Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn

Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT 1 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trờng Đại học S phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Lu Thị Kim Thanh đã tận tình hớng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những ngời đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Mặc dù tôi đã rất cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn. Tháng 11 năm 2011 Tác giả đỗ thị thắm Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT 2 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lập với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã đợc cảm ơn và thông tin trích dẫn trong luận văn đã đợc chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả đỗ thị thắm Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT 3 Mục lục Trang Li cm n 1 Li cam oan 2 Mc lc 3 Mở đầu 4 Nội dung 6 Chng 1: Phân bố thống kê Bose Einstein v nhit ngng t 6 1.1. Thống kê Bose Einstein 6 1.2. Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trng lng t 9 1.2.1. Biu din s ht ca dao ng t iu hòa tuyến tính 9 1.2.2.Toán t sinh ht v hy ht Boson 1.2.3. Thống kê Bose - Einstein theo lý thuyết trng lng t 17 19 1.3 Nhit ngng t Bose Einstein 21 Chng 2: Phân bố thống kê Bose Einstein bin dng q v nhit ngng t 29 2.1. Lý thuyết q - s 29 2.2 Thống kê Bose Einstein biến dng q 2.3 áp dng thống kê Bose Einstein bin dng q nghiên cu hin tng ngng t Bose Einstein 33 35 Chng 3: Tính số nhit ngng t ca vt liu siêu dn Z n 43 3.1. Tính số theo nhit ngng t Bose Einstein thông thờng 43 3.2. Tính số theo nhit ngng t Bose Einstein ph thuc thông s bin dng q ca Z n 44 Kết luận chung 57 Tài liệu tham khảo 58 Phụ lục 59 Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT 4 I. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Đầu thế kỷ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê Bose - Einstein, trên cơ sở đặc điểm của hệ các hạt đồng nhất Boson là số hạt ở trong cùng một trạng thái có thể tùy ý chứ không nh các Fermion phải tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli. Ông đã tiên đoán có tồn tại một trạng thái vật chất đặc biệt đó là trạng thái ngng tụ Bose - Einstein. Kể từ đó tiên đoán của Einstein đã đợc ứng dụng giải thích các hiện tợng vật lý nh hiện tợng siêu dẫn, siêu chảy và đã thu hút đợc nhiều nhà vật lý quan tâm. Từ thực nghiệm các nhà vật lý đã tìm đợc nhiệt độ chuyển pha của một số vật liệu siêu dẫn. Năm 2001 ba nhà vật lý ngời Mỹ đã bằng thực nghiệm tạo ra trạng thái ngng tụ với kim loại kiềm, cả ba nhà vật lý đã đợc trao giải Nobel. Phát minh này đã mở ra các công nghệ mới cho khoa học. Từ trớc đến nay, các kết quả nghiên cứu bằng lý thuyết để tính nhiệt độ ngng tụ đều dùng phân bố thống kê Bose - Einstein. Thống kê này là áp dụng cho hệ khí lý tởng nên khi ta áp dụng cho hệ khí thực thì có sự sai khác giữa lý thuyết và thực nghiệm. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi đã dùng phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử để xây dựng phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q và áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q này để tìm nhiệt độ ngng tụ cho các vật liệu siêu dẫn. Dới sự hớng dẫn của cô giáo PGS- TS - Lu Thị Kim Thanh, chúng tôi đã thực hiện luận văn Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngng tụ của vật liệu siêu dẫn. 