Biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng và phổ năng lượng của chúng (LV01151)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI O TH THANH DUNG BIU DIN DAO NG T CA TON T NNG LNG V PH NNG LNG CA CHNG LUN VN THC S KHOA HC VT CHT H NI, 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI O TH THANH DUNG BIU DIN DAO NG T CA TON T NNG LNG V PH NNG LNG CA CHNG Chuyờn ngnh: Vt lớ lý thuyt v Vt lớ toỏn Mó s: 60 44 01 03 LUN VN THC S KHOA HC VT CHT Ngi hng dn khoa hc: GS- TSKH O VNG C H NI, 2013 Li cm n Em xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc ti GS- TSKH o Vng c v s quan tõm ch bo, tn tỡnh hng dn ca thy sut quỏ trỡnh hc tp, chớnh s quan tõm v tn tỡnh ch bo ca thy ó to ng lc v cho em cú thờm nim tin, s c gng thc hin lun ny Em xin trõn trng cm n Phũng Sau i hc v Ban Ch nhim khoa, cỏc thy giỏo, cụ giỏo khoa Vt Lớ- Trng i hc s phm H Ni ó quan tõm, to iu kin v tn tỡnh ging dy, ch bo em sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Tụi xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố v ng nghip ó luụn sỏt cỏnh bờn tụi sut thi gian hc v nghiờn cu hon thnh lun vn./ H Ni, thỏng nm 2013 TC GI o Th Thanh Dung LI CAM OAN Tụi xin cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn v s giỳp lun ó c ch rừ ngun gc TC GI o Th Thanh Dung MC LC Trang Trang ph bỡa Li cm n Li cam oan Mc lc M U NI DUNG Chng HèNH THC LUN DAO NG T LNG T 1.1 Dao ng t boson 1.2 Dao ng t boson bin dng q 1.3 Dao ng t bin dng (q- R) 1.4 Dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi ) 1.5 Dao ng t bin dng g 10 Chng BIU DIN DAO NG T CA TON T NNG LNG 17 2.1 Biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng t boson 2.2 Biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng t boson bin dng q 2.3 Biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng bin dng (q- R) 2.4 Biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi 2.5 Biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng mng tinh th bin dng (q- R) cho chui nguyờn t cựng loi 2.6 Biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng bin ) dng g 17 18 20 21 31 33 Chng PH NNG LNG CA CC DAO NG T 35 3.1 Ph nng lng ca dao ng t boson 35 3.2 Ph nng lng ca dao ng t boson bin dng q 36 3.3 Ph nng lng ca dao ng bin dng (q- R) 37 3.4 Ph nng lng ca dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi 3.5 Ph nng lng ca dao ng mng tinh th bin dng (q- R) cho chui nguyờn t cựng loi 39 42 ) 3.6 Ph nng lng ca dao ng t bin dng g 45 KT LUN 46 TI LIU THAM KHO 47 PH LC 48 M U Lớ chn ti Trong lch s vt lớ, chỳng ta nhn thy rng cỏc nh vt lớ ó nhiu ln bin dng cỏc thut toỏn mụ t cỏc quy lut vt lớ; lý thuyt mi l tng quỏt hn v cha lý thuyt ban u, lý thuyt ban u l mt trng hp gii hn tham s bin dng tin n mt giỏ tr nht nh Trong thi gian gn õy, cỏc nh khoa hc ó quan tõm nghiờn cu v cỏc dao ng t iu hũa bin dng tng quỏt, cỏc kt qu thu c cú nhiu im mi m, vi hy vng gn thc nghim hn so vi cỏc kt qu nghiờn cu dao ng t iu hũa thụng thng S bin dng q ca mt h vt lớ thụng qua dao ng t iu ho bin dng q l nh vựng nng lng bỡnh thng nhng tr nờn ỏng k vựng nng lng Planck, ú vic nghiờn cu bin dng q tr thnh quan trng i vi lý thuyt trng Trong nghiờn cu v dao ng t, vic biu din qua dao ng t a cỏc bi toỏn t cỏc phộp tớch phõn thnh cỏc phộp tớnh i s, a n vic gii cỏc bi toỏn vi mụ n gin hn; vic a biu din dao ng t lng t ca toỏn t nng lng giỳp vic tỡm c ph nng lng ca cỏc dao ng t lng t d dng v hy vng s em n kt qu gn thc t hn cha bin dng Chớnh vỡ vy, chỳng tụi chn ti "BIU DIN DAO NG T CA TON T NNG LNG V PH NNG LNG CA CHNG" Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu toỏn t nng lng ca h ht vi mụ v a biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ri gii cỏc phng trỡnh hm riờng, tr riờng tỡm ph nng lng ca cỏc dao ng t lng t Nhim v nghiờn cu Biu din dao ng t ca toỏn t nng lng v tỡm ph nng lng ca cỏc dao ng t boson; boson bin dng q; dao ng bin dng (q- R); dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi v dao ng bin dng ) g i tng v phm vi nghiờn cu - Nghiờn cu cỏc dao ng t iu hũa bin dng - Nghiờn cu toỏn t nng lng ca cỏc h ht vi mụ - Nghiờn cu biu din dao ng t ca toỏn t nng lng v tỡm ph nng lng Gi thuyt khoa hc (nhng úng gúp mi ca ti) ti biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca mt s dao ng t bin dng v tỡm c ph nng lng ca dao ng t tng ng; hy vng rng s thu c cỏc kt qu gn vi thc nghim hn vi cỏc kt qu cha bin dng Phng phỏp nghiờn cu Dựng phng phỏp nghiờn cu ca lý thuyt trng lng t; phng phỏp nghiờn cu v nhúm lng t v cỏc dao ng t lng t NI DUNG CHNG I HèNH THC LUN DAO NG T LNG T Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s kt qu nghiờn cu c bn v mt s dao ng t lng t Nhng kt qu nghiờn cu ny c ỏp dng vo vic a biu din dao ng t lng t ca cỏc toỏn t nng lng v xỏc nh ph nng lng ca cỏc dao ng t lng t 1.1 Dao ng t boson Vi cỏc toỏn t hermitic liờn hp a, a + , dao ng t boson n mode c c trng bi h thc giao hoỏn: ộở a, a + ựỷ = aa + - a + a = (1.1) Toỏn t s dao ng N c xỏc nh bi h thc: N = a+a (1.2) T (1.1) v (1.2), chỳng ta cú h thc giao hoỏn: ộở N , a + ựỷ = ộở a + a, a + ựỷ = a + ộở a, a + ựỷ + ộở a + , a + ựỷ a = a+ (1.3) [ N , a ] = ộởa a, a ựỷ + = a + [ a, a ] + ộở a + , a ựỷ a = - ộở a, a + ựỷ a = -a (1.4) Xột khụng gian Fock, trng thỏi chõn khụng c nh ngha l trng thỏi cú s ht bng 0, tha iu kin: a =0 (1.5) Gi n l c s cỏc vộct riờng ca toỏn t s dao ng N, xỏc nh trng thỏi s ht n cú th thc hin khụng gian Fock, c xỏc nh: (a ) = + n n n! , n = 0,1, (1.6) ú, toỏn t s N tha phng trỡnh hm riờng, tr riờng: N n =n n (1.7) Cỏc phng trỡnh (1.3), (1.4) ng ý rng cỏc toỏn t a + , a l cỏc toỏn t sinh, hy dao ng: a n = n n -1 (1.8) a+ n = n + n + (1.9) 1.2 Dao ng t boson bin dng q Dao ng t boson bin dng q c nh ngha thụng qua h thc giao hoỏn: aa + - qa + a = q - N (1.10) ú: q ẻ C l thụng s bin dng; a + , a, N l toỏn t sinh, hy v toỏn t s dao ng tha h thc (1.3) v (1.4) Toỏn t s dao ng N tha phng trỡnh hm riờng, tr riờng: N n q =n n q (1.11) Trong khụng gian Fock, vộct trng thỏi riờng ca toỏn t s N c xỏc nh theo cụng thc: (a ) + nq= n [ n ]q ! , n = 0,1,2 vi [ n ]q ! = [ n ]q [ n - 1]q [ n - 2]q [1]q ; [ 0]q = 1;[ n ]q = Fq ( n ) õy chỳng ta s dng kớ hiu: (1.12) 34 Toỏn t ta v toỏn t xung lng c biu din qua toỏn t sinh, hy dao ng nh sau: ổ h x=ỗ ữ ố 2mw ứ (a + + a) (2.61) ổ hmw + p = iỗ ữ (a - a) ố ứ ) H thc bt nh bin dng g gia ta v xung lng cú dng: hay [ p, x ] = ih ộở a, a + ựỷ (2.62a) [ p, x ] = ih {1 + ( g) - 1) a + a} (2.62b) Thay (2.61) vo (2.60), ta c biu din ca toỏn t nng lng: H= hw aa + + a + a ) ( (2.63) Nh vy, Chng II chỳng ta ó biu din cỏc toỏn t sinh, hy dao ng a + , a qua toỏn t ta , xung lng v ngc li, ng thi tớnh cỏc h thc giao hoỏn gia cỏc toỏn t; cựng vi vic dng nhng kin thc v dao ng t c trỡnh by Chng I, qua ú chỳng ta ó a biu din dao ng t toỏn t nng lng ca cỏc dao ng t boson; dao ng t boson bin dng q; dao ng bin dng (q- R); dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi v dao ng mng tinh th bin dng (q- R) ) cho chui nguyờn t cựng loi; dao ng t bin dng g 35 CHNG III PH NNG LNG CA CC DAO NG T LNG T Trong chng ny, chỳng ta s dng cỏc biu din dao ng t ca toỏn t nng lng c xỏc nh Chng II, lp v gii cỏc phng trỡnh hm riờng, tr riờng tỡm ph nng lng En ca cỏc dao ng t tng ng 3.1 Ph nng lng ca dao ng t boson i vi cỏc dao ng t boson, ph nng lng ca dao ng t c xỏc nh bi phng trỡnh hm riờng, tr riờng: H n = En n (3.1) 1ử ổ vi toỏn t nng lng c xỏc nh bi (2.6): H = hw ỗ N + ữ Thay vo 2ứ ố (3.1), chỳng ta c: 1ử ổ hw ỗ N + ữ n = En n 2ứ ố 1ử ổ hw ỗ n + ữ n = En n 2ứ ố 1ử ổ En = hw ỗ n + ữ , n = 0,1, 2ứ ố (3.2) - Trng hp n = , nng lng ca dao ng t: E0 = hw (3.3) Giỏ tr nng lng dao ng t c xỏc nh bi (3.3) tng ng vi nng lng dao ng t trng thỏi c bn - Trng hp n = , nng lng ca dao ng t: E1 = 3hw - Trng hp n = , nng lng ca dao ng t: (3.4) 36 E2 = 5hw (3.5) - Trng hp n = , nng lng ca dao ng t: E3 = 7hw 3.2 Ph nng lng ca dao ng t boson bin dng q Chỳng ta ó biu din toỏn t Hamiltonian ca dao ng t boson bin dng q, c xỏc nh bi (2.9): H= hw ộở aa + + a + a ựỷ Thay vo phng trỡnh hm riờng tr riờng: H n q = En n q chỳng ta c: hw ộở aa + + a + a ựỷ n q = En n (3.6) q Thay (1.15) vo (3.6), chỳng ta c: hw [ n]q + [ n + 1]q n q = En n ( Suy ra: ) En = hw [ n]q + [ n + 1]q ( ) q (3.7a) Phng trỡnh (3.7a) xỏc nh ph nng lng ca dao ng t boson bin dng q, ú: q n +1 - q - n -1 [ n + 1]q = q - q -1 qn - q-n [ n ]q = q - q -1 37 T ú, biu thc xỏc nh ph nng lng (3.7a) c vit thnh: En = hw q n+1 + q n - q - n - q - n-1 ) -1 ( 2( q - q ) (3.7b) 3.3 Ph nng lng ca dao ng bin dng (q- R) Trc ht, chỳng ta xột trng hp n gin nht l trng hp dao ng bin dng (q- R) mt chiu, sau ú tng quỏt húa cho trng hp N chiu Vi trng hp dao ng bin dng (q- R) mt chiu, toỏn t nng lng c xỏc nh bi h thc phn giao hoỏn (2.11): H qn = hw hw a, a + } = aa + + a + a ) { ( 2 Thay vo phng trỡnh hm riờng, tr riờng: H qn n = Eqn ( n ) n Chỳng ta c: hw aa + + a + a ) n = Eqn ( n ) n ( (3.8) Thay (1.55), (1.56) vo (3.8), chỳng ta c: hw [ n]qn + [ n + 1]qn n = Eqn ( n ) n ( ) Suy biu thc ph nng lng: Eqn ( n ) = hw [ n]qn + [ n + 1]qn ( ) q n - ( -1) S dng (1.50): ộở nqn ựỷ = [ n ]q + n q +1 n qn - q-n ú: [ n ]q = , thỡ ph nng lng Eqn ( n ) cho trng hp mt q - q -1 38 chiu c xỏc nh: Eqn ( n ) = hw {( q + 1)[ n] qn + q - n + n ( -1) n } (3.9) qn - q-n Hoc cú th vit Eqn ( n ) di dng sau, nu thay [ n]q = vo q - q-1 phng trỡnh (3.9): hw ổ q n+1 + q n - Eqn ( n ) = nữ ỗn + + ố 2 ( q - 1) ứ (3.10) Trong trng hp ti hn: + Khi q đ : 1ử ổ Eqn ( n ) = hw ỗ n + ữ = En 2ứ ố (3.11) tc l tr v dng ca ph nng lng ca dao ng t boson c xỏc nh bi h thc (3.2) + Khi q đ -1 : Eqn ( n ) = hw hw ( 2n + + n ) = En + n 2 ng thi nu n đ thỡ Eqn ( n) = En = (3.12) hw ( 2n + 1) , ng vi dao ng boson Tip theo, chỳng ta tng quỏt húa cho dao ng bin dng (q- R) trng hp N chiu Khi ú, dng toỏn t nng lng c biu din bi (2.12): Ơ H = ( H qn ) m =1 m (trong ú: m = 1, 2,3 l s chiu ca dao ng lng t) Phng trỡnh hm riờng, tr riờng cú dng: H m1 , m2 , mN = E m1 , m2 , mN 39 Hay chỳng ta vit c: Ơ ồ( H ) m =1 qn m1 , m2 , mN = E m1 , m2 , mN = Eqn ( m1 , m2 , mN ) m1 , m2 , mN m Suy ph nng lng cho trng hp tng quỏt N chiu: E = Eqn ( m1 , m2 , mN ) = Eqn ( m1 ) + Eqn ( m2 ) + + Eqn ( mN ) E= hw ỡ m ỹ ổ N N -m ổ N q + m ( ) [ ] ỗ i qn ữ + q + ỗ ( -1) ữn ý ợ ố ứ i =1 (3.13) i i ố i =1 ứ ỵ i =1 ú, trng thỏi m1 , m2 , mN c xỏc nh: m1 , m2 , mN = ( a ) ( a ) ( a ) m1 + + m2 + N mN [ m ] n ![ m ] n ! [ m ] n ! q q 0,0, (3.14) N q - Trng hp dao ng t hai chiu: N = E = Eqn ( m1 , m2 ) = { )} hw m -m ( q + 1) [ m1 ]qn + [ m2 ]qn + ( q-m1 + q-m2 ) + ( -1) + ( -1) n ( ( ) (3.15) - Trng hp dao ng chiu: N = E = Eqn ( m1 , m2 , m3 ) = hw ộ ( q + 1) [ m1 ]qn + [ m2 ]qn + [ m3 ]qn + q-m1 + q-m2 + q-m3 + ( ) ( ( + ( -1) + ( -1) m1 ) - m2 + ( -1) - m3 )n ựỷ (3.16) 3.4 Ph nng lng ca dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi Toỏn t nng lng ca dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi c xỏc nh bi (2.45): 40 hw (k ) H =ồ() a k a k+ + a k+ a k k ( ) Thay vo phng trỡnh hm riờng, tr riờng H n = En n , chỳng ta c: ồk ( ) ồ( ) k hw ( k ) a - k a -+k + a k+ a k n = E n n ( ) hw ( k ) a- k a-+k n + a k+ ak n = En n ( ) (3.17) Trong khụng gian Fock, vộct trng thỏi riờng ca toỏn t s N c xỏc nh bi (1.12): (a ) + nq= n [ n ]q ! , n = 0,1,2 ú, (3.17) c vit thnh: ( ) ( ) ( ) ( ) n n- k + + k + ổ a a+ a+ nk a+ n-k a a a a h w k ( ) -k - k k (1) k k k k k ồk ỗỗ n ! n ! + n ! n ! ữữ = En n [ k ]q [ -k ]q [ k ]q [ -k ]q ố ứ ổ (1) hw ( k ) ỗ ỗ k ố (a ) + nk k [ nk ]q ![ n-k ]q ! + ( ) a -+k ( ) a-k a-+k a-+k n- k [ nk ]q ![ n- k ]q ! + n- k 0+ ( ) + a k ak a k nk ữ = En n ữ ứ Chỳng ta cú: ( ) ak a k+ nk ( ) = ( qak+ ak + q - N k ) a k+ { ( ) = q - Nk a k+ nk -1 nk -1 ( ) + qak+ ( qak+ ak + q - Nk ) a k+ nk - }0 (3.18) 41 { ( ) = q - Nk a k+ nk -1 ( ) + q - N k + a k+ nk -1 + ( ) + q ( ak+ ) ( qak+ ak + q - Nk ) a k+ { ( ) = ( q - N k + q - Nk + + q - N k + ) a +k nk -1 ( ) + q ( ak+ ) ak a k+ nk -3 nk -3 }0 }0 { = ( q - Nk + q - Nk +2 + q - Nk +4 + + q - Nk + nk -2 ) ( a k+ ) nk -1 + } + q nk ( ak+ ) ak nk Suy ra: ( ) ak+ ak a k+ { = ( q- N nk k +1 ( ) + q - Nk +3 + q - Nk +5 + + q - Nk +2 nk -1 ) a k+ nk + q nk ( ak+ ) + nk +1 } ak Do ú, chỳng ta cú: ( ) ak+ ak n = q - nk +1 + q - nk +3 + q - nk +5 + + q nk -1 n q nk - q - nk = n = [ nk ]q n q - q -1 (3.19) Bin i tng t: ( ak+ ) a-k a-+k n = nk ộởnk ựỷ q !ộởn-k ựỷ q ! ( a-+k a-k ( a-+k ) ) = qa-+k a-k + q-N-k ( a-+k ) = qa-+k a-k ( a-+k ) { n-k n-k n- k 0 + q-N-k ( a-+k ) n-k = ( q-N-k +1 +q-N-k+3 +q-N-k +5 + +q-N-k+2n-k-1) ( a-+k ) + n-k 42 +qn- k ( a-+k ) n- k +1 } a-k Do ú vit c: qn-k - q-n-k -n-k a a n =q +q n q - q-1 + -k -k ổ qn-k +1 - q-nk +1 + q-n-k +1 - q-nk -1 =ỗ ữn -1 q q ố ứ ổ q n- k +1 - q - nk -1 =ỗ ữn -1 q q ố ứ = ộở n- k + 1ựỷ q n (3.20) Thay (3.19) v (3.20) vo (3.17), chỳng ta c: ồk ( ) hw ( k ) ộở n- k + 1ựỷ q + ộở nk ựỷ q n = En n ( ) Vy, ph nng lng ca dao ng mng tinh th c xỏc nh: En = ( ) k hw ( k ) ộở n- k + 1ựỷ q + ộở nk ựỷ q ( ) (3.21) Phng trỡnh (3.21) cho thy ph nng lng En ph thuc vo thụng s bin dng q 3.5 Ph nng lng ca dao ng mng tinh th bin dng (q- R) cho chui nguyờn t cựng loi i vi dao ng mng tinh th bin dng (q- R) cho chui nguyờn t cựng loi, Hamiltonian c biu din bi (2.59): H =ồ( ) k hw ( k ) a- k a-+k + ak+ ak ( ) Cỏc toỏn t sinh, hu v toỏn t s dao ng tho cỏc h thc giao hoỏn (2.57), ng thi vộct trng thỏi riờng ca toỏn t s khụng gian 43 Fock n c xỏc nh: (a ) (a ) + nk k n = + -k n- k [ nk ]n q ![ n- k ]n q ! (3.23) ú: [ nk ]n q q nk - q n- k = q - q -1 [ nk ]n q ! = [ nk ]n q [ nk - 1]n q [ nk - 2]n q [1]n q (3.24) l trng thỏi chõn khụng, cũn n l trng thỏi riờng ca toỏn t s dao ng N : N k n = nk n Tỏc dng toỏn t sinh, hy ak+ , ak lờn vộct trng thỏi riờng n : ak+ n = [ nn + 1]qn [ nn ]qn ak n = n +1 n -1 (3.25) Ph nng lng ca dao ng mng tinh th bin dng (q- R) cho chui nguyờn t cựng loi cú th tỡm t vic gii phng trỡnh hm riờng tr riờng cho toỏn t nng lng: ỡ hw ỹ H n = (1) ( a- k a-+k + ak+ ak ) ý n = En n ợ ỵ k Chỳng ta cú: a-k a-+k n = (a ) + nk k [ nk ]qn ![ n-k ]qn ! a-+k a-k ( a-+k ) = ( qa-+k a-k + q-N-k ) ( a-+k ) n- k n-k (3.26) 44 = qa-+k a- k ( a-+k ) { = ( q-N - k +1 n- k + q - N- k ( a-+k ) n- k + q - N- k +3 + q - N- k +5 + + q - N - k + n- k -1 ) ( a-+k ) n- k + + q n- k ( a-+k ) n- k +1 } a- k Do ú vit c: a- k a-+k n = q q n- k - q - n- k + q - n- k n -1 q-q ổ q n- k +1 - q - nk +1 + q - n- k +1 - q - nk -1 =ỗ ữn q - q -1 ố ứ ổ q n- k +1 - q - nk -1 =ỗ ữn -1 ố q-q ứ = [ n- k + 1]qn n a- k a-+k n = ộở n- k + 1ựỷ qn n Nh vy: (3.27) Bin i tng t: ( ) ak+ ak n = ak+ ak a k+ ( = (q = {( q nk = qak+ak + q- N -nk +1 k )( ) a+ nk -1 k ) + q-n +3 + q-n +5 + + qn -1 n - Nk +1 k k k )( ) + q- N +3 + q- N +5 + + q- N +2n -1 a+ k k k k Do ú, chỳng ta cú: ak+ ak n = ( q - nk +1 + q - nk +3 + q - nk +5 + + q nk -1 ) n q nk - q - nk = n q - q -1 = [ nk ]qn n k nk ( ) + qn ak+ k nk +1 } ak 45 ak+ ak n = ộở nk ựỷ qn n Nh vy: (3.28) Thay (3.27) v (3.28) vo phng trỡnh hm riờng, tr riờng (3.26): hw ( ) {[ n -k } + 1]qn + [ nk ]qn n = En n k Suy ra: En = ( ) k hw [ n- k + 1]qn + [ nk ]qn { } (3.29) Nh vy, nu Hamiltonian ca dao ng mng tinh th bin dng (q- R) cho chui nguyờn t cựng loi c biu din bi (2.59) thỡ ph nng lng ca nú c xỏc nh bi cụng thc (3.29); chỳng ta d nhn thy ph nng lng ph thuc vo cỏc thụng s bin dng q,n ) 3.6 Ph nng lng ca dao ng t bin dng g ) Ph nng lng ca dao ng bin dng g c xỏc nh bi phng trỡnh hm riờng, tr riờng ca toỏn t nng lng: H n = En n Vi toỏn t nng lng c xỏc nh bi (2.63), ta c: hw aa + + a + a ) n = En n ( (3.30) Suy ra, ph nng lng En c xỏc nh: En = hw aa + + a + a ) ( (3.31) Thay (1.69) vo (3.31), chỳng ta c biu thc xỏc nh ph nng lng: En = hw [ n + 1]g + [ n]g { } (3.32) 46 KT LUN Sau thi gian nghiờn cu, lun ó t c mt s kt qu chớnh nh sau: Tớnh c cỏc h thc giao hoỏn bin dng ca dao ng t boson, dao ng t bin dng q, dao ng bin dng (q- R), dao ng mng tinh th ) cho chui nguyờn t cựng loi, dao ng bin dng g Biu din c toỏn t nng lng ca cỏc dao ng t boson; dao ng t boson bin dng q; dao ng bin dng (q- R); dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi; dao ng mng tinh th bin dng (q- R) ) cho chui nguyờn t cựng loi; dao ng bin dng g Gii phng trỡnh hm riờng, tr riờng ca toỏn t nng lng xỏc nh ph nng lng ca cỏc dao ng t boson; dao ng t boson bin dng q; dao ng bin dng (q- R); dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi; dao ng mng tinh th bin dng (q- R) cho chui nguyờn t cựng ) loi; dao ng bin dng g Ch gii hn ca tham s bin dng ph nng lng tr v dng ca dao ng t iu hũa thụng thng (dao ng t boson) Nhng kt qu trờn õy cú th l thụng tin tham kho hu ớch cho nhiu ngi quan tõm, nghiờn cu, ng thi úng gúp cho ng dng nghiờn cu v vt lớ lý thuyt, vt lớ cht rn v hy vng rng vi s bin dng ca cỏc dao ng t, úng gúp ca cỏc thụng s bin dng s thu c kt qu gn vi thc nghim hn 47 TI LIU THAM KHO [1] C.T.V Ba and H.H.Bang (1999), Generalized deformation with q being a root of unity, Tuyn bỏo cỏo hi ngh VLLT ln th 24 (Ton quc) [2] C.T.V.Ba and H.H.Bang (2000), Quantum group and the standard model, Tuyn bỏo cỏo ti hi ngh VLLT ln th 25 ( Ton quc) [3] H.H.Bang (1995), "Some physical consequences of the general deformations", Mod Phys Lett A10 (80, pp 1293- 1298 [4] Daskaloyannisc (1991), Genneralized deformed oscillator and nonlinear algebras, J Phys A24 (15), page 789- 794 [5] D.V.Duc (1994), "Generalized q- derformed oscillator and their statistics", Preprint ENSLAPP- A- 494/94, Annecy, France [6] Nguyn Vn Hiu, Nguyn Bỏ n (2003), C s lý thuyt ca vt lớ lng t, Nh xut bn i hc quc gia H Ni [7] Nguyn Th H Loan, Nguyn Hng H (2003), (q, R)- Deformed Heisenberg algebra and statistics of quantum oscillators, Communications in physics, Vol 13, No 4, page 240- 244 [8] Nguyn Th H Loan (1996), Defomed oscillators and their Statistics, Communications in physics,Vol 6, No 2, page 18- 22 48 PH LC Mt s cụng thc bin i giao hoỏn t [ a, bc ] = [ a, b] c + b [ a, c ] [ ab, c ] = a [b, c ] + [ a, c ]b Cụng thc vộct trng thỏi riờng ca toỏn t s dao ng N khụng gian Fock ca mt s loi dao ng t (a ) = + - Dao ng boson: n n , n = 0,1, n! (a ) + - Dao ng boson bin dng q: n q = n , n = 0,1,2 [ n] ! q - Dao ng bin dng (q- R): n = Cn ( a + ) n (a ) + n vộct ó chun húa: ) - Dao ng bin dng g : n = [ n]qn ! (a ) + n n = [ n ]g ! Dng ca hm cu trỳc [ n]q = qn - q-n q - q -1 q n - ( -1) ộở nqn ựỷ = [ n ]q + n q +1 n [...]... trỡnh by v hỡnh thc lun ca cỏc dao ng t boson; dao ng t boson bin dng q; dao ng t bin dng (q- R); dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi v dao ng ) bin dng g Chỳng ta ó xỏc nh c cỏc h thc giao hoỏn thụng thng v h thc giao hoỏn bin dng ca cỏc dao ng t tng ng; xỏc nh c biu thc tớnh nng lng ton phn ca dao ng mng tinh th bin dng , ) ng thi gii thiu tớnh u vit ca dao ng t bin dng g , tớnh nhõn qu... (2.6) Phng trỡnh (2.6) chớnh l biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng t boson 2.2 Biu din dao ng t toỏn t nng lng ca dao ng boson bin dng q Vic biu din toỏn t nng lng ca dao ng t boson bin dng q 19 cng c tin hnh tng t nh vi dao ng t boson, tuy nhiờn h thc giao hoỏn ca h boson bin dng q l tng quỏt hn v ph thuc vo thụng s bin dng q nờn kt qu s cú nhng thay i so vi dao ng t boson thụng thng Trc ht, biu... qu thu c l c s a ra biu din dao ng t lng t ca toỏn t nng lng ca cỏc h dao ng lng t trong chng tip theo 17 CHNG II BIU DIN DAO NG T TON T NNG LNG Trong chng ny, chỳng ta tin hnh biu din dao ng t toỏn t nng lng ca cỏc loi dao ng c trỡnh by Chng I Vic biu din c toỏn t Hamiltonian l iu rt qua trng, qua ú thit lp c cỏc phng trỡnh hm riờng, tr riờng xỏc nh ph nng lng ca cỏc dao ng t tng ng s c tớnh toỏn... tr v biu thc (2.6) biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng t boson thụng thng H= hw 1 [ 2 N + 1] = hw ổỗ N + ửữ 2 2ứ ố 2.3 Biu din dao ng t toỏn t nng lng ca dao ng bin dng (q- R) Chỳng ta xõy dng dao ng t bin dng (q- R) trong trng hp n gin nht, ú l trng hp mt chiu, sau ú tng quỏt húa kt qu cho trng hp N chiu Biu din toỏn t ta v xung lng x, p thụng qua toỏn t sinh, hy dao ng a + , a nh sau: x=... ng s c tớnh toỏn v trỡnh by trong chng tip theo 2.1 Biu din dao ng t toỏn t nng lng ca dao ng boson i vi dao ng t boson, cỏc toỏn t ta q v toỏn t xung lng p cú th biu din qua toỏn t sinh, hy a + , a nh sau: ổ h ử q=ỗ ữ ố 2mw ứ 1 ổ hmw ử p = -i ỗ ữ ố 2 ứ 2 1 (a 2 + a) (2.1) (a - a ) (2.2) + + trong ú m, w ln lt l khi lng v tn s gúc ca cỏc dao ng t Tip theo, chỳng ta xỏc nh h thc giao hoỏn gia toỏn... chỳng ta xỏc nh toỏn t Hamiltonian v ph nng lng ca h dao ng mng tinh th bin dng ) 1.5 Dao ng lng t bin dng g Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v dao ng t iu hũa 11 ) ) bin dng g , ch rừ u th ca lý thuyt bin dng g (thụng s l toỏn t) so vi lý thuyt bin dng q (thụng s bin dng l c- s); tớnh cỏc h thc giao ) hoỏn ca lý thuyt bin dng g Khi nghiờn cu v dao ng t bin dng q ca cỏc h boson v fermion a mode,... -ai (1.64) ộở N i , ai+ ựỷ = ai+ (1.65) T cỏc phng trỡnh (1.62), (1.63), (1.64) v (1.65) cho thy toỏn t ) = ai+ ai chớnh l toỏn t s dao ng ca dao ng t g - bin dng mode ) i (ghi ch g hiu toỏn t s ca dao ng t g - bin dng); khi i = j thỡ toỏn t N i , ai+ , ai tr v dng ca dao ng t boson n mode thụng thng Gi n l vộct trng thỏi riờng ca toỏn t s N ng vi tr riờng n, cú ngha l N n = n n thỡ: (a ) + n n = [... trong trng hp mt chiu thỡ toỏn t nng lng ca dao ng t bin dng (q- R) c biu din qua h thc phn giao hoỏn (2.11) i vi trng hp tng quỏt N chiu, bng vic tng quỏt húa kt qu mt chiu (2.11), Hamiltonian c biu din nh sau: hw N = ồ H qn = a, a + } { ồ 2 m=1 m =1 N H q-R (2.12) trong ú m = 1,2,3 N l s chiu ca dao ng t bin dng (q- R) 2.4 Biu din dao ng t toỏn t nng lng ca dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng... gia toỏn t Hamiltonian: H= hw ộở aa + + a + a ựỷ 2 (2.9a) Trong dao ng t boson bin dng q, khi tỏc dng aa + v a + a lờn cỏc vộct trng thỏi riờng thỡ kt qu c xỏc nh theo (1.15): a+a n q =[ n]q n q aa + n q = [ n + 1]q n q Do vy, chỳng ta d nhn thy biu din Hamiltonian ca dao ng t 20 boson bin dng q theo (2.9) s cú kt qu tng quỏt hn (2.6) i vi dao ng t boson do ph thuc vo thụng s bin dng q: H= hw hw ộở aa... hoỏn: ai a +j - qa +j ai = d ij (1.40) H thc ny c xem nh mt phộp ni suy gia dao ng boson v fermion khi thụng s bin dng q chy t +1 n -1 trờn trc thc, c th: + Khi q = 1 , thay vo (1.40), chỳng ta c h thc giao hoỏn, tr v dao ng boson: ai a +j - a +j ai = d ij (1.41) + Khi q = -1 , thay vo (1.40), chỳng ta c h thc phn giao hoỏn, tr v dao ng fermion: ai a +j + a +j ai = d ij (1.42) Trong khi ú, vi trng hp i ... LUN DAO NG T LNG T 1.1 Dao ng t boson 1.2 Dao ng t boson bin dng q 1.3 Dao ng t bin dng (q- R) 1.4 Dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi ) 1.5 Dao ng t bin dng g 10 Chng BIU DIN DAO NG... din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng t boson 2.2 Biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng t boson bin dng q 2.3 Biu din dao ng t ca toỏn t nng lng ca dao ng bin dng (q- R) 2.4 Biu din dao. .. ca cỏc dao ng t boson; dao ng t boson bin dng q; dao ng bin dng (q- R); dao ng mng tinh th cho chui nguyờn t cựng loi v dao ng mng tinh th bin dng (q- R) ) cho chui nguyờn t cựng loi; dao ng