Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 MẪN VĂN NGỮ tr¹ng th¸i kÕt hîp cña c¸c dao ®éng tö Para-boson biÕn d¹ng Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán Mã số : 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, NĂM 2011 2 LỜI CẢM ƠN Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, PGS.TS đã hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền đạt cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm và phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi hoàn thành tốt luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết - Khoa Vật lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Trường Cao đẳng Công nghiệp Hưng Yên đã điều kiện giúp tôi hoàn thành khoá học này. LỜI CAM ĐOAN 3 Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không hề trùng lặp với những đề tài khác. Hà Nội, ngày tháng năm 2011 Tác giả Mẫn Văn Ngữ 4 5 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ SINH - HỦY BOSON 3 1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyết tính 3 1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh - hủy Boson 11 CHƯƠNG II: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ PARA – BOSON 16 2.1. Trạng thái kết hợp 16 2.1.1. Hiện tượng ngư tụ Bose-Einstein 16 2.1.2. Trạng thái kết hợp 22 2.2. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson 24 2.2.1. Dao động tử Boson 24 2.2.2. Dao động tử Para Boson 25 2.2.3. Thống kê Para Boson 27 2.2.4. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson 28 CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ PARA BOSON BIẾN DẠNG 32 3.1. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q 32 3.1.1. Lý thuyết q số 32 3.1.2. Dao động tử điều hòa biến dạng q 34 3.1.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q 36 3.1.4. Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát 39 3.2. Dao động tử có thống kê vô hạn 40 3.2.1. Phân bố thống kê của dao động tử có thống kê vô hạn 41 3.2.2. Trạng thái kết hợp của dao động tử có thống kê vô hạn 42 3.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson biến dạng q tổng quát 44 3.3.1. Dao động tử Para – Boson biến dạng q tổng quát 44 6 3.3.2. Phân bố thống kê Para – Boson biến dạng q tổng quát 45 3.3.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para – Boson biến dạng q tổng quát 46 MỞ ĐẦU 7 1. Lý do chn ti Ngày nay lý thuyết trờng lợng tử đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó. Từ đó lý thuyết trờng lợng tử đã mở ra con đờng để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử, nguyên tử hạt nhân và các hạt cơ bản. Trạng thái kết hợp diễn tả trạng thái ngng tụ Bose - Einstein là một trạng thái đặc biệt của vật chất và của các hạt vi mô. Trong trạng thái kết hợp hệ thức bất định Heisenbeg đạt giá trị cực tiểu (dấu bằng). Việc nghiên cứu trạng thái kết hợp của các dao động tử đã góp phần giải quyết các bài toán phi tuyến của quang học lợng tử, lý thuyết chuyển pha lợng tử làm chính xác và phong phú thêm những hiểu biết về thế giới hạt vi mô. Với mong muốn tìm hiểu rõ hơn về trạng thái kết hợp của các dao động tử, tôi đã chọn đề tài '' Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng'' . 2. Mc ớch nghiờn cu - Nghiên cứu các dao động tử Para-Boson trong lý thuyết trờng lợng tử và các trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng q -tổng quát. 3. Những vấn đề chính đợc nghiên cứu - Tính phân bố thống kê của các hệ dao động tử biến dạng. - Xây dựng trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng q tổng quát. - Các hệ thức về phơng sai của toạ độ và xung lợng. - Số hạt trung bình trong trạng thái kết hợp và xác suất để trạng thái kết hợp có n hạt. 4. i tng nghiờn cu v phm vi nghiờn cu 8 - Hệ các dao động tử Para-Boson. 5. Phng phỏp nghiờn cu - Phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử. - Phơng pháp lý thuyết nhóm lợng tử. - Phơng pháp giải tích toán học. - Sử dụng hình thức luận các dao động tử điều hòa và hình thức luận các trạng thái kết hợp cho các hệ hạt vi mô. 6. Nhng úng gúp mi v khoa hc, thc tin ca ti - Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lợng dạy và học trong nhà trờng s phạm, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học của giảng viên, học viên cao học. - Xây dựng các trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng q tổng quát, thu đợc các hệ thức về phơng sai của tọa độ và xung lợng, tính đợc số hạt trung bình của hệ trong trạng thái kết hợp và xác suất để trạng thái kết hợp có n hạt. 7. Kt cu ca lun vn Ngoi phn m u v kt lun, lun vn c chia lm ba chng: Chng 1: Biu din ma trn ca cỏc toỏn t sinh - hy Boson Chng 2: Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para - Boson Chng 3: Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para Boson bin dng NI DUNG 9 CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ SINH - HỦY BOSON 1.1. Biểu diễn số hạt của dao động từ điều hòa tuyến tính Dao động từ điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo một đường thẳng nào đó. Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động từ điều hòa một chiều:    2 2 x m P H x 2m 2    (1.1) Ký hiệu: ˆ ˆ x q là toán tử tọa độ x d ˆ ˆ p p i dx     là toán tử xung lượng. Hệ thức giao hoán giữa ˆ p và ˆ q     d d d d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p,q pq qp i x x i i x i x dx dx dx dx                d d ˆ ˆ p,q i x i x i dx dx              ˆ ˆ p,q i    (1.2) Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo ˆ p và ˆ q như sau:  2 2 2 ˆ p m ˆ H q 2m 2    (1.3) Ta đặt:   m ˆ ˆ ˆ p i a a 2        h ˆ ˆ ˆ q a a 2m     10 Khi đó ta biểu diễn ˆ H theo ˆ a và ˆ a  như sau:      2 2 2 2 2 2 2 ˆ p m m m 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H q .i . . a a . a a 2m 2 2m 2 2 2m                            2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ . a a a a 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ . a a a a a a a a 2 2 1 ˆˆ ˆ ˆ . 2aa 2a a 2 2                                     ˆˆ ˆ ˆ aa a a 2       (1.4) Ta biểu diễn các toán tử ˆ a và ˆ a  ngược lại qua ˆ p và ˆ q :   ˆ p m 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p i a a a a ip 2 m m i 2                  ˆ q 2m ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ q a a a a q 2m 2m               Từ đó ta thu được: ˆ p m ˆ ˆ a q i 2 m            (1.5) ˆ p m ˆ ˆ a q i 2 m             (1.6) Dễ dàng chứng minh được các toán tử ˆ a và ˆ a  thỏa mãn hệ thức giao hoán:   ˆ ˆ a,a 1   (1.7) [...]... hạt trong trạng thái kết hợp được xác định như sau:   ˆ  N 2   2 (2.15) Từ (2.14) và (2.15) ta thấy rằng phân bố hạt trong trạng thái kết hợp là một phân bố Boson - Xác suất để trạng thái kết hợp có n hạt là: 2n W n  2   exp   n!  2  (2.16) 30 2.2 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson 2.2.1 Dao động tử Boson Đối với các dao động tử Boson, các toán tử sinh a+ và toán tử hủy... các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh hạt, hủy hạt và toán tử số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính Tìm được biểu diễn ma trận của các toán tử đó Đây là cơ sở để chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các vấn đề ở chương tiếp theo 22 CHƯƠNG II: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ PARA BOSON 2.1 Trạng thái kết hợp 2.1.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein Xét hệ khí Boson, là hệ các hạt lượng tử. .. trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy 0 được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là ˆ trạng thái chứa hai lượng tử … n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán ˆ tử số năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với ˆ n  1 do đó được đoán nhận là toán tử. .. 31,3 2,823.1033 Uco Rb2CsC60 2.1.2 Trạng thái kết hợp Về mặt lý thuyết để nghiên cứu tính chất của trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein người ta xây dựng hàm sóng mô tả trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein của vật chất gọi là trạng thái kết hợp Không giống như trạng thái Fock trong biểu diễn số hạt, trong đó hạt thì xác định còn pha thì tùy ý Trạng thái kết hợp có pha dao động nhỏ nhưng số hạt thì lại hoàn... ta thu lại được phân bố thống kê BoseEinstein ˆ ˆ aa   1 e 1  (2.45) 2.2.4 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Bose Về mặt toán học các trạng thái kết hợp mà ta ký hiệu là z có thể coi như là các trạng thái riêng của toán tử hủy dao động và thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng sau: ˆ a z z z nghiệm của phương trình này là: (2.46) 35  n z  C  z  e  0  C  z   z n n  !... về mặt toán học trạng thái kết hợp mà ta ký hiệu  có thể được coi như là trạng thái riêng của toán tử hủy dao động thỏa mãn phương trình hàm riêng trị riêng a    Vì vậy trạng thái kết hợp được biểu diễn thông qua không gian Fock 2     n   exp   n!  2   n n 0 Chúng ta có một số kết quả như sau: - Trong hình thức luận dao động tử điều hòa các toán tử tọa độ và toán ˆ ˆ tử xung lượng... trạng thái kết hợp ở trong trạng thái n hạt là: 2n W  nz   2  z2 1  e  n p z n  ! (2.57) p Trường hợp đặc biệt khi p = 1, chúng ta thu lại được các kết quả quen thuộc đối với trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson bình phương: ˆ zNz z 2 2n W  nz n  z P   2 2   z2 1  e  p   z z Q 2 z n! (2.58) z  1 16 Từ kết quả trên ta có thể kết luận rằng các dao động tử có thống kê... tử N là: ˆ N n n n (2.21) với n = 0,1,2, Trong đó n là trạng thái có n dao động tử thỏa mãn điều kiện trực chuẩn: (2.22) m n   m ,n Đại số (3.1) có thể được thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các véctơ trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N: ˆ n  1 (a ) 0 n!  n Tác dụng của các toán tử a,a+ lên các véctơ trạng thái n là: (2.23) 31 ˆ a n  n n 1 (2.24)  ˆ a n  n... ˆ tử N ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)… Kết luận 2: ˆ Nếu n là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với trị riêng n ˆ ˆ thì a n cũng là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n – p), p 13 ˆ (p = 1,2,3…) và  a   p ˆ n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n+p) ˆ Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử N thì chuỗi các. .. lượng tử năng lượng Toán tử a  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng ˆ ˆ ˆ lượng là một hạt thì toán tử N sẽ là toán tử số hạt, a sẽ là toán tử hủy hạt, a  sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng E   sẽ là trạng n thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử . 3.2.2. Trạng thái kết hợp của dao động tử có thống kê vô hạn 42 3.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson biến dạng q tổng quát 44 3.3.1. Dao động tử Para – Boson biến dạng q. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng& apos;' . 2. Mc ớch nghiờn cu - Nghiên cứu các dao động tử Para-Boson trong lý thuyết trờng lợng tử và các trạng thái kết hợp. DAO ĐỘNG TỬ PARA BOSON BIẾN DẠNG 32 3.1. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q 32 3.1.1. Lý thuyết q số 32 3.1.2. Dao động tử điều hòa biến dạng q 34 3.1.3. Trạng thái