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein trong trờng hợp biến dạng. Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT 5 - Nghiên cứu trạng thái ngng tụ Bose - Einstein, tìm đợc giá trị của nhiệt độ ngng tụ Bose - Einstein đối với vật liệu siêu dẫn cụ thể và so sánh với kết quả chính tắc. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng thống kê Bose - Einstein bằng phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử. - áp dụng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngng tụ Bose - Einstein. - Tính nhiêt độ ngng tụ của vật liệu siêu dẫn kẽm. 4. Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu - Các hạt có Spin nguyên - các hạt Boson và vật liệu siêu dẫn. 5. Phơng pháp nghiên cứu - Phơng pháp của lý thuyết trờng lợng tử. - Phơng pháp giải tích toán học. - Phơng pháp tính số bằng phần mềm Mathematica 7.0. 6. Những đóng góp mới của đề tài Đề tài sau khi hoàn thành sẽ: - Xây dựng đợc lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose - Einstein trong trờng hợp biến dạng q. - Tính đợc nhiệt độ ngng tụ Bose - Einstein phụ thuộc vào thông số biến dạng q và so sánh với kết quả chính tắc. Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT 6 II. Nội dung Chơng 1 Phân bố Thống kê Bose Einstein và nhiệt độ ngng tụ Trong chơng 1, chúng tôi trình bày việc xây dựng phân bố thống kê Bose Einstein bằng hai phơng pháp Gibbs và lý thuyết trờng lợng tử. áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein để nghiên cứu về nhiệt độ ngng tụ Bose Einstein. 1.1. Thống kê Bose Einstein. Để xây dựng phân bố thống kê Bose - Einstein này đồng nghĩa với việc ta cần tìm công thức tính số hạt trung bình trong mỗi trạng thái lợng tử đơn hạt. Để tính đợc số hạt trung bình đó thì ta cần tìm đợc xác suất trạng thái của cả hệ với điều kiện ( 1,2, ) i i N N const i Trong đó i N là số hạt ở trạng thái lợng tử i và N là số hạt của cả hệ ta xét. Xét mô hình hệ mở tổng quát tức là hệ có thể trao đổi cả năng lợng và vật chất với môi trờng. Số hạt của hệ có thể nhận giá trị từ 0 đến với xác suất khác nhau. Khi hệ cân bằng nhiệt động với môi trờng thì số hạt của hệ chỉ thăng giáng không đáng kể xung quanh giá trị trung bình và số hạt trung bình đó đợc xem là số hạt thật của hệ. Ta có thể xét hệ điện tử nằm trong những điều kiện cân bằng nhiệt động với số điện tử có thể thay đổi (thoát qua mặt phân cách ra ngoài hoặc từ ngoài vào), miễn là số điện tử trung bình bằng N . ở đây thì ta sẽ sử dụng phân bố chình tắc lớn hay phân bố Gibbs suy rộng để tính. Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT 7 Theo phân bố Gibbs suy rộng, ta có xác suất của trạng thái , k N N là trạng thái của hệ với số hạt tổng cộng của hệ là N trong đó có k N hạt ở trạng thái k là: , . , 1 . N N k k E N kT N N gr e Z (1.1) Trong đó + gr Z là tổng thống kê suy rộng. + , k N N E là năng lợng ứng với trạng thái , k N N và đợc tính bằng: , . . k k k i i N N i k E N N (1.2) Với i là năng lợng của một hạt ở trạng thái đơn hạt i. i k là ký hiệu cách lấy tổng theo các chỉ số i k với điều kiện ràng buộc: i k i k N N N (1.3) Thay (1.2) vào (1.1) ta đợc: 1 1 , 1 . k k k i i k k N N kT kT N N gr e Z Đặt 1 kT , ta có: , 1 . k k k i k N N N N i k gr e e Z (1.4) Ta có , . . k k i i N N k i k k k N N N E N gr N k N k Z e e . . . . k k i i i k k k i i i k i k k k N N N N N N N k N k e e . . . k k i i i i k i i N N N N k N N i k i e e e (1.5) Thay (1.5) vào (1.4) ta đợc: Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT 8 , . k k k i k i i i N N i k N N N N i e e e Ta sẽ tìm xác suất k N hạt nằm trong trạng thái k là k N bằng cách cộng tất cả các xác suất , k N N theo mọi tập hợp các số i N ( 1,2, ) i cùng chứa k N . Tức là: . . k k i i i k i i i N N N i k N N N i e e e Hoán vị phép lấy tổng và tích ở tử số ta đợc: . . . k k i i k k i k i i k k i k N N N N i k N N N N N i e e e e e Số hạt trung bình trong trạng thái lợng tử k là: . k k k k k k k k N k N k k N N N N N e N N e Từ đó suy ra: . 1 ln k k k N k N N e (1.6) Nh vậy thì để tính đợc số hạt trung bình trong trạng thái lợng tử k với năng lợng k ta cần tính tổng ở vế phải của (1.6). Thật vậy, đối với các hạt Boson ta có 0,1,2 k N nên: . . 0 k k k k k k N N N N e e Để cho tổng này hội tụ thì , k k . Tức là min (1.7) Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT 9 Do đó: 1 . 0 1 k k k k N N e e Thay vào (1.6) ta đợc: 1 1 ln 1 1 k k k N e e 1 1 k kT e (1.8) Biểu thức này gọi là phân bố Bose - Einstein. Biểu thức này chỉ đúng trong trờng hợp các mức năng lợng k không suy biến. Nếu mức k suy biến và bội suy biến là k g tức là ứng với năng lợng k có k g trạng thái lợng tử khác nhau thì khi đó (1.8) đợc viết lại là: 1 k k k kT g N e (1.9) 1.2. Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trờng lợng tử. 1.2.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính. Dao động tử điều hòa một chiều là chuyển động của một chất điểm có khối lợng m dới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f kx dọc theo một đờng thẳng nào đó. Toán tử A là một quy tắc hay một phép toán mà nhờ nó ta có thể biến đổi hàm thành hàm . Ta nói rằng toán tử A tác dụng lên hàm cho ta hàm và viết rằng A . Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều [1], [6]: 2 2 2 2 2 x p m H x m (1.10) Trong đó x q x là toán tử tọa độ. Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT 10 x d p p i dx là toán tử xung lợng. Giữa p và q thỏa mãn hệ thức giao hoán: , d d d d p q pq qp i x x i i x i x dx dx dx dx , ( ) , d d p q i x i x i dx dx p q i (1.11) Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian theo p và q nh sau: 2 2 2 2 2 x p m H x m (1.12) Ta đặt: 2 2 m p i a a q a a m Khi đó biểu thức toán tử Hamiltonian theo a và a nh sau: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x p m m m H x i a a a a m m m 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a aa a a 2 aa a a (1.13) Từ biểu thức của p và q ta tính đợc a và a nh sau: [...]... lên véc tơ trạng thái n ta được: q q VT aq a n qa aq n aq n 1 q a q n 1 q n 1 q n 1 q q n 1q q n 1 qa nq n 1 q a n 1 n q nq nq n n 1 q qnq n Theo (2.1) ta có nq Do đó: n 1q qnq = qn qn q q 1 q n 1 q n 1 q q n q n q q 1 q n q q 1 qq 1 q n 1 q n 1 q n 1 q n 1 q q 1 qn Vậy VT = q n n VP = q N n q n n , tức là VP = VT Khi q= 1 thì (2.5) trở... n n 0 qn q n 1 n e q n q n q q 1 q q 1 n 0 1 n n n n q e q e q q 1 n 0 n0 1 n n [q. e ]n [q 1.e ]n 1 q q n0 n0 1 1 1 1 q q 1 q. e 1 q 1.e 1 1 1 q. e 1 q e q q 1 1 q. e 1 q 1.e e q q 1 1 q q 1 1 q. e q 1.e e 2 e 1 q q 1 e e... q 1 qb q b q a 1 q a 1 q q 1 q q 1 [a].[b+1] - [b].[a+1] = q a b q ( a b ) = [a -b] q q 1 q- giai thừa: [n] = [n] [n-1] [n-2] [2] [1] m ! m q- nhị thức hệ số: n m n ! n ! m m m q- nhị thức tổng quát: a b .a mk b k k 0 k Trong giới hạn q1 thì chúng ta có: m m m [n] n và với n và là giai thừa chuẩn n n n Các hàm cơ bản của biến dạng q: an n x n 0 n ! eq ax... q 1 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 30 Luận Văn Tốt Nghiệp Từ (2.1) ta có một số trường hợp sau: 0 0; 1 1; 2 3 q 2 q 2 q q 1 q q 1 q 3 q 3 1 q q 2 1 qq q- số thỏa mãn các đồng nhất thức khác với các đồng nhất thức quen thuộc của các biểu diễn thông thường: [a].[b+1] - [b].[a+1] = [a -b] Thật vậy: a .b 1 b. a 1 Khi đó: q a q a qb 1 q b 1 q q 1 q q. .. q aq aq 2m p m aq aq 2 Hệ thức giao hoán giữa p và q là: p, q i N N 1 q (2.10) q Toán tử Hamiltonian có dạng: p 2 m 2 2 q H q aq a q a aq 2m 2 2 N N 1 q 2 q (2.11) Ta có trị riêng của toán tử Hamiltonian là: En nq n 1q 2 (2.12) Trong trường hợp q =1 chúng ta có biểu thức thông thường: 1 En n 2 2.2 Thống kê Bose - Einstein biến dạng. .. Hamitic aq aq q q Hệ quả của (2.6) và (2.7) là: a aq nq ; aq a n 1q Trường ĐHSP Hà Nội 2 (2.8) Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 32 Luận Văn Tốt Nghiệp q Ta tính được biểu thức ma trận của các toán tử aq , a và N q như sau: 0 0 aq 0 0 1q aq 0 1q 0 0 2q 0 0 0 0 0 0 2q 0 0 0 aa N q 0 3q 0 0 0 1q 0 2q (2.9) q Với aq và... độ ngưng tụ 2.1 Lý thuyết q số Ta biết rằng q- số tương ứng với số thông thường x được định nghĩa là [9], [10]: x q x q x q q 1 (2.1) Với q là một tham số, nếu x là một toán tử cũng có định nghĩa giống như biểu thức (2.1) Chúng ta chú ý rằng q- số là bất biến với phép biến đổi q q-1, có thể xảy ra hai trường hợp: + Nếu q là thực, q- số có thể biểu diễn như sau: q e với là thực thì: x q x q ... thức (2.17) là hàm phân bố thống kê Bose - Einstein khi có biến dạng q Khi q= 1 thì (2.17) trở về phân bố thống kê Bose - Einstein thông thường: kT e 1 N e 2 kT kT 2e 1 1 e kT 1 2.3 áp dụng thống kê Bose Einstein biến dạng q nghiên cứu hiện tượng ngưng tụ Bose Einstein Với khí Boson tuân theo quy luật phân bố Bose Einstein, thì số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ đến... hủy Boson biến dạng q Cơ sở của q không gian Fock được xác định bởi sự tác động liên tiếp của toán tử sinh a lên trạng thái chân không đã bị hủy bởi aq aq 0 0 aq n nq q a n n 1q n 1 n 1 n n q xq a nq ! 0 q x q x q q 1 Các toán tử tọa độ q và toán tử xung p được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt, hủy hạt khi có biến dạng q như sau: Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT... K13 - VLLT&VLT Đỗ Thị Thắm 35 Luận Văn Tốt Nghiệp e 2 1 q q 1 e e N aq aq Tr e H N Tr e e 1 q q 1 aq aq H N e e e 1 1 e 2 Vậy số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng là: N e 1 q q 1 e 1 e 2 kT e 1 e 2 kT (2.17) q q 1 e kT 1 Biểu thức (2.17) là hàm phân bố thống kê Bose - Einstein khi có biến . ngng tụ cho các vật liệu siêu dẫn. Dới sự hớng dẫn của cô giáo PGS- TS - Lu Thị Kim Thanh, chúng tôi đã thực hiện luận văn Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngng tụ của. nghiên cứu - Xây dựng thống kê Bose - Einstein bằng phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử. - áp dụng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngng tụ Bose - Einstein. - Tính. dụng phân bố thống kê Bose - Einstein để nghiên cứu về nhiệt độ ngng tụ Bose Einstein. 1.1. Thống kê Bose Einstein. Để xây dựng phân bố thống kê Bose - Einstein này đồng nghĩa với việc