Thống kê lượng tử của các dao động tử biến dạng và của dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại

1 MỞ ĐẦU lí chọn đề tài Trong vài năm trở lại đây, nghiên cứu dao động tử biến dạng ứng dụng nghiên cứu hệ nhiều hạt, có vật lý chất rắn thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học Số lượng cơng trình nghiên cứu theo hướng công bố tạp chí khoa học ngồi nước tương đối lớn Ngồi ra, phương pháp tốn tử sinh, huỷ hạt vật lý thống kê lượng tử phương pháp nghiên cứu đại vật lý, cho kết xác đáng tin cậy, mà phương pháp sử dụng rộng rãi cơng trình nghiên cứu vật lý chất rắn vật lý lý thuyết Chính lí theo xu hướng chung thời đại mà mạnh dạn sử dụng phương pháp toán tử sinh huỷ hạt vật lý thống kê lượng tử vào đề tài: Thống kê lượng tử dao động tử biến dạng dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại Mục đích nghiên cứu - Tính thống kê dao động tử lượng tử dao động tử biến dạng - Tính thống kê dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng - Nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử biến dạng dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại Phương pháp nghiên cứu Phương pháp toán tử sinh, huỷ hạt vật lý thống kê lượng tử Những đóng góp đề tài Đưa công cụ nghiên cứu dao động tử biến dạng, dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại thống kê chúng Cấu trúc luận văn Chương 1: Thống kê lượng tử dao động tử biến dạng Nghiên cứu dao động tử điều hoà, dao động tử biến dạng thống kê chúng Chương 2: Thống kê lượng tử dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại Nghiên cứu dao động mạng tinh thể, biến dạng dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại thống kê CHƯƠNG THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG 1.1 Dao động tử điều hòa 1.1.1 Dao động tử điều hòa Trước hết làm rõ định nghĩa toán tử a  , a, N… hệ toán tử Boson Trong khơng gian Hilbert ta định nghĩa tốn tử a thỏa mãn: a, a     N  aa Ta xây dựng tốn tử N: N có tính chất: (1) + N  N + Xác định dương +  N, a  a N, a   a   (2) + N   aa  gọi n véc tơ riêng tốn tử N với trị riêng n khơng gian Hibbert: N n n n Na n   n  1 a n Ta có: Na  n   n  1 a  n Trong đó: a: toán tử hủy a+:toán tử sinh N: toán tử số hạt Vậy: …… a n , a n , n 2  , a n , a n ………Là dãy vec tơ riêng toán tử N tương ứng với trị riêng:…n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2……… Vì N tốn tử xác định dương (các trị riêng phải khơng âm) nên dãy có kết thúc cận Giá trị riêng cận n = Vì ta định nghĩa véctơ đặc biệt không gian Hilbert có tính chất sau: a  0 1 trạng thái chân không Ta có: N  nên véc tơ riêng N với trị riêng không Dãy tốn tử a+ tác dụng lên chân khơng , a , a2 , an , (3) Dãy (3) dãy véctơ riêng N ứng với trị riêng: 0, 1, 2,……., n, …… Chúng ta lấy làm khơng gian Hilbert biểu diễn tốn tử boson, khơng gian véc tơ thuộc dãy biểu diễn tốn tử a a+ (điều có nghĩa dãy kín tốn tử a, a+ Mỗi lần tác động toán tử a hay a+ lên dãy (3) ta lại phần tử khác dãy Có thể chuẩn hóa dãy (3) thành dãy véc tơ riêng sau n   n a  n! (4) n n /   nn / Tóm lại lấy khơng gian tác dụng tốn tử boson a a+ khơng gian Hilbert số chiều gồm véctơ trực chuẩn (4) Các véc tơ véctơ riêng toán tử số hạt N  Tương tự , ta định nghĩa hệ tốn tử boson: , , i = 1, ……N thỏa mãn: ai , a  ij  j  , a j     Định nghĩa toán tử số hạt: Ni  ai  Ni , N j     Chân không:  0, 0,  Véctơ riêng trực chuẩn: n  n1, n2 , ,nN  =  n1 i a   . aN  n! nN ! nN Ni n  ni n Bây xét xem biểu diễn đại số Lie qua toán tử Boson khơng? Muốn ta giả sử có toán tử boson (i = 1, 2)  , a     ij j   ai , aj     Theo định nghĩa : (5) Ni  ai  Ni , N j     Các véc tơ riêng: n1, n2  n1  n2 a  a   n1!n2 ! (6)  a1     a2  Xét toán tử: Ji     a1 a2  бi Nghĩa Là: J1    a1 a2  a2a1    J2   a1 a2 a2 a1   J3   a1a1 a2 a2  (7) Dựa vào hệ thức giao hoán (7) ta hệ thức giao hoán J i :  Ji , J j   i бijkJk   Đây đại số Lie, biểu diễn đại số Lie qua tốn tử boson, tức (6) véctơ không gian Hilbert biểu diễn Vấn đề đặt là: từ không gian biểu diễn (6) ta tìm khơng gian bất khả qui Muốn ta xét toán tử Causimin: C  J12  J  J 32 1  N1  N2    a1a1  a2a2  2 Đặt: J Ta được: C  J  J 1 (8) (9) (10) Đối với biểu diễn bất khả qui tốn tử Causimin có giá trị xác định từ (9) ta thấy đặc trưng cho biểu diễn đại số Lie giá trị riêng toán tử J mà ta kí hiệu j Theo định nghĩa Ni từ (9): j  n1  n2  (11) Ta thấy j số nguyên bán nguyên, không âm Để xác định véctơ riêng không gian không gian Hilbert (6) biểu diễn bất khả qui đại số Lie, ta nhận xét biểu diễn phải xác định hai giá trị riêng (do không gian chung xác định hai số n1 n2) Ta nhận xét toán tử J3 giao hốn với J (tức có giá trị riêng xác định) Ta kí hiệu trị riêng m từ định nghĩa J3 ta có: m  n1 n2  (12) Vậy biểu diễn bất khả qui đại số Lie không gian véc tơ sở (6) đặc trưng j m liên hệ với n1 n2 sau: n1  j  m n2  j  m Từ khơng gian véctơ sở biểu diễn bất khả qui là:  j, m   j m  j m a  a   j  m! j  m! Từ (11) (12) ta thấy với j xác định m lấy 2j + giá trị: m = j, j – ,……, -j + 1, - j Vậy không gian biểu diễn bất khả qui 2j + chiều Tiếp theo biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa Hamiltonaian dao động tử điều hịa có dạng: 2 ˆ    d  kx H m dx 2 (13) Để thuận tiện cho việc viết công thức ta thay tọa độ x xung lượng i d ˆ ˆ tọa độ q xung lượng p mới: dx  ˆ ˆ x  q  mx   d  i d ˆ   i  dx  p  m dx  ˆ ˆ Hệ thức giao hoán p q là: ˆ ˆ  p, q   ˆ mà p  ˆ ˆ ˆˆ pq  qp i  d ˆ ˆ ; q  mx nên ta có: m dx ˆˆ pq  i d d ˆ ˆ mx  i ( x) dx dx m  i d  d ˆˆ ˆ ˆ qp  mx    ix dx  m dx  Thay vào ta có: ˆ ˆ  p , q    i d d   ˆ ˆ ( x )    i x  dx dx   d  d  ˆ ˆ ( x)  x    dx    dx ˆ ˆ  p , q    i     d , x    i ˆ ˆ  p , q    i  dx    1  ˆ ˆ  p, q   Vậy: ˆ ˆ Thay p, q vào (13) ta có: ˆ ˆ ˆˆ pq  qp = -iћ (14) ˆ ˆ ˆ H   p   2q  ˆ p    aˆ  aˆ  ˆ q  i  2 ˆ  a  aˆ  Đặt:   Hmiltonian (13) trở thành: ˆ   a2  aa  a a  (a )2     a2  aa  a a  (a )2  ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ H  2 Vậy: ˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ H   aa  aa  (15) ˆ ˆ ˆ ˆ Các tốn tử a, a biểu diễn ngược lại qua toán tử p , q sau: ˆ ˆ  p  i q   ˆ ˆ ˆ a   p  i q   ˆ a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ Theo (14) thì:  p , q   pq  qp = -iћ ˆˆ pq    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ  a  a   i 2  a  a    i2  a  aa   a a  (a )2      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ  a  a   2  a  a   i2  a  aa   a  a  (a  )2  2 ˆˆ qp  i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Nên:  p , q   pq  qp = i (aa  a a ) = -iћ (aa  a a) 1  a, a    ˆ ˆ  Nghĩa là: (16) Hmiltonian (13) trở thành: ˆ  ˆ ˆ 1 H   a a    2  (17) Việc nghiên cứu phổ lượng dao động tử điều hòa quy tốn tìm véctơ riêng trị riêng Hmiltonian (17) Để tìm điều ta quay lại định nghĩa tốn tử số hạt N (đã tìm hiểu trên): ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ N  a  a   N , a    a hay Na  a ( N  1) ˆˆ ˆ ˆ  N,a +   a + hay Na +  a + ( N  1)  ˆ  ˆ Chứng minh ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ  N , a   Na  aN  a + aa  a a + a   a a +  a + a    a    a , a     a    a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ  ˆ   ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ  N ,a +   N a +  a + N =a + a a +  a + a + a  a +  a a +  a + a   a +  a , a    a +  ˆ   điều phải chứng minh ˆ ˆ /n> véc tơ riêng toán tử N ứng trị riêng n: n  n n Vì / N n  n n nên ˆ n/ N /n   n/n n/n    mà MS  n / n    n (r ) dr  n0  ˆ ˆ ˆ TS = n / a  a / n =  a n (r ) dr  0    n  ˆ ˆ n / a a / n ˆ Vậy: trị riêng toán tử N số không âm 10 ˆ Tiếp theo ta tìm hàm riêng trị riêng N sau: n hàm riêng ˆ N ứng với trị riêng n – ˆ a n hàm riêng ˆ N ứng với trị riêng n + ˆ 1) a 2) ˆ 3) a p p ˆ 4) a n ˆ hàm riêng N ứng với trị riêng n – p ˆ n hàm riêng N ứng với trị riêng n + p Chứngminh ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1) Na n  Na n  a(N 1) n  a(n 1) n  (n 1)a n  Na n = ( n - )a n  ˆ ˆ tri riêng cua N ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2) Na n = a (N 1) n = a (n 1) n = (n 1) a n  (n 1) trị riêng N ˆ ˆ ˆ ˆ 3) Tương tự: a n , a n a p n véctơ riêng N có trị riêng  n  p ˆ ˆ2 ˆ3 ˆp 4) Tương tự: a n ; a n .a n véctơ riêng N có trị riêng  n  p  điều phải chứng minh Chúng ta tìm trị riêng nhỏ ˆ N nmin = Chứng minh Theo ta có: ˆ n,(n - 1),(n - 2),(n - 3) trị riêng N ứng với ˆ ˆ véctơ riêng n , a n , a n , a n  chuỗi giảm dần  tồn số ˆ ˆ không âm nmin  a n  (vì a nmin  theo định lý có trị riêng nmin  < nmin < khơng xảy nmin giá trị nhỏ nhất)  điều phải chứng minh ˆ ˆ ˆ ˆ Vậy: a nmin   a a nmin  =  N = nmin nmin (theo định nghĩa nmin ) ˆ Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ N kí hiệu ˆ : a  61 Na n   n  1 a n Ta có: Na  n   n  1 a  n Trong đó: a: tốn tử hủy a+:tốn tử sinh N: toán tử số hạt Vậy: …… a n , a n , n , a n , a2 n ………Là dãy vec tơ riêng toán tử N tương ứng với trị riêng:…n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2……… Bây xét xem biểu diễn đại số Lie qua toán tử Boson khơng? Sau tinh tốn ta kết luận: biểu diễn đại số Lie qua toán tử boson có véctơ riêng là: n1,n2  n  n2 a  a   n1!n2! (4) (4) véctơ khơng gian Hilbert biểu diễn Vấn đề đặt là: từ khơng gian biểu diễn (4) ta tìm không gian bất khả qui: biểu diễn bất khả qui đại số Lie không gian véctơ sở (4) đặc trưng j m liên hệ với n1 n2 sau: n1  j  m n2  j  m Từ khơng gian véctơ sở biểu diễn bất khả qui là:  j, m   j m a  a    j m  j  m ! j  m ! Vậy không gian biểu diễn bất khả qui 2j + chiều Tiếp theo biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa kết là: lượng tử ˆ ˆ lượng hạt N tốn tử số hạt , a toán tử hủy hạt a  toán tử sinh hạt ˆ Khi trạng thái n với lượng   trạng thái chứa n hạt  Kết luận Ta thiết lập công thức quan trọng sau: 62 ˆ N n =n n ˆ a  ˆ a n  ˆ a  n n = n n 1  n! (n >0) n+1 n  (n  0) ˆ a n 1.1.2 Phân bố thống kê dao động tử điều hòa + Dao động tử Boson Dao động tử Boson đơn mode đặc trưng hệ thức thức giao hốn:  a , a    có phân bố   thống kê sau: a +a  e   (25) 1 + Dao động tử Fermion Dao động tử Fermion đơn mode đặc trưng hệ thức giao hốn: Có phân bố thống kê: bb  1  e  bb  bb  b2  (30) Kết Luận: Trong mục (1.1) trình bày kiến thức tổng quan dao động tử điều hồ, sở hình thức luận dao động tử điều hoà dao động tử Boson Fermion, đồng thời tính phân bố thống kê chúng 1.2 Dao động tử biến dạng - q 1.2.1 Dao động tử biến dạng - q +Dao động tử Boson biến dạng q Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q mô tả toán tử huỷ toán tử sinh  ˆ ˆ dao động tử a, a theo hệ thức sau: ˆˆ ˆ ˆ aa  qaa  qN (31) Chúng ta đưa vào không gian Fock : n q  ˆ (a  ) n  n q ! (34) Toán tử Hamiltonian biểu diễn sau:  ˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ H   a a  aa    Nq   N 1q 2  Phổ lượng dao động điều hoà biến dạng q  (39) 63 En    n  q   n  1q  (41) +Dao động Fermion biến dạng q ˆ ˆ Các toán tử sinh huỷ b , b dao động tử Fermion biến dạng q thoả mãn hệ thưc dao hoán: ˆˆ ˆ ˆ bb  qb b  q N ˆ ˆ b2  (b )2  bˆ   Chúng ta đưa vào không gian Fock : n  q (42) n nq ! (45) 1.2.2 Phân bố thống kê dao động tử biến dạng q +Phân bố thống kê dao động tử Boson biến dạng q Đối với hệ dao động tử boson biến dạng q thỏa mãn hệ thức giao hoán (31) ta thu phân bố thống kê sau: ˆˆ  aa  e     e   q  q 1  e   (48) +Phân bố thống kê dao động tử Fermion biến dạng q Đối với hệ fermion thỏa mãn hệ thức giao hoán (42) ta thu phân bố thống kê: ˆˆ  bb  e 1 e2   q  q1  e 1 (49) Nhận xét: Trong trường hợp giới hạn q = phân bố thống kê (48) trở phân bố Bose – Einstein thông thường hệ boson aa   e 1  phân bố thống kê (49) trở phân bố Fermi – Dirac thông thường đối fermion: b b   e  1 1.2.3 Dao động tử có thống kê vơ hạn Dao động tử có thống kê vơ hạn thỏa mãn hệ thức: ˆˆ aa    N,a a (50) hệ thức giao hoán: 1.2.4 Phân bố thống kê dao động tử có thống kê vơ hạn Dao động tử có thống kê vơ hạn thoả mãn hệ thức giao hốn (50) có phân bố thống kê sau: 64 a  a  e   n (56) 1.2.5 Dao động tử biến dạng q tổng quát +Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát Trong công trình nghiên cứu GS Đào Vọng Đức đề nghị kiểu biến dạng q tổng quát bao gồm dao động tử biến dạng q thông thường dao động tử có thống kê vơ hạn trường hợp đặc biệt ˆ ˆ ˆ ˆ Hệ dao động tử Boson thoả mãn: a a  - qa  a = qCN (57) Nên q c số thực Khi c = -1 (57) trở hệ thức giao hốn dao động tử biến dạng q thông thường: ˆˆ ˆ ˆ aa  qaa  qN Khi c  ,q  (57) hệ thức giao hốn dao động tử có thống kê vơ hạn: ˆˆ aa   Từ hệ thức (57) dẫn đến hệ thức: n n n1 (c) ˆˆ ˆ ˆ ˆ a a  qn  a  a nq  a  qcN (58) ta sử dụng  n q (c)  q n  q cn q  qc (59) Toán tử số dao động tử N thực không gian Fock với sở véctơ riêng chuẩn hoá n  aˆ   n với (c)  n q (c ) !   n q (c ) (c )  n  q  n  q (c ) q  n (c )  n q (60) ! (c) 1 q ˆ Toán tử N thoả mãn hệ thức ˆ ˆ ˆ aa   N   q (c) (61) ˆ ˆˆ a a    N  1  q (c ) Đại số (57) hệ thức giao hoán toán tử tọa độ x xung lượng p có dạng:  (c)      x, p  i  qCN (q 1) Nq + Dao động tử Fermion biến dạng q tổng quát (62) 65 Tương tự dao động tử điều hòa Fermion biến dạng q tổng quát xác định theo toán tử sinh hủy ˆ ˆ bb thỏa mãn hệ ˆˆ ˆ ˆ bb +qbbqCN thức: (63) Phương trình hàm riêng trị riêng toán tử số dao động tử N là: N / n q  n / n q Các trạng thái riêng chuẩn hóa tốn tử N định nghĩa sau: n q bˆ    n với n q !  xq  q x  (1) x qx q  q1 Khi q =  nq  n Từ (63) ta chứng minh hệ thức giao hoán sau: n n n c n1 b b   1 qn  b  b nq  b  qCN Như đại số (63) thực khơng gian Fock với sở véc tơ trạng thái riêng chuẩn hóa tốn tử số dao động tử N n  (c ) nq b  ! n Trong khơng gian Fock ta có hệ thức sau: (c ) b b   N q bb   N (c)  1q 1.2.6 Phân bố thống kê dao động tử biến dạng q tổng quát +Phân bố thống kê dao động tử Boson biến dạng q tổng quát Sử dụng công thức (57)  (62) nêu để tính phân bố thống kê aa sau: e  aa  1 (64) e2  q qc  e  qc1 + Phân bố thống kê dao động tử Fermion biến dạng q tổng quát Đối với dao động tử fermion biến dạng q tổng quát phân bố thống kê bb  tính sau: bb  Nhận xét e 1 e2   q  qc  e  qc1 (65) 66 Từ kết (48),(49) ta suy được: aa  b b  e  e  1 1 Đối với thống kê Bose Fermi q = kết (64),(65): e   e  1  q  q  e e  e     q  q 1  e      a a   b b  1  1 Đối với biến dạng thông thường c = -1.Trong giới hạn thống kê vô hạn c  0, q  thu phân bố thống kê có dạng: aa  bb e Kết Luận Trong mục 1.2 nghiên cứu đại số biến dạng tham số cách xây dựng hệ dao động tử điều hoà biến dạng q Đồng thời xây dựng dao động tử đơn mode biến dạng q tổng quát, trường hợp đặc biệt c=-1 đại số trở đại số biến dạng q thông thường Dao động tử có thống kê vơ hạn trường hợp đặc biệt dao động tử Boson đơn mode biến dạng q tổng quát cho c  q  Đặc biệt, mục chúng tơi tính tốn cách chi tiết phân bố thống kê dao động tử biến dạng Các kết cho biểu thức tương ứng hệ dao động tử biến dạng-q, hệ dao động tử có thống kê vô hạn, hệ dao động tử biến dạng-q tổng quát đặc biệt q,c nhận giá trị đặc biệt phân bố thống kê trở phân bố Bose-Einstein hay phân bố Fermi-Dirac 67 CHƯƠNG THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG MẠNG TINH THỂ CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ KHÁC LOẠI 2.1 Dao động mạng tinh thể 2.1.1 Dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử loại Trước hết ta nghiên cứu dao động mạng tinh thể từ thí dụ đơn giản mạng tinh thể: chuỗi nguyên tử loại xếp đặt cách khoảng a (hằng số mạng tinh thể) trục Ox, nguyên tử có khối lượng M chuyển động quanh vị trí cân Đánh số nguyên tử số nguyên n, tọa độ nguyên tử thứ n vị trí cân xn: x n  na độ dịch chuyển nguyên tử un(t), với: un (t )  u( xn , t ) Giả thiết hai nguyên tử kề nhau, nút thứ n n + 1, tỷ lệ với bình phương độ dời tương đối: un(t)  u (t) n1 Khi tồn phần hệ U   u  t   u  t     n n 1 n với  hệ số tỉ lệ, cịn động tồn phần hệ là: T  M  du n ( t )    dt   n  2 Ký hiệu lực tác dụng lên nguyên tử thứ n Fn, ta có: F  M d un  t  n dt2 Tìm lời giải phương trình dạng sóng đơn sắc: i kxn  k t    un  t   u  xn , t   Ae  tần số góc: k   M sin (67) ka (68) Vậy dao động chuỗi nguyên tử loại sóng đơn sắc (67) với tần số góc   k  xác định theo cơng thức (68) phụ thuộc khơng tuyến tính vào giá trị k véctơ sóng (xem hình 2.2), giống tượng tán sắc quang học   k   ka  M truyền với tốc độ v không phụ thuộc véctơ sóng: Khi đó, lời giải có dạng sóng  ik x vt  const u xn,t   Ae  n  với: v  a Trong trường hợp dao động mạng tinh thể trùng với sóng âm với âm Do dao động (67) với  k  M v tốc độ truyền thỏa mãn hệ thức (68) gọi dao động âm Trên lý thuyết cổ điển dao động chuỗi nguyên tử loại Bây ta trình bày lý thuyết lượng tử hệ vi mơ Để làm điều ta ký hiệu xung lượng nguyên tử thứ n ứng với tọa độ un  t  là: P  Mv 68 Biểu thức động tồn phần viết lại sau: T   pn t 2 2M n lượng tồn phần hệ là: E 2   pn t   un  t  un1  t     2M n n ˆ Khi lượng tử hóa ta thay hàm p t tốn tử xung lượng p n hàm u n  t  toán n tử tọa H độ suy rộng ˆ un liên hợp ˆ pn với Hamiltonian hệ trở thành: ˆ  ˆ ˆ   pn2   un  un 1  n 2M n Giữa tốn tử ˆ un pn có hệ thức giao hoán: ˆ um , pn   i nm ˆ ˆ  un , um    pn , pm   ˆ ˆ   ˆ ˆ  Các toán tử (69) (70) ˆ u n pn tương ứng với nút thứ n phụ thuộc vào tọa xn nút Ta khai ˆ triển toán tử theo sóng phẳng với sóng nằm vùng Brillouin thứ nhất: ˆ ˆ un   1 eikx uk N k n ˆ pn  N   e ikxn (71) ˆ pk (72) k Trong khai triển (71) (72), số “1” có nghĩa tổng theo k lấy vùng Brillouin thứ Chúng ta xét sóng phẳng thỏa mãn điều kiện biên tuần hoàn đoạn thẳng chiều dài L = Na với N số nút mạng có đoạn thẳng này, số giá trị gián đoạn k / vùng Brillouin thứ Nhân hai vế công thức (71) (72) với eik xn ,trong k/ véctơ sóng vùng Brillouin thứ nhất, cộng theo n dùng công thức: / ei(kk ) xn  kk/ N k (73) Ta thu biến đổi ngược lại với khai triển (72)- (73): ˆ ˆ uk  eikx un N n n ˆ pk  ˆ  eikx pn N n n (74) (75) 69 ˆ ˆ Hãy tìm hệ thức giao hốn pk u k / Dùng khai triển (74)- (75), hệ thức giao hốn cơng thức (73) , ta thu được: uk/ , pk   ik,k/ ˆ ˆ  Tương tự, ta có: (76) pk, pk/   uk, uk/  0  ˆ ˆ  ˆ ˆ  (77) Mặt khác, thay khai triển (74) (75) vào Hamiltonian lại dùng cơng thức (73), ta tính được: ka   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H   (1)  pk pk  2 sin2 u k uk   2M  k Thay:  M sin2 ka   k 2 Cuối ta thu được:   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H   (1)  pk pk  M(k )2 uk uk   2M  k (78) Tiếp theo, ta biến đổi công thức dạng cách đặt: ˆ M   k  uk    k  ˆ ˆ  ak  ak  (79)   k  ˆ ˆ ˆ pk  i  ak  ak  M Trong biểu thức trên, ˆ ˆ ak ak toán tử biểu diễn ngược lại qua (80) ˆ ˆ pk uk sau: ˆ ak  ta nhận được: ta có: i i     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ pk  ; ak  pk   M k  uk   M  k  uk  M M  2  k    2 k     ˆ H  (1) (k) ak ak  ak ak  ˆ ˆ ˆ ˆ  2k ˆ ˆ ˆ ˆ ak ak  ak ak  đó: ˆ ˆ ˆ H   (1)  (k )ak ak  const k Có thể chọn gốc tính lượng cho “const” cơng thức cuối ta nhận được: ˆ H  k (1) ˆ ˆ  ( k ) ak ak (82) 70 Tóm lại, mạng tinh thể đơn giản mà ta xét diễn tả lý thuyết lượng tử ˆ Hamiltonian (82).Vì coi mạng tinh thể dao động hệ nhiều hạt: a k tốn tử (k), cịn a k tốn tử sinh hạt ˆ hủy hạt có véctơ sóng k ,xung lượng  k lượng Các hạt lượng tử dao động mạng tinh thể, gọi phonon Trong thực tế, ta khơng có hạt thật mà có trạng thái dao động khác mạng tinh thể mô tả giống hệ hạt mà thơi Điều có nghĩa phonon khơng phải hạt thật mà giả hạt, nói tới phần dao động tử điều hòa Các giả hạt thường gọi chuẩn hạt Ta xét dao động chuỗi nguyên tử loại sóng âm véctơ sóng bé Các phonon trường hợp gọi phonon âm Trong phần ta thấy cịn có phonon quang 2.1.2 Dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại Xét chuỗi nguyên tử gồm loại khác nhau, loại thứ có khối lượng M , loại thứ hai có khối lượng M xếp xen kẽ, cách khoảng a ( số mạng tinh thể 2a, ô sở chứa nguyên tử) Trên trục 0x nguyên tử chuyển động quang VTCB -Đối với nguyên tử thứ Thế trường hợp có dạng: 1 U   U1  na U2  na    U1  na U2  n 1 a        Phương trình dao động có dạng: U U M 1U 1//   -Đối với nguyên tử thứ 2: Thế trường hợp có dạng: 1 U   U  na   U1  na     U  na   U  n  1 a         Phương trình dao động có dạng  M 2U 2//   U  2  M22 U2  2.cos KaU1  (84) U    2  M 1  U1  2 cos Ka.U  Để tìm  ta giải hệ gồm phương trình (83) (84):     2  M 2  U  2 cos Ka.U1   2  1   1  4sin2 Ka Phương trình có nghiệm: 2           M1M2  M1 M2   M1 M2  -khi K = 0: sinKa =  1   ;    M1 M   2  2  (83) 71 -khi K=  2a : sinKa =  2 = 2 2 2 ; = M2 M1 Nhận xét + nghiệm   Khi K  :    K  ~K  Dao động âm học (vì tương tự dao động sóng dài mơi trường liên tục đàn hồi)  nhánh âm +đối với nghiệm   Khi K ≈ 0: Nhánh   nằm xa nhánh   Khi K tăng: nhánh   tiến gần nhánh    dao động quang học  Nhánh quang -Nếu thay đổi khối lượng nguyên tử làm xuất biến đổi vùng điểm   2a -Khi qua biên tần số thay đổi cách gián đoạn tạo thành khe Tương tự xét mạng dao động chiều gồm nguyên tử M  M  M ta có nhánh dao động: nhánh âm học nhánh quang học Tổng quát: -Trường hợp mạng chiều có n nguyên tử khác loại có n nhánh dao động mạng, có nhánh âm học (n – 1) nhánh quang học -Trường hợp mạng chiều có n nguyên tử khác loại có 3n nhánh dao động mạng, đó: nhánh âm học 3(n – 1) nhánh quang học Bây ta nghiên cứu lý thuyết lượng tử dao động mạng tinh thể chuỗi hai nguyên tử khác loại Các xung lượng tương ứng với độ dời u2n (t) v2 n (t ) kí hiệu là: du n ( t ) dt dv (t ) q n 1 ( t )  M 2 n dt p n (t )  M Kết luận Hamiltonian (94) cho thấy trạng thái dao động lượng tử chuỗi hai nguyên tử khác loại xem hệ nhiều hạt gồm hai loại chuẩn hạt khác nhau, hạt loại chuẩn hạt thứ có lượng 1 ( k ) hạt loại chuẩn hạt thứ hai có lượng 2 ( k ) Nếu tiến hành tính tốn chi tiết phần chuỗi nguyên tử loại tính biểu thức giải tích tường minh 1 ( k ) 2 ( k ) theo công thức:   k     1   4sin ka        Để xác định ta đặt:    M M  M 1M    M1 M    72 1  k     k    A  k  2  k     k   O  k  Khi chuẩn hạt ứng với tốn tử ˆ2 ˆ2  ak  , ak  chuẩn hạt ứng với toán tử ˆ 1 ˆ 1  ak  , ak  gọi phonon âm, cịn gọi phonon quang Tóm lại, trạng thái dao động lượng tử chuỗi hai nguên tử khác loại xem hệ nhiều phonon âm phonon quang 2.2 Dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại 2.2.1 Dao động mạng tinh thể biến dạng q chuỗi nguyên tử khác loại Chúng ta xem xét chuỗi nguyên tử có hai loại khác Khối lượng loại thứ M1 khối lượng loại thứ hai M2 , xếp liền kề cách khoảng a (hằng số mạng tinh thể 2a) Hamiltonian chuỗi nguyên tử biểu diễn dạng: ˆ2 ˆ2 ˆ  pk  qk  M  x  M  x ˆ ˆ H 1 2 2M M 2 ˆ ˆ ˆ ˆ x1  uk , x2  vk tọa độ suy rộng nguyên tử vị trí thứ k ˆ ˆ p k , q k xung lượng suy rộng tương ứng chuỗi hai nguyên tử khác loại  toán tử sinh hủy tương ứng với véctơ sóng k , có dạng: ˆ (1) ak  21   i ˆ ˆ pk   M 11 uk   M1    ˆ (1) ak   21   i ˆ ˆ p k   M 11 u k    M1   ˆ (2) ak  22   i ˆ ˆ qk   M 2 vk   M2    ˆ (2) ak   22   i ˆ ˆ q k   M 2 v k    M2   Toán tử tọa độ tốn tử xung lượng biểu diễn qua toán tử sinh hủy ˆ (1) ˆ ˆ (2) ˆ (2) ak  , ak(1) , ak  , ak : (95) 73 ˆ (1) a k   (2)  ˆ \ a k  21   i ˆ ˆ M 11 uk  pk    M1    22   i ˆ ˆ qk   M 2 vk   M2    ˆ (1) ˆ (1)  ak  a k   M 11 ˆ uk  ˆ (2) ˆ (2) ak  a k   M 22 ˆ vk 1 ˆ  uk  ˆ vk   ˆ (1) ˆ (1) ak  a k   i ;  ˆ ˆk  ak(1)  a(1)  M 11 ˆ pk M11 ˆ (2) ˆ (2) ak  a k   i ; ˆ qk M 22 ; ˆ pk   i 1 M (1) ˆ ˆk  ak  a(1)   ˆ ˆk ˆ ˆ ˆ k  ak(2)  a(2)  ; qk  i 22M  ak(2)  a(2)  2M 22 (96) Toán tử số dao động, toán tử sinh dao động hủy dao động thỏa mãn hệ thức giao hoán: (i ) ˆ( ˆ( j ˆ( ˆ( aki)ak),   qak j)aik),  qNk k,k,ij ( (j (  aki ) , a k),    aki )  , a k),    ˆ( j  ˆ ˆ  ˆ ˆ ˆ  N k(i ) , a ( j ),    aki ) ,  ij ˆ ( k , k k   (97) ˆ ˆ  N k(i ) , a ( j ),    aki ) ,  ij ˆ ( k , k k   ˆ ˆ Nếu thay H cho (95) xem xét Hamitonian H dao động mạng tinh thể biến dạng q chuỗi hai nguyên tử khác loại cho bởi:      1  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H   (1)  p k pk  M 112 (k )u k uk    q k qk  M 22 (k )v k vk   (98) 2 k  M   2M    Kết luận Dao động mạng tinh thể biến dạng chuỗi hai nguyên tử khác loại biểu diễn ˆ( ˆ( Hamiltonian (99) với toán tử sinh dao động, hủy dao động aki )  , aki ) thỏa mãn hệ thức giao hốn (100) nên coi dao động mạng tinh thể hệ nhiều hạt 74 2.2.2 Phân bố thống kê dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử khác loại Hàm Green biến dạng q cho phân bố thống kê ˆ( ˆ( aki )  aki )  i ˆ( ˆ( Tr e  Nk i aki )  aki ) Z   ˆ( ˆ aki )  ak(i ) (i  1, 2) (101) Z hàm phân bố:  Z  Tr e i   N ki  = i n e - N ki n (102) n0 Nó xác định tính chất nhiệt động hệ,  = , i lượng dao động hạt kT Lấy vết tất trạng thái ( i )  (i ) k k ˆ a ˆ a  e i e i   q e i  q 1   (103) Vậy thống kê dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại xác định theo (104) Và q  trở dạng quen thuộc, cơng thức Bose – Einstein thường gặp (105) 75 KÕt LuËn Sau khoảng thời gian tiến hành nghiên cứu, tìm hiểu dao động biến dạng nói chung dao động biến dạng mạng tinh thể chuỗi nguyên tử khác loại nói riêng, tơi giải nhiệm vụ sau đây: Nghiên cứu dao động tử biến dạng, dao động mạng tinh thể biến dạng dao động mạng tinh thể chuỗi nguyên tử khác loại Tính thống kê lượng tử dao động tử biến dạng dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại Trong khoảng thời gian nghiên cứu, tiến hành làm luận văn hạn chế, lực hiểu biết thân hạn hẹp nên nhiều vấn đề luận văn chưa giải triệt để Tác giả cố gắng trình bày hồn chỉnh luận văn, mong góp ý thầy cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nếu tiếp tục phát triển đề tài áp dụng kết tính thống kê để nghiên cứu tính chất vật lý môi trường đậm đặc ... tử khác loại Nghiên cứu dao động mạng tinh thể, biến dạng dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại thống kê 3 CHƯƠNG THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG 1.1 Dao động tử. .. 1: Thống kê lượng tử dao động tử biến dạng Nghiên cứu dao động tử điều hoà, dao động tử biến dạng thống kê chúng Chương 2: Thống kê lượng tử dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử. .. cứu dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử loại khác loại 2.1.1 Dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử loại Trước hết ta nghiên cứu dao động mạng tinh thể từ thí dụ đơn giản mạng tinh thể: