Áp dụng thống kê Fermi - Dirac biến dạng -q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Bộ giáo dục và đào tạoTr ờng đại học s phạm hà nội 2 Phạm thị toản áp dụng thống kê fermi – dirac biến dạng –q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Chuyên ngành: Vậ

Bộ giáo dục và đào tạo

Tr ờng đại học s phạm hà nội 2

Phạm thị toản

áp dụng thống kê fermi – dirac

LUậN VĂN THạC Sĩ VậT Lý

Hà Nội 2009

Bộ giáo dục và đào tạo

Tr ờng đại học s phạm hà nội 2

Phạm thị toản

áp dụng thống kê fermi – dirac

biến dạng –q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã số: 60 44 07

Luận văn thạc sĩ vật lý

Ng ời h ớng dẫn khoa học: TS L u Thị Kim Thanh

Hà Nội 2009

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, người đãtận tình hướng dẫn và truyền cho tôi nhiều kinh nghiệm quí báu trong học tập

và nghiên cứu khoa học Cô luôn động viên, khích lệ để tôi vươn lên tronghọc tập và vượt qua những khó khăn trong công tác nghiên cứu chuyên môn.Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với cô

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và Khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi hoàn thành chương trình học và luận văn tốt nghiệp này

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng gópnhững ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành luận văn này

Hà nội, tháng 09 năm 2009

Tác giả

Phạm Thị Toản

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh Luận văn này không hề trùng lặpvới những đề tài nghiên cứu khác

Hà Nội, tháng 09 năm 2009

Tác giả

Phạm Thị Toản

Chương 1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do

1.1 Lý thuyết Drude 8

1.2 Lý thuyết Lorentz 8

1.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại 9

Chương 2 Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự

2.1 Hình thức luận dao động tử điều hoà 13

2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac 22

2.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại 29

Chương 3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi

3.1 Lý thuyết q - số 38

3.2 Dao động tử điều hoà biến dạng –q 39

3.3 Dao động tử Fermion biến dạng –q, thống kê Fermi – Dirac biến

Tài

liệu tham khảo 57

Phụ lục 60

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Khi nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại, người

ta thấy rằng các kết quả thực nghiệm không trùng với các tính toán lý thuyết

Có điều này là do trong tinh thể kim loại có thể có lẫn tạp chất, hoặc có sự saihỏng mạng tinh thể do khuyết tật, lệch mạng… Mặt khác, các tính toán lýthuyết được xây dựng đối với các mô hình lí tưởng, do đó gây ra sự sai khácgiữa các kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được

Trong Cơ học lượng tử cũng như trong Vật lý chất rắn, khi có sự saikhác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thườngdùng các phương pháp gần đúng để giải quyết Tuy nhiên, nhiều hiện tượngVật lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạnnhư sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái… Điều đó đòihỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn mà vẫn bao gồm tất cảcác bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn, và vẫn giữ được các yếu tố phituyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp gầnđúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại số biến dạng.Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại sốbiến dạng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Vật lý lý thuyết, vì cáccấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của Vật lý lý thuyết nhưThống kê lượng tử, Quang học phi tuyến, Vật lý chất rắn…

Trong lĩnh vực Vật lý chất rắn, tôi thấy rằng lý thuyết này đã đạt đượckhá nhiều thành công trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quanđến các hạt Boson Do đó, tôi quyết định chọn lý thuyết đại số biến dạng để

áp dụng nghiên cứu hệ các hạt Fermion, từ đó đi xây dựng hàm thống kêFermi – Dirac biến dạng –q và áp dụng hàm thống kê này đi nghiên cứu nhiệt

dung của khí điện tử tự do trong kim loại

- Hệ khí Fermion và thống kê Fermi – Dirac

- Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

b) Phạm vi nghiên cứu: Khí điện tử tự do trong kim loại

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp Vật lý lý thuyết

- Phương pháp đại số biến dạng

- Phương pháp toán giải tích

1.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Chương 2 Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong

kim loại.

2.1 Hình thức luận dao động tử điều hoà

2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac

2.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Chương 3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý

thuyết biến dạng -q.

3.1 Lý thuyết q - số

3.2 Dao động tử điều hoà biến dạng -q

3.3 Dao động tử Fermion biến dạng -q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng -q.3.4 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biếndạng -q

6 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài:

Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:

- Xây dựng lý thuyết biến dạng -q của khí Fermion và thống kêFermi –Dirac

- Xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại trongtrường hợp có biến dạng

NỘI DUNG

Kim loại là một loại vật rắn có tính dẫn điện tốt, độ dẫn điện vàokhoảng từ 106 đến 108 1m1 Đó là vì trong kim loại có chứa rất nhiềuelectron có thể chuyển động tự do khắp tinh thể kim loại Nếu mỗi nguyên tửcho một electron thì trong 1 cm3 đã có khoảng 1022 electron hoá trị, liên kếtrất yếu với các lõi nguyên tử Chúng có thể chuyển động tự do trong tinh thểtrở thành các hạt tải điện, quyết định tính dẫn điện của kim loại, nên được gọi

là các electron dẫn [4], [5], [10], [11]

Nếu coi một cách đơn giản rằng các điện tử tự do này không tương tácvới nhau (nói chính xác hơn là coi rằng chúng chỉ tương tác với nhau theomột cách duy nhất là va chạm), thì khi đó các điện tử này tạo thành một chấtkhí (còn nếu coi các điện tử này có tương tác với nhau thì chúng tạo thànhmột chất lỏng)

Tuỳ vào việc dùng hàm phân bố nào để xét khí điện tử tự do này mà ta

sẽ có các lý thuyết khác nhau [2]:

(1) Nếu coi các điện tử tự do đều cùng có một giá trị năng lượng 

Khí cổ điển đơn giản nhất  Lý thuyết Drude

(2) Nếu dùng phân bố Maxwell - Boltzmann cổ điển  Khí cổ điển 

Chương 1

LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ

ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI.

Lý thuyết cổ điển về điện tử tự do đã được Drude và Lorentz xây dựngvào khoảng đầu thế kỉ XX Theo lý thuyết này, lực tương tác giữa cácelectron hoá trị với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu, không đáng kể.Các electron dẫn được coi như một chất khí lí tưởng tự do, không tương tác.Khi chuyển động, các electron dẫn có thể va chạm với lõi nguyên tử, giữa hailần va chạm liên tiếp electron chuyển động hoàn toàn tự do [2], [13], [10]

1.1 Lý thuyết Drude.

Các giả thuyết chính của Drude bao gồm:

- Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vô hướng

- Tại cùng một nhiệt độ, tất cả các điện tử đều có năng lượng nhưnhau:

v d  v T

(1.2)Sau mỗi lần va chạm, điện tử mất hoàn toàn chuyển động có hướng mà

nó thu thập được trước đó

1.2 Lý thuyết Lorentz.

Theo thuyết electron cổ điển, các electron dẫn trong kim loại được xemnhư chất khí electron lý tưởng Các electron tự do tham gia vào chuyển động

3 kTm

nhiệt hỗn độn, va chạm với các ion của mạng tinh thể và trao đổi năng lượngvới chúng Lực tương tác giữa các electron này với các lõi nguyên tử được giảthiết là yếu, không đáng kể Khi đó, năng lượng toàn phần của các electronchỉ bao gồm động năng, bỏ qua thế năng Các electron tự do này tuân theođịnh luật phân bố vận tốc Maxwell – Boltzmann

3

d  kT

1.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.

Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh thể ứng với một điện tử tự do Khi đó năng lượng trung bình của các điện tử

tự do trong kim loại bằng [2], [9], [8]:

Nhưng trên thực tế chỉ quan sát thấy C

V  3R đối với mọi chất rắn

(định luật Duylong – Petit) Vậy tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trởlên) chuyển động của các electron chỉ đóng góp một phần rất nhỏ vào nhiệtdung của kim loại (chỉ vào khoảng 1/100 giá trị trên)

Vậy nhiệt dung của kim loại tính theo thuyết electron cổ điển là khôngphù hợp với thực nghiệm

Kết luận:

Trong chương 1, ta đã sử dụng lý thuyết cổ điển để nghiên cứu về nhiệt

dung của khí điện tử tự do trong kim loại, và thấy rằng lý thuyết này cho kếtquả không đúng về nhiệt dung Lý thuyết này đã không chỉ ra được sự phụthuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung Do vậy, ta cần sử dụng lý thuyết khác để

đi nghiên cứu giá trị nhiệt dung này

Chương 2

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ

ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI.

Lý thuyết cổ điển khi áp dụng để giải thích các tính chất của các hạthoặc hệ hạt vi mô, mà điển hình là điện tử đã vấp phải rất nhiều mâu thuẫnvới thực nghiệm mà không thể giải thích nổi Chính vì vậy mà các nhà Vật lývào đầu thế kỉ XX đã phải sáng tạo ra thuyết lượng tử [1], [6], [9], [12]

Năm 1927, sử dụng các khái niệm Cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô,Sommerfeld là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kimloại, trong đó sử dụng thống kê Fermi – Dirac thay cho thống kê cổ điểnMaxwell – Boltzmann, nhờ đó đã khắc phục được nhiều thiếu sót của môhình cổ điển của Drude và Lorentz

Hệ các hạt đồng nhất là hệ các hạt có đặc trưng vật lý giống hệt nhaunhư có cùng khối lượng, điện tích, mômen từ, spin… được coi là các hạtđồng nhất

Trong Cơ học lượng tử, khái niệm quĩ đạo của các hạt mất hết ý nghĩa.Thực ra, chỉ có thể biết mật độ xác suất để ở một vị trí đã cho có hạt thuộc hệđồng nhất là bao nhiêu Hơn nữa, ta không thể phân biệt được các hạt dù đãđánh dấu chúng trong một hệ hạt đồng nhất đó chính là nội dung nguyên líkhông thể phân biệt được các hạt đồng nhất

Theo thuyết lượng tử:

- Đối với tất cả các hạt có spin nguyên (gọi chung là các Boson)như photon,  - meson, K – meson thì không bị hạn chế về số hạt cùng nằmtrên một mức năng lượng, hàm sóng của hệ là đối xứng, nghĩa là không thayđổi khi hoán vị các hạt Các hạt Boson tuân theo thống kê Bose – Einstein

- Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như

m

electron, proton, neuton, positron… thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên mộtmức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượngkhác nhau) Hạn chế này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli Hàm sóng của hệFermion là phản đối xứng, nghĩa là khi hoán vị hai hạt bất kì cho nhau thìhàm sóng của hệ đổi dấu Các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac

2.1 Hình thức luận dao động tử điều hoà.

Dao động tử điều hoà một chiều là một chất điểm có khối lượng m,chuyển động dọc theo một trục 0x nào đó dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi

Thay toán tử toạ độ

  i m  i mx d  i mx

d = i (2.3)

qˆm

Hˆ   (2aˆ aˆ  2aˆaˆ

)   (aˆ aˆ 

Dựa vào (2.4) ta xét:

(aˆ aˆ  aˆaˆ )  

(aˆ aˆ 1  aˆ aˆ)  (aˆ aˆ  1

Nˆ  aˆ aˆ

(2.8)

Xét hệ thức giao hoán giữa toán tử

n cũng là hàm riêng của toán tử

Nˆ n cũng là hàm riêng của toán tử

n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n + p)…

Ta dễ dàng chứng minh được kết luận này như sau:

 Nˆaˆ2

n  aˆNˆaˆ n

Đối với vectơ trạng thái aˆ

n , ta cũng tác dụng lên vectơ trạng thái

2

2

2

ứng với trị riêng (n + p)… aˆ 

n là hàm riêng của toán tử Nˆ

* Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử

Vì n  0  nmin = 0

Trạng thái ứng với giá trị riêng nhỏ nhất này là trạng thái chân không: n  0

Trạng thái chân không được xác định bởi phương trình: aˆ 0  0

Vì từ kết luận 2 ta thấy, n là trị riêng của toán tử

không âm (n – 1), (n – 2), (n – 3)… cũng là trị riêng của toán tử Nˆ Chuỗi

này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất để

0 thì đó là vectơ trạng thái ứng với trị riêng

nmin 1  nmin , điều này trái với giả thiết nmin là nhỏ nhất

Vậy aˆ nmin  0 hay aˆ

(2.16) 1Nên: 0 là vectơ riêng của toán tử

Hˆ

ứng với trị riêng E0   .

2

1 là vectơ riêng của toán tử

Trạng thái 0 ứng với mức năng lượng thấp nhất là E0.

Trạng thái 1 ứng với mức năng lượng là E1 = E0 +  , có thể được xem làkết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 .

Trạng thái 2 ứng với mức năng lượng là E2 = E1 +  , có thể được xem làkết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , hay

thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 …

Ta có thể coi 0 là trạng thái không chứa lượng tử năng lượng nào.

1 là trạng thái chứa một lượng tử năng lượng.

… n là trạng thái chứa n lượng tử năng lượng

Toán tử

Nˆ có các trị riêng không âm, cách nhau một đơn vị được đoán

nhận là toán tử số lượng tử năng lượng nên gọi

Toán tử

aˆ khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n 1 , do đó

aˆ được đoán nhận là toán tử “huỷ” lượng tử năng lượng, hay

n

2

huỷ “hạt”.

n n

n

Toán tử aˆ

khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n 1 , do đó

aˆ được đoán nhận là toán tử “sinh” lượng tử năng lượng,

hay tử sinh “hạt”

aˆ gọi là toán

Trong Cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hoà

có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng 

n!

1n!

n

n 11n!

0 3

2 03

3

0

0 0

1 2

1

2 1 2

1 2

k

Fermion trong biểu diễn số lấp đầy có dạng:

Tương tự, cho toán tử

k

vào định nghĩa sau:

  l ,k

(2.34)

2.2.2 Thống kê Fermi – Dirac.

Để xây dựng thống kê Fermi – Dirac ta có thể sử dụng phương pháp lýthuyết trường lượng tử như sau [15]

Xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình của một đại lượng vật lý F,tương ứng với toán tử

e kT 1

(2.37)

Đây chính là hàm phân bố Fermi – Dirac Ý nghĩa của phân bố này là

nó biểu diễn xác suất có điện tử nằm trên mức năng lượng  tại nhiệt độ T.Bây giờ ta sẽ xem xét một số tính chất của hàm phân bố này: [1], [2], [7], [8]

trường hợp tất cả các điện tử cùng nằm trên một mức năng lượng Ở nhiệt độ

00K, các điện tử phân bố rất đặc biệt, mỗi trạng thái ứng với mức năng lượng

   F đều chứa một electron, còn các trạng thái    F đều bỏ trống Nếu kể

đến spin thì ứng với mỗi mức năng lượng  sẽ có hai trạng thái lượng tử riêng



biệt s   Khí điện tử tự do ở 0K gọi là khí điện tử suy biến hoàn toàn.

2

b) Tại T  0K.

Khi được cung cấp thêm năng lượng từ bên ngoài thì nhiệt độ của hệ

sẽ tăng lên Một số electron ở gần mức Fermi bị kích thích nhảy lên các mứcnăng lượng nằm trên mức Fermi Đến nhiệt độ T0 nào đó, electron ở mứcthấp nhất  = 0 cũng có thể nhảy lên mức Fermi

Ta đã biết  F  lim  , nhưng vì đối với kim loại  phụ thuộc rất

T 0

yếu vào nhiệt độ,    F cho đến tận nhiệt độ phòng, nên thực tế trong phân

bố Fermi – Dirac người ta thường dùng luôn  F thay cho  và viết:

f ( )  1

(   F )

e kT 1

với mức Fermi đều bị lấp đầy hoàn toàn