Phổ năng lượng giao động mạch tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại

1 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS-TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã giảng dạy, tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức và phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm bồi dưỡng của cô đã giúp tôi hoàn thành luận văn cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp này cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Vật lý – Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô các trường như: Đại học sư phạm Hà Nội, Đại học Quốc gia, Đại học Bách khoa,…đã nhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. 2 Lêi Cam §oan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả ĐINH VĂN TÌNH 3 MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan………………………………………………………………… MỞ ĐẦU 4 NỘI DUNG 6 Chương 1 DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG 6 1.1.Dao động tử Boson biến dạng q: 6 1.1.1.Dao động tử Boson: 6 1.1.2.Dao động tử Boson biến dạng q:………… ………………….…………. 8 1.2. Dao động tử có thống kê vô hạn 11 1.3.Dao động tử Fermion biến dạng q: 13 1.3.1.Dao động tử Fecmion: 13 1.3.2. Dao động tử Fermion biến dạng q: 14 1.4. Dao động tử biến dạng q tổng quát: 15 1.5. Dao động biến dạng q- R: 19 1.5.1. Dao động tử biến dạng q- R: 19 1.5.2. Thống kê của dao động tử biến dạng q – R: 23 Chương 2 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG (q, R) CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ CÙNG LOẠI 25 2.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa: 25 2.2. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại: 34 2.3. Phổ năng lượng của dao động biến dạng q-R: 45 2.4. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q-R cho chuỗi nguyên tử cùng loại: 49 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vài chục năm gần đây đại số lượng tử được rất nhiều nhà Vật lý trong nước và quốc tế quan tâm nghiên cứu bởi những ứng dụng của nó trong nghiên cứu Vật lý lý thuyết. Ví dụ như: nghiên cứu nghiệm phương trình Yâng – Bascter lượng tử, bài toán tán xạ ngược lượng tử, mẫu hoà tan chính xác trong cơ học thống kê, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số. Đặc biệt gần đây áp dụng hình thức luận dao động tử lượng tử rất có hiệu quả trong nghiên cứu quang lượng tử, sự quay và sự rung động của các hạt nhân, chất rắn, vật chất đông đặc, dao động mạng tinh thể… Cùng với những lý do trên ở luận văn này chúng tôi áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để nghiên cứu “Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại”. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu “Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại”. 3. Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể. 4. Phương pháp nghiên cứu - Các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết. - Các phương pháp nghiên cứu của vật lý chất rắn. - Dùng biểu diễn số hạt của dao động biến dạng để nghiên cứu dao động mạng tinh thể. 5 5. Những vấn đề chính được nghiên cứu - Nghiên cứu dao động mạng tinh thể. - Nghiên cứu dao động biến dạng. - Nghiên cứu dao động biến dạng của mạng tinh thể. 6. Cấu trúc luận văn Chương 1: Dao động lượng tử biến dạng - Tìm hiểu hình thức luận dao động tử lượng tử. - Tính thống kê cho các dao động biến dạng. Chương 2: Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại - Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa -Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại - Phổ năng lượng của dao động biến dạng q-R - Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q-R cho chuỗi nguyên tử cùng loại. 6 NỘI DUNG Chương 1 DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG 1.1. Dao động tử Boson biến dạng q: 1.1.1. Dao động tử Boson: Dao động tử Boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán: ˆ ˆ , 1 a a       (1.1) Toán tử số dao động tử có dạng: ˆ ˆ ˆ N a a   (1.2) Kết hợp (1.1) và (1.2) ta có: (1.3) Xét trong không gian Fock trạng thái chân không 0 được định nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0, thỏa mãn điều kiện: ˆ 0 0 a  (1.4) Kí hiệu n là trạng thái số hạt n có thể thực hiện trong không gian Fock với có sở là trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N:   ˆ ( ) 0 ! n a n n   , n= 0, 1, 2,…. (1.5) Ta có toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P liên hệ với các toán tử sinh dao động ˆ a  và toán tử hủy dao động ˆ a như sau: ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , N a a N a a              7   1 2 ˆ ˆ 2 Q a a m              1 2 ˆ ˆ 2 m P a a            Trong đó m,  lần lượt là khối lượng và tần số góc của dao động tử. Khi ấy ta có hệ thức giao hoán giữa toán tử Q và toán tử P như sau:         ˆ ˆ ˆ ˆ , , 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ i Q P a a a a i aa a a i aa                               (1.6) Thay (1.1) vào (1.6) ta được   , Q P i  (1.7) Toán tử Hamintonian của dao động tử điều hòa được biểu diễn:           2 2 2 2 2 ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 4 4 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 , 2 2 1 2 1 2 P m H Q m a a a a a a aa a a a a N N                                             (1.8) 8 Phổ năng lượng của dao động điều hòa được xác định bởi phương trình hàm riêng và trị riêng: ˆ 1 2 1 2 1 ; 0,1,2 2 n n n n H n E n N n E n n n E n E n                                    (1.9) 1.1.2. Dao động tử Boson biến dạng q: Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và toán tử sinh dao động tử ˆ ˆ ,a a  theo hệ thức sau: ˆ ˆ ˆ ˆ N aa qa a q      (1.10) Với q là thông số biến dạng. Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng: ˆ q q N n n n  (1.11) Toán tử hủy, sinh ˆ ˆ ,a a  và toán tử số dao động ˆ N thỏa mãn hệ thức: ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , N a a N a a              (1.12) Chúng ta đưa vào không gian cơ bản Fock: 9   ˆ ( ) 0 ! n q q a n n   (1.13) Ở đây 0 là trạng thái nền và dùng kí hiệu:             1 ! . 1 . 2 1 n n q q q q q q q q n q q n n n n         (1.14) Tác dụng ˆ ˆ ˆ ˆ , a a aa   lên trạng thái riêng q n ta được:    ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ! n q q a a a n a a n             1 1 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 0 ( ) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 0 n N n N n n N n N n a a qa a q a q a qa a a q a qa qa a q a                                           2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) 0 ˆ ˆ ˆ ( ) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 0 ( ) 0 N n N n n n N N N n n n n n N N N n n n q a q a q a a a q q q a q a a a a a q q q a q a a                                              Vậy   1 3 1 ˆ ˆ n n n q q a a n q q q n             1 n n q q q q q n q q n n       10        ˆ ˆ ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ! ! n n N q q q a a a a n aa qa a q n n                1 1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ( ) ( ) ˆ ˆ 0 0 ! ! ˆ ˆ 1 n n N q q N q q n n n q q n n n n q n n q q q a a qa a q n n qa a n q n q q q n q n q q q q q q n q q q q n q q n n                                        Vậy     ˆ ˆ ˆ ˆ 1 q q q q q q a a n n n a a n n n      (1.15) Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ ˆ x và toán tử xung lượng ˆ p có dạng: 2 2 2 ˆ 1 ˆ ˆ 2 2 p H m x m    (1.16) Toán tử hủy và sinh dao động tử ˆ ˆ ,a a  của dao động biến dạng q: ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 m i a x p m m i a x p m                        (1.17) Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các toán tử hủy và sinh dao động tử ˆ ˆ ,a a  : [...]... Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại: Chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau một khoảng bằng a (hằng số mạng tinh thể) trên trục Ox, mỗi nguyên tử có khối lượng M và chuyển động quanh vị trí cân bằng của nó n n-1 O   F1 a n+1   F2 x a Hình 1.1: Chuỗi nguyên tử cùng loại Tọa độ của nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng 35 xn  na Độ dịch chuyển của nguyên. ..   