm nội suy hàm RBF Trong trường hợp tuyến tính, ma trận toàn cục ma trận thưa (đa số thành phần 0) hệ phương trình giải cách sử dụng phương pháp trực tiếp phương pháp lặp (phương pháp lặp Jacobi) để giải hệ phương trình tồn cục) Tóm lại, giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng vector trọng số từ nội suy hàm sở theo bán kính gồm bước sau: Bước 1: Chỉ rõ phân bố tâm miền tính tốn Có nghĩa xác định tập tâm nằm biên tâm nằm miền Bước 2: Với nút , xác định tâm nằm xung quanh  tâm giá vectơ trọng số kí hiệu  ,  Œ   Bước 3: Đối với  , ta thu vectơ trọng số w cách giải hệ  phương trình n w j (xi x j ) i 1, 2, , n  D(x xi ), j 1 Bước 4: Thay các vectơ trọng số bước vào hệ phương trình (3.3) Cho đến tìm thấy hết véc tơ trọng số w Quay lại bước tìm hết véc tơ trọng số Bước 5: Giải hệ phương trình tồn cục (3.3), (3.4) 43 3.3 Thử nghiệm số Sử dụng sai số trung bình bình phương RMS (Root Mean Square)    int erro r     u  Œ  in t  u$    ˆ2 ˜ ˜ Giao diện chương trình Hình 3.1: Giao diện chương trình 3.3.1 Thử nghiệm miền hình chữ nhật Bài toán 1: Cho toán (3.1) - (3.2) với phương trình Poisson,  8 sin  2x y   u 2 kiểu tâm phân bố khơng (Adaptive) miền [0,1] (hình 3.2) với điều kiện biên Dirichlet chọn cho nghiệm xác thử hàm Gauss sin  2x y , hàm Hình 3.2: Số tâm ban đầu sau Hình 3.3: Đồ thị sai số ba thuật tốn * Nhận xét: Với tốn 1, nhìn vào đồ thị sai số (hình 3.3) ta thấy hiệu nội suy ba thuật toán Trong hình 3.3 ta thấy thuật tốn Cung phần tư Oleg&Oanh nội suy tốt so với thuật toán Lee Liu Fan Bài toán sử dụng thuật toán Cung phần tư tốt 3.3.2 Thử nghiệm số miền có hình học phức tạp Bài tốn 2: Cho tốn (3.1) - (3.2) với phương trình Poisson miền hình tứ giác, 2 sin u  x  sin  y  kiểu tâm phân bố không (Adaptive) miền [-1, 1] (hình 3.4) với điều kiện biên Dirichlet chọn cho nghiệm xác thử hàm Gauss sin  x  sin  y  , Hình 3.4: Số tâm ban đầu sau hàm Hình 3.5: Đồ thị sai số ba thuật toán * Nhận xét: Với tốn 2, nhìn vào đồ thị sai số (hình 3.5) ta thấy hiệu nội suy ba thuật tốn sau Trong hình 3.5 ta thấy thuật toán nội suy tương đối tốt thuật toán Oleg&Oanh-2011 tốt Bài toán sử dụng thuật toán Oleg&Oanh-2011 tốt Bài toán 3: Cho toán (3.1) - (3.2) với phương trình Poisson miền hình chữ L,  4 sin  2xy  x y u  kiểu tâm phân bố không (Adaptive) miền [1,1] (hình 3.6) với điều kiện biên Dirichlet chọn cho nghiệm xác sin  2xy  Hình 3.6: Số tâm ban đầu sau Hình 3.7: Đồ thị sai số ba thuật tốn * Nhận xét: Với tốn 3, nhìn vào đồ thị sai số ta đánh giá hiệu nội suy ba thuật toán sau Ta thấy thuật toán Lee Liu Fan thuật tốn Cung phần tư nội suy khơng ổn định, thuật tốn Oleg&Oanh-2011 nội suy ổn định Bài toán sử dụng thuật toán Oleg&Oanh-2011 tốt Bài toán 4: Cho toán (3.1) - (3.2) với phương trình Poisson miền hình ngũ giác, 2 sin u  x  sin  y  kiểu tâm phân bố không đều(Adaptive) miền [0.1,0.1] (hình 3.8) với điều kiện biên Dirichlet chọn cho nghiệm xác sin  x  sin  y  Hình 3.8: Số tâm ban đầu sau Hình 3.9: Đồ thị sai số ba thuật toán * Nhận xét: Với tốn 4, nhìn vào đồ thị sai số (hình 3.9) ta đánh giá hiệu nội suy ba thuật toán sau Với kiểu tâm phân bố khơng tốn thuật toán nội suy tương đối tốt, nhiên trường hợp ta nên chọn thuật tốn Oleg&Oanh để giải toán tốt Bài toán 5: Cho tốn (3.1) - (3.2) với phương trình Poisson miền hình lục giác, 2 sin u  x  sin  y  kiểu tâm phân bố đều(Uniform) miền [-0.85, 0.15] (hình 3.10) với điều kiện biên Dirichlet chọn cho nghiệm xác sin  x  sin  y  Hình 3.10: Số tâm ban đầu sau Hình 3.11: Đồ thị sai số ba thuật tốn * Nhận xét: Với tốn 5, nhìn vào đồ thị sai số (hình 3.11) ta đánh giá hiệu nội suy ba thuật toán sau: Với thuật toán Oleg&Oanh-2011 thuật toán Cung phần tư xu hướng nội suy tốt hơn, toán sử dụng thuật toán Cung phần tư nội suy tốt KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu đề tài: "Nghiên cứu số thuật toán chọn K-láng giềng gần 2D áp dụng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson", giúp đỡ bảo tận tình cô giáo hướng dẫn TS Đặng Thị Oanh đề tài em thu kết định: - Tìm hiểu kiến thức sở xung quanh luận văn như: Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson; Hệ phương trình đại số tuyến tính; Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính; Một số định nghĩa khái niệm nội suy hàm RBF; Nội suy hàm RBF; Phương pháp sai phân hữu hạn - Tìm hiểu số thuật toán chọn tâm: thuật toán cung phần tư, thuật toán Lee Liu Fan, thuật tốn Oleg&Oanh-2011 Tìm hiểu phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson - Tìm hiểu rời rạc hóa tốn với phương trình Poisson - Tìm hiểu số kiến thức giải tích số - Tính véc tơ trọng số nhờ nội suy hàm sở bán kính - Xây dựng chương trình giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet nội suy RBF miền 2D - So sánh hiệu thuật toán với - Cài đặt thử nghiệm số Tuy nhiên, thời gian có hạn, kiến thức hạn chế nên đề tài khơng tránh khỏi sai sót Em mong nhận đóng góp q thầy bạn để đề tài hoàn thiện Hướng phát triển đề tài: Tìm hiểu phương trình Poisson với điểu kiện biên khác (Neumann, hỗn hợp) Nghiên cứu cải tiến phương pháp chọn tâm với mục đích giảm chi phí tìm kiếm chất lượng nội suy cao TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] T Cecil, J Qian, and S Osher Numerical methods for high dimensional hamilton-jacobi equations using radial basis functions J Comput Physis., 196(1):327-347, 2004 [2] Oleg Davydov and D T Oanh Adaptive meshless centres and RBF stencils for Poisson equation Journal of Computational Physis, 230:287-304,2011 [3] Oleg Davydov and D T Oanh On the optimal shape parameter for Gausian radial Basis Function finite difference approximation of the Poisson equation Computers and Mathematics with Applications: 62: 2143-2161, 2011 [4] P S Jensen Finite differrent techniques for variable grids Comput Struct., 2(1 – 2):17 – 29, 1972 [5] T Liszka and J Orkisz The finite difference method at arbittrary irregular grids and its application in applied mechanics Comput Struct., 11:83-95, 1980 [6] L Shen G Lv, and Z Shen A finite point method based on directional differences SIAM Journal on numerical analysis, 47 (3): 2224-2242, 2009 [7] A I Tolstykh and D A Shirobokov On using radial basis function in a ‘finite difference mode’ with applications to elasticity problems Computational Mechanics, 33(1): 68-79, 2003 [8] G F Fasshauer Meshfree Approximation Methods with MATLAB, World Scientific Publishing Co., Inc, River Edge, NJ, USA, 2007 [9] Đặng Thị Oanh, RBF stencil for Poisson equation , Tạp chí Khoa học Công nghệ - Đại học Thái Nguyên 78(02): 63-66, 2011 [10] C K Lee X Liu, and S C Fan Local multiquadric approximation for solving boundary value problems Comput Mech., 30 (5-6): 396-409, 2003 [11] L Gavete, M.L Gavete, J.J Benito Improvements of generalized finite difference method and comparison with other meshless method, accepted 19 February 2003 Tiếng Việt [12] Đặng Thị Oanh, Phương pháp không lưới giải phương trình Poisson, Luận án tiến sĩ, 2012 [13] Đặng Thị Oanh Đặng Quang Á, Sử dụng hàm sở bán kính RBF tập liệu tán xạ để tính đạo hàm, (2008), 383-394 [14] Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp sai phân hữu hạn phần tử hữu hạn, Tạ Văn Đĩnh, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2002 [15] Đặng Quang Á, Giáo trình phương pháp số, Nhà xuất Đại học Thái Nguyên, 2012 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS Đặng Thị Oanh ... đến phương trình Poisson; Hệ phương trình đại số tuyến tính; Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính; Một số định nghĩa khái niệm nội suy hàm RBF; Nội suy hàm RBF; Phương pháp. .. Oleg&Oanh-2011, phương pháp khơng lưới có hỗ trợ thuật tốn tìm K-Láng giềng gần Chương 3: Áp dụng thuật toán chọn K-láng giềng gần cho phương pháp RBF-FD không gian 2D Chương dành cho phần thử nghiệm... việc ứng dụng phương pháp toán học vào thực tiễn Các phương pháp vừa nêu nói chung phương pháp lưới Tuy nhiên, phương pháp nhiều hạn chế áp dụng vào lớp tốn thực tế có cấu trúc phức tạp Vào khoảng