Áp dụng thống kê Fermi - Dirac biến dạng -q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

1 Bộ giáo dục đào tạo Trường đại học sư phạm hà nội Phạm thị toản áp dụng thống kê fermi - dirac biến dạng - q nghiên cứu nhiệt dung khí điện tử tự kim loại LUậN VĂN THạC Sĩ VậT Lý Hà Nội 2009 Bộ giáo dục đào tạo Trường đại học sư phạm hà nội Phạm thị toản áp dụng thống kê fermi - dirac biến dạng -q nghiên cứu nhiệt dung khí điện tử tự kim loại Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã số: 60 44 07 Luận văn thạc sĩ vật lý Người hướng dẫn khoa học: TS Lưu Thị Kim Thanh Hà Nội 2009 LI CM N Lun ny c thc hin v hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca Tin s Lu Th Kim Thanh, ngi ó tn tỡnh hng dn v truyn cho tụi nhiu kinh nghim quớ bỏu hc v nghiờn cu khoa hc Cụ luụn ng viờn, khớch l tụi lờn hc v vt qua nhng khú khn cụng tỏc nghiờn cu chuyờn mụn Tụi xin by t lũng kớnh trng, bit n chõn thnh v sõu sc nht i vi cụ Tụi xin chõn thnh cm n Ban Giỏm Hiu Trng i hc S phm H Ni 2, Phũng Sau i hc v Khoa Vt lý ó to mi iu kin thun li cho tụi hon thnh chng trỡnh hc v lun tt nghip ny Cui cựng, tụi xin cm n gia ỡnh, bn bố ó to iu kin, úng gúp nhng ý kin, kinh nghim quớ bỏu giỳp tụi hon thnh lun ny H ni, thỏng 09 nm 2009 Tỏc gi Phm Th Ton LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca Tin s Lu Th Kim Thanh Lun ny khụng h trựng lp vi nhng ti nghiờn cu khỏc H Ni, thỏng 09 nm 2009 Tỏc gi Phm Th Ton MC LC Trang Mc lc M u Ni dung Chng Lý thuyt c in v nhit dung ca khớ in t t kim loi 1.1 Lý thuyt Drude 1.2 Lý thuyt Lorentz 1.3 Nhit dung ca khớ in t t kim loi Chng Lý thuyt lng t v nhit dung ca khớ in t t kim loi 12 2.1 Hỡnh thc lun dao ng t iu ho 13 2.2 Dao ng t Fermion, thng kờ Fermi Dirac 22 2.3 Nhit dung ca khớ in t t kim loi 29 Chng Nhit dung ca khớ in t t kim loi ỏp dng lý thuyt bin dng q 38 3.1 Lý thuyt q - s 38 3.2 Dao ng t iu ho bin dng q 39 3.3 Dao ng t Fermion bin dng q, thng kờ Fermi Dirac bin dng q 42 3.4 Nhit dung ca khớ in t t kim loi ỏp dng lý thuyt bin dng -q 45 Kt lun 55 Cỏc cụng trỡnh ó cụng b 56 Ti liu tham kho 57 60 Ph lc M U Lý chn ti: Khi nghiờn cu nhit dung ca khớ in t t kim loi, ngi ta thy rng cỏc kt qu thc nghim khụng trựng vi cỏc tớnh toỏn lý thuyt Cú iu ny l tinh th kim loi cú th cú ln cht, hoc cú s sai hng mng tinh th khuyt tt, lch mng Mt khỏc, cỏc tớnh toỏn lý thuyt c xõy dng i vi cỏc mụ hỡnh lớ tng, ú gõy s sai khỏc gia cỏc kt qu lớ thuyt v thc nghim thu c Trong C hc lng t cng nh Vt lý cht rn, cú s sai khỏc gia mt lý thuyt chớnh tc v kt qu thc nghim, ngi ta thng dựng cỏc phng phỏp gn ỳng gii quyt Tuy nhiờn, nhiu hin tng Vt lý li khụng d dng thy c phng phỏp nhiu lon, chng hn nh s phỏ v i xng t phỏt, s chuyn pha cỏc trng thỏi iu ú ũi hi phi cú nhng phng phỏp mi khụng nhiu lon m bao gm tt c cỏc bc khai trin ca lý thuyt nhiu lon, v gi c cỏc yu t phi tuyn ca lý thuyt nh phng phỏp tỏc dng hiu dng, phng phỏp gn ỳng, phng phỏp nhúm lng t m cu trỳc ca nú l i s bin dng Trong nhng nm gn õy, vic nghiờn cu nhúm lng t v i s bin dng ó thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh Vt lý lý thuyt, vỡ cỏc cu trỳc toỏn hc mi ny phự hp vi nhiu ca Vt lý lý thuyt nh Thng kờ lng t, Quang hc phi tuyn, Vt lý cht rn Trong lnh vc Vt lý cht rn, tụi thy rng lý thuyt ny ó t c khỏ nhiu thnh cụng vic nghiờn cu v gii thớch cỏc liờn quan n cỏc ht Boson Do ú, tụi quyt nh chn lý thuyt i s bin dng ỏp dng nghiờn cu h cỏc ht Fermion, t ú i xõy dng hm thng kờ Fermi Dirac bin dng q v ỏp dng hm thng kờ ny i nghiờn cu nhit dung ca khớ in t t kim loi Mc ớch nghiờn cu: - Xõy dng hm phõn b thng kờ Fermi Dirac trng hp cú bin dng - Xỏc nh nhit dung ca khớ in t t kim loi trng hp cú bin dng i tng v phm vi nghiờn cu: a) i tng: - H khớ Fermion v thng kờ Fermi Dirac - Nhit dung ca khớ in t t kim loi b) Phm vi nghiờn cu: Khớ in t t kim loi Phng phỏp nghiờn cu: - Phng phỏp Vt lý lý thuyt - Phng phỏp i s bin dng - Phng phỏp toỏn gii tớch Ni dung: Chng Lý thuyt c in v nhit dung ca khớ in t t kim loi 1.1 Lý thuyt Drude 1.2 Lý thuyt Lorentz 1.3 Nhit dung ca khớ in t t kim loi Chng Lý thuyt lng t v nhit dung ca khớ in t t kim loi 2.1 Hỡnh thc lun dao ng t iu ho 2.2 Dao ng t Fermion, thng kờ Fermi Dirac 2.3 Nhit dung ca khớ in t t kim loi Chng Nhit dung ca khớ in t t kim loi ỏp dng lý thuyt bin dng -q 3.1 Lý thuyt q - s 3.2 Dao ng t iu ho bin dng -q 3.3 Dao ng t Fermion bin dng -q, thng kờ Fermi Dirac bin dng -q 3.4 Nhit dung ca khớ in t t kim loi ỏp dng lý thuyt bin dng -q Nhng úng gúp mi v khoa hc, thc tin ca ti: ti sau hon thnh s: - Xõy dng lý thuyt bin dng -q ca khớ Fermion v thng kờ Fermi Dirac - Xỏc nh nhit dung ca khớ in t t kim loi trng hp cú bin dng NI DUNG Kim loi l mt loi vt rn cú tớnh dn in tt, dn in vo 1 khong t 106 n 108 m ú l vỡ kim loi cú cha rt nhiu electron cú th chuyn ng t khp tinh th kim loi Nu mi nguyờn t cho mt electron thỡ cm3 ó cú khong 1022 electron hoỏ tr, liờn kt rt yu vi cỏc lừi nguyờn t Chỳng cú th chuyn ng t tinh th tr thnh cỏc ht ti in, quyt nh tớnh dn in ca kim loi, nờn c gi l cỏc electron dn [4], [5], [10], [11] Nu coi mt cỏch n gin rng cỏc in t t ny khụng tng tỏc vi (núi chớnh xỏc hn l coi rng chỳng ch tng tỏc vi theo mt cỏch nht l va chm), thỡ ú cỏc in t ny to thnh mt cht khớ (cũn nu coi cỏc in t ny cú tng tỏc vi thỡ chỳng to thnh mt cht lng) Tu vo vic dựng hm phõn b no xột khớ in t t ny m ta s cú cỏc lý thuyt khỏc [2]: (1) Nu coi cỏc in t t u cựng cú mt giỏ tr nng lng Khớ c in n gin nht Lý thuyt Drude (2) Nu dựng phõn b Maxwell - Boltzmann c in Khớ c in Lý thuyt Lorentz (3.) Nu dựng phõn b Fermi Dirac lng t Khớ lng t ( hay cũn gi l khớ Fermi) Lý thuyt Sommerfeld Sau õy, ta s dựng cỏc lý thuyt ny nghiờn cu nhit dung ca khớ in t t kim loi Ngoi ra, tụi xin xut thờm mt phng ỏn na ú l ỏp dng phõn b Fermi Dirac bin dng q nghiờn cu cỏc giỏ tr ny 10 Chng Lí THUYT C IN V NHIT DUNG CA KH IN T T DO TRONG KIM LOI Lý thuyt c in v in t t ó c Drude v Lorentz xõy dng vo khong u th k XX Theo lý thuyt ny, lc tng tỏc gia cỏc electron hoỏ tr vi cỏc lừi nguyờn t c gi thit l yu, khụng ỏng k Cỏc electron dn c coi nh mt cht khớ lớ tng t do, khụng tng tỏc Khi chuyn ng, cỏc electron dn cú th va chm vi lừi nguyờn t, gia hai ln va chm liờn tip electron chuyn ng hon ton t [2], [13], [10] 1.1 Lý thuyt Drude Cỏc gi thuyt chớnh ca Drude bao gm: - Cỏc in t to thnh khớ, chuyn ng nhit hn lon vụ hng - Ti cựng mt nhit , tt c cỏc in t u cú nng lng nh nhau: mvT2 kT 2 (vi vT 3kT ) m (1.1) - Khi cú in trng tỏc dng lờn h thỡ cú thờm thnh phn chuyn ng cú hng, gi l cun theo hng ca in trng vi tc cun l vd , vy: vd vT (1.2) Sau mi ln va chm, in t mt hon ton chuyn ng cú hng m nú thu thp c trc ú 1.2 Lý thuyt Lorentz 49 lim (T ) T e kT n ( ) lim ý rng lim T T e kT ( q q )e kT nu 0 (3.26) Nh vy nhit tuyt i cỏc in t t phõn b rt c bit, mi trng thỏi vi nng lng u cha in t, cũn cỏc trng thỏi vi nng lng l cỏc trng thỏi b trng Nu k n spin ca in t thỡ ng vi mi mc nng lng cú hai trng thỏi lng t phõn bit ( ; s / ) v ( ; s / ) Ta cú th núi rng, nhit T = 0K cỏc in t t ln lt lp y cỏc trng thỏi lng t vi nng lng Mc nng lng gii hn gi l mc Fermi Ta cú th xỏc nh c mc nng lng Fermi theo h thc: e kT N 1/ e kT (q q )e kT d ý n (3.26) ta cú: N 1/ d 03/ (3.27) T õy, ta d dng suy c mc nng lng Fermi: N F 2/3 N 2m V 2/3 (3.28) Nng lng ton phn ca khớ in t t T = 0K l: E0 0 e kT 3/ e kT (q q )e kT d 3/ d 50 E0 05 / N 5 (3.29) Nh vy nng lng trung bỡnh tớnh cho mt in t t l iu ny cho thy trng thỏi c bn (T = 0K) khớ in t t cú nng lng khỏc nhit T 0K vi nhit T l thp, xỏc nh E v ta cn tớnh tớch phõn dng: I g ( ) e kT e kT (q q )e kT d g ( ) f ( )d 1/ 3/ Vi g ( ) , hoc g ( ) Trc ht ta cú th khng nh rng vi ( ) kT v kT rt nh thỡ: I g ( ) f ( )d g ( )d g ( ).F (q).(kT )2 (3.30) chng minh cụng thc ny ta xột tớch phõn: I f ( ) d d , ú ( ) l hm tho iu kin (0) d p dng cụng thc tớch phõn tng phn, ta c: I d df f ( ) d f ( ). ( ) ( ) d 0 d d Vỡ f () v (0) nờn ta cú: I ( ) Xột o hm df d d df : d (3.31) 51 df d e kT d d kT kT e ( q q ) e kT e kT e kT (q q )e kT (e kT 1).[2e kT (q q )e kT ] kT kT [e (q q )e kT 1]2 Khai trin hm ( ) thnh chui v gii hn s hng t l vi ( ) : ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) (3.32) Thay (3.32) vo (3.31) ta c: df df df I ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d d d d 0 Lu ý ti tớnh cht ca hm df ta cú th thay cn di bng m khụng d lm thay i ỏng k kt qu: df df df d ( ) ( ) d ( ) ( )2 d (3.33) d d d I ( ) Ta ln lt xột cỏc tớch phõn v phi ca (3.33) df I1 d f ( ) d I2 e kT e kT ( q q )e kT df ( ) d d df Vỡ: I ( ) d ( ) d kT e kT e kT (q q )e kT (e kT kT [e kT (q q )e kT ] d kT ( q q )e 1] 1).[2e kT 52 ( ) Tớnh: I 21 kT t xe e kT e kT d (q q )e kT kT ln x kT d kT dx x x x Thay vo I21 ta c: ( kT ln x).kT x dx 1 kT x (q q ) x x I 21 ln x dx ( q q ) x x I 21 kT Ta thy rng, tớch phõn I21 l khụng tn ti q Vy I21 = ( ) (e kT 1).[2e kT (q q )e kT Ta tớnh I 22 kT [e kT (q q )e kT 1]2 ] d Tng t nh tớnh I21, ta thy I22 cng khụng tn ti q I22 = Vy ta cú th kt lun rng: I2 = Thay cỏc kt qu trờn vo (3.33) c: df I ( ) ( ) ( ) d d (3.34) Ta i tớnh : I3 ( ) df d ( ) d kT e kT e kT (q q )e kT (e kT 1).[2e kT (q q1 )e kT kT kT [e (q q )e kT 1]2 ] d 53 Tớnh: I 31 t x e ( ) kT e kT e kT d (q q )e kT kT ln x kT d kT dx x x x Thay vo I31 ta c: ( kT ln x ) kT x dx 1 kT x (q q ) x x I 31 I 31 (kT ) (ln x) (q q ) x x dx Ta thy rng, I31 l tớch phõn khụng tn ti q Vy I31 = (3.35) Ta tớnh I32 nh sau: ( ) (e kT kT 1).[2e I 32 õy ta cng t x e [e 2 kT (q q )e kT ] kT ( q q )e kT d 1] kT , tng t nh trờn ta cú: ( kT ln x) ( kT ) ( x 1).[2x (q q ) x ] dx kT x [ x ( q q ) x 1]2 I 32 I 32 ( kT ) (ln x) (1 x).[2 (q q ) x] dx [1 (q q ) x x ]2 Ta nhn thy rng: (1 x).[2 (q q ) x] (kT ) (ln x) dx [1 (q q ) x x ]2 2 54 Vy I 32 ( kT ) (ln x) (1 x).[2 (q q ) x] dx [1 (q q ) x x ]2 (1/ q) k ( q) k I 32 (kT ) q.(q 1) (1 q ) k2 k2 k k q (1/ q) k (q ) k q k k k k (3.36) Thay (3.35), (3.36) vo (3.34) ta c: I f ( ) d d ( ) ( ).F ( q).( kT ) d Vi (1/ q) k (q ) k (1/ q ) k ( q ) k F (q ) q.(q 1). (1 q ). q q k2 k k3 k k k k k 1/ Khi g ( ) , ta s cú: d g ( ) ( ) g ( ) d 1/ d 3/ d 0 ( ) 1/ I1/ 3/ 2 1/ F (q).(kT ) 3/ 1/ F ( q).(kT ) (3.37) 3 3/ Khi g ( ) , ta cng c: d g ( ) ( ) g ( )d 3/ d / d 0 ( ) 1/ I 3/ 5/ 1/ F (q ).(kT ) / 1/ F (q).(kT )2 (3.38) 5 Thay (3.37), (3.38) vo (3.24) v (3.25) ta c: 55 N I1/ 3/ 1/ F ( q).( kT ) (3.39) E I 3/ / 1/ F (q ).(kT ) (3.40) N ý rng 2m V 2/3 , ta cú th bin i (3.39) v (3.40) nh sau: N 3/ 2 3/ F (q ).(kT ) 3 3/ F ( q).(kT ) F (q).(kT ) F (q ).(kT ) F (q ).(kT ) 2 0 (3.41) 15 F ( q).(kT ) 15 E / F (q).(kT ) / 2 F (q ).(kT ) 15 F (q ).(kT ) E 05/ 02 02 F (q ).( kT ) 15 F (q).(kT ) 5/ E 02 02 F (q ).(kT ) 75 F (q ).(kT ) E E0 02 04 (3.42) Vy nng lng ton phn ca khớ in t t nhit T rt thp gn ỳng bng: 56 F (q).(kT ) F (q ).(kT ) E E0 N 02 02 (3.43) Nhit dung ng tớch ca khớ in t t kim loi cú bin dng q l: F (q).k T E C N 5.2 02 T V el V CVel N k F (q).T (3.44) Vy nhit thp nhit dung ca khớ in t t kim loi cú bin dng q cng t l tuyn tớnh vi nhit Kt lun: chng ny, tụi ó i xõy dng c lý thuyt v dao ng t Fermion bin dng q, xõy dng c hm thng kờ Fermi Dirac bin dng q, t ú ỏp dng vo tớnh c nhit dung ca khớ in t t kim loi cú bin dng T kt qu ny ta cng rỳt c kt lun rng: nhit thp, nhit dung ca khớ in t t kim loi t l tuyn tớnh vi nhit 57 KT LUN Qua lun p dng Thng kờ Fermi Dirac bin dng q nghiờn cu nhit dung ca khớ in t t kim loi tụi ó: - Xõy dng c hm thng kờ Fermi Dirac bin dng q - p dng thng kờ ny xỏc nh c nhit dung ca khớ in t t kim loi õy, tụi cng chng minh c nhit dung ca khớ in t t kim loi t l tuyn tớnh vi nhit ti mi ch dng li vic thc hin nghiờn cu, tớnh toỏn lý thuyt Song tụi hi vng, ti ny s c phỏt trin thờm lnh vc i chiu, so sỏnh vi cỏc kt qu thc nghim thu c ca mt s cht c th T ú, hon chnh thờm c s lý thuyt ỏp dng vo vic gii thớch cỏc hin tng xy i vi khớ Fermion, cng nh cỏc kt qu thc nghim thu c mt tng lai gn 58 CC CễNG TRèNH CễNG B Lu Th Kim Thanh, Phm Th Ton, Bựi Vn Thin, Cỏc thng kờ lng t, Tp khoa hc Trng HSP H Ni 2, s (2008), 107 111 Lu Th Kim Thanh, Bựi Vn Thin, Phm Th Ton, Trng thỏi ngng t Bose Einstein, Tp khoa hc Trng HSP H Ni 2, s (2009), 80 86 59 TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Quang Bỏu, Bựi Bng oan, Nguyn Vn Hựng (2004), Vt lớ thng kờ, Nxb HQG H Ni [2] o Trn Cao, C s Vt lớ cht rn [3] Trn Cỏt, Vt lớ thng kờ, Nxb KH v KT H Ni [4] V ỡnh C (1997), Vt lớ cht rn, Nxb KH v KT H Ni [5] Lờ Cụng Dng, Nghiờm Hựng, Nguyn Vn Chi, Nguyn Trng Bỏo, Minh Nghip (1986), Kim loi hc, Nxb HBK H Ni [6] Nguyn Xuõn Hón (1998), C s lý thuyt trng lng t, Nxb HQG H Ni [7] V Vn Hựng (2006), Vt lớ thng kờ, Nxb H S phm [8] V Thanh Khit (1996), Giỏo trỡnh Nhit ng lc hc v Vt lớ thng kờ, Nxb HQG H Ni [9] Nguyn Th Khụi, Nguyn Hu Mỡnh (1992), Vt lớ cht rn, Nxb Giỏo dc [10] Nguyn Ngc Long, Vt lý cht rn, Nxb HQG H Ni [11] Nguyn Th Bo Ngc, Nguyn Vn Nhó (1997), Giỏo trỡnh vt lý cht rn, Nxb HQG H Ni [12] Phm Quớ T (1986), C hc lng t, Nxb Giỏo dc [13] Charles Kittel (1984), M u Vt lớ cht rn, Nxb HKT [14] Lu Th Kim Thanh (2007), Dao ng t fermion bin dng hai tham s p,q, Tp khoa hc Trng HSP H Ni 2, (1), 127 130 [15] Lu Th Kim Thanh, Phm Th Ton, Bựi Vn Thin (2008), Cỏc thng kờ lng t, Tp khoa hc Trng HSP H Ni 2, (4), 107 111 60 [16] L.M Kuang, A q- deformed harmonic oscillator in a finite di mensionnal para oscillators and para q oscillators, Mod Phys Lett A7 No 28 (1992), 2593 2600 [17] A.J Macfarlane (1989), On q analogues of the quantum harmomic oscillator and the quantum groupe SU q(2), J Phys Agen 22, 4581 [18] D.V Duc, N.H Ha, N.N.L Oanh, Conformal anomaly of q deformed Virasoro algebra, Preprint VITP 93 10, Ha Noi [19] D.V Duc (1994), Generalized q deformed oscillators and their statistics, Preprint ENSLAPP A 494/94, Annecy France [20] H.H.Bang (1995), Connection of q deformed para oscillators with para Ocscillators Proceeding of the NCST of Viet Nam,7 No.1 [21] L.C Biedenhar (1989), The quantum group SUq (2) and a q analoque of the Boson operators, J Phys A: Math Gen 22, 1873 [22] N.Aizawa and H Sato (1991), q deformation of the virasoro algebra with Antral extension, Phys rics letters Bvol 256, No 2, 185 [23] M Chaichian, R Gonzalez Felipe and C Montonen, Statistics of q Oscillators, quons and relations to fractional Statistics, J Phys Lett B5,187 193 [24] M Chaichian, P.P Kulish (1990), quantum superalgebras, q oscillators and application, Preprint CE RN TH 5969/90 [25] M Chaichian, P.P Kulish (1990), quantum lie superalgebras, q oscillators, Phys Lett B234, 72 [26] R Chakrbarti and R, Jagarnathan (1992), On the number operators of single mode q oscillators, J Phys A: Math.Gen 25, 6393 6398 [27] S Chartuvedi, V Srinivasan (1991), Aspects of q oscillators quantum Mechanics, Phys Rev A44, 8020 8023 61 [28] K.H Cho,C Rim, D.S Soh and S.U Park (1994), q Deformed oscillators associated with the Calogero mode and its q coherent state, J Phys.A: Math Gen 27, 2811 2822 62 PH LC S dng ngụn ng lp trỡnh Mathematica 5.2 vo gii tớch phõn Tớch phõn I21 cn t [0,1] Log[x] , {x,0,1} , Assumptions 0