2 e 2  1 25 Chương 2 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG (Q, R) CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ CÙNG LOẠI 2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa: Hamiltonian của dao động tử điều hòa có dạng: 2 d 2 1 2 ˆ H   kx 2m dx 2 2 (2.1) Để thuận tiện khi viết các công thức, thay cho các toán tử tọa độ x và xung lượng i d ta dùng các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới dx ˆ x  q... nhận là toán ˆ tử số lượng tử năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n  1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng ˆ Toán tử a  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n  1 và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng ˆ ˆ lượng tử năng lượng là một hạt thì N sẽ là toán tử số hạt, a sẽ là toán tử hủy ˆ hạt... dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng  Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0 Trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E1  E0   có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp theo 2 với năng lượng E2  E1... E0  2 có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 , … Nếu ta lấy gốc năng lượng là E0 thì có thể coi 0 là trạng thái không chứa một lượng tử nào, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là trạng ˆ thái chứa hai lượng tử, … n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử N có các trị riêng nguyên không... thức giao hoán giữa x và p : 19 ˆ ˆ  x, p   i   a , a   ˆ ˆ   ˆˆ ˆ ˆ  i aa   a  a   c (1.41) c  i  N  1q   N q  1.5 Dao động biến dạng q- R: 1.5.1 Dao động tử biến dạng q- R: Đại số Heiseinberg biến dạng q – R được tổng quát từ đại số biến dạng q và đại số biến dạng R Đại số biến dạng q – R được xây dựng dựa trên các ˆ ˆ toán tử sinh, huỷ dao động tử a  , a toán tử phản... a  a 0  0 1.3 Dao động tử Fermion biến dạng q: 1.3.1 Dao động tử Fecmion: Dao động tử Fermion đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức phản giao hoán: bˆ, bˆ   1    ˆ ˆ b   b   0   2  (1.27) 2 ˆ Toán tử số dao động tử N được biểu diễn theo các toán tử sinh dao động tử ˆ ˆ b  và toán tử hủy b như sau: ˆ ˆ ˆ  N  b b   ˆ ˆˆ  1  N  bb   (1.28) Đại số (1.19) có thể thực hiện trong... toán tử số do động tử N :   ˆ n  b n 0 , n  0,1 (1.29) 14 n là trạng thái n hạt thỏa mãn điều kiện trực chuẩn m, n   m,n , với m, n  0,1 ˆ ˆ Tác dụng của toán tử b , b  lên trạng thái n : ˆ ˆ b 0  0, b 1  0    ˆ ˆ b  0  1, b  0  0   (1.30) 1.3.2 Dao động tử Fermion biến dạng q: Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn thông qua các toán tử sinh ˆ ˆ dao động tử b  và toán tử. .. hạt, a sẽ là toán tử hủy ˆ hạt và a  là toán tử sinh hạt Khi đó trạng thái n với năng lượng En  n sẽ là trạng thái chứa n hạt Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa Trong Cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  Khái niệm 33 “hạt” đưa vào ở đây chỉ để cho tiện Thực chất đó chỉ là các “giả hạt”, một... một dạng biến dạng q tổng quát bao gồm các dao động tử biến dạng q thông thường và cả các dao động tử có thống kê vô hạn Hệ dao động tử Boson thỏa mãn: ˆˆ ˆ ˆ aa   qa  a  q cN (1.37) Trong đó q, c là các tham số Với c = - 1 thì (1.37) trở về (1.10), đó chính là biến dạng q thông thường; với c → 0, q → 0 thì (1.37) trở về (1.21), đó chính là dao động tử có thống kê vô hạn Từ (1.37) suy ra:   ˆ . 2: Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại - Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa -Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa: 25 2.2. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại: 34 2.3. Phổ năng lượng của dao động biến dạng q-R: 45 2.4. Phổ năng lượng. động tử biến dạng q- R: 19 1.5.2. Thống kê của dao động tử biến dạng q – R: 23 Chương 2 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG (q, R) CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ CÙNG LOẠI 25 2.1. Phổ