Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn

Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Lưu Thị Kim Thanh tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, người động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn Tháng 11 năm 2011 Tác giả đỗ thị thắm Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lập với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả đỗ thị thắm Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Mục lục Trang Li cm n Li cam oan Mc lc Mở đầu . Nội dung Chng 1: Phân bố thống kê Bose Einstein v nhit ngng t 1.1 Thống kê Bose Einstein 1.2 Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trng lng t 1.2.1 Biu din s ht ca dao ng t iu hòa tuyến tính 1.2.2.Toán t sinh ht v hy ht Boson 17 1.2.3 Thống kê Bose - Einstein theo lý thuyết trng lng t 19 1.3 Nhit ngng t Bose Einstein 21 Chng 2: Phân bố thống kê Bose Einstein bin dng q v nhit ngng t 29 2.1 Lý thuyết q - s 29 2.2 Thống kê Bose Einstein biến dng q 33 2.3 áp dng thống kê Bose Einstein bin dng q nghiên cu hin tng ngng t Bose Einstein 35 Chng 3: Tính số nhit ngng t ca vt liu siêu dn Zn 43 3.1 Tính số theo nhit ngng t Bose Einstein thông thường 43 3.2 Tính số theo nhit ngng t Bose Einstein ph thuc thông s bin dng q ca Zn 44 Kết luận chung . 57 Tài liệu tham khảo 58 Phụ lục 59 Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp I Mở đầu Lý chọn đề tài Đầu kỷ XX, Einstein sau xây dựng xong thống kê Bose Einstein, sở đặc điểm hệ hạt đồng Boson số hạt trạng thái tùy ý không Fermion phải tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli Ông tiên đoán có tồn trạng thái vật chất đặc biệt trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein Kể từ tiên đoán Einstein ứng dụng giải thích tượng vật lý tượng siêu dẫn, siêu chảy thu hút nhiều nhà vật lý quan tâm Từ thực nghiệm nhà vật lý tìm nhiệt độ chuyển pha số vật liệu siêu dẫn Năm 2001 ba nhà vật lý người Mỹ thực nghiệm tạo trạng thái ngưng tụ với kim loại kiềm, ba nhà vật lý trao giải Nobel Phát minh mở công nghệ cho khoa học Từ trước đến nay, kết nghiên cứu lý thuyết để tính nhiệt độ ngưng tụ dùng phân bố thống kê Bose - Einstein Thống kê áp dụng cho hệ khí lý tưởng nên ta áp dụng cho hệ khí thực có sai khác lý thuyết thực nghiệm Để giải vấn đề này, dùng phương pháp lý thuyết trường lượng tử để xây dựng phân bố thống kê Bose Einstein biến dạng q áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q để tìm nhiệt độ ngưng tụ cho vật liệu siêu dẫn Dưới hướng dẫn cô giáo PGS- TS - Lưu Thị Kim Thanh, thực luận văn Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngưng tụ vật liệu siêu dẫn Mục đích nghiên cứu - Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein trường hợp biến dạng Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp - Nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein, tìm giá trị nhiệt độ ngưng tụ Bose - Einstein vật liệu siêu dẫn cụ thể so sánh với kết tắc Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng thống kê Bose - Einstein phương pháp lý thuyết trường lượng tử - áp dụng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein - Tính nhiêt độ ngưng tụ vật liệu siêu dẫn kẽm Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Các hạt có Spin nguyên - hạt Boson vật liệu siêu dẫn Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Phương pháp giải tích toán học - Phương pháp tính số phần mềm Mathematica 7.0 Những đóng góp đề tài Đề tài sau hoàn thành sẽ: - Xây dựng lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose - Einstein trường hợp biến dạng q - Tính nhiệt độ ngưng tụ Bose - Einstein phụ thuộc vào thông số biến dạng q so sánh với kết tắc Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp II Nội dung Chương Phân bố Thống kê Bose Einstein nhiệt độ ngưng tụ Trong chương 1, trình bày việc xây dựng phân bố thống kê Bose Einstein hai phương pháp Gibbs lý thuyết trường lượng tử áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein để nghiên cứu nhiệt độ ngưng tụ Bose Einstein 1.1 Thống kê Bose Einstein Để xây dựng phân bố thống kê Bose - Einstein đồng nghĩa với việc ta cần tìm công thức tính số hạt trung bình trạng thái lượng tử đơn hạt Để tính số hạt trung bình ta cần tìm xác suất trạng thái hệ với điều kiện N i N const (i 1, 2, ) i Trong Ni số hạt trạng thái lượng tử i N số hạt hệ ta xét Xét mô hình hệ mở tổng quát tức hệ trao đổi lượng vật chất với môi trường Số hạt hệ nhận giá trị từ đến với xác suất khác Khi hệ cân nhiệt động với môi trường số hạt hệ thăng giáng không đáng kể xung quanh giá trị trung bình số hạt trung bình xem số hạt thật hệ Ta xét hệ điện tử nằm điều kiện cân nhiệt động với số điện tử thay đổi (thoát qua mặt phân cách từ vào), miễn số điện tử trung bình N ta sử dụng phân bố chình tắc lớn hay phân bố Gibbs suy rộng để tính Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Theo phân bố Gibbs suy rộng, ta có xác suất trạng thái N , N k trạng thái hệ với số hạt tổng cộng hệ N có N k hạt trạng thái k là: N , N k e Z gr E N , Nk kT .N (1.1) Trong + Z gr tổng thống kê suy rộng + E N , N lượng ứng với trạng thái N , N k k tính bằng: E N , N k N k i Ni k (1.2) ik Với i lượng hạt trạng thái đơn hạt i ký hiệu cách lấy tổng theo số i k với điều ik kiện ràng buộc: N i (1.3) N Nk i k Thay (1.2) vào (1.1) ta được: N , N Đặt k kT k Nk kT i k e Z gr k N i k N k k Ni e e , ta có: N , Nk kT Z gr ik Ta có Z gr e Nk E N , N N k k e Nk Nk k N k i N i N i k k k N k i N i N i N k i k k e Nk e e Nk k N k k e ik Ni (1.4) i Ni k N k i Ni i k k e i i N i (1.5) Ni Thay (1.5) vào (1.4) ta được: Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm e k Nk Luận Văn Tốt Nghiệp e e k Ni i k N , N k Ni i Ni i Ta tìm xác suất N k hạt nằm trạng thái k N cách k cộng tất xác suất N , N theo tập hợp số Ni (i 1, 2, ) k chứa N k e Tức là: k Nk e Ni N Ni ik e k i i Ni Ni i Hoán vị phép lấy tổng tích tử số ta được: e N k k N k e Ni Ni ik e i i i Ni Ni e k N k e k N k Nk Số hạt trung bình trạng thái lượng tử k là: N e k Nk k N k N k Nk Nk Nk e k N k Nk Từ suy ra: Nk N ln e k k Nk (1.6) Như để tính số hạt trung bình trạng thái lượng tử k với lượng k ta cần tính tổng vế phải (1.6) Thật vậy, hạt Boson ta có N k 0,1, nên: e k N k Nk e k N k Nk Để cho tổng hội tụ k , k Tức Trường ĐHSP Hà Nội (1.7) Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm Do đó: e k N k e Nk k Luận Văn Tốt Nghiệp Thay vào (1.6) ta được: ln e k k e Nk (1.8) k e kT Biểu thức gọi phân bố Bose - Einstein Biểu thức trường hợp mức lượng k không suy biến Nếu mức k suy biến bội suy biến g tức ứng với lượng k có g trạng thái k k lượng tử khác (1.8) viết lại là: g k Nk (1.9) k e kT 1.2 Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trường lượng tử 1.2.1 Biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa tuyến tính Dao động tử điều hòa chiều chuyển động chất điểm có khối lượng m tác dụng lực chuẩn đàn hồi f kx dọc theo đường thẳng Toán tử A quy tắc hay phép toán mà nhờ ta biến đổi hàm thành hàm Ta nói toán tử A tác dụng lên hàm cho ta hàm viết A Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian dao động tử điều hòa chiều [1], [6]: p m 2 H x x 2m (1.10) Trong x q x toán tử tọa độ Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 10 p x p i Luận Văn Tốt Nghiệp d toán tử xung lượng dx Giữa p q thỏa mãn hệ thức giao hoán: qp i p , q pq d d d d x x i i x i x dx dx dx dx d d ( x ) ix i dx dx p , q i p , q i (1.11) Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian theo p q sau: p m 2 H x x 2m p i Ta đặt: q (1.12) m a a a a 2m Khi biểu thức toán tử Hamiltonian theo a a sau: 2 p m 2 m m H x x i a a a a 2m 2m 2 2m 2 a a a a 2 a a a a a a a a 2 2a a 2aa 2 a a aa (1.13) Từ biểu thức p q ta tính a a sau: Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 46 x100 0,139.100 y54 Luận Văn Tốt Nghiệp e0,139.100 0,139.100 e 2.0,139.100 q q e0,139.100 Vậy: I1 0,139.[ e 0,139 0,139 e 2.0,139 q q e0,139 e 0,139.2 0,139.2 e 2.0,139.2 q q e0,139.2 e0,139.3 0,139.3 e 2.0,139.3 q q e0,139.3 e0,139.4 0,139.4 e 2.0,139.4 q q e0,139.4 + e0,139.100 0,139.100 ] e 2.0,139.100 q q e0,139.100 c + Tính I2: Ta có I lim c ex x x q q e x dx 13,9 e c Trước hết ta tính tích phân ex x dx 2x x e q q e 13,9 Ta chia [13,9;c] thành n đoạn với khoảng chia h c 13, n xi 13,9 n i 13, c.i c 13, i n n x0 13, y0 e13,9 13,9; e 2.13,9 q q e13,9 Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 47 Luận Văn Tốt Nghiệp n 1.13,9 c x1 x2 x3 n 13, c y n e n 13,9 c.2 y n n e n 13,9 c.3 y x4 n 1.13,9 c n q q e e n n e n 2.13,9 c.2 q q e n n n n n 13,9 c.3 n 3.13,9 c.3 y4 n n 13,9 c ; n e n 13,9 c.4 n 13,9 c.2 n .13,9 c.2 e n 1.13,9 c e n e q q e n n n 13,9 c.4 n n .13,9 c.4 q q e n n 4.13,9 c.4 n n n 13,9 c.3 ; n 3.13,9 c.3 n 13,9 c.2 ; n 13,9 c.4 ; n xn c yn ec c e2.c q q ec Do đó: I lim{h.[ c e13,9 13,9 e 2.13,9 q q e13,9 n 1.13,9 c e e n 1.13,9 c n e + e Trường ĐHSP Hà Nội n 1.13,9 c q q e n n 13,9 c n n 13, c.3 n 3.13,9 c.3 n n n n 3.13,9 c.3 q q e n n 13, c.3 n Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 48 e + e Luận Văn Tốt Nghiệp n 13,9 c.4 n n .13,9 c.4 n n 4.13,9 c.4 q q e n n 13,9 c.4 n + .+ ec c ]} e 2.c q q ec Nhận xét thấy c I Thật vậy: n 1.13,9 c c 13,9 lim{ c n lim{ c Khi c 13,9 n e c 13, n c n e n 1.13,9 c q q e n e n q q e n e n 1.13,9 c n n 1.13,9 c n n n 1.13,9 c n 1.13,9 c e n n 13, c } n 1.13,9 c n 13, c } n n 1.13,9 c 0, e n nhanh n 13,9 c n Còn e13,9 13,9 nhỏ với < q < e 2.13,9 q q e13,9 Do I Vậy: I q, ex e0,139 x dx 0,139.[ 0,139 2x q q e x e 2.0,139 q q e0,139 e e 0,139.2 e0,139.3 0,139.2 0,139.3 e 2.0,139.2 q q e0,139.2 e 2.0,139.3 q q e0,139.3 e 0,139.4 0,139.4 e 2.0,139.4 q q e0,139.4 Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 49 + Luận Văn Tốt Nghiệp e0,139.100 0,139.100 ] e 2.0,139.100 q q e0,139.100 Ta sử dụng phương pháp tính số phần mềm Mathematica 7.0 thu kết I q, ứng với số giá trị q (0 < q < 1) sau: With[{q 0.1}, Sum[0.139 e0.139i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139i (0.1 0.11 ) e0.139i 0.0657764 With[{q 0.15}, Sum[0.139 e0.139 i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.15 0.151 ) e0.139i 0.341947 With[{q 0.2}, Sum[0.139 e0.139i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.2 0.21 ) e0.139 i 0.323871 With[{q 0.25}, Sum[0.139 e0.139 i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.25 0.251 ) e0.139i 9.07496 With[{q 0.3}, Sum[0.139 e0.139i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.3 0.31 ) e0.139 i 0.816058 With[{q 0.35}, Sum[0.139 e0.139 i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.35 