Áp dụng thống kê Fermi - Dirac biến dạng -q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

1 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội Phạm thị toản áp dụng thống kê fermi dirac biến dạng q nghiên cứu nhiƯt dung cđa khÝ ®iƯn tư tù tr LN VĂN THạC Sĩ VậT Lý Hà Nội 2009 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội Phạm thị toản áp dụng thống kê fermi dirac biến dạng q nghiên cứu nhiệt dung khí điện tử tự tr Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã số: 60 44 07 Luận văn thạc sÜ vËt lý Ngêi híng dÉn khoa häc: TS Lu Thị Kim Thanh Hà Nội 2009 LI CM N Lun văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, người tận tình hướng dẫn truyền cho tơi nhiều kinh nghiệm quí báu học tập nghiên cứu khoa học Cơ ln động viên, khích lệ để tơi vươn lên học tập vượt qua khó khăn công tác nghiên cứu chuyên môn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành sâu sắc cô Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học Khoa Vật lý tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành chương trình học luận văn tốt nghiệp Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tạo điều kiện, đóng góp ý kiến, kinh nghiệm q báu giúp tơi hồn thành luận văn Hà nội, tháng 09 năm 2009 Tác giả Phạm Thị Toản LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không trùng lặp với đề tài nghiên cứu khác Hà Nội, tháng 09 năm 2009 Tác giả Phạm Thị Toản MỤC LỤC Trang Mục lục Mở đầu Nội dung Chương Lý thuyết cổ điển nhiệt dung khí điện tử tự kim loại 1.1 Lý thuyết Drude 1.2 Lý thuyết Lorentz 1.3 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Chương Lý thuyết lượng tử nhiệt dung khí điện tử tự kim loại 12 2.1 Hình thức luận dao động tử điều hoà 13 2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac 22 2.3 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại 29 Chương Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng lý thuyết biến dạng q 38 3.1 Lý thuyết q - số 38 3.2 Dao động tử điều hoà biến dạng –q 39 3.3 Dao động tử Fermion biến dạng –q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q 42 3.4 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng lý thuyết biến dạng -q 45 Kết luận 55 Các cơng trình cơng bố 56 Tài liệu tham khảo 57 Phụ lục 60 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Khi nghiên cứu nhiệt dung khí điện tử tự kim loại, người ta thấy kết thực nghiệm không trùng với tính tốn lý thuyết Có điều tinh thể kim loại có lẫn tạp chất, có sai hỏng mạng tinh thể khuyết tật, lệch mạng… Mặt khác, tính tốn lý thuyết xây dựng mơ hình lí tưởng, gây sai khác kết lí thuyết thực nghiệm thu Trong Cơ học lượng tử Vật lý chất rắn, có sai khác lý thuyết tắc kết thực nghiệm, người ta thường dùng phương pháp gần để giải Tuy nhiên, nhiều tượng Vật lý lại không dễ dàng thấy phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn phá vỡ đối xứng tự phát, chuyển pha trạng thái… Điều đòi hỏi phải có phương pháp không nhiễu loạn mà bao gồm tất bậc khai triển lý thuyết nhiễu loạn, giữ yếu tố phi tuyến lý thuyết phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp gần đúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc đại số biến dạng Trong năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số biến dạng thu hút quan tâm nhiều nhà Vật lý lý thuyết, cấu trúc toán học phù hợp với nhiều vấn đề Vật lý lý thuyết Thống kê lượng tử, Quang học phi tuyến, Vật lý chất rắn… Trong lĩnh vực Vật lý chất rắn, thấy lý thuyết đạt nhiều thành cơng việc nghiên cứu giải thích vấn đề liên quan đến hạt Boson Do đó, tơi định chọn lý thuyết đại số biến dạng để áp dụng nghiên cứu hệ hạt Fermion, từ xây dựng hàm thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q áp dụng hàm thống kê nghiên cứu nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Mục đích nghiên cứu: - Xây dựng hàm phân bố thống kê Fermi – Dirac trường hợp có biến dạng - Xác định nhiệt dung khí điện tử tự kim loại trường hợp có biến dạng Đối tượng phạm vi nghiên cứu: a) Đối tượng: - Hệ khí Fermion thống kê Fermi – Dirac - Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại b) Phạm vi nghiên cứu: Khí điện tử tự kim loại Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp Vật lý lý thuyết - Phương pháp đại số biến dạng - Phương pháp tốn giải tích Nội dung: Chương Lý thuyết cổ điển nhiệt dung khí điện tử tự kim loại 1.1 Lý thuyết Drude 1.2 Lý thuyết Lorentz 1.3 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Chương Lý thuyết lượng tử nhiệt dung khí điện tử tự kim loại 2.1 Hình thức luận dao động tử điều hoà 2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac 2.3 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Chương Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng lý thuyết biến dạng -q 3.1 Lý thuyết q - số 3.2 Dao động tử điều hoà biến dạng -q 3.3 Dao động tử Fermion biến dạng -q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng -q 3.4 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng lý thuyết biến dạng -q Những đóng góp khoa học, thực tiễn đề tài: Đề tài sau hoàn thành sẽ: - Xây dựng lý thuyết biến dạng -q khí Fermion thống kê Fermi –Dirac - Xác định nhiệt dung khí điện tử tự kim loại trường hợp có biến dạng NỘI DUNG Kim loại loại vật rắn có tính dẫn điện tốt, độ dẫn điện vào khoảng từ 10 đến 10 1 1  m Đó kim loại có chứa nhiều electron chuyển động tự khắp tinh thể kim loại Nếu nguyên tử 22 cho electron cm có khoảng 10 electron hố trị, liên kết yếu với lõi nguyên tử Chúng chuyển động tự tinh thể trở thành hạt tải điện, định tính dẫn điện kim loại, nên gọi electron dẫn [4], [5], [10], [11] Nếu coi cách đơn giản điện tử tự không tương tác với (nói xác coi chúng tương tác với theo cách va chạm), điện tử tạo thành chất khí (còn coi điện tử có tương tác với chúng tạo thành chất lỏng) Tuỳ vào việc dùng hàm phân bố để xét khí điện tử tự mà ta có lý thuyết khác [2]: (1) Nếu coi điện tử tự có giá trị lượng  Khí cổ điển đơn giản  Lý thuyết Drude (2) Nếu dùng phân bố Maxwell - Boltzmann cổ điển  Khí cổ điển  Lý thuyết Lorentz (3.) Nếu dùng phân bố Fermi – Dirac lượng tử  Khí lượng tử ( hay gọi khí Fermi)  Lý thuyết Sommerfeld Sau đây, ta dùng lý thuyết để nghiên cứu nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Ngồi ra, tơi xin đề xuất thêm phương án áp dụng phân bố Fermi – Dirac biến dạng –q để nghiên cứu giá trị Chương LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI Lý thuyết cổ điển điện tử tự Drude Lorentz xây dựng vào khoảng đầu kỉ XX Theo lý thuyết này, lực tương tác electron hoá trị với lõi nguyên tử giả thiết yếu, không đáng kể Các electron dẫn coi chất khí lí tưởng tự do, không tương tác Khi chuyển động, electron dẫn va chạm với lõi nguyên tử, hai lần va chạm liên tiếp electron chuyển động hoàn toàn tự [2], [13], [10] 1.1 Lý thuyết Drude Các giả thuyết Drude bao gồm: - Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vơ hướng - Tại nhiệt độ, tất điện tử có lượng nhau:  mvT  kT (với vT  3kT ) m (1.1) - Khi có điện trường tác dụng lên hệ có thêm thành phần chuyển động có hướng, gọi theo hướng điện trường với tốc độ vd , vậy: vd  vT (1.2) Sau lần va chạm, điện tử hồn tồn chuyển động có hướng mà thu thập trước 1.2 Lý thuyết Lorentz Theo thuyết electron cổ điển, electron dẫn kim loại xem chất khí electron lý tưởng Các electron tự tham gia vào chuyển động 65 thuyết nhiễu loạn, giữ yếu tố phi tuyến lý thuyết phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp gần đúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc đại số biến dạng Trong năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số biến dạng thu hút quan tâm nhiều nhà Vật lý lý thuyết, cấu trúc toán học phù hợp với nhiều vấn đề Vật lý lý thuyết Thống kê lượng tử, Quang học phi tuyến, Vật lý chất rắn… Trong lĩnh vực Vật lý chất rắn, thấy lý thuyết đạt nhiều thành công việc nghiên cứu giải thích vấn đề liên quan đến hạt Boson Do đó, tơi định chọn lý thuyết đại số biến dạng để áp dụng nghiên cứu hệ hạt Fermion, từ xây dựng hàm thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q áp dụng hàm thống kê nghiên cứu nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Mục đích nghiên cứu: - Xây dựng hàm phân bố thống kê Fermi – Dirac trường hợp có biến dạng - Xác định nhiệt dung khí điện tử tự kim loại trường hợp có biến dạng Đối tượng phạm vi nghiên cứu: a) Đối tượng: - Hệ khí Fermion thống kê Fermi – Dirac - Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại b) Phạm vi nghiên cứu: Khí điện tử tự kim loại Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp Vật lý lý thuyết - Phương pháp đại số biến dạng - Phương pháp tốn giải tích 10 Nội dung: Chương Lý thuyết cổ điển nhiệt dung khí điện tử tự kim loại 1.4 Lý thuyết Drude 1.5 Lý thuyết Lorentz 1.6 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Chương Lý thuyết lượng tử nhiệt dung khí điện tử tự kim loại 2.1 Hình thức luận dao động tử điều hoà 2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac 2.3 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Chương Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng lý thuyết biến dạng q 3.1 Lý thuyết q - số 3.2 Dao động tử điều hoà biến dạng -q 3.3 Dao động tử Fermion biến dạng -q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng -q 66 3.4 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng lý thuyết biến dạng -q Những đóng góp khoa học, thực tiễn đề tài: Đề tài sau hoàn thành sẽ: - Xây dựng lý thuyết biến dạng -q khí Fermion thống kê Fermi –Dirac - Xác định nhiệt dung khí điện tử tự kim loại trường hợp có biến dạng NỘI DUNG Chương LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI 1.1 Lý thuyết Drude Các giả thuyết Drude bao gồm: - Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vơ hướng - Tại nhiệt độ, tất điện tử có lượng nhau:  mvT  kT 2 (với ) 3kT m vT  - Khi có điện trường tác (1.1) dụng lên hệ có thêm thành phần chuyển động có hướng, gọi theo hướng điện trường với tốc độ vd , vậy: vd  vT (1.2) Sau lần va chạm, điện tử hồn tồn chuyển động có hướng mà thu thập trước 1.2 Lý thuyết Lorentz Theo thuyết electron cổ điển, electron dẫn kim loại xem chất khí electron lý tưởng Các electron tự tham gia vào chuyển động nhiệt hỗn độn, va chạm với ion mạng tinh thể trao đổi lượng với chúng Lực tương tác electron với lõi nguyên tử giả thiết yếu, khơng đáng kể Khi đó, lượng tồn phần electron bao gồm động năng, bỏ qua Các electron tự tuân theo định luật phân bố vận tốc Maxwell – Boltzmann f (v)  4  m mv    2 kT  Từ hàm phân bố ta xác định giá trị vận tốc động trung bình phân tử khí Ed  mv 2 T  (1.3)  v e 2 kT mvT  kT 2 vT , từ xác định 67 Vì động trung bình chuyển động nhiệt electron coi động trung bình ion mạng, nên ta nói electron có lượng là: d 1.3 Nhiệt (1.4) dung khí điện tử tự kim loại kT Giả sử có N nguyên tử kim loại, ion dao động mạng tinh thể ứng với điện tử tự Khi lượng trung bình điện tử tự kim loại bằng: E  N. d  NkT  (1.5) RT Vậy nhiệt dung khí điện tử tự kim loại là: C  el dE  dT (1.6) R Mặt khác, ta biết đóng góp dao động mạng tinh thể vào nhiệt dung nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) là: (1.7) ion  3NkT  3RT  Cion  d ion dT (1.8)  3R Khi đó, nhiệt dung tồn kim loại bao gồm nhiệt dung ion nhiệt dung điện tử: C C C V el  ion RR R (1.9) Nhưng thực tế quan sát thấy CV  3R chất rắn (định luật Duylong – Petit) Vậy nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) chuyển động electron đóng góp phần nhỏ vào nhiệt dung kim loại (chỉ vào khoảng 1/100 giá trị trên) Vậy nhiệt dung kim loại tính theo thuyết electron cổ điển khơng phù hợp với thực nghiệm Kết luận: Trong chương 1, ta sử dụng lý thuyết cổ điển để nghiên cứu nhiệt dung khí điện tử tự kim loại, thấy lý thuyết cho kết không nhiệt dung Lý thuyết không phụ thuộc vào nhiệt độ nhiệt dung Do vậy, ta cần sử dụng lý thuyết khác để nghiên cứu giá trị nhiệt dung Chương 68 LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI 2.1 Hình thức luận dao động tử điều hồ Dao động tử điều hồ chiều chất điểm có khối lượng m, chuyển động dọc trục 0x tác dụng lực chuẩn đàn hồi F = - kx  Dao động tử điều hoà đặc trưng toán tử sinh hạt, huỷ hạt aˆ , aˆ toán tử số hạt Nˆ  aˆ  aˆ Các toán tử thoả mãn hệ thức giao hoán: (2.1)     aˆ, aˆ   1; aˆ, aˆ    aˆ , aˆ    Nˆ , aˆ   aˆ;  Nˆ , aˆ    aˆ      2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac 2.2.1 Dao động tử Fermion Các hạt Fermion đặc trưng toán tử sinh hạt, huỷ hạt Fermion bˆ , bˆ toán   tử số hạt Nˆ  bˆ bˆ Các toán tử thoả mãn hệ thức phản giao hoán: bˆ ,bˆ   ;bˆ ,bˆ  bˆ ,bˆ    l  k lk l k l  (2.2) k 2.2.2 Thống kê Fermi – Dirac Xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình đại lượng vật lý F, tương ứng với toán tử Tr Fˆ tập hợp tắc lớn::  exp- (Hˆ - Nˆ ) Fˆ  (2.3) Fˆ    Tr exp - (Hˆ - Nˆ ) Ta Nˆ  Tr tính số hạt trung bình mức lượng:   exp- (Hˆ - Nˆ ) Nˆ  Tr  exp - (Hˆ - Nˆ )  (2.4) Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử biểu thức ta dễ dàng xây dựng hàm thống kê Fermi –Dirac n ( )  f ( )  e () kT (2.5) 1 Ý nghĩa phân bố biểu diễn xác suất có điện tử nằm mức lượng  nhiệt độ T a) Tại T = K Các điện tử lấp đầy mức lượng từ lên đến mức cao mức Fermi  F , đó:  F  lim  T 0 69 Ở nhiệt độ K, điện tử phân bố đặc biệt, trạng thái ứng với mức lượng    F chứa electron, trạng thái    F bỏ trống Nếu kể đến spin ứng với mức lượng  có hai trạng thái lượng tử riêng biệt s   / Khí điện tử tự K gọi khí điện tử suy biến hoàn toàn b) Tại T  K Khi cung cấp thêm lượng từ bên ngồi nhiệt độ hệ tăng lên Một số electron gần mức Fermi bị kích thích nhảy lên mức lượng nằm mức Fermi Đến nhiệt độ T0 đó, electron mức thấp   nhảy lên mức Fermi 2.3 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại 2.3.1 Cách tính gần đơn giản Từ nguyên lý loại trừ Pauli, cách đơn giản ta rút nhiệt dung khí điện tử tự lượng tử tuân theo định luật: CVel □ T 2.3.2 Cách tính đầy đủ xác Khí điện tử tự kim loại tuân theo phân bố Fermi – Dirac Từ hàm phân bố ta xác định tổng số điện tử tự lượng toàn phần khí điện tử tự nhiệt độ T: (2.6)  N    ( ).n ( )d   ( )  4  E     ( ).n ( )d Với g( ).V 3/ (2m)  1/  ( ) mật độ trạng thái: g( ) bội suy biến mức lượng  , Đặt  V (2m) 2  3/2 g( )  2s 1  2.1/ 1   1/ Ta được:  N  d   e kT (2.7) 1  E     3/ d (2.8) e kT 1  Xét tích phân: I p   F ( ) d    e kT 1 p Với F ( )  e ,( p = 1/2 ; p = 3/2 ) Khi N   I1/ , E   I3 / Bằng phương pháp đổi biến số thực thao tác tính tốn được: (2.9) 70 2  p1    p. I  p p 1 (2.10) p1 Từ ta xác định được: I1/   2  2 1     51      2     3/ 5/2 I   3/ (2.11) Khi T  K N  . 3/ thì: E    ; Vậy 3/ 2 (2m) V N  2 E  0  0   2m  V (2.12)   Từ kết cho thấy rằng, N 2  3 N2  3/  5/2 0 trạng thái (T = K ) khí điện tử tự có lượng khác Ta có:  kT    T  0   3 N  0   2mk  V  k T0 gọi nhiệt độ suy biến Ở nhiệt độ T □ khí điện tử suy biến hồn tồn Ở nhiệt độ T □ T khí điện tử gọi khí suy biến Khi T = K T0 ta có khí điện tử khơng suy biến Thực phép biến đổi tính gần ta xác định lượng toàn phần khí điện tử tự nhiệt độ T thấp gần bằng: 5   2 12   0 E  50 N 1  (2.13) Nhiệt dung đẳng tích khí điện tử tự kim loại là: el C  V  E     T V   Nk 2T (2.14) 0 Vậy nhiệt độ thấp, nhiệt dung kim loại phụ thuộc vào nhiệt độ dạng: CV   T   T Phần tuyến tính  T mạng ion dương Kết luận: nhiệt dung khí điện tử tự do, phần  T nhiệt dung 71 71 Chương nghiên cứu toán tử sinh hạt, huỷ hạt toán tử số hạt dao động tử Fermion, xây dựng thống kê Fermi – Dirac phương pháp lý thuyết trường lượng tử, từ tính nhiệt dung khí điện tử tự kim loại giá trị nhiệt dung tỉ lệ tuyến tính với nhiệt độ Chương NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI KHI ÁP DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG –q 3.1 Lý thuyết q- số q- số tương ứng với số thông thường x định nghĩa: (3.1) q x  q x  qx  q 1 q Với q tham số, x tốn tử ta có định 1 nghĩa giống (3.1) Chú ý q- số bất biến phép biến đổi nghịch đảo q  q Nếu q thực, q- số biểu diễn:  x x   e – e  sh( x) x q e  e  sh(x) (3.2) 72 ( thực) s  Với q  e Nếu q hệ số pha, q- số viết sau:  x x   x e e  sh(x)  q e e  i Với q  e (3.3) sh( x) ( thực) Trong hai trường hợp rõ ràng giới hạn q  (  ) q- số trở số thơng thường (tốn tử) 3.2 Dao động tử điều hoà biến dạng –q  Dao động tử điều hoà biến dạng –q định nghĩa theo toán tử sinh, huỷ hạt aˆ , aˆ toán tử số hạt Nˆ , toán tử thoả mãn hệ thức giao hoán sau:   aˆaˆ  qaˆ aˆ  N q ˆ Và aˆ  aˆ   Nˆ   q Với nq  (3.4) aˆaˆ    Nˆ 1  q qn  qn (3.5) q 1 q Khi q  hệ thức (3.4) trở hệ thức giao hốn thơng thường Tác dụng tốn tử lên không gian vectơ n ta được: Nˆ n  n n aˆ n   nq (3.6) n 1 aˆ n  (n 1)q n 1 3.3 Dao động tử Fermion biến dạng –q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q 3.3.1 Dao động tử Fermion biến dạng –q Dao động tử Fermion biến dạng –q đặc trưng toán tử sinh, huỷ hạt bˆ , bˆ   toán tử số hạt Nˆ  bˆ bˆ Trong biến dạng –q dao động tử Fermion tốn tử thoả mãn hệ thức phản giao hoán:   bˆbˆ  qbˆ bˆ  (3.7) N q ˆ Khi q  (  ) (3.7) trở hệ thức phản giao hốn thơng thường Ta có:   bˆbˆ  Nˆ Nhưng đối nq  q n n  (1) q q q 1 q   bˆbˆ  Nˆ 1 với q Fermion biến dạng –q thì: n (3.8) 73  Hệ dao động tử Fermion đa mode, toán tử sinh, huỷ bˆ , j bˆ ( i, j = 1,2,…k) tuân theo hệ thức phản giao hoán:  bˆ bˆ  (q 1 bˆ bˆ   1) i j ij   j i  Nˆ , bˆ    bˆ ij  i j j  Nˆ , bˆ    bˆ ij j  i j  ij q N ˆ (3.9) 3.3.2 Thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q Để xây dựng thống kê Fermi – Dirac cho dao động tử Fermion biến dạng –q, ta xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình đại lượng vật lý F, từ ta tính số hạt trung bình mức lượng công thức (2.4) Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử thực phép tính toán ta xác định hàm phân bố thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q sau: e (  ) 1 n ( )  f ( )  e  (  ) (3.10) 1  (q  q )e 1  (   ) Để ý rằng, q  (3.10) trở (2.5) 3.4 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại biến dạng –q Để xác định nhiệt dung khí điện tử tự kim loại biến dạng, ta xác định tổng số điện tử tự lượng tồn phần khí điện tử tự nhiệt độ T, sau xác định nhiệt dung khí điện tử Tổng số điện tử tự lượng tồn phần khí điện tử tự nhiệt độ T tính theo cơng thức (2.6), n ( ) xác định theo công thức: n( )   e kT 1  e     1  (q  q )e kT 1 kT Từ ta có:    N    1/ e  e kT  (q  q )e (3.11) 1 kT (3.12)     e Để ý rằng: lim n( )  lim d   1 e kT 1  kT 1   E    / kT 1    (q  q )e kT 1     0 1 e kT 1   d    T 0 T 0 1 e kT  (q  q )e 0 74 kT 1   0 74 Thực thao tác tính tốn (3.11) (3.12) ý đến trường hợp giới hạn trên, ta xác định mức lượng Fermi lượng toàn phần khí điện tử tự T = 0 K có cơng thức sau: (3.13)  N  23 /    3 N  23 /   F   2m V      5/2 E     N.    0 (3.14) 5 Ở nhiệt độ T  K với nhiệt độ T thấp, để xác định E  ta cần tính tích phân dạng: 1/ 3/ Với g( )   g( )    I    kT ( )  e 1 g   kT d 1 Trước hết ta khẳng định với kT nhỏ thì: kT (   ) □ ( ) ( )  g   f d  (q  q )e kT 1 e    I   g( ) f ( )d   g( )d  g( ), F (q).kT  (3.15) Để chứng minh công thức ta xét tích phân:  d I   f ( ) d d Trong ( ) thoả mãn điều kiện  (0)  , ý đến phân phần ta có:  df I    ( ) (3.16) d d Khai triển hàm  ( ) thành chuỗi giới hạn số hạng tỉ lệ với df d (   ) , tính đạo hàm  I   (  )  df d f ()  sử dụng cơng thức tính tích  d   ( ) (   ) sau thay vào (3.16) được: df  d   ( ) (   ) d Lưu ý tới tính chất df  mà không làm thay đổi đáng kể kết quả:  I   (  )  df   d   ( )  (   ) d vế phải (3.17) được:  df d  d   ( )  (   )2  d  d hàm ta thay cận df df d  d  df I1   d d  1   df I   (   ) d  d    d (3.17) Ta tính tích phân 75  I3  (k q)  k 1  (1/ q) q   (1 q)    k2  k  k 1 k  (   )  (q)   k   k 1  k  df d d  (kT ) 2 k    q(q 1) (1/ q) q 1  k 1 k  75 Thay I1, I2, I3 vào I ta biểu thức I có dạng: I   (  )  2 ().F (q).(kT )2  Với F (q)   (1/ 1  q)k  (1 q)  q(q 1). q2   k2 k 1 k Khi g( )  g( )  k 1 k3  d 3/ 2   (  )   g( )d   ; ()  d Khi g( )   g( )  q   1/ ta có: (1/ q) 3/ (q)k   k2 k 1   1/ 2 ta có:  5/2 1/   (  )   g( )d   ; ()   d d k ( q)    k  k 1 Từ ta xác định tổng số điện tử tự lượng toàn phần khí điện tử tự nhiệt độ thấp là: N   2  E    2  3/   1/ F (q).(kT )2   (3.18)  /  31/ F (q).(kT )2     (3.19)   Để ý đến (3.13), ta biến đổi (3.18), (3.19) thực thao tác biến đổi gần ta biểu thức sau: 2   F (q).(kT )   0 1     0  (3.20)  F (q).(kT )  (3.21) E  E0 1  F (q).(kT )    N 0 1  02    02   Nhiệt dung đẳng tích khí điện tử tự kim loại có biến dạng –q là: el C  V  E  N.F (q).k.T    0  T V (3.22) Vậy nhiệt độ thấp, nhiệt dung khí điện tử tự kim loại có biến dạng –q tỉ lệ tuyến tính với nhiệt độ Kết luận: Ở chương này, xây dựng lý thuyết dao động tử Fermion biến dạng –q, xây dựng hàm thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q, từ áp dụng vào tính nhiệt dung khí điện tử tự kim loại có biến dạng Từ kết ta rút kết luận rằng: nhiệt độ thấp, nhiệt dung khí điện tử tự kim loại tỉ lệ tuyến tính với nhiệt độ 76 KẾT LUẬN Qua luận văn “Áp dụng Thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q nghiên cứu nhiệt dung khí điện tử tự kim loại” đã: - Xây dựng hàm thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q - Áp dụng thống kê để xác định nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Ở đây, chứng minh nhiệt dung khí điện tử tự kim loại tỉ lệ tuyến tính với nhiệt độ Đề tài dừng lại việc thực nghiên cứu, tính tốn lý thuyết Song tơi hi vọng, đề tài phát triển thêm lĩnh vực đối chiếu, so sánh với kết thực nghiệm thu số chất cụ thể Từ đó, hồn chỉnh thêm sở lý thuyết để áp dụng vào việc giải thích tượng xảy khí Fermion, kết thực nghiệm thu tương lai gần ... thuyết biến dạng -q 3.1 Lý thuyết q - số 3.2 Dao động tử điều hoà biến dạng -q 3.3 Dao động tử Fermion biến dạng -q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng -q 3.4 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng. .. số biến dạng để áp dụng nghiên cứu hệ hạt Fermion, từ xây dựng hàm thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q áp dụng hàm thống kê nghiên cứu nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Mục đích nghiên cứu: -. .. điện tử tự kim loại 2.1 Hình thức luận dao động tử điều hoà 2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac 2.3 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Chương Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng