Biểu diễn ma trận của các toán tử trong cơ học lượng tử (KL04178)

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS.TSKH Đào Vọng Đức - ngƣời tận tình giúp đỡ em suốt trình làm khóa luận tốt nghiệp Em xin bày tỏ lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lý- Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Lê Thị Huyền LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp: “ Biểu diễn ma trận toán tử học lƣợng tử” đƣợc hoàn thành dƣới nỗ lực thân hƣớng dẫn tận tình GS.TSKH Đào Vọng Đức Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu riêng tôi, không trùng lặp với đề tài Tất liệu đƣa hoàn toàn trung thực Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm kết nghiên cứu đề tài Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Lê Thị Huyền MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………………………………………………………….….1 NỘI DUNG…………………………………………………………………… Chƣơng Các toán tử học lƣợng tử……………………………….3 Định nghĩa toán tử thí dụ………………………………………… Toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng……… 2.1 Toán tử tọa độ……………………………………………………… 2.2 Toán tử xung lƣợng………………………………………………… 2.3 Toán tử lƣợng………………………………………………… 2.4 Toán tử momen xung lƣợng………………………………………… Dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng hệ tọa độ Descartes………………………………………… 3.1 Toán tử tọa độ……………………………………………………… 3.2 Toán tử xung lƣợng………………………………………………… 3.3 Toán tử Hamilton (toán tử lƣợng)…………………………… 3.4 Toán tử momen xung lƣợng……………………………………… 10 Dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng hệ tọa độ cầu……………………………………………… 10 4.1 Toán tử tọa độ……………………………………………………….11 4.2 Toán tử xung lƣợng …………………………………………………11 4.3 Toán tử Hamilton ………………………………………………… 11 4.4 Toán tử momen xung lƣợng…………………………………………12 Dạng cúa toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng hệ tọa độ trụ…………………………………………………13 5.1 Toán tử tọa độ……………………………………………………….13 5.2 Toán tử xung lƣợng………………………………………………….13 5.3 Toán tử Hamilton ………………………………………………… 13 5.4 Toán tử momen xung lƣợng…………………………………………14 Chƣơng Lý thuyết biểu diễn……………………………………… 16 Hàm sóng biểu diễn……………………………………… 16 Toán tử biểu diễn………………………………………… 20 Chƣơng Biểu diễn toán tử ma trận 23 Dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng p-biểu diễn………………………………………………….23 1.1 Toán tử tọa độ……………………………………………………….23 1.2 Toán tử xung lƣợng………………………………………………….24 1.3 Toán tử lƣợng………………………………………………….24 1.4 Toán tử momen xung lƣợng…………………………………………25 Dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng E-biểu diễn………………………………………………….25 2.1 Toán tử tọa độ……………………………………………………….25 2.2 Toán tử xung lƣợng………………………………………………….25 2.3 Toán tử lƣợng………………………………………………….25 2.4 Toán tử momen xung lƣợng…………………………………………26 Dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng L-biểu diễn………………………………………………….26 3.1 Toán tử tọa độ……………………………………………………….26 3.2 Toán tử xung lƣợng………………………………………………….26 3.3 Toán tử lƣợng………………………………………………….26 3.4 Toán tử momen xung lƣợng…………………………………………27 Một số tập………………………………………………………….27 KẾT LUẬN .33 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… 34 MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………………………… .1 NỘI DUNG……………………………………………………………… CHƢƠNG CÁC TOÁN TỬ TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ……………… Định nghĩa toán tử thí dụ…………………………….………… Toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng……… Toán tử tọa độ………………………………………….………… Toán tử xung lƣợng……………………………………………… Toán tử lƣợng………………………………………………… Toán tử momen xung lƣợng………………………… ……… …….5 Dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng hệ tọa độ Descartes…………………… ………… ……… …….5 3.1 Toán tử tọa độ………………………………………….…………… 3.2 Toán tử xung lƣợng……………………………………………………6 3.3 Toán tử lƣợng………………………………………………… 3.4 Toán tử momen xung lƣợng…………………………… ……………7 Dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng hệ tọa độ cầu…………………………………………… …………….7 4.1 Toán tử tọa độ………………………………………….…………… 4.2 Toán tử xung lƣợng……………………………………………………8 4.3 Toán tử lƣợng……………………………………………………8 4.4 Toán tử momen xung lƣợng…………………………… ……………8 Dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng hệ tọa độ trụ…………………………………………………… …….8 5.1 Toán tử tọa độ………………………………………… …………… 5.2 Toán tử xung lƣợng………………………………………………… 5.3 Toán tử lƣợng…………………………………………………….8 5.4 Toán tử momen xung lƣợng………………………… ………… ….9 CHƢƠNG LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN………………………………… 11 Hàm sóng biểu diễn…… ……………………… ……………11 Toán tử biểu diễn…………………………………………… 13 CHƢƠNG BIỂU DIỄN CÁC TOÁN TỬ BẰNG CÁC MA TRẬN ……16 Toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng p-biểu diễn…………………………………………………… ……………… 16 Toán tử tọa độ………………………………………… ……………16 Toán tử xung lƣợng………………………………… ………… …16 Toán tử lƣợng………………………………………………… 17 Toán tử momen xung lƣợng…………………………… ………… 17 Toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng E-biểu diễn… ……………………………………………… .……………17 Toán tử tọa độ………………………………………… ………… 17 Toán tử xung lƣợng………………………………………………… 17 Toán tử lƣợng………………………………………………… 18 Toán tử momen xung lƣợng…………………………… ………… 18 Toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng L-biểu diễn……… ………………………………………… ……………18 Toán tử tọa độ………………………………………… ………… 18 Toán tử xung lƣợng………………………………………………… 18 Toán tử lƣợng………………………………………………… 19 Toán tử momen xung lƣợng…………………………….………… 20 Một số tập…………………………………………… ………… 22 KẾT LUẬN………………………………………… …………………… 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 24 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học cổ điển vật lý học nghiên cứu tính chất, tƣơng tác dịch chuyển hệ vĩ mô không gian Vật lý học cổ điển dựa sở lý thuyết học Newton lý thuyết điện từ Maxwell Nội dung chủ yếu giải thích tính chất nhƣ tƣợng vật lý xảy giới vĩ mô Đối với tƣợng vật lý mà ngƣời ta biết đến khoảng cuối kỷ XIX vật lý học cổ điển cho kết phù hợp với thực nghiệm hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh chặt chẽ phạm vi ứng dụng Tuy nhiên, từ cuối kỷ XIX, hoàn thiện ứng dụng phƣơng tiện kĩ thuật vào việc nghiên cứu vấn đề vật lý, ngƣời ta nhận thấy vật lý học cổ điển giải thích đƣợc tính chất nguyên tử tƣơng tác chúng với xạ điện từ Để giải vấn đề đó, học lƣợng tử đời Nó dựa tính chất sóng - hạt vật chất để nghiên cứu giải thích tính chất tƣợng xảy không gian kích thƣớc cỡ 106 cm đến 1013 cm Cơ học lƣợng tử sở giúp ngƣời tìm hiểu giới vi mô - đối tƣợng nghiên cứu quan trọng vật lý học đại Để giải đƣợc toán học lƣợng tử, cần phải hiểu nắm vững đƣợc toán tử nhƣ biểu diễn Và biểu diễn ma trận toán tử vấn đề hay hữu ích tìm hiểu toán tử, giúp ta giải số toán học lƣợng tử cách thuận lợi Nó cho thấy toán học công cụ hữu ích việc nghiên cứu vật lý học Với lý trình bày, định chọn đề tài: “ Biểu diễn ma trận toán tử học lượng tử” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu dạng toán tử số hệ toạ độ - Nghiên cứu dạng toán tử biểu diễn khác Nhiệm vụ nghiên cứu Viết đƣợc dạng toán tử đại lƣợng động lực biểu diễn khác Đối tƣợng nghiên cứu Dạng ma trận toán tử tƣơng ứng với đại lƣợng động lực học lƣợng tử Phƣơng pháp nghiên cứu Áp dụng phƣơng pháp nghiên cứu Vật lý lý thuyết Vật lý Toán Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm ba chƣơng: - Chƣơng 1: Các toán tử học lƣợng tử - Chƣơng 2: Lý thuyết biểu diễn - Chƣơng 3: Biểu diễn toán tử ma trận NỘI DUNG CHƢƠNG CÁC TOÁN TỬ TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Định nghĩa toán tử thí dụ - Định nghĩa: Toán tử thực thể toán học tác dụng lên hàm (của x chẳng hạn) chuyển thành hàm khác: Aˆ  x     x  Ta nói toán tử Aˆ tác dụng lên hàm   x  tạo hàm   x  - Thí dụ: + Phép nhân với x : Aˆ  x2 Aˆ  x   x2  x  Trong trƣờng hợp này, toán tử Aˆ phụ thuộc biến số x d + Phép lấy đạo hàm x : Aˆ  dx d  x  Aˆ  x   dx Trong trƣờng hợp này, toán tử Aˆ phụ thuộc đạo hàm x + Phép nhân với số (phức): Aˆ  h   Aˆ x  h x d Trong trƣờng hợp này, toán tử Aˆ không phụ thuộc vào x nhƣ dx Trƣờng hợp đặc biệt: h  : Aˆ  x   : Aˆ toán tử không h  1: Aˆ  x     x  : Aˆ toán tử đơn vị + Phép lấy liên hợp phức: Aˆ  x    *  x  - Toán tử tuyến tính: Toán tử tuyến tính toán tử thỏa mãn tính chất sau: Aˆ  C1  C2   C1 Aˆ  C2 Aˆ Với C1, C2 số tùy ý  ,  hàm số tùy ý d Toán tử Aˆ  toán tử tuyến tính vì: dx d d d  C1  C2   C1  C2 dx dx dx Toán tử lấy liên hợp phức toán tử tuyến tính vì: * Aˆ  C1  C2    C1  C2   C1* Aˆ  C2* Aˆ  C1 Aˆ  C2 Aˆ Toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng 2.1 Toán tử tọa độ Xét trƣờng hợp hạt chuyển động trục x , trạng thái hạt đƣợc mô tả hàm sóng   x  Giả sử   x  đƣợc chuẩn hóa Toán tử tọa độ xˆ phải Hermite trị trung bình thỏa mãn: x   * xˆ dx Nếu gọi   x  mật độ xác suất để tọa độ có giá trị x trị trung bình x là: x   x  x  dx Mà   x     x    *  x   x  Từ (2.10) suy phép biến đổi hàm q-biểu diễn q a thành  hàm Fn a F-biểu diễn đƣợc thực dựa vào hàm Fn q  q Fn ; phép biến đổi (2.9) chuyển hàm F-biểu diễn thành hàm qbiểu diễn, phép biến đổi đƣợc thực nhờ hàm q Fn , hàm toán tử Fˆ q-biểu diễn Nếu trị riêng Fn Fˆ thuộc phổ liên tục (2.9) ta thay việc lấy tổng việc lấy tích phân theo tất khoảng biến thiên chúng Trƣờng hợp tổng quát, biến q (2.10) lấy giá trị rời rạc, cần phải thay việc lấy tích phân việc lấy tổng theo tất giá trị Toán tử biểu diễn Chúng ta nghiên cứu trạng thái thời điểm xác định Trong biểu diễn tọa độ, toán tử đƣợc biểu diễn hàm tọa độ đạo hàm tọa độ Khi tác dụng lên hàm biểu diễn tọa độ, toán tử biến đổi hàm thành hàm khác riêng biểu diễn Fˆ  q     q  (2.11) Khi chuyển từ biểu diễn sang biểu diễn khác vector trạng thái cần phải thực phép biến đổi cho toán tử Trong (2.11), chuyển sang G-biểu diễn Gˆ n  Gn n  n  1,2,3,  , Gˆ  Gˆ  :   q    an n (2.12)   q    bn n (2.13) n n Thì { an } { bn } hàm sóng G-biểu diễn tƣơng ứng với hàm sóng   q-biểu diễn 22 Thay (2.12) (2.13) vào (2.11), nhân  n* vào hai vế, sau lấy tích phân theo biến q , cuối ta có bm   Fmn an (2.14) n Trong Fmn   m*  q  Fˆ n  q  dq (2.15) Vế phải (2.14) coi nhƣ tích hai ma trận  b    F  a  Ma trận  F  với phần tử đƣợc xác định (2.15) ma trận cột  a  với phần tử đƣợc xác định an   n*  q  dq (2.16) Còn ma trận cột  b  với phần tử đƣợc xác định bn   n*  q   q  dq (2.17) Nhƣ vậy, G-biểu diễn, toán tử Fˆ đƣợc chuyển tƣơng ứng thành ma trận  F  hàm sóng   q  đƣợc chuyển tƣơng ứng thành ma trận cột  a  hệ sở { n } Gˆ không gian Hilbert hàm số liên tục Giả sử Fˆ  Gˆ , hệ thức (2.15) đƣợc biến đổi nhƣ sau Fmn   m* Fˆ n dq  Fn  m* n dq Nếu phổ Fˆ gián đoạn Fmn  Fn mn ma trận  F  ma trận chéo 23 (2.18) Còn phổ Fˆ liên tục, ta thay cho  m  n hàm  f '  f Ff ' f  F  f  f '  (2.19) Đây ma trận chéo liên tục  Nhƣ vậy, chƣơng II, tìm hiểu biểu diễn khác hàm sóng toán tử Các trạng thái hạt đƣợc mô tả hàm sóng biểu diễn tọa độ, biểu diễn xung lƣợng, biểu diễn lƣợng…Và biểu diễn khác nhau, toán tử có dạng khác Khi chuyển từ biểu diễn sang biểu diễn khác hàm sóng toán tử biến đổi Các toán tử đƣợc biểu diễn ma trận với phần tử đƣợc xác định theo công thức tổng quát: Fmn   m*  q  Fˆ n  q  dq 24 CHƢƠNG BIỂU DIỄN CÁC TOÁN TỬ BẰNG CÁC MA TRẬN Toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng p-biểu diễn 1.1 Toán tử tọa độ Toán tử tọa độ xˆ p-biểu diễn biểu diễn dƣới dạng ma trận: Sử dụng công thức tổng quát: Fmn   m*  q  Fˆ n  q  dq , ta có: X p' p   *p'  x  xˆ p  x  dx   e  2   ip ' x  ipx xe  dx     i  e  p  2      i   i p'  p x   dx       p  p'  p (3.1) Dựa vào công thức bm   Fmn an nhƣ tác động toán tử xˆ lên hàm sóng n ta có: b p   '  X  p' p a  p  dp     p  p '  a  p  dp  p   i    i  p  p  a  p    i    p  p '  ' a  p    '  i p ' Hay b  p   i  ˆ  p a  p   xa p 25 a  p  dp p Tức p-biểu diễn, toán tử xˆ tác động lên hàm sóng a  p  cho kết hàm sóng b  p  Nhƣ vậy, p-biểu diễn, toán tử tọa độ biểu diễn dƣới dạng ma trận với phần tử đƣợc xác định theo (3.1) dạng toán tử xˆ  i  p 1.2 Toán tử xung lƣợng Toán tử xung lƣợng biểu diễn nó, tức p-biểu diễn đƣợc biểu diễn ma trận có phần tử nhƣ sau: p p' p   *p'  x  pˆ p  x  dx  p  *p'  x  p  x  dx  p  p '  p  Đó ma trận chéo liên tục Phƣơng trình toán tử p-biểu diễn: pˆa  p   b  p  Ta có: b  p '    p p pa  p  dp '   p  p '  p a  p  dp  p 'a  p '   pˆa  p   pa  p  Tức là: tác dụng toán tử xung lƣợng lên hàm sóng p-biểu diễn dẫn tới kết nhân hàm với p Từ kết này, suy rộng cho  trƣờng hợp không gian ba chiều: cần thay p p 1.3 Toán tử lƣợng 26 Trong p-biểu diễn, toán tử Hˆ biểu diễn dƣới dạng toán tử nhƣ sau: 2 p Hˆ   U  i p  2m Hoặc biểu diễn dƣới dạng ma trận:  p2 H p' p    p  p '   U  i p    p  p '  2m   1.4 Toán tử momen xung lƣợng Trong p-biểu diễn, toán tử hình chiếu vector momen xung lƣợng đƣợc biểu diễn ma trận với phần tử đƣợc xác định nhƣ sau:     Lx  p p   *p  r  Lˆx p  r  dr ' L  y p' p  Lz  p p ' '      *p'  r  Lˆ y p  r  dr      *p'  r  Lˆz p  r  dr Dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng E-biểu diễn 2.1 Toán tử tọa độ Trong biểu diễn lƣợng, toán tử tọa độ xˆ đƣợc biểu diễn ma trận có phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: xmn   E*m  x xˆ En  x  dx 2.2 Toán tử xung lƣợng Trong biểu diễn lƣợng, toán tử xung lƣợng pˆ đƣợc biểu diễn ma trận có phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: pmn   E*m  x  pˆ En  x  dx 2.3 Toán tử lƣợng 27 Trong biểu diễn lƣợng, toán tử lƣợng Hˆ đƣợc biểu diễn ma trận mà phần tử ma trận có giá trị cụ thể nhƣ sau: H mn  En mn Nghĩa toán tử Hˆ đƣợc biểu diễn ma trận chéo, phần tử đƣờng chéo có giá trị trị riêng lƣợng 2.4 Toán tử momen xung lƣợng Trong biểu diễn lƣợng, toán tử hình chiếu vector momen xung lƣợng đƣợc biểu diễn ma trận có phần tử đƣợc xác định nhƣ sau:     Lx mn   E*  r  Lˆx E  r  dr m L  y mn n      E*m  r  Lˆ y En  r  dr     Lz mn   E*  r  Lˆz E  r  dr m n Toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng L-biểu diễn 3.1 Toán tử tọa độ Trong L-biểu diễn, toán tử tọa độ đƣợc biểu diễn ma trận có phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: X LL'   L*'  x  xˆ L  x  dx 3.2 Toán tử xung lƣợng Trong L-biểu diễn, toán tử xung lƣợng đƣợc biểu diễn ma trận có phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: pLL'   L*'  x  pˆ L  x  dx 3.3 Toán tử lƣợng Trong L-biểu diễn, toán tử lƣợng đƣợc biểu diễn ma trận có phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: 28 H LL'   L*'  x  Hˆ  L  x dx 3.4 Toán tử momen xung lƣợng Trong L-biểu diễn, toán tử hình chiếu vector momen xung lƣợng đƣợc biểu diễn ma trận với phần tử đƣợc xác định nhƣ sau:  Lx  L L  Lx  L  L'  ' L  y L' L  Ly  L  L'   Lz  L L  Lz  L  L'  '  Nhƣ vậy, toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng đƣợc biểu diễn ma trận khác biểu diễn khác nhau: p-biểu diễn, E-biểu diễn, L-biểu diễn Trong toán thông thƣờng ngƣời ta hay dùng biểu diễn tọa độ Khi nghiên cứu hệ gồm hạt tƣơng tác yếu với nhau, tức nhỏ, ngƣời ta hay dùng biểu diễn xung lƣợng Trong toán giải gần hay dùng biểu diễn lƣợng Một số tập  Bài Trong r-biểu diễn, hạt trạng thái   r  Tìm hàm sóng mô tả trạng thái hạt p-biểu diễn Bài làm: Toán tử xung lƣợng có hệ hàm riêng là:  p   i  exp  pr  ,    p    2      Khai triển hàm   r  theo hàm riêng  p  , hệ số khai triển là:    c  p    *p  r  dr 29 Do c p    2    i        r  exp   pr  dr hàm sóng p-biểu diễn Bài Trong x-biểu diễn, dao động tử điều hòa trạng thái đƣợc mô tả hàm sóng:  m   m  x  x   exp       2  Tìm hàm sóng mô tả trạng thái dao động tử điều hòa p x -biểu diễn Bài làm: Toán tử pˆ x có hệ hàm riêng là: i  exp  px x  2    p  x Các hàm sóng mô tả trạng thái p x -biểu diễn là: c  px    *px  x  dx c  px      1  m   i   m  exp  p x exp x  dx x      2          2   Tính tích phân: I =  e  m i x  px x 2  e dx   = e  m i x  px x 2  dx  Tích phân có dạng: 30  I0  e  ax bx dx    e  b b2   a x  x   b 2a 4a  4a  e dx  e b  4a e b    a x    2a   b  4a b   dx  2a   e e  au du  e b 4a  a Vận dụng tích phân trên, ta có:  I = e m i  x  px x 2   I e 2 px  2m m   a  2 dx với  b   i p   2  2  2pmx  e m m Vậy hàm sóng mô tả trạng thái dao động tử điều hòa p x -biểu diễn là: 1  m   2   2mpx  c  px       e 2       m  p   mx    e   m  Bài Tìm hàm sóng hạt biểu diễn lƣợng hạt giếng chiều có thành cao vô hạn có bề rộng d trạng thái: 31  x  4d   x   0 0  x  d   x  d , x  0 Bài làm: Hàm sóng lƣợng hạt giếng chiều thành cao vô hạn, bề rộng d có dạng:  n  x  En   n x  sin   d  d  2 n2 , 2m d n  1,2,3, Hàm sóng biểu diễn lƣợng có dạng: d   En   n    x  E*  x  dx n  x  4d Trong đó:   x    0 0  x  d   x  d , x  0 d d   n x   n x   n  x sin dx  d sin    0  d  dx  d  0  d   I1  4d I   d d - Tính I1   x sin n x dx d u  x du  xdx    Đặt  d n x n x v   cos dv  sin dx   n d  d  32 d n x 2d n x I1   x cos  x cos dx  n d n d d d d3 2d n x n    1  x cos dx n n 0 d d u1  x  Đặt  n x dv  cos dx  d du1  dx   d n x v  sin  n d Ta đƣợc: d3 2d n I1    1  n n d3 2d n    1  n n d d d n x d n x  x sin  sin dx    n  d n  d 0   d d d n x  cos   n  n  d   d3 2d  n n    1  3  1  1  n n  - Tính I : d I   sin n x dx d d n x  n x   sin d   n d  d  d d n x   cos n d d  d  n 1  1   n  Vậy:  d3 2d  4d  n n n                 2   n   n3   n n  1,2,3, n  d 33 Bài Tìm ma trận tọa độ E-biểu diễn hạt chuyển động giếng chiều vuông góc có bề sâu vô hạn, bề rộng a Bài làm: Hàm sóng hạt chuyển động giếng chiều vuông góc bề sâu vô hạn, bề rộng a là:  n sin x   n  x   a a 0  0 xa x  0, x  a Ta có: xmn  m x n   m* x n dx xmn  a  m  n     m  n x cos x  cos x  dx  a0  a a   a 1  cos   m  n   cos   m  n         m  n 2 m  n  mn   4a  1  1 mn    m2  n2  34 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu hoàn thành khóa luận: “ Biểu diễn ma trận toán tử học lƣợng tử”, thấy đƣợc tầm quan trọng việc biểu diễn toán tử ma trận học lƣợng tử Nó chìa khóa giúp giải đƣợc toán học lƣợng tử cách dễ dàng Với mục đích nghiên cứu dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng số hệ tọa độ, nghiên cứu dạng toán tử biểu diễn khác nhau, luận văn này, trình bày vấn đề: - Xây dựng đƣợc dạng toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng hệ tọa độ quan trọng: hệ tọa độ Descartes, hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ - Trình bày dạng hàm sóng toán tử biểu diễn khác - Xây dựng đƣợc dạng ma trận toán tử biểu diễn - Đƣa số tập dạng hàm sóng toán tử số biểu diễn Qua đây, thấy rằng, tùy vào toán cụ thể mà ta sử dụng hệ tọa độ khác để giải toán cách đơn giản Đối với toán đối xứng tâm, dùng hệ tọa độ cầu, trƣờng hợp toán đối xứng trục, ta dùng hệ tọa độ trụ Và tập hàm sóng, toán tử, nên tìm cách giải biểu diễn phù hợp, thuận tiện Nhƣ hoàn thành mục đích nghiên cứu đề ban đầu Tuy nhiên, kiến thức hạn chế thời gian nghiên cứu hạn hẹp, khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đƣợc đóng góp quý báu thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Trần Văn Hạo (1977), Đại số cao cấp, NXB Giáo Dục   Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, Khoa công nghệ, ĐH Quốc Gia Hà Nội 3 Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội [4] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB ĐH Sƣ phạm 5 Phạm Quý Tƣ (2005), Cơ học lượng tử, NXB ĐH Sƣ phạm [6] Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tƣờng (1990), Bài tập vật lý lý thuyết- tập 2, NXB Giáo Dục 36 [...]... cả các giá trị khả dĩ 2 Toán tử trong các biểu diễn Chúng ta nghiên cứu các trạng thái ở một thời điểm xác định Trong biểu diễn tọa độ, các toán tử đƣợc biểu diễn bằng một hàm của tọa độ và các đạo hàm của tọa độ Khi tác dụng lên các hàm của biểu diễn tọa độ, các toán tử biến đổi các hàm này thành các hàm khác của riêng một biểu diễn Fˆ  q     q  (2.11) Khi chuyển từ biểu diễn này sang biểu diễn. .. một ma trận chéo liên tục  Nhƣ vậy, trong chƣơng II, chúng ta đã tìm hiểu về các biểu diễn khác nhau của các hàm sóng và các toán tử Các trạng thái của một hạt có thể đƣợc mô tả bởi các hàm sóng trong biểu diễn tọa độ, biểu diễn xung lƣợng, biểu diễn năng lƣợng…Và trong các biểu diễn khác nhau, các toán tử cũng có dạng khác nhau Khi chuyển từ biểu diễn này sang biểu diễn khác của hàm sóng thì các toán. .. sóng thì các toán tử cũng biến đổi Các toán tử đƣợc biểu diễn bằng các ma trận với các phần tử đƣợc xác định theo công thức tổng quát: Fmn   m*  q  Fˆ n  q  dq 24 CHƢƠNG 3 BIỂU DIỄN CÁC TOÁN TỬ BẰNG CÁC MA TRẬN 1 Toán tử tọa độ, xung lƣợng, năng lƣợng, momen xung lƣợng trong p -biểu diễn 1.1 Toán tử tọa độ Toán tử tọa độ xˆ trong p -biểu diễn có thể biểu diễn dƣới dạng ma trận: Sử dụng công... lƣợng, toán tử năng lƣợng Hˆ đƣợc biểu diễn bằng một ma trận mà các phần tử ma trận có giá trị cụ thể nhƣ sau: H mn  En mn Nghĩa là toán tử Hˆ đƣợc biểu diễn bằng một ma trận chéo, các phần tử trên đƣờng chéo có giá trị bằng trị riêng của năng lƣợng 2.4 Toán tử momen xung lƣợng Trong biểu diễn năng lƣợng, các toán tử hình chiếu vector momen xung lƣợng đƣợc biểu diễn bằng các ma trận có các phần tử đƣợc... 2.1 Toán tử tọa độ Trong biểu diễn năng lƣợng, toán tử tọa độ xˆ đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: xmn   E*m  x xˆ En  x  dx 2.2 Toán tử xung lƣợng Trong biểu diễn năng lƣợng, toán tử xung lƣợng pˆ đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: pmn   E*m  x  pˆ En  x  dx 2.3 Toán tử năng lƣợng 27 Trong biểu diễn năng lƣợng, toán. .. thể biểu diễn dƣới dạng ma trận với các phần tử đƣợc xác định theo (3.1) hoặc dạng toán tử xˆ  i  p 1.2 Toán tử xung lƣợng Toán tử xung lƣợng trong biểu diễn của chính nó, tức p -biểu diễn đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử nhƣ sau: p p' p   *p'  x  pˆ p  x  dx  p  *p'  x  p  x  dx  p  p '  p  Đó là một ma trận chéo liên tục Phƣơng trình toán tử trong p -biểu diễn: ... E*  r  Lˆz E  r  dr m n 3 Toán tử tọa độ, xung lƣợng, năng lƣợng, momen xung lƣợng trong L -biểu diễn 3.1 Toán tử tọa độ Trong L -biểu diễn, toán tử tọa độ đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: X LL'   L*'  x  xˆ L  x  dx 3.2 Toán tử xung lƣợng Trong L -biểu diễn, toán tử xung lƣợng đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: pLL'...  '  Nhƣ vậy, các toán tử tọa độ, xung lƣợng, năng lƣợng, momen xung lƣợng đƣợc biểu diễn bằng các ma trận khác nhau trong các biểu diễn khác nhau: p -biểu diễn, E -biểu diễn, L -biểu diễn Trong các bài toán thông thƣờng ngƣời ta hay dùng biểu diễn tọa độ Khi nghiên cứu các hệ gồm những hạt tƣơng tác yếu với nhau, tức là thế năng nhỏ, ngƣời ta hay dùng biểu diễn xung lƣợng Trong các bài toán giải gần... nhƣ sau: pLL'   L*'  x  pˆ L  x  dx 3.3 Toán tử năng lƣợng Trong L -biểu diễn, toán tử năng lƣợng đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử đƣợc xác định nhƣ sau: 28 H LL'   L*'  x  Hˆ  L  x dx 3.4 Toán tử momen xung lƣợng Trong L -biểu diễn, các toán tử hình chiếu vector momen xung lƣợng đƣợc biểu diễn bằng các ma trận với các phần tử đƣợc xác định nhƣ sau:  Lx  L L  Lx  L... trục Dạng của các toán tử tọa độ, xung lƣợng, năng lƣợng, momen xung lƣợng là khác nhau trong mỗi hệ tọa độ nói trên 17 CHƢƠNG 2 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 1 Hàm sóng trong các biểu diễn Để biểu diễn các trạng thái của các hệ lƣợng tử, chúng ta có thể dùng hàm sóng  a  q, t  là hàm của các tọa độ q tại thời điểm t Chỉ số a kí hiệu cho tập hợp những giá trị của các đại lƣợng vật lý hay các số lƣợng tử đủ để ... Toán Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm ba chƣơng: - Chƣơng 1: Các toán tử học lƣợng tử - Chƣơng 2: Lý thuyết biểu diễn - Chƣơng 3: Biểu diễn toán tử ma trận NỘI DUNG CHƢƠNG CÁC TOÁN TỬ TRONG CƠ... sóng toán tử biến đổi Các toán tử đƣợc biểu diễn ma trận với phần tử đƣợc xác định theo công thức tổng quát: Fmn   m*  q  Fˆ n  q  dq 24 CHƢƠNG BIỂU DIỄN CÁC TOÁN TỬ BẰNG CÁC MA TRẬN Toán. .. Hàm sóng biểu diễn … ……………………… ……………11 Toán tử biểu diễn ………………………………………… 13 CHƢƠNG BIỂU DIỄN CÁC TOÁN TỬ BẰNG CÁC MA TRẬN ……16 Toán tử tọa độ, xung lƣợng, lƣợng, momen xung lƣợng p -biểu diễn …………………………………………………