0.351 ) e0.139i 0.62543 With[{q 0.4}, Sum[0.139 e 20.139 i e0.139i 0.139i ,{i,100}]] (0.4 0.41 ) e0.139 i 0.855227 With[{q 0.45}, Sum[0.139 e0.139 i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.45 0.451 ) e0.139i 1.55595 With[{q 0.5}, Sum[0.139 e0.139i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139i (0.5 0.51 ) e0.139i 21.6346 Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 50 With[{q 0.55}, Sum[0.139 Luận Văn Tốt Nghiệp e0.139 i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.55 0.551 ) e0.139i 0.318331 With[{q 0.6}, Sum[0.139 e0.139i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139i (0.6 0.61 ) e0.139i 1.56989 With[{q 0.64}, Sum[0.139 e0.139i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.64 0.64 ) e0.139 i 0.0937779 e0.139i With[{q 0.7}, Sum[0.139 20.139i 0.139i ,{i,100}]] e (0.7 0.7 ) e0.139i 1.44523 With[{q 0.74}, Sum[0.139 e0.139i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.74 0.74 ) e0.139 i 0.102356 With[{q 0.8}, Sum[0.139 e0.139i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139i (0.8 0.81 ) e0.139i 1.74837 With[{q 0.85}, Sum[0.139 e0.139 i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.85 0.851 ) e0.139i 0.661996 With[{q 0.9}, Sum[0.139 e0.139i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139i (0.9 0.91 ) e0.139i 2.30639 With[{q 0.95}, Sum[0.139 e0.139 i 0.139i ,{i,100}]] e 20.139 i (0.95 0.951 ) e0.139i 1.84419 With[{q 1}, Sum[0.139 e0.139 i 0.139i ,{i,100}]] e20.139 i (1 11 ) e0.139i 1.77607 Cách 2: Sử dụng phương pháp tính số phần mềm Mathematica 7.0 Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 51 Luận Văn Tốt Nghiệp Ta có: I q, ex x dx 2x x e q q e x x e x e x x dx x dx x q q e q q e x e e 2x 1 x x e x x dx x e q q e x e x x2 x dx e x q q e x dx e q q e x Ta dùng phần mềm Mathematica 7.0 để tính tích phân với số giá trị q sau: x2 ex I1 With[{q 0.1}, NIntegrate[ x ,{x, 0, }, e q q e x PrecisionGoal 5, MaxRecursion 1]] 0.153405 x2 I With[{q 0.1}, NIntegrate[ x ,{x, 0, }, e q q e x PrecisionGoal 5, MaxRecursion 1]] 10 I q ,1/2 I1 I 0.153405 x2 ex I With[{q 0.3}, NIntegrate[ x ,{x, 0, }, e q q e x PrecisionGoal 5, MaxRecursion 3]] -1.72571 Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 52 Luận Văn Tốt Nghiệp x2 I With[{q 0.3}, NIntegrate[ x ,{x, 0, }, e q q e x PrecisionGoal 5, MaxRecursion 3]] I q ,1/2 I I 1.72571 x2 I With[{q 0.7}, NIntegrate[ x ,{x, 0, }, e q q e x PrecisionGoal 5, MaxRecursion 3]] 4.43566 x2 ex I With[{q 0.7}, NIntegrate[ x ,{x, 0, }, e q q e x PrecisionGoal 5, MaxRecursion 3]] I q ,1/ I I 4.43566 x2 I With[{q 0.9}, NIntegrate[ x ,{x, 0, }, e q q e x PrecisionGoal 5, MaxRecursion 1]] 6.10956 x2 ex I With[{q 0.9}, NIntegrate[ x ,{x, 0, }, e q q e x PrecisionGoal 5, MaxRecursion 1]] I q ,1/2 I I8 6.10956 Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 53 Luận Văn Tốt Nghiệp x2 ex I With[{q 1}, NIntegrate[ x ,{x, 0, }, e q q e x PrecisionGoal 5, MaxRecursion 1]] -56.6496 x2 I10 With[{q 1}, NIntegrate[ x ,{x, 0, }, e q q e x PrecisionGoal 5, MaxRecursion 1]] -58.9206 I q ,1/2 I I10 2.271 Như ta tính giá trị I q, ứng với thông số biến dạng q theo cách 2 n Thay giá trị tính vào Tc ta thu V 3 I m.k g q, giá trị nhiệt độ ngưng tụ ứng với thông số biến dạng q vật liệu siêu dẫn Giá trị nhiệt độ ngưng tụ Tc vật liệu siêu dẫn tương ứng với số giá trị q (0 < q < 1) biểu diễn bảng thống kê sau: Trường ĐHSP Hà Nội Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 54 Luận Văn Tốt Nghiệp q I (0