Dao động mạng tinh thể biến dạng tổng quát và phổ năng lượng của chúng

Với lý do trên tôi chọn đê tài nghiên cún tìm hiêu vê "dao động mạng tinh thế biến dạng tông quát và pho năng lượng của chủng”.. 2.Mục đích nghiên cún - Nghiên cứu về dao động mạng tinh

đã tạo ra các vật liệu cho một số ngành kĩ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũtrụ, năng lượng nguyên tử Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật

lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếpmột cách đều đặn và tạo thành các tinh thể Kể từ khi có sự ra đời của các lýthuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới cóđược cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứngdụng cũng như lý thuyết

Hon nữa gần đây áp dụng hình thức luận dao động lượng tử rất có hiệu quảtrong nghiên cứu quang lượng tử, sự quay và rung của các hạt nhân, chất rắn, vậtchất đông đặc, dao động mạng tinh thể

Với lý do trên tôi chọn đê tài nghiên cún tìm hiêu vê "dao động mạng tinh thế biến dạng tông quát và pho năng lượng của chủng”.

2.Mục đích nghiên cún

- Nghiên cứu về dao động mạng tinh thể biến dạng tổng quát và phổ năng

lượng của chúng

1

3.Nhiệm vụ nghiên cún

- Nghiên cứu mạng tinh thể.

- Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng tổng quát.

- Nghiên cứu phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể.

4.Đối tượng nghiên cún

- Nghiên cún về dao động mạng tinh thể và dao động biến dạng.

a: là toán tử hủy dao động a + :

là toán tử sinh dao động Kết

hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có:

[N,a] = [aa+,a] = a[a+,a] + [a,a] a + = — a (1.1.3)[N, a+] = [aa+, a + ) = a[a+, a+] + [a, a + ) a + = a + (1 1 4)Xét không gian Fock với trạng thái chân không 10) thoa mãn:

alO) = 0

2

Trạng thái In) là trạng thái có n dao động tử có thể thực hiện trong

không gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:

Ta CÓ toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng p liên hệ vói các toán tử

dao động a, a + như sau:

Q = J Ễ ( a + + a )

3

p =- i J~r ( a ~a+)Khi ấy hệ thức giao hoángiữa toán tử tọa độ Q và toántử xung lượng p

[Q, P] =J [(a + + à), (a+ - ã)] = Y ([a ,a+] -[a + , riị)

= ih[a,a + ] (1.1.6)

Thế (1.1.1) vào (1.1.6) suy ra:

Toán tử Hamiltonian được biểu diễn như sau:

H = -i-P2 + im2Q2 = (a+ - á) 2 + 7(a+ + a) 2

h 2 2

m ù )

h 2 2

m ù )

h 2

N = b + b (1.2.2)Trong đó:

b: toán tử hủy dao động b +: toán

tử sinh dao động Tương tự N thỏa mãn

hệ thức giao hoán [N, b] = —b

[N ,b + ] = b + (1.2.3)Đại số (1.2.2) có thế thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là

vecto đã chuấn hóa của toán tử số dao động tử N:

In) = (b + ) n 10 n= 0, 1(n=0, 1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli)

Khi ấy tác dụng của toán tử b, b + lên trạng thái In) : bl0> = 0 bll) =

IO>

1.3 Dao động tử biến dạng

1.3.1 Dao động tử Boson biến dạng q

Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử

sinh và toán tử hủy dao động tử ã , ẵ + theo hệ thức sau: ẵẵ + □ qẵ + ã=q~ N

(1.3.1)

Với q là thông số biến dạng:

Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng, trịriêng:

Toán tử hủy, sinh â, ă + và toán tử số dao động N thỏa mãn hệ thức:

6

= {q~ N (a+)n_1 + qẵ + (qâ + â + q ~N) (â+)n-2}IO) = {q~ N

(â+)n_1 +q~ N + 2 (a+)n-1 +(a+)n-1a(a+)n-2} 10)

[N,ẵ] = - a Chúng ta đưa vào cơ

sở của không gian Fock:

(1.3.4)

S+â|n>(? = ẫ + ã 10)

8

Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các

toán tử hủy và sinh dao động tử â, â + :

^=jE ( ã + ế + )

p =-ij^y (â - â + ) (1.3.9)

Thay (1.3.8) vào (1.3.9) ta được:

10

qn+i_ q-m-i+q-in-i _ q-n -1 q-q- 1

Ơ n+ 1 _ 0 -n-i

|n><J = [n + llạln),

Lị c/

- — [â 2 — ẵâ + — ẵ + â + (â+)2]

1.3.2 Dao động tử Fermỉon biến dạng q

Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn thông qua các toán tử

sinh dao động tử b + và toán tử hủy dao động tử b như sau:

A? mh ^ £i+\/ ^+\

• p = - — (â — â )( ã

— ã )

(1.3.10)

Và N cũng thỏa mãn phương trình hàm riêng trị riêng như sau: $ |n)r

= n|n) r Với trạng thái riêng đã chuấn hóa N được viết dưới dạng:

(1.3.14)

Khi f = 1 ta có dao động tử Fermion điều hòa (1.2.2)

1.4 Dao động mạng tỉnh thể

1.4.1 Chuỗi nguyên tử cùng loại

Chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau một khoảng bằng

a (hằng số mạng tinh thể) trên trục Ox, mỗi nguyên tử có khối lượng M vàchuyến động quanh vị trí cân bằng của nó

n-l n n+1e—Q 0 Q

(1.3.13)

(1.3.15)

X

u„(t) = u(xn, t)

Giả thiết thế năng giữa 2 nguyên tử kề nhau, ở các nút thứ n và n+1 tỷ

lệ với độ dời bình phương độ dời tương đối

un+1(t)- un(t)

Và bỏ qua tương tác giữa các nút không kề nhau Khi đó thế năng toàn phần của hệ là:

u = |2j[un+1(t) - un(t)]2 n

Khi lượng tử hóa ta thay hàm Pn(t) bằng toán tử xung lượng P n và hàm

un(t) bằng toán tử tọa độ suy rộng ũ n Hamiltonian của hệ trở thành:

Ta có:

= u ™ ( - m ) i ỉ r ( - i 7i ) ỉ U m

= ih iã^ Um ~ Um chïJ lftẼỊỈ2ũ - ilĩô

Các toán tử ũ n và P n tương ứng với các nút thứ n và phụ thuộc vào tọa

độ x n của nút này Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phang với vectơsóng nằm trong vùng Brillouin thứ nhất

û k = e~ i k X n û n (1-4.3)

й=0

Tương tự nhân 2 vế của (1.4.3) với e~ i k ' X n rồi lấy tổng ta cũng thu

/ 1=0được:

v 11=0

Ta tìm hệ thức giao hoán giữa ù k ' và ỷ k [Pfc.Wfc'] = РкЩ' -Щ'Рк

_ Lỵ e -ikx n p n ỵ e -ik'x m û m _ 1 £ e -ik'x m ù m Ỳ e -ikx„p n

Mặt khác thay ( 1.4.3), ( 1.4.2) vào ( 1.4.1 ) ta được:

(1.4.5)

(1.4.6)

(1.4.7)

Trong các biểu thức trên â k vằ ầỵ là các toán tử mới được biểu diễn ngược lại qua ũ k và p k như sau:

Mà ta có:

ih

ũ k pk = - y [âị - ẫ k ằl k + ẫl k à k - (â+fc)2]

PA = - y [â| + âfcâífc - âíkafc - (âík)2]

-*• ũ k p k - p k ũ k = l -ệ (2â k âĩ k - 2ăl k ẫ k )

û-* = (â-*+ ẫ-*

P-fcPk = (â-fc + âj) (âfc + âift)

(â_ k â k - â_ k âifc - âjâfc + â£âü:k)

• û - f c û f c = 2 M + â f c ) ( “ k + a - k )

(â-fcâfc + â_fc âifc + âjâfc + â£âifc)

2M co(/c)

Suy га (1.4.5) trở thành:

fi = Z' 1 ’ [^(- ííí7%â-fcâ fe - a_ k âí k - ajfâfc + âjâifc) + i м ш 2 (к) г м ш ( к )

(â_fcâfc + а_* âí fc + âjâ k + âjaifc) ]

= z (â-fe âík + âjâfc) = X âfc + ẫịầ k )

Có thể chọn gốc tính năng lượng sao cho “const” ở công thức trên bằng

0 và cuối cùng ta nhận được

к

1.4.2 Chuỗi hai nguyên tử khác loại

Xét chuỗi nguyên tử gồm 2 loại khác nhau, loại thứ nhất có khối lượng M

-L, loại thứ 2 có khối lượng M2, xếp sen kẽ cách đều nhau 1 khoảng bang а (hằng

số mạng tinh thể là 2a, mỗi ô cơ sở chứa 2 nguyên tử) trên trục Ox, mỗi nguyên

tử chuyến động quanh vị trí cân bằng của mình

Gọi độ dời của nguyên tử thứ nhất là u 2 t(t)

Độ dời của nguyên tử thứ hai là v 2 n + 1 (í)Các xung lượng ứng với các độ dời w2t(í) và V 2n+1 (í) là:

P2n(t) = M ! ^2

q2n+i(t) = Щ Khi lượng tử hóa ta thay u 2t, V 2n+1, P2n, Ч2П+1 bằng các toán tử û 2 n ,

$ 2 п+ 1 ’ p 2 m Я 2 П+ 1 - Các toán tử này thỏa mãn hệ thức gia hoán:

^ V 2m+1 2n+l

= v 2m+l(~ih)7~ift)T^-V2m+1

auj

-

V2m +1

= ^I e ~ i k ' X 2 n + 1 V 2 n+il e- i k x ™+'q 2 m + 1 ~ỵ e~ i k X 2 m + 1 q 2 m +i

diễn qua toán tử sinh hạt ẫ^ + , ẫ^ + và các toán tử

sinh hủy hạt ã^\ ầ^\

+ â™)

(1.4.23)

Các hệ thức giao hoán giữa toán tử sinh và hủyhạt:

ũkPk - PÁ = ih (â k â_i; - âị 0

• Các toán tử sinh hạt và hủy hạt có thể được

biếu diễn ngược lại qua các toán tử ỷ k > q k ,

+ ÎWi (PfcV - Ûfc-Pfc) - (p k p k < - p k ’P k)

(1.4.34)[a® а<?]= [(л/«2 + -j= qk) ỤK û)2<V +

гМ-^С/с) v k

Hamiltonian (1.4.22) được viết thành:

2

2 + Ạ 2 N ì

H =L Ị( 2 (( * k k k ^ 2

(1.4.45)Theo hệ thức giao hoán (1.4.33) ta có:

năng lượng hcư^k) còn mỗi hạt của hạt chuẩn thứ 2 có năng lượng hù) 2(k) nếu tiến hành các tính toán chi tiết như ở phần chuỗi nguyên

tử cùng loại sẽ tính được biểu thức giải tích tường minh của và

Củ 2 (k) trùng khớp với ít)±(k) theo công thức:

photon âm, còn các chuẩn hạt ứng với các toán tử ã^Ịp, ấ^ + đượcgọi là các photon quang Tóm lại, trạng thái dao động tử của chuỗi 2nguyên tử khác loại có thể xem như hệ nhiều photon âm và photonquang

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THẺ BIÉN DẠNG

TỎNG QUÁT

2.1 Dao động mạng tỉnh thể biến dang tổng quát

Gần đây trong công trình nghiên cứu của GS.TSKH Đào

Vọng Đức đã đề nghị một dạng biến dạng q tổng quát bao gồm

các dao động tử biến dạng q thông thường và cả các dao động tử

có thống kê vô hạn

Hệ dao động tử Boson thỏa mãn:

aa + — a + a = q c N

Trong đó: q, c là các tham số

Thật vậy với c = - 1 thì (2.1) trở về biến dạng q

thông thường Với c -» 0 và q-> 0 ta có:

(2.1.2)

Toán tử số dao động tử N được thực hiện trong không gian

Fock với cơ sở là các vecto riêng đã chuẩn hóa I n)

(2.1.3)

(2.1.1)

a(a+)n = qn(a+)n a + [n] q (a+)n 1 q

Thật vậy ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp hệ thức

như sau: a + a In) = [n]qCV>

= (qc + q)l2> = [2]<c)|2>

^a + a I2) = [2]f|2>

Như vậy a + a 12) =

[2]^|2) đúng với n = 0, 1,2 giả thiết n vẫn đúng với n

= к tức là:

a + a lk> = [k]f | fc>

Bây giờ ta chứng

minh

nó sẽ đúng với n

= k+ 1

a + a

lk+ 1) = [k +

0

1к)[k+l]

‘c)

(qcW+ qa + a)\\)

Jîk+îl!

= q c k , а* Ik) + , ч а *

а а+1к)

=

^ik+D+ẹ Âik)

>4°

= (q c k

+ạ[k]^ c) ) lk+l)

= (qck+ <?4z?)|k+1>

q-q l

= [k + i]f |

fc + i>

l í

if

a + a

=

[N]^c )

4

3

Cuối cùng (2.1.4) đã được chứng minh Hệ thức

giao hoán giữa Q và P:

(2.1.7)

( 2.1.8)

b + b = {N}f

2.2 Định nghĩa về thống kê của dao động tử

Phân bố thống kê của toán tử F được định nghĩa qua công thức:

Với p = —, k là hằng số Bolzmann, T là nhiêt đô của hê, H là kT

Hamiltonian của hệ, trong đó vết lấy theo đầy đủ các trạng thái của hệ, trường hợpđơn giản nhất ta có :

2.3 Thống kê của dao động tử biến dạng

2.3.1 Thống kê của dao động tử boson biến dạng

Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng q là phân bố thống kê của a+a.

Từ công thức (2.2.1) ta có: ^a+a) = — Tr^ PCởNa+a

( 2 - З Л )

Khi giới hạn q tiến tới 1 thì ^ä+a^ = -ß-!—- trở về phân bố Bose - Einstein

thông thường

2.3.2 Thống kê của dao động tửỊermỉon biến dạng

Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q là phân bố thống kê của b+b

2.3.3 Phân bố thống kê của dao động tửq- biến dạng tống quát

Đối với dao động tử boson biến dạng q tổng quát ta có phân bố thống kê sau:

Từ công thức (2.2.1) ta có:

Đối với dao động tử fermion

biến dạng q tổng quát ta có phân bố

thống kê như sau:

1 + e -|ia e -p»

l+^-qc^-q№'e2Pl°e* - Ị e^ + ^-q^-q"1'Neu q = 1 và c = —1 thì thống kê

, 00 (

CHƯƠNG 3: TÌM PHỎ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG

[N k ,a_ k ']~

~ŨỊi§fi=k f âfc ât k ' - qâ k â± k , = q~ N k S k _ k >

Neu thay H cho bởi (3.1.1) chúng ta xem xét Hamiltonian H của dao

động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại cho bởi:

=

^~ k ^ k + 2mứj2(fe)ữ-Á (3.1.5)

Sử dụng (3.1.5) và (3.1.3) ta được:

• ỷ- k ỷ k = - m < ° 2 m (đ_fc - â£) (â k - âì k )

• ũ_ k ũ k = 2 M 1 ( k ) (ã- k + âỉ) (â k + ăl k )

= 2 M 1 ( k ) (à- k ẵ k + ã_ k ãĩ k + âịâ k + â^ãl k )

Suy ra (3.1.5) được viêt thành

à -к (äik)n-*+1|0> = (qâĩã k + q Wft)(âífc)n*+1|0)

= {q~ N k (â± k ) n k + 1 +qâ£(qâ£â k + q~ N k )(â^) n «- 2 } |0)

= {<rw4a*)n*_1 + q-^iẫịỴk-' + q 2 (ât) 2 (qâîâ k + q- N «)(a+r*- 3 m

= {(q~ N k + q~ N i‘ + 2 + q~ N l < + 4 )(â^) n k ~ 1 + q 3 (â£) 3 â k (â£) n k ~ 3 } |0)

= qãt k ã_ k (âh k ) n - k ịO) + q w-4âífc)n-k|0)

âl k â_ k (aifc)n-k|0) = {(í7_/v_*+1 + q~ N ~k + 3 + q-N-ic+s

động lượng tử của mạng tinh thể biểu diễn cho chuỗi hai nguyên tử khác loại

Xét chuỗi nguyên tử gồm 2 loại khác nhau, loại thứ nhất có khối lượngM-L, loại thứ 2 có khối lượng M2, xếp sen kẽ cách đều nhau 1 khoảng bằng a,hằng số mạng tinh thể là 2a

Hamiltonian của chuỗi nguyên tử có thể được biểu diễn dưới dạng:

Toán tử số dao động và các toán tử sinh dao động, hủy dao động thỏa mãn

hệ thức sau giao hoán:

r(i)

â®â-k* - â k ) ã -l* = Я * S t jS k i k >

[й£°,й^,] = [й[0+,й^Г]= 0

[Á?i 0+ ,â^]= 4 0+ V*'tfy [ivf + ,a« ]= -â^s^su

Nếu thay H cho bởi (3.2.1) chúng ta xem xét Hamitonian H của daođộng mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại được chobởi:

H = Ỷ Ị( 2 ( * * * * )+ 3 (â t â,- +â t â t )

Hệ thức giao hoán biến dạng q giữa toán tử tọa độ và toán tử xung

lượng:

ÍPk>ũ k ] = ỷ k ũ k -ũ k ỷ k

r-(2)^(2) _ -(2)^(2) + _ ~(2)+ A (2) , -(2) +

^(2) + l ['-k^k ^-k^-k âk “k + â k â_ fc J

= {(â™ - ã -l + ) (41} + â -k + ) - (4° + â-Txâ™ - â-fc)+))

= -í'ft(41)â-1fc)+ - â-k)+ 41})

[qk,v k ] = q k v k -v k q k

= -f{(42) - â®+) (42) + â-k)+) - ( ẵ k + âi2 )+)(42) - â-k+)} = -ift(42)â-fc)+ - â-2k)+ 42))

Tác động các toán tử ẫ^p + và ầ^ịp lên các trạng thái riêng In) có thể thu

^(1) "(1)+, ~(1)+,n^2,^(2)+4ni2^,.Л(2)+ЛП^2 i (l)_a(l)+|.,v _ «fc «fe Щ )

= qõ^ịa^l* (õđ + ) n 2|0> +q- N k’ > ~ 1 (õđ + ) n S|0>

a?*)+(42)+)"*4|0> = (<?õđõđ+ + q~ N ™) (õđ+)n-k|0>

Ịq-^ 2) (õđ*)”- 2 *" 1 + qẫ^liqẫ^ịà^ + q~ N -i) (õi 2

Sau một thời gian tiến hành tìm hiếu về “dao động mạng tinh thế biến dạng tổng quát và phó năng ỉượiĩg của chủng” tôi đã thực hiện

được các nhiệm vụ cụ thể sau:

1 Viết tổng quan về dao động mạng tinh thể nói chung và dao động mạngtinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại và chuỗi hai nguyên tử khác loại

2 Triển khai cách tính toán về dao động biến dạng của Boson và dao động mạng tinh thể biến dạng

3 Tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng cho chuỗi nguyên tử cùng loại và chuỗi hai nguyên tử khác loại

Trên đây là những nghiên cứu ban đầu của tôi về “dao động mạng tỉnh thế biến dạng tong quát và phố năng lưọng của chủng” Do

những hạn chế về thời gian trình độ và năng lực bản thân nên luận văn còn nhiềuthiếu sót, rất mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của thày cô và những nhà nghiên cứu để luận văn được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